云南澄江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 立足高二下学期核心知识，通过原创立体几何存在性问题、抛物线隧道应用等情境，融合复数、数列、概率等模块，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、集合运算、菱形向量关系|改编题占比25%，基础概念与几何直观结合| |多选题|3/18|数列前n项和、三角函数图像、欧拉线与圆|融合数学史（欧拉），考查批判性思维| |填空题|3/15|直线方程、向量垂直、双曲线离心率|聚焦运算能力，覆盖解析几何核心| |解答题|5/77|数列证明与求和、概率分布列（村BA情境）、立体几何存在性、抛物线应用、函数单调性|原创题占40%，含实际应用（隧道抛物线）与探究性问题，梯度覆盖基础到创新|

澄江市第一中学高二年级数学下学期期中考试试卷 考试时间：120分钟；命题人：赵丽 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． （改编）2．已知集合则（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知f（x）是R上的奇函数，当时,，则=（    ） A． B． C．1 D．﹣1 (改编)5．已知等差数列的前项和为，若， ,则（    ） A． B． C．1 D． 6．关于的不等式：的解集为（   ） A． B． C． D． (原创)7．如图，直三棱柱，，，,直三棱柱的体积为，则面与面所成的角为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的右焦点为F，直线l：，点，线段AF交椭圆C于点B，若，则＝(　　) A． B．2 C． D．3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前n项和为 , ，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．过点 且垂直于的直线方程为_______ 13．已知平面向量若，则___________ 14．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列满足，且（）. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 16．（15分）“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. （原创）17．（15分）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1) 证明:直线FC//平面 (2) 是否在线段存在一点P，使得平面，若存在，求出AP的长度，若不存在，请说明理由？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 19.（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 澄江市第一中学高二年级数学下学期期中考试试卷细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 核心素养 1 单选题 5 复数代数形式的四则运算，虚部概念 0.85 数学运算 2 单选题 5 集合的基本运算，解方程 0.8 数学运算 3 单选题 5 平面向量的线性运算 0.7 直观想象 4 单选题 5 函数奇偶性，对数运算 0.7 数学运算 5 单选题 5 等差数列通项公式，前n项和公式 0.7 数学运算，逻辑推理 6 单选题 5 一元二次不等式（分式不等式） 0.6 数学运算 7 单选题 5 空间几何体的体积，二面角的平面角 0.5 直观想象 8 单选题 5 椭圆与直线的位置关系，向量坐标运算 0.3 直观想象，数学运算 9 多选题 6 等差数列前n项和性质，最值 0.7 数学运算，逻辑推理 10 多选题 6 y= sin(ωx+φ)的图像与性质 0.6 直观想象，数学运算 11 多选题 6 直线与圆的位置关系 0.4 直观想象，逻辑推理 12 填空题 5 直线方程，垂直关系 0.9 数学运算 13 填空题 5 平面向量垂直，模坐标运算， 0.7 数学运算 14 填空题 5 双曲线的定义，离心率 0.5 直观想象，数学运算 15 解答题 13 证明等比数列，等比数列前n项和公式 0.75 数学运算 16 解答题 15 全概率公式，分布列，期望 0.6 数学抽象，逻辑推理 17 解答题 15 线面平行的判定定理，面面垂直用法向量判定 0.6 直观想象，逻辑推理 18 解答题 17 抛物线的方程，及方程的应用，不等式 0.6 直观想象，逻辑推理 19 解答题 17 利用导数求切线方程，讨论单调性，求极小值 0.4 数学抽象，逻辑推理 $ 《澄江市第一中学高二年级数学下学期期中考试试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C D B C A AC BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得解. 【详解】， 的虚部是. 故选：. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，要注意的是虚部不含，是基础题. 2．D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 3．D 【分析】 根据向量相等的定义判断A，根据向量的加法减法运算法则判断BCD. 【详解】 对于A，因为向量方向不同，所以，故A错； 对于B，，故B错； 对于C，根据向量加法的平行四边形法则知，，故C错； 对于D，根据向量减法运算可知，，故D对. 故选：D 4．C 【分析】利用奇函数和周期性将f（﹣）转化为﹣f（），代入对应解析式计算即可得出结果. 【详解】∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣log2=1. 故选：C． 5．D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又 =d, 故选：D 6．B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【详解】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 7．C 【分析】 如图，直三棱柱，，得 ，,得AC=，直三棱柱的体积为，可求得高则面与面所成的角为, 所以，面与面所成的角 故选：C. 8．A 【分析】设点，，易知F(1,0)，根据，得，，根据点B在椭圆上，求得n=1，进而可求得 【详解】根据题意作图：    设点，． 由椭圆C： ，知，，， 即，所以右焦点F(1,0)． 由，得． 所以，且. 所以，. 将x0，y0代入， 得.解得， 所以. 故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键. 9．AC 【分析】A选项，为首项为32，公差为的等差数列，从而得到，利用得到，，A正确；B选项，根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可知B错误；C选项，配方得到，C正确；D选项，解不等式，求出答案. 【详解】A选项，因为，， 所以为首项为32，公差为的等差数列， 所以， 则， 当时，， 当时，， 显然，即满足上式， 从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 故选：AC 10．BC 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 11．BC 【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值；B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆上有且只有两个点到的距离，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论. 【详解】由题意， 的三个顶点坐标分别为，， 在圆中，，半径 ， A项， 过作圆的切线，切点为，如图所示， ∴, 在中，由勾股定理得， ∴ ∴当时，取最小值，，故A错误； B项， 重心坐标即, 所在直线，即 线段的中点, ∴的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， ，解得：， ∴外心 由几何知识得，垂心与外心重合， ∴过和，，即， 直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径， ∴直线过圆心， ∴，即，B正确； C项，圆上有且只有两个点到的距离都为1， ∴圆心到直线即的距离小于直径. ∴，解得：，故C正确； D项，由几何知识得， 圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误； 故选：BC 12．​ 【分析】根据题意，设直线方程为:，再将点 代入求解. 【详解】解：设过点 且垂直于l:的直线方程为:， 把点 代入可得:， 解得 . 要求的直线方程为:， 故答案为： 13． 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 14． 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 15．（1）证明见解析（2） 【分析】（1）结合所求的数列形式，对已知的递推公式进行变形，然后运用等比数列的定义进行证明即可； （2）根据（1）的结论，求出数列的通项公式，最后利用等比数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）∵， ∴，....................3分 又， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列；.............6分 （2）由（1）知，， ∴...................................9分 ∴ .......................................13分 【点睛】本题考查了已知递推公式证明数列是等比数列，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了等比数列通项公式的求法，考查了推理论证能力和数学运算能力. 16．1．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，；.........................3分 所以 ..................................6分 （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则，......................8分 ，..........10分 ，....................12分 ，.................14分 所以的分布列为： 1 8 15 所以.....................15分 17．(1) (2)车辆的限制高度为3.8米． 【分析】（1）设出抛物线的方程，确定其上的一个点坐标，代入求得p，即可得答案； （2）由题意在抛物线上取点，代入，解得，设出车辆的高，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得，.............................4 故抛物线所在抛物线的方程为．................................7分 （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得，........9分 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使，........12分 即 所以车辆的限制高度为3.8米．...........................15分 18【分析】（1）只需证明FC//EC1即可 （2）根据法向量的计算方法计算出两个法向量，使得它们满足垂直条件即可； 【详解】 （1） E为线段的中点，F为线段AB的中点．所以EF//CC1，且EF=CC1 四边形EFCC1是平行四边形.FC//EC1 ，FC平面 , EC1 平面 所以FC//平面..................................................6分 （2）如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，...................8分 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 所以平面的法向量为......................10分 存在点P, 理由如下 ，， ，，， 设平面FCP的法向量为 ，令, ...........................................14分 使得平面, 解得： 所以AP=AC1 , AP= ...........................17分 19.(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即........................5分 （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增..............11分 （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. ..............................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $