19.空间几何体的结构特征、表面积与体积-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

19.空间几何体的结构特征、表面积与体积

1.（2021·新高考Ⅰ卷3题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）

A.2 B.2

C.4 D.4

解析：B　设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2，故选B.

2.（2020·全国Ⅰ卷3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）

A. B.

C. D.

解析：C　设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am　①，易知h2＋a2＝m2　②，由①②得m＝a，所以＝＝.故选C.

3.（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　）

A.2π B.3π

C.6π D.9π

解析：B　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B.

4.（2021·新高考Ⅱ卷5题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（　　）

A.20＋12　 B.28

C.　 D.

解析：选D　如图，分别取上下底面的中心O1，O，过B1作B1M⊥OB于点M，则OB＝2，O1B1＝，BM＝，B1M＝＝，故四棱台的体积为V＝（S上＋S下＋）h＝×（4＋16＋8）×＝，故选D.

 
 

5.（2022·新高考Ⅰ卷4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（≈2.65）（　　）

A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3

解析：C　如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9（m），所以该棱台的体积V＝×9×（140＋＋180）×106＝60×（16＋3）×106≈60×（16＋3×2.65）×106＝1.437×109≈1.4×109 （m3）.故选C.

6.（2021·新高考Ⅱ卷4题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cos α）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（　　）

A.26% B.34%

C.42% D.50%

解析：C　如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36 000＋6 400＝42 400，cos α＝＝，S占地球表面积的百分比为＝≈42%，故选C.

 

7.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷9题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（　　）

A.该圆锥的体积为π

B.该圆锥的侧面积为4π

C.AC＝2

D.△PAC的面积为

解析：AC　如图，连接PO.在△PAB中，PA＝PB＝2，∠APB＝120°，且点O是AB的中点，∴PO⊥AB，∠APO＝60°，∴PO＝1，OA＝，即圆锥的高h＝1，底面圆的半径r＝.对于A，该圆锥的体积V＝πr2h＝π×（）2×1＝π，则A正确；对于B，该圆锥的侧面积S＝×2πr×PA＝π××2＝2π，则B不正确；对于C，取AC的中点D，连接OD，PD.由OA＝OC，得OD⊥AC.又∵PA＝PC，D为AC的中点，∴AC⊥PD，∴∠PDO为二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO＝45°.又在Rt△POD中，PO＝1，∴OD＝1，∴AC＝2＝2＝2，则C正确；对于D，在Rt△POD中，PO＝1，∠PDO＝45°，∴PD＝，∴△PAC的面积S＝×AC×PD＝×2×＝2，则D不正确.故选A、C.

8.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷11题）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（　　）

A.V3＝2V2 B.V3＝V1

C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1