26.抛物线-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 精选2020-2025年全国卷及新高考卷抛物线真题8题，涵盖单选、多选、填空、解答题型，聚焦定义应用与几何性质，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|5题|焦点坐标、准线方程、距离计算|如2021新高考Ⅱ卷3题结合点到直线距离公式| |多选|2题|焦点弦性质、圆与准线位置关系|如2023新高考Ⅱ卷10题综合考查定义与几何证明| |填空|1题|抛物线定义与垂直关系|2021新高考Ⅰ卷14题结合几何直观求解| |解答|1题|焦点弦长度、向量关系|2019全国Ⅰ卷19题考查方程联立与弦长计算|

26.抛物线 1.（2021·新高考Ⅱ卷3题）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　　） A.1　　　　　　　　　　 B.2 C.2　 D.4 解析：选B　抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，解得p＝2或p＝－6（舍去），故选B. 2.（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：C　根据直线y＝－2x＋2得F（1，0），所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B（－1，4），所以A（4，4），所以｜AF｜＝｜AB｜＝5. 3.（2020·全国Ⅲ卷5题）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　） A. B. C.（1，0） D.（2，0） 解析：B　将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D（2，2），E（2，－2），由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为. 4.（2022·全国乙卷5题）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝ ｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A.2 B.2 C.3 D.3 解析：B　法一　如图，由题意可知F（1，0），设A，则由抛物线的定义可知｜AF｜＝＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝＝＝2，故选B. 法二　由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝＝＝2，故选B. 5.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 解析：AC　由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝.B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C. 6.〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（　　） A.｜AD｜＝｜AF｜ B.｜AE｜＝｜AB｜ C.｜AB｜≥6 D.｜AE｜·｜BE｜≥18 解析：ACD　A.直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，故A正确； 法一（通解）　B.当AB⊥x轴时，A（，3），B（，－3），E（－，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝3，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A（x1，y1），B（x2，y2），由得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；D.当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E（－，3m），｜EF｜＝，S△AEB＝｜AE｜｜BE｜·sin∠AEB＝｜AB｜·｜EF｜＝（6＋6m2）·＝9（1＋m2＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，故D正确.故选A、C、D. 法二（优解）　B.以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，故B错误；C.抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜≥2p＝6，故C正确；D.由选项B可知AE⊥BE，如图，设∠AFx＝θ，由S△AEB＝｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝·＝≥2p2＝18，故D正确.故选A、C、D. 7.（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　　　　. 答案：x＝－ 解析：法一（通解）　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－. 法二（优解）　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－. 7.（2019·全国Ⅰ卷19题）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. （1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求l的方程； （2）若＝3，求｜AB｜. 解：设直线l：y＝x＋t，A（x1，y1），B（x2，y2）. （1）由题设得F，故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋. 又｜AF｜＋｜BF｜＝4，所以x1＋x2＝. 由可得9x2＋12（t－1）x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－. 从而－＝，得t＝－. 所以l的方程为y＝x－. （2）由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 故｜AB｜＝. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $