5.平面向量-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编2020-2025年新高考及全国卷平面向量真题共12题，覆盖线性运算、数量积等核心考点，适配高考复习对基础巩固与能力提升的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8题|线性运算（2020新高考Ⅱ卷3题）、数量积（2024新高考Ⅰ卷3题）、模长计算（2024新高考Ⅱ卷3题）|注重基础方法，如坐标法与几何法结合（2022新高考Ⅱ卷4题）| |选择题（多选）|1题|向量坐标与数量积（2021新高考Ⅰ卷10题）|考查综合辨析能力，结合三角函数背景| |填空题|3题|向量垂直（2025全国Ⅱ卷12题）、模长与数量积综合（2023新高考Ⅱ卷13题）、实际应用（2025全国Ⅰ卷6题帆船风速）|体现高考命题趋势，如实际情境应用（帆船风速问题）和工具性（坐标系与圆综合，2022北京高考10题）|

5.平面向量 1.（2020·新高考Ⅱ卷3题）若D为△ABC的边AB的中点，则＝（　　） A.2－ B.2－ C.2＋ D.2＋ 解析：A　∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝（＋），∴＝2－.故选A. 2.（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：D　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. 3.（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A. B. C. D.1 解析：B　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. 4.（2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（　　） 级数 名称 风速大小（单位：m/s） 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 解析：A　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈（1.6，3.3），故选A. 5.（2023·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（　　） A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1 D.λμ＝－1 解析：D　因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因为（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 6.（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 解析：C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 7.（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 解析：B　法一　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋ 3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B. 8.（2022·北京高考10题）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是（　　） A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6] 解析：D　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2＋y2＝1，＝（3－x，－y），＝（－x，4－y），所以·＝x2－3x＋y2－4y＝＋（y－2）2－，又＋（y－2）2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心（0，0）到点的距离为，所以·∈［（－1）2－，－］，即·∈[－4，6]，故选D. 9.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷10题）已知O为坐标原点，点P1（cos α，sin α），P2（cos β， －sin β），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　　） A.｜｜＝｜｜ B.｜｜＝｜｜ C.·＝· D.·＝· 解析：AC　由题可知，｜｜＝＝1，｜｜＝＝1，所以｜｜＝ ｜｜，故A正确； 取α＝，则P1，取β＝，则P2，则｜｜≠｜｜，故B错误； 因为·＝cos（α＋β），·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos（α＋β），所以·＝·，故C正确； 因为·＝cos α，·＝cos βcos（α＋β）－sin βsin（α＋β）＝cos（α＋2β），取α＝，β＝，则·＝，·＝cos ＝－，所以·≠·，故D错误.故选A、C. 10.（2025·全国Ⅱ卷12题）已知平面向量a＝（x，1），b＝（x－1，2x），若a⊥（a－b），则｜a｜＝　　　　. 答案： 解析：a－b＝（1，1－2x），根据a⊥（a－b），得a·（a－b）＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以｜a｜＝. 11.（2021·新高考Ⅱ卷15题）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝　　　　. 解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－. 答案：－ 12.（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 答案： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $