山东省泰安市第一中学2026届高三五月底高考考前数学训练题

**基本信息** 高考考前训练卷，涵盖函数、几何、概率等模块，通过多问设计与真实情境（如基因编辑实验）考查逻辑推理与数学应用，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、数列、排列组合、向量、立体几何|基础概念辨析，如第3题隔板法解决名额分配| |多选题|3/18|概率统计、椭圆性质、函数奇偶性|多选项深度辨析，如第9题结合二项分布与独立性| |填空题|3/15|复数、二项式定理、不等式恒成立|简洁计算，如第14题构造函数求参数范围| |解答题|5/77|三角、立体几何、概率（独立性检验）、导数、椭圆|综合应用，如第17题基因编辑实验的统计分析，第19题椭圆定值与面积最值|

山东省泰安市第一中学2026年五月底高考考前训练 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 3．（本题5分）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 4．（本题5分）已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为， 则（   ） A．2 B． C．8 D．12 5．（本题5分）已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法正确的有（    ） A．一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B．若随机变量，则 C．若事件，满足，则与是对立事件 D．若事件，满足，则事件，相互独立 10．（本题6分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（    ） A．C的短轴长为 B．四边形的周长为8 C．的最小值为 D． 11．（本题6分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为2 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若复数满足（为虚数单位），则__________． 13．（本题5分）在的展开式中，含有项的系数为_____________． 14．（本题5分）已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本题15分）某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表： 抗病株数 易感病株数 实验组 38 12 对照组 25 25 (1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联； (2)用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为，求的数学期望与方差． 附：，其中． 18．（本题17分）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设，是上关于轴对称的两点，是上一点，直线，与轴分别交于，两点． （i）设为坐标原点，证明：为定值； （ii）若，求的面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市第一中学2026年五月底高考考前训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B A C D B ABD BCD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】集合，，则 2．B 【分析】利用等差数列通项公式化简已知等式得到的值，再结合等差数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 根据等差数列通项公式，代入得： ， 整理得， 根据等差数列前项和公式，可得：， 又， 因此. 3．B 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 4．B 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且， 所以，所以， 所以． 5．A 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积． 【详解】如图1，取的中点 ，设上底面与球相切的点为， 则平面为一个含内切圆的等腰梯形截面图如图2, 因为等腰梯形有内切圆的充要条件为上底+下底两腰之和， ，所以 ， 所以梯形的高， 此时梯形的高即为正四棱台的高. 又因为正四棱台的体积 为上底面的面积，为下底面的面积，， 所以. 6．C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 7．D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 8．B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 9．ABD 【详解】对于选项A，可知，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3，所以A正确； 对于选项B，由二项分布可知，所以B正确； 对于选项C，由无法得出，所以无法判定与是否是对立事件，所以C错误； 对于选项D，可知， 可得，化简得，即事件，相互独立，所以D正确； 10．BCD 【分析】选项A，椭圆短轴长为，直接排除；选项B，利用椭圆定义和中心对称，四边形周长为；选项C，由，用均值不等式可求最小值为；选项D，利用椭圆对称性设点，通过斜率关系结合椭圆方程推导的值，再由推出，从而证. 【详解】选项A，由题意知椭圆的短轴长为，A错误； 选项B，根据椭圆定义，，因为Q是P关于原点的对称点，所以， 则四边形的周长为，B正确； 选项C，由选项B，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，C正确； 选项D，设，则，，， 所以，， 又， 所以，故，D正确． 11．BCD 【详解】对于选项A，因为函数是定义在上的奇函数，所以，选项A错误； 对于选项B，当时，可知， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增， 可知，所以，且，所以B正确； 对于选项C，可知函数在处取得极大值，在处取得极小值，选项C正确； 对于选项D，可知时，且，可得， 当时，且，可得，因为， 其图象如下图所示： 所以方程有三个实数根时，的取值范围是，所以D正确； 12． 【详解】因为， 所以，. 13． 【详解】根据二项式展开得，含有项的系数为. 14． 【分析】由题意可转化为恒成立，构造函数，利用导数求最小值即可得解. 【详解】由可得， 因为，所以恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，则，故，而， 所以，即在上单调递减； 当时，，则， 当时，，而，所以， 当时，，所以，， 即在上单调递增，所以当时，， 所以，即a的取值范围为. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明出四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）设的中点为，连接，， 因为，是，的中点，所以在中，，， 因为为正方形，为中点，所以，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，， 所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．(1)表格见解析，有关联 (2) 【分析】（1）根据已知条件完善列联表，然后计算的值，进而得到结论； （2）先根据题意得到经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为，再结合题意得到，进而利用公式即可求出的数学期望与方差． 【详解】（1）由题得如下列联表： 抗病株数 易感病株数 合计 实验组 38 12 50 对照组 25 25 50 合计 63 37 100 零假设：小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联． 由列联表的数据，得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联． （2）由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为， 由题知， 故其分布列为， 所以 18．(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 19．(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据长轴与短轴的关系及焦距，结合即可求解； （2）（i）设，，表示出直线方程，进而表示出，计算即可证明；（ii）法一：由已知得出和，再由及基本不等式即可证明；法二：设与交于点，由几何关系得出和，再由及基本不等式即可求解． 【详解】（1）依题意，，即， 又焦距为，所以， 解得，，所以的标准方程为． （2）（i）证明：由椭圆的对称性，不妨设，，， 设，，则直线方程为， 令得，，同理可得，， 因为，， 所以， 所以为定值． （ii）法1：因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，显然， 所以，所以， 所以， （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的面积的最大值为． 法2：设与交于点，由椭圆的对称性知， 因为，所以， 又因为，， 所以. 所以，所以，显然， 所以，所以， 所以， （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的面积的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $