专题02 勾股定理及勾股定理的逆定理（3大考点期末真题汇编，吉林专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 专题聚焦勾股定理及逆定理，汇编吉林多校期末真题，覆盖三大高频考点，注重基础巩固与实际应用结合 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|20题|勾股定理计算、逆定理判定|融入赵爽弦图、古埃及画直角等文化素材| |填空|8题|坐标系距离、图形面积计算|结合数轴表示无理数等几何直观问题| |解答|19题|实际应用（测量、航海）|设计秋千绳索、旗杆高度等生活化情境，体现数学建模|

专题02 勾股定理及勾股定理的逆定理 3大高频考点概览 考点01 勾股定理 考点02 勾股定理的逆定理 考点03勾股定理（逆定理）的应用 考点01 勾股定理 1．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)在中，，，，则a的值是（　　） A．8 B．6 C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，此题需先确定斜边，然后再根据勾股定理进行计算，确定斜边是解本题的关键． 利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴斜边为a， ∵，， ∴． 故选：D． 2．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 3．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)如图，一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，O为坐标原点，则的周长为（　　　） A．12 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出，，的长是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用勾股定理，可求出的长，再结合三角形的周长公式，即可求出的周长． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 在中，，，， ∴ ， ∴的周长为 ． 故选：B． 4．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在Rt中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线与相交于点，连接．若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意． 根据题意得出是线段的垂直平分线，再由勾股定理确定，即可求解． 【详解】解：由已知可得：是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， 故选：C． 6．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据点A的坐标为，得到，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据点A的坐标为，得到， 故选：B． 7．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质．解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，是解决问题的关键． 直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案． 【详解】∵菱形的对角线相交于点O， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故选：D． 8．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 9．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，则图中的阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是根据线段之间的关系，求出，根据勾股定理求出，再根据图中的阴影部分的周长为，即可． 【详解】∵直角三角形的长直角边为，短直角边为， ∴，， ∴， ∴， ∴图中的阴影部分的周长为， 故选：B． 10．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理定义判断直角三角形即可． 【详解】设每个小正方形的边长为1， A、三边长为：，，3 ，不是直角三角形，此选项不符合题意 B、三边长为：，， ，不是直角三角形，此选项不符合题意 C、三边长为：，， ，不是直角三角形，此选项不符合题意 D、三边长为：，， ，是直角三角形，此选项符合题意 故选：D． 11．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，，则边的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，在根据勾股定理求出． 【详解】 ，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 12．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理求解． 【详解】要构成直角三角形，则第三边平方 ∴第三边； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 13．(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm 【答案】B 【分析】根据题意可得CD是AB的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AD长，进而可得BD长，从而可得答案． 【详解】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AD==13（cm）， ∴BD=13cm， ∴AD+BD=26cm， ∵AB=24cm， ∴该弹性皮筋被拉长了：26-24=2（cm）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题抽象出直角三角形，并熟练掌握勾股定理． 14．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边_____． 【答案】48 【分析】利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，， ， 故答案为：48 【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的计算是解题的关键． 15．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 【详解】如图： ， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 16．(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，，，则正方形的面积为______． 【答案】16 【分析】由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方形的面积之和等于最大的正方形的面积．即据此可求． 【详解】解：设正方形纸片，，的边长分别为，，则，，． 由题意可得，、、恰好为阴影部分的三角形的三边， 阴影部分的三角形是直角三角形． ． 即． ，． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方． 17．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为_____．      【答案】 【分析】根据勾股定理，在Rt△OAB中，可求得OB的长，从而得出点C所代表的实数． 【详解】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝， ∴点C所表示的实数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，只需在Rt△OAB中求解出OB的长度即可． 18．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，是的高，是的中线．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：， ， ，， ， 是中线， ∴E是的中点， 是斜边上的中线， ． 故答案为：． 考点02 勾股定理的逆定理 19．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 20．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足 （其中为最长边），则该三角形为直角三角形． 根据勾股定理逆定理依次验证各选项即可． 【详解】解：A、，故不能能构成直角三角形，不符合题意； B、，故不能能构成直角三角形，不符合题意； C、，故能构成直角三角形，符合题意； D、，故不能能构成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 21．(24-25八下·吉林辽源·期末)下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．5，6，8 B．5，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：A. 三边为5、6、8，最长边为8．计算，而，不满足勾股定理，排除． B. 三边为5、4、9，因，不满足三角形三边关系（两边之和需严格大于第三边），直接排除． C. 三边为5、12、13，最长边为13．计算，与相等，满足勾股定理，为直角三角形． D. 三边为5、11、12，最长边为12．计算，而，不相等，排除． 故选：C． 22．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算． 【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 23．(24-25八下·吉林敦化·期末)下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状，根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答 【详解】解：A.，故能构成直角三角形，符合题意； B.，故不能构成直角三角形，不符合题意； C.，故不能构成直角三角形，不符合题意； D.，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A 24．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)在中，，，．D是边中点，E是边中点，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理．根据勾股定理逆定理，可得 ，再由直角三角形的性质，三角形中位线定理，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ，故A，B选项错误； ∵D是边中点，E是边中点， ∴，，故C选项正确；D选项错误； 故选：C 25．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)以下列线段为边，不能组成直角三角的是（   ） A．，， B．1，2， C．3，4，5 D．5，12，13 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，， ， 以，，为边不能构成直角三角形，故符合题意； B、，以1，2，为边能构成直角三角形，故不符合题意； C、，以3，4，5为边能构成直角三角形，故不符合题意； D、，以5，12，13为边能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 26．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)以下列长度作为三边构建三角形，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．，，5 C．2，2， D．1，2， 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、由于，所以不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、由于，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选择：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 27．(24-25八下·吉林桦甸·)下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 28．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)下列线段的长不能构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．2，3， C．4，7，5 D．1，， 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵22+()2=32，∴能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项正确； D、∵12+=，∴能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 29．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)如图，是一块四边形绿地的示意图，其中米，米，米，米，，求四边形绿地ABCD的面积． 【答案】234平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 连接，根据三角形面积公式求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，米，米， 平方米， 在中，， 则， 在中，米，米， ， ， ， （平方米）， （平方米）． 30．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)在平行四边形 中，，，．请判定四边形 是哪种特殊的平行四边形？并说明理由．      【答案】菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形四边形的判定，勾股定理逆定理的应用，利用平行四边形的性质得出，再根据勾股定理逆定理得出，进一步即可得出四边形时菱形． 【详解】解：四边形时菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形，，， ， 是直角三角形， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形时菱形． 31．(24-25八下·吉林桦甸·)如图，已知在中，，是上一点，且， (1)求证：是直角三角形； (2)求的长 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，从而证明是直角三角形； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即是直角三角形； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 即的长是． 【点睛】此题主要考查勾股定理以及其逆定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的内容． 考点03 勾股定理（逆定理）的应用 32．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝______． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，连接，利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵圆形水杯的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵木棍长， ∴， 故答案为：5． 33．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距______海里． 【答案】30 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图，由已知得，海里，海里， 在中，由题意得，， 由勾股定理得， 即， （海里）． 故答案为：30． 34．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得． 在中， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 35．