31.计数原理-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编2022-2024年高考真题中计数原理5道题，含选择填空，覆盖排列组合、抽样等核心应用，适配高考复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|5题（选择3道/填空2道）|相邻排列、分层抽样、分步计数（如志愿者安排）|生活情境（学生排队、选课），高考真题适配，注重逻辑推理与分类讨论|

31.计数原理 1.（2022·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　） A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解析：B　先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24种，故选B. 2.（2023·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　） A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 解析：D　由题意知，从初中部抽取学生的人数为60×＝40，从高中部抽取学生的人数为60×＝20.完成这件事情分两步：第一步，从初中部400名学生中抽取40名学生，有种方法；第二步，从高中部200名学生中抽取20名学生，有种方法.根据分步乘法计数原理，得共有·种不同的抽样结果.故选D. 3.（2023·全国甲卷9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（　　） A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 解析：B　先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式.所以不同的安排方式共有·＝60（种）.故选B. 4.（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　　种（用数字作答）. 答案：64 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有＋＋＝64（种）. 5.（2024·新高考Ⅱ卷14题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 答案：24　112 解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法. 法一（列举法）　每种选法可标记为（a，b，c，d），a，b，c，d分别表示第一、二、三、四行的数字，则所有的可能结果为：（11，22，33，44）（11，22，43，34），（11，33，22，44），（11，33，43，24），（11，42，22，34），（11，42，33，24），（21，12，33，44），（21，12，43，34），（21，33，13，44），（21，33，43，15），（21，42，13，34），（21，42，33，15），（31，12，22，44），（31，12，43，24），（31，22，13，44），（31，22，43，15），（31，42，13，24），（31，42，22，15），（40，12，22，34），（40，12，33，24），（40，22，13，34），（40，22，33，15），（40，33，13，24），（40，33，22，15），比较可知，所选方格中，（21，33，43，15）的和最大，最大为112. 法二（整体分析法）　先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $