广西北流中学等校2026届高三下学期5月诊断数学试题

2026届高三5月诊断数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 3．“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 5．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．已知等差数列中，，，则（ ） A．2025 B．2026 C．2048 D．4052 7．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 8．某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：关于的回归直线方程中，， A．， B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 10．已知函数，，则下列选项正确的是（ ） A．为偶函数 B．， C．曲线在点处的切线斜率为 D．，不等式恒成立 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，、，点是以为直径的圆上的一个动点，在射线上取点，使得，则（ ） A． B．有最大值 C． D．抛物线与圆有且只有一个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式的第8项的系数为__________（结果用数值表示）． 13．已知函数的图象关于直线对称，则可以为__________．（写出一个符合条件的即可） 14．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体．若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生女生人数之比为，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 18．（17分）已知点在椭圆上，椭圆的右焦点，直线过椭圆的右顶点，与椭圆交于另一点，与轴交于点． （1）求椭圆的方程； （2）若为弦的中点，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，交椭圆于点，求的取值范围． 19．（17分）已知，函数，． （1）当时，求的极值； （2）若存在零点． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月诊断数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A B A C B D B A AC ACD ABD 960 （不唯一） 15．（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：（2分） 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联．（3分） ，（6分） ∴依据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联．（7分） （2）设事件为“抽取的学生喜欢人工智能应用”，事件为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”，（8分） 将样本的频率视为概率，则，，（9分） ，，（11分） 由全概率公式得，（13分） 所以已知该生喜欢人工智能应用的概率为． 16．（1）证明：连接交于点，连接，（1分） 因为为菱形，则为的中点，又因为为的中点，在三角形中， ，（2分） 且平面（3分），平面，（4分） 所以平面．（5分） （2）建立如图所示坐标系，（6分） 则，，，，，（7分） 可得，，，（8分） 设平面法向量， 则，令，则（10分） 设平面法向量， 则，令，则（12分） 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 17．（1）已知，故，当时，．（1分） 因为，代入， 整理得．（3分） 因此是首项为2、公比为2的等比数列，（4分） 所以，故．（5分） （2）①（6分） 两边同乘得②（7分） ①-②得，，（8分） 整理得．（10分） （3）由得，设，对任意正整数恒成立， 只需的最大值．（11分） （12分）， 当时，，即（13分）； 当时，，即，（14分） 故最大值为．（15分） 因此的取值范围为． 18．（1）由题意，（1分）解得，（2分）所以椭圆的方程为．（3分） （2）存在定点符合题意；（4分） 由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程，（5分） 联立，整理可得，（6分） 设，则，（7分）则，， 所以，由为弦的中点，则，（8分） 所以直线的斜率；直线的方程，令，则，（9分） 假设存在定点，，满足，直线的斜率， 所以，整理得，（11分） 由恒成立，则，解得，故定点的坐标为．（12分） （3）由，则直线的方程，设， 由，解得，（13分） 由平行线的性质可得， ，（15分） 令，则，因为对勾函数在上单调递增，（16分） 所以的取值范围是．（17分） 19．（1）时，，（1分） 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值．（2分） 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，（3分） 函数的极小值是，无极大值．（4分） （2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，（5分） ，（6分） ①若，单调递增，此时不存在零点；（7分） ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在，， 所以在上为减函数，在上为增函数，（9分） 故，解得（11分），故．（11分） （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故．（12分） 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离，（13分） ，所以， 时，要证，只需证，（14分） 解法一：即证． 令，，则， 令，，故，在上为增函数，故． 即，在上为增函数，故，故，即成立．（17分） 解法二：令，则， 令，得，单调递减， 令，得，单调递增， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $