28.圆锥曲线中的定点、定值、定线问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编近三年高考数学真题中圆锥曲线综合题，聚焦定点定值定直线问题，涵盖椭圆、双曲线两大核心曲线，适配高考复习专题突破需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3道（高考真题解答题）|椭圆方程求解（2020新高考Ⅰ卷）、双曲线方程与定直线证明（2023新高考Ⅱ卷）、直线与椭圆位置关系及定点证明（2022全国乙卷）|以高考真题为素材，突出动态几何中不变量探究，层次递进，从基础方程求解到综合证明，贴合高考命题趋势|

28.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 1.（2020·新高考Ⅰ卷22题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）. （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值. 解：（1）由题意得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1. （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）. 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝. ① 由AM⊥AN知，·＝0，故（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，可得（k2＋1）x1x2＋（km－k－2）（x1＋x2）＋（m－1）2＋4＝0. 将①代入上式可得（k2＋1）－（km－k－2）·＋（m－1）2＋4＝0. 整理得（2k＋3m＋1）（2k＋m－1）＝0. 因为A（2，1）不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1. 于是MN的方程为y＝k－（k≠1）. 所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N（x1，－y1）. 由·＝0得（x1－2）（x1－2）＋（y1－1）·（－y1－1）＝0. 又＋＝1，可得3－8x1＋4＝0. 解得x1＝2（舍去），x1＝. 此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 故｜DQ｜＝｜AP｜＝. 若D与P重合，则｜DQ｜＝｜AP｜. 综上，存在点Q，使得｜DQ｜为定值. 2.（2022·全国乙卷20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B两点. （1）求E的方程； （2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点. 解：（1）设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）.由题意可得 解得 故椭圆E的方程为＋＝1. （2）证明：由A（0，－2），B（ ，－1）可得直线AB的方程为y＝x－2. ①若过点P（1，－2）的直线的斜率不存在，则其方程为x＝1， 与方程＋＝1联立，可得y＝±，结合题意可知N（ 1，），M（ 1，－）， 由得 则T（ －＋3，－），由＝， 得 则H（ －2＋5，－）， 所以直线HN的方程为y＝（ 2＋）x－2，易知直线HN过定点（0，－2）； ②若过点P（1，－2）的直线的斜率存在，设其方程为y＋2＝k（x－1），M（x1，y1），N（x2，y2）. 联立得（3k2＋4）x2－6k（2＋k）x＋3k（k＋4）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝，y1y2＝，x1y2＋x2y1＝. 联立可得T（ ＋3，y1）， 由＝，可得H（3y1＋6－x1，y1）， 故此时直线HN的方程为y－y2＝（x－x2）， 将（0，－2）代入并整理得2（x1＋x2）－6（y1＋y2）＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 即2×－6×＋－3×－12＝0恒成立，则直线HN过定点（0，－2）. 综上，直线HN过定点（0，－2）. 3.（2023·新高考Ⅱ卷21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－2，0），离心率为. （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上. 解：（1）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）. 由题意可得解得 所以双曲线C的方程为－＝1. （2）证明：法一　设直线MN的方程为x＝my－4，M（x1，y1），N（x2，y2）. 易知A1（－2，0），A2（2，0）. 联立直线MN与双曲线C的方程，得 消去x并整理，得（4m2－1）y2－32my＋48＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝，且4m2－1≠0，Δ＝（－32m）2－4×48×（4m2－1）＝256m2＋192＞0. 直线MA1的方程为y＝（x＋2），直线NA2的方程为y＝（x－2）. 联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y，得＝＝＝ ＝＝－， 所以x＝－1，即点P在定直线x＝－1上. 法二　由题意得A1（－2，0），A2（2，0）. 设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my－4， 则－＝1，即4－＝16. 如图，连接MA2， ·＝·＝＝＝4. ① 由－＝1，得4x2－y2＝16，4[（x－2）＋2]2－y2＝16， 4（x－2）2＋16（x－2）＋16－y2＝16，4（x－2）2＋16（x－2）－y2＝0. 由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－（x－2）＝6，[my－（x－2）]＝1. 4（x－2）2＋16（x－2）·[my－（x－2）]－y2＝0，4（x－2）2＋（x－2）my－（x－2）2－y2＝0， 两边同时除以（x－2）2，得＋·－（）2＝0， 即（）2－·－＝0. ＝，＝， 由根与系数的关系得·＝－. ② 由①②可得＝－3. ：y＝（x＋2）＝－3（x＋2），：y＝（x－2）. 由解得x＝－1. 所以点P在定直线x＝－1上. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $