28.圆锥曲线中的定点、定值、定线问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

28.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

1.（2020·新高考Ⅰ卷22题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程；

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值.

解：（1）由题意得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3.

所以C的方程为＋＝1.

（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）.

若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0.

于是x1＋x2＝－，x1x2＝. ①

由AM⊥AN知，·＝0，故（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，可得（k2＋1）x1x2＋（km－k－2）（x1＋x2）＋（m－1）2＋4＝0.

将①代入上式可得（k2＋1）－（km－k－2）·＋（m－1）2＋4＝0.

整理得（2k＋3m＋1）（2k＋m－1）＝0.

因为A（2，1）不在直线MN上，

所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.

于是MN的方程为y＝k－（k≠1）.

所以直线MN过点P.

若直线MN与x轴垂直，可得N（x1，－y1）.

由·＝0得（x1－2）（x1－2）＋（y1－1）·（－y1－1）＝0.

又＋＝1，可得3－8x1＋4＝0.

解得x1＝2（舍去），x1＝.

此时直线MN过点P.

令Q为AP的中点，即Q.

若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，

故｜DQ｜＝｜AP｜＝.

若D与P重合，则｜DQ｜＝｜AP｜.

综上，存在点Q，使得｜DQ｜为定值.

2.（2022·全国乙卷20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点.

解：（1）设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）.由题意可得

解得

故椭圆E的方程为＋＝1.

（2）证明：由A（0，－2），B（ ，－1）可得直线AB的方程为y＝x－2.

①若过点P（1，－2）的直线的斜率不存在，则其方程为x＝1，

与方程＋＝1联立，可得y＝±，结合题意可知N（ 1，），M（ 1，－），

由得

则T（ －＋3，－），由＝，

得

则H（ －2＋5，－），

所以直线HN的方程为y＝（ 2＋）x－2，易知直线HN过定点（0，－2）；

②若过点P（1，－2）的直线的斜率存在，设其方程为y＋2＝k（x－1），M（x1，y1），N（x2，y2）.

联立得（3k2＋4）x2－6k（2＋k）x＋3k（k＋4）＝0，