5.平面向量-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

5.平面向量

1.（2020·新高考Ⅱ卷3题）若D为△ABC的边AB的中点，则＝（　　）

A.2－ B.2－

C.2＋ D.2＋

解析：A　∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝（＋），∴＝2－.故选A.

2.（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）

A.－2 B.－1

C.1 D.2

解析：D　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.

法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.

3.（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　）

A. B.

C. D.1

解析：B　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.

4.（2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（　　）

图1

A.轻风 B.微风

C.和风 D.劲风

解析：A　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈（1.6，3.3），故选A.

5.（2023·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（　　）

A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1

C.λμ＝1 D.λμ＝－1

解析：D　因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因为（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故选D.

6.（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　）

A.－6 B.－5

C.5 D.6

解析：C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.

7.（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　）