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 36．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)小明需后退 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． （2）解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 37．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 38．(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，    ∴此时的(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 39．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 40．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】C 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 41．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为______． 【答案】2.5 【分析】可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 答：绳索的长度为， 故答案为：． 42．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？大意是：如图，秋千静止时，踏板离地面尺；将秋千的踏板向前推动2步（即步）时，踏板就和推秋千的人一样高，尺．求秋千的绳索长是多少？（步尺） 【答案】秋千的绳索长是尺 【分析】此题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，如图，过点作于点，可得四边形是矩形，得到尺，尺，设秋千的绳索长为尺，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 由题意可得，尺，尺，尺， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴尺，尺， 设秋千的绳索长为尺，则，， 在中，， ∴， 解得， 答：秋千的绳索长为尺． 43．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．求绳索的长度． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．求出，在中，，，设秋千的绳索长为，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得： 即绳索的长度． 答：秋千的绳索长为． 44．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 45．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查二次根式的实际应用，勾股定理，熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键： （1）直接利用公式求出三角形的面积即可； （2）利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 46．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该婴儿车符合安全标准，见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】解：∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 47．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； （2）解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 21 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 勾股定理及勾股定理的逆定理 ☆3大高频考点概览 考点01勾股定理 考点02勾股定理的逆定理 考点03勾股定理（逆定理）的应用 目目 考点01 勾股定理 1.(2425八下·吉林吉林第七中学校期末)在Rt△ABC中，∠A=90°，b=6,c=10,则a的值是() A.8 B.6 C.10 D.2W34 2.(24-25八下吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90。,分别以各边为直 径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC=2,AB=2√5时，则阴影部分 的面积为() A.8t B.8 C.4π D.4 3.(24-25八下·吉林吉林第五中学期末)如图，一次函数y=2x+4与x轴相交于点A,与y轴相交于点B, O为坐标原点，则△OAB的周长为() B A.12 B.6+2V5 C.6+5 D.6 4.(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学期末)下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形 得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积.其中S的值恰好等于10的是() 1/12 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 8 15 15 A. B D 5.(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.分别以点A和点B为圆心，大 于AB的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点，作直线PQ与AB相交于点D,连接CD.若AC=2, BC=4,则CD的长为() A.5 B.2 c.5 D. 6.(24-25八下吉林四平铁西区期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，若点A的坐标为(1，V5),则0A 的长为() /A(1,V3)） 2 A.1 B.2 c.5 D.2 7.(24-25八下·吉林吉林第十三中学期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点. 若AC=8,BD=6,则0E的长为() D A.5 B.4 C.3 D.号 8.(24-25八下·吉林吉林永吉县期末)在平面直角坐标系中，点P(-2,-3)到原点的距离为() 2/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.13 B.V10 c.7 D.5 9.(24-25八下·吉林松原前郭县四校期末)如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小 正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段 得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，则图中的阴影部分的 周长为() 图① 图② A.85+24B.813+24 C.813+32 D.8V5+32 10.(24-25八下·吉林松原前郭县四校期末)下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上， 其中是直角三角形的是() A B C D. 11.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB=30°， AB=2,则边AD的长为() D B A.2y5 B.2 c.5 D.1 12.(24-25八下.吉林吉林龙潭区·期末)用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边 分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为() A.12 B.10 C.8 D.6 13.(2425八下·吉林吉林吉化第九中学校期末)如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然 后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D,如果皮筋自然长度为24cm,则此时该弹性皮筋被拉长了() 3/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B C A.1cm B.2cm C.3cm D.5cm 14.(24-25八下，吉林敦化期末)如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为26cm,底边上的 高为10cm,则底边BC=cm. 26cm 10cm B 15.(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，AC=BC,根据图中所标识的数据可知数轴上点B所 表示的数是· 2 -1 B 16.(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校期末)用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围 成阴影部分的三角形是直角三角形，S1=9,S3=25,则正方形S2的面积为· S2 S3 17.(24-25八下·吉林吉林第十三中学期末)如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A,过点A 作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB,以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴 于点C,则点C所表示的实数为· -2-10123456 18.(2425八下·吉林敦化期末)如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线.若AD=12, 4/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 BD=16,求DE的长. 目目 考点02 勾股定理的逆定理 19.(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角 便是直角.这样做的道理是() (1)13) (12) (2)1 (11) (10) (3)1 9) (4)上向)8) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D.如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 20.(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角 形的是() A.2,3,4 B.3,4,6 C.6,8,10 D.7,24,26 21.(24-25八下·吉林辽源期末)下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是() A.5,6,8 B.5,4,9 C.5,12,13 D.5,11,12 22.(2425八下·吉林松原前郭县南部学区期末)已知一个三角形的三边长分别为√41、4、5，则此三角形 的面积为() A.20 B.10 C.2y41 D.54 2 23.(24-25八下·吉林敦化期末)下列各组数中，能构成直角三角形的是() A.1,1,2 B.4,5,6 C.5,12,23 D.6,8,11 24.(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5.D是AC边中 5/12 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点，E是AB边中点，下列结论中，正确的是() A.∠A=30°B.∠C=90 C.BD=2.5 D.ED=2.5 25.(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学期末)以下列线段为边，不能组成直角三角的是（) A.V5,4,5B.1,2,3 C.3,4,5 D.5,12,13 26.(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学.期末)以下列长度作为三边构建三角形，能构成直角三角形的是 () A.2,3,4B.2,5,5 C.2,2,2V3 D.1,2,5 27.(24-25八下·吉林桦甸)下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（) A.1,4,5 B.6,22,V14 C.4,5,6 D.11,13,15 28.(24-25八下·吉林吉林第十三中学期末)下列线段的长不能构成直角三角形的是() A.5,12,13B.2,3,V5 C.4,7,5 D.1,2,5 29.(24-25八下·吉林四平伊通县期末)如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB=24米，BC=20米， CD=15米，AD=7米，∠C=90·,求四边形绿地ABCD的面积. B 30.(24-25八下吉林松原前郭县南部学区期末)在平行四边形ABCD中，AB=4,AC=6,BD=2√7 .请判定四边形ABCD是哪种特殊的平行四边形？并说明理由 ○ 31.(24-25八下·吉林桦甸)如图，已知在△ABC中，AB=AC=13cm,D是AB上一点，且 CD=12cm,BD=8cm 6/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)求证：△ADC是直角三角形： (2)求BC的长 目目 考点03 勾股定理（逆定理）的应用 32.(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，一根木棍长18cm,斜放在直径5cm的圆形水杯中， 水杯的高AC的高为12cm,则露出水杯外的部分AD的长为= cm. D 33.(24-25八下·吉林四平伊通县期末)一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船 在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里 34.(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西33°方向， 且与货轮M相距6 nmile.同时，在它的南偏东57。方向又发现客轮B,且与货轮M相距8 nmile,求此时 灯塔A与客轮B的距离.(nmile:海里) 北 东 35.(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)某人欲从一条河岸边的点A,划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸 岸边的点B,由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离45m,已知他在水中实际划了75m.(假 设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线) (1)画出符合题意的图形： (2)求该河流的宽度AB, 36.(2425八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系 在旗杆项端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗 7/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 杆底部B的距离为9米. (1)求旗杆AB的高度； (②)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落 在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？ 37.(2425八下·吉林吉林第三十二中学校期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其 中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈， 芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与 水面平齐，即0C=0E,求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺). D (1)求水池的深度OD: (②)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现 代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n(n<a),则水池的深度 0D(0D=b)可以通过公式b=罗计算得到.请证明刘徽解法的正确性。 38.(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校期末)小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高 度CE,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. 8/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D E (1)求风筝的垂直高度CE: (2)如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位， 5≈1.73，V2≈1,41) 39.(2425八下·吉林白山长白朝鲜族自治县期末)如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一 男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点B,同时小船从点A移动到点B,且绳长始终保持不变， 回答下列问题： (1)根据题意，可知AC BC+CE(填“>“<“=”)； (2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE(结果保留根号)· 40.(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m,某钓 鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC长度为8米，则BB的 长为() 5 A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 41.(24-25八下·吉林吉林第七中学校期末)荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用 所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面 9/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 的垂直高度BC=0.5m,将踏板往前推送，使秋千绳索到达点D的位置，测得推送的水平距离为2m,即 DE=2m,此时秋千踏板离地面的垂直高度DF=1.5m,那么绳索AB的长度为m. E 42.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起， 踏板离地一尺.送行二步与人齐，五尺人高曾记.良工高士素好奇，算出索长有几？大意是：如图，秋千 静止时，踏板离地面AC=1尺；将秋千的踏板向前推动2步（即CD=2步）时，踏板就和推秋千的人一 样高，BD=5尺.求秋千的绳索长是多少？(1步=5尺) 0 C D 43.(2425八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动.小亮想 利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度.如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离 地面的垂直高度BC=1m,将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为4m,即 DE=4m·此时秋千踏板离地面的垂直高度DF=3m.求绳索AB的长度. B C F 44.(24-25八下·吉林敦化期末)如图，连接A,B两城市的是一条东西走向的公路AB,C,D为两座工厂， 且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库.从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂 D,己知AC=15km,CD=12km,AD=9km 10/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 >东 B (I)试通过计算说明CD长是工厂C到公路AB的最短距离： (2)若AB=BC,求工厂C到B市的距离， 45.(24-25八下·吉林白城通榆县期末)秦九韶(1208年~1268年)，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱 世杰并称宋元数学四大家.他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学 家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”.它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是α，b,c,记 p=,为三角形的面积，那么S=Vp(p-a)(p-b)(p-c). B (1)在△ABC中，BC=5,AC=6,AB=7,请用上面的公式计算△ABC的面积； (2)如图，在△ABC中，AB=9,AC=8,BC=7,BD⊥AC,垂足为D,求AD的长 46.(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图.现测得 AB=CD=8dm,BC=4dm,AD=12dm,其中AB与BD之间由一个固定角为90°的零件连接（即 ∠ABD=90·)·根据安全标准需满足BC⊥CD,请你通过计算说明该车是否符合安全标准， 图1 图2 47.(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区期末)如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的 垂直高度DE为0,7m,将秋千AD往前推送4m(即BC为4m),到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地 的垂直高度BF为2.7m,秋千的绳索始终保持拉直的状态 11/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)求秋千的长度. (2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送 m 12/12耐学科网 专题02 目目 考点01 勾股定理 1 【答案】D 2. 【答案】D 【答案】B 4. 【答案】D 5. 【答案】C 6. 【答案】B 7. 【答案】D 【答案】A 9. 【答案】B 10. 【答案】D 11. 【答案】A 12. 【答案】B 13 【答案】B 14. www.zxxk.com 让教与学更高效 勾股定理及勾股定理的逆定理 1/11 命学科网 【答案】48 15. 【答案】V6-1/-1+V6 16. 【答案】16 17. 【答案】7 18. 【详解】解：：AD⊥BC, ·∠ADB=90°， :AD=12,BD=16, AB=VAD2+BD2=20. :CE是中线， .E是AB的中点， ·DE是斜边AB上的中线， ·DE=克AB=10, 故答案为：10. 目目 考点02 勾股定理的逆定理 19. 【答案】D 20. 【答案】C 21. 【答案】C 22. 【答案】B 23. 【答案】A w.Zxx k com 2/11 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk com 让 24. 【答案】C 25. 【答案】A 26. 【答案】D 21 【答案】B 28 【答案】C 29. 【答案】234平方米 30. 【详解】解：四边形ABCD时菱形，理由如下： :四边形ABCD是平行四边形，AC=6,BD=2√7， 0A=支AC=3,0B=BD=V7 :042+082=32+(2=16,AB2=42=16. 0A2+0B2=AB2 ·△AOB是直角三角形， ·AC⊥BD 又.四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD时菱形. 31. 【详解】(1)证明：AB=13cm,BD=8cm, ∴AD=AB-BD=5cm, AC=13cm,CD =12cm, AD2+CD2=AC2, ∠ADC=90°， 即△ADC是直角三角形； 3/11 教与学更高效 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：在Rt△BDC中，∠BDC=180°-90°=90°，BD=8cm,CD=12cm, 由勾股定理得：BC=VBD2+cD2=V82+122=4W13(cm), 即BC的长是4V13cm. 【点晴】此题主要考查勾股定理以及其逆定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的 内容. 目目 考点03 勾股定理（逆定理）的应用 32. 【答案】5 33. 【答案】30 34. 【详解】解：由题意，得∠AMB=33·+57·=90°. 在Rt△AMB中， 北 东 M A7----- B B=VAM2+BM2=V62+82=10(nmile) 答：此时灯塔A与客轮B的距离为10 nmile. 35. 【详解】(1)解：如图所示 (2)解：由题意知，AB1BC,AC=75m,BC=45m, 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=VAC2-BC=V752-452=60m 答：该河流的宽度为60米 36. 4/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：设旗杆AB的高度为xm,则AC=(x+3)m, 在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2, x2+92=(x+3)2, 解得：x=12, 答：旗杆AB的高度为12m (2)解：过E作EM⊥AB重为M, M B 则∠MEB=∠MBD=∠EDB=90o, .四边形BDEM为长方形， ∴.MB=ED=2m,BD=ME, "AB=12m, ·AM=12-2=10m,AE=12+3=15m, 在Rt△AME中，∠AME=90°， 由勾股定理得：ME=VAE2-AM2=152-102=55(m, :cD=(5v5-9m 答：小明需后退(5V5-9)m. 37. 【详解】(1)解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为OC=OD+CD=(x+1)尺， 由题意有：OE=0C=(x+1)尺； :0为AB中点，且AB=1丈=10尺， ·0A=克AB=克X10=5(尺)： 在Rt△EA0中，由勾股定理得：AB2+0A2=0E2, 5/11 耐学科网 www.zxxk.com 即x2+52=(x+1)2, 解得：x=12: 即0D=12尺： 答：水池的深度0D为12尺； (2)证明：水池深度0D=b,则芦苇高度为OC=OD十CD=b十n, 由题意有：OE=0C=b十n; :O为AB中点，且AB=2a, :0A=支AB=a; 在Rt△EA0中，由勾股定理得：AB2+0A2=0E2, 即b2+a2=(b+n)2, 整理得：b=密， 表明刘徽解法是正确的. 38. 【详解】(1)解：由题意可知：BD=5米，CD⊥BD,AB=DE=1.6米 在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=132-52=144, ∴.CD=12（负值已舍去)， ·CE=CD+DE=12+1.6=13.6米， 答：风筝的垂直高度CE为13.6米； (2):风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变，如图， B D 77777777 此时的CD=12-7=5(米)， 即此时在Rt△CDB中，BD=5米，有BC=VCD2+BD2=V52+52 6/11 让教与学更高效 5V2≈7.05（米）， 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 相比下降之前，BC缩短长度为13-7.05=5.956（米）， 他应该往回收线6米。 39. 【详解】(1)解：：AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE的长度是男孩拽之后的绳子长，绳 长始终保持不变， AC=BC+CE (2)解：连接AB,则点A、B、F三点共线， E B 在Rt△CAF中，AC=VAF2+CF=V122+52=13(米)， :BF=AF-AB=12-4=8(米)， 在Rt△CBF中，BC=VCF2+BF2=V52+82=V89(米)， “AC=BC+CE, :CE=AC-BC=(13-V89)(米)， :男孩需向右移动的距离为(13-V89)米。 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键， 40. 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=10m,BC=6m, :AB=VAC2-BC2=V102-62=8(m), 在Rt△ABC'中，AC=10m,BC=8m, AB'=VAC2-B'C2=V102-82=6(m). BB=AB-AB=8-6=2(m); 故选：C. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方， 41. 【详解】解：：EC=DF=1.5m,BC=0.5m, 7/11 学科网 www.zxxk.com .EB=EC-BC=1m, 在Rt△AED中，AD2=AE2+ED2,ED=2m, 设秋千的绳索长为xm,则AE=(x-1)m, 故x2=22+(x-1)2, 解得：x=2.5 答：绳索AB的长度为2.5m, 故答案为：2.5 42. 【详解】解：如图，过点B作BE⊥OA于点E,则∠BEC=∠OEB E----) B 由题意可得，AC=1尺，BD=5尺，CD=10尺， :EC⊥1，BD⊥1， ∴∠ECD=∠CDB=90°， 四边形ECDB是矩形， .EB=CD=10尺，EC=BD=5尺， 设秋千的绳索长为x尺，则OA=OB=x,OE=OA十AC-EC= 在Rt△0EB中，0B2=0E2+EB2, x2=(x-4)2+102, 解得x=14.5, 答：秋千的绳索长为14.5尺. 43. 【详解】解：：EC=DF=3,BC=1, :EB=EC-BC=2, 在Rt△AED中，AD2=AE2+ED2,ED=4, 设秋千的绳索长为xm,则AE=(x-2)m, 8/11 让教与学更高效 =90°， X+1-5=x-4, 耐学科网 www .zxxk.com 故x2=42+(x-2)2, 解得：x=5 即绳索AB的长度， 答：秋千的绳索长为5m 44. 【详解】(1)解：：AC=15km,CD=12km,AD=9km. 且AC2=152=122+92=CD2+AD2, .∠ADC=90°， CD⊥AB, 根据垂线段最短， :CD长是工厂C到公路AB的最短距离， (2)解：设AB=BC=x,则BD=AB-AD=(x-9)km, 根据勾股定理，得x2=(x-9)2+122, 解得x=12.5, 答：工厂C到B市的距离为12.5km. 【点晴】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理， 的逆定理是解题的关键， 45. 【详解】(1)解：“BC=5,AC=6,AB=7, p=+942=9, :S=V9×(9-5)×(9-6)×(9-7)=66, (2)AB=9,AC=8,BC=7, p=442=12, :S=V12×(12-9)×(12-8)×(12-7)=12W5, :BD⊥AC, :S=ACBD=支×8BD=12W5, BD=35, 9/11 让教与学更高效 解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABD中，AD=NAB2-BDZ=6. 46. 【详解】解：：∠ABD=90 :在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2+BD2=AD2, 图2 82+BD2=122 BD2=80 :BC2=42=16,CD2=82=64, BC2+CD2=80, :BC2+CD2=BD2. ∴∠BCD=90°，即BC⊥CD .该婴儿车符合安全标准。 47. 【详解】(1)解：由题意得BF=2.7m,BC=4m,DE=0.7m, :∠BCD=∠CEF=∠BFE=90°， .四边形BCEF是矩形， :CE=BF=2.7m,CD CE-DE=2.7-0.7=2m. 设秋千的长度为xm,则AB=AD=xm,AC=AD-CD=(x-2m. 在Rt△ABC,根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2, 即x2=(x-2)2+42, 解得x=5 所以秋千得长度为5m: (2)解：当BF=1.7m时，CE=1.7m,则CD=1.7-0.7=1m,得AC=5-1=4m, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2, 10/11 耐学科网 即52=42+BC2, 解得BC=3 所以将秋千往前推送3m 故答案为：3. www.zxxk.com 11/11 让教与学更高效