1集合课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“集合”核心模块，覆盖集合的含义与表示、集合间基本关系、集合基本运算、容斥原理及创新题五大高考考点，依据高考评价体系分析集合运算、集合间关系等高频考点权重，归纳判断关系、求参数、运算求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+变式训练+方法建模”，如以2020课标Ⅰ理真题为例，通过列举法、数轴法等培养学生数学思维，典例2分类讨论空集情况突破参数求解，创新题训练提升创新意识。特设易错警示和方法总结，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

1.1 集合 知识清单 知识点1　集合的含义与表示 1.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系:属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”表示). 3.常用数集及其符号表示:非负整数集(自然数集)N、正整数集N*(或N+)、整数集Z、有 理数集Q、实数集R. 4.集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. 知识点2　集合间的基本关系 文字语言 记法 集合 间的 基本 关系 相等 一般地,集合A的任何一个 元素都是集合B的元素,同 时集合B的任何一个元素 都是集合A的元素 A=B 子集 集合A中任意一个元素均 为集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子 集 如果集合A⊆B,但存在元 素x∈B,且x∉A,则称A是B 的真子集 A⫋B或B⫌A 注意    (1)空集是任何集合的子集; (2)空集是任何非空集合的真子集. 易错警示    (1)解决集合间关系A⊆B或A⫋B问题时,易忽视A是空集的情况而漏解. (2)解决有关点集{(x,y)|y=x2}与数集{y|y=x2}问题时容易忽略集合的属性. 知识拓展　有限集的子集个数 设集合A是有n个元素的有限集,即card(A)=n(n∈N*),则A的子集个数是2n;真子集个数是 2n-1;非空子集个数是2n-1;非空真子集个数是2n-2. 知识点3　集合的基本运算 　　已知全集U,集合A,B. 并集 交集 补集 图形 语言       符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 性质 A∪⌀=A; A∪A=A; A∪B=B∪A; A∪B=A⇔B⊆A A∩⌀=⌀; A∩A=A; A∩B=B∩A; A∩B=A⇔A⊆B A∪(∁UA)=U; A∩(∁UA)=⌀; ∁U(∁UA)=A 知识拓展    德·摩根定律:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1){x∈N*|-7<x3<7}用列举法表示为{-1,0,1}. ( ) (2){x|x=3k,k∈N}⊆{x|x=6z,z∈N}. ( ) (3)⌀⊆{x∈R|x2+1=0}. ( ) (4)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA. ( ) (5)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}. ( )      ✕     √         √         ✕     ✕     2.已知集合A={x∈R|x≤10},a= ,则( ) A.a∈A　　    B.a∉A　　    C.a=A　　    D.{a}∈A     A     3.已知集合A={x|x<-1或x>0},B={x|m-1<x<m+2}.若B∪A=R,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-3,1) C.(-2,0) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)     C 4.(人教A版必修第一册P14习题T4改编)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|1≤x≤ 3},则A∩B=_________________,(∁UA)∪B=___________________.     {x|x<0或x≥1}         {x|1≤x≤2}     考点清单 考点　集合及其运算 角度1　集合间的基本关系 典例1　(关系判断)(2025届浙江杭州学军中学模拟预测,1)设全集U=Z,集合A={x|x= 3k-1,k∈Z},B={x|x=6k-1,k∈Z},则 ( ) A.A⊆B　　    B.B⊆A C.A=B　　     D.A∩B=A     B     解析　解法一　列举法　从元素中寻找集合间关系. 由已知得A={…,-7,-4,-1,2,5,8,11,…}, B={…,-13,-7,-1,5,11,17,…},故B⊆A,故选B. 解法二　元素特征法　对k进行分类,从表达式中寻找集合间关系. 当k是偶数时,设k=2n,n∈Z,则集合A中的元素x=6n-1,n∈Z; 当k是奇数时,设k=2n+1,n∈Z,则集合A中的元素x=6n+2,则B⊆A,故选B. 方法总结　集合间基本关系的判断   变式训练 1.(数形结合法)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则 ( ) A.P⊆Q　　     B.Q⫋P　　     C.P⊆∁RQ　　    D.Q⊆∁RP     B     解析　由题意得Q={x|-2<x<2},将集合P,Q表示在数轴上,如图所示,   可知Q⫋P,故选B. 典例2　(利用集合间关系求参数)(2025届江苏徐州第一中学考前打靶卷,1)已知集 合A={x∈N|(x-2)(x-3)≤0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A,则a的取值构成的集合为 ( ) A.{0}　　     B.{0,1} C. 　　    D.      D     解析　由题意得A={2,3},因为A∪B=A,所以B⊆A.【不要忘记空集的情况,对集合B分两 种情况讨论】 当a=0时,B=⌀,满足B⊆A; 当a≠0时,B= ,因为B⊆A,所以 =2或 =3,解得a=1或a= . 综上,a的取值构成的集合为 .故选D. 方法总结　有关A∪B=A或A∩B=B的解题路径 1.由A∪B=A或A∩B=B可得B⊆A. 2.对于“B⊆A”或“B⫋A”的问题,若集合B中含有参数,通常要分B=⌀和B≠⌀两种 情况进行讨论,其中B=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 变式训练 2.(关键元素变式)(2025届江西联考,2)已知集合M={x|(x-2)2≤1},非空集合N={x|1≤x ≤a},若N⊆M,则实数a的取值范围为( ) A.(1,+∞)　　    B.[3,+∞) C.[0,3]　　     D.[1,3]     D     解析　由题知M={x|(x-2)2≤1}={x|1≤x≤3},非空集合N={x|1≤x≤a},因为N⊆M, 所以1≤a≤3,故实数a的取值范围为[1,3].故选D. 3.(关键元素变式)(2026届江苏南通调研,2)已知集合A={1,4,a2},B={4,2a},A∩B=B,则 实数a的取值集合为 ( ) A. 　　     B.  C.{0,2}　　    D.      B     解析　由A∩B=B得B⊆A. ①若2a=1,则a= ,此时A= ,B={4,1},满足B⊆A,符合题意; ②若2a=4,则B={4,4},不满足集合中元素的互异性,故舍去; ③若2a=a2,则有a(a-2)=0,解得a=0或a=2, 当a=0时,A={1,4,0},B={4,0},满足B⊆A,符合题意; 当a=2时,集合B={4,4},不满足集合中元素的互异性,故舍去. 综上,实数a的取值集合为 . 角度2　集合的运算 典例3    (2026届广东阳江月考,2)已知集合A= ,B={x||x-2|≤1},则A∪B=  ( ) A.(-∞,3]　　    B.(3,+∞) C.(0,+∞)　　    D.(0,3]     D     解析　由 ≤0得x(x-2)≤0且x≠0【注意分式分母不为零】,解得0<x≤2,即A={x|0<x ≤2}. 由|x-2|≤1得-1≤x-2≤1【若|x|≤b,b>0,则-b≤x≤b】,解得1≤x≤3,即B={x|1≤x≤3}, 将集合A,B表示在数轴上,如图.   由图可知A∪B=(0,3].故选D. 方法总结　集合运算问题的求解   变式训练 4.(情境模型变式)(2025届浙江温州三模,2)已知集合A={-1,1,2,3,},集合B={x|ln x<1}, 则A∩B=( ) A.{1}　　     B.{-1,1} C.{1,2}　　    D.{-1,1,2}     C     解析　集合A={-1,1,2,3},集合B={x|ln x<1}={x|0<x<e},所以A∩B={1,2}, 故选C. 5.(关键元素变式)(2026届天津阶段检测,1)已知全集U=A∪B={x∈N|1≤x≤10},A∩ ∁UB={1,3,5,8,9,10},则集合B的真子集的个数为 ( ) A.15　　    B.16　　    C.31　　    D.32     A     解析　因为U=A∪B={x∈N|1≤x≤10},所以U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 因为A∩∁UB={1,3,5,8,9,10}, 所以B={2,4,6,7},共4个元素, 所以集合B的真子集的个数为24-1=15. 故选A. 典例4　(根据集合的运算结果求参)(2020课标Ⅰ理,2,5分)设集合A={x|x2-4≤0},B={x |2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a= ( ) A.-4　　    B.-2　　    C.2　　    D.4     B     解析　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B= , 又∵A∩B={x|-2≤x≤1}, ∴- =1,∴a=-2.故选B. 变式训练 6.(关键元素变式)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B= ( ) A.{1,-3}　　    B.{1,0}　　    C.{1,3}　　    D.{1,5}     C     解析　∵A∩B={1},∴1∈B, ∴1-4+m=0,∴m=3. 由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3, ∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C. 角度3　容斥原理 1.两个集合的容斥原理 一般地,对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).如图所 示. 2.三个集合的容斥原理 一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card (A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).如图所示. 典例5　(容斥原理)某校举办秋季运动会,已知某班参加田赛的学生有14人,参加径 赛的学生有15人,既参加田赛又参加径赛的学生有6人,那么该班参加运动会的学生人 数为 ( ) A.29　　    B.23　　    C.36　　    D.25     B     解析　设参加田赛的学生组成集合A,参加径赛的学生组成集合B,则card(A)=14,card(B) =15, 由题意,知card(A∩B)=6, 所以card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=14+15-6=23, 所以该班参加运动会的学生人数为23.故选B. 变式训练 7.(情境模型变式)为了增强身体素质,某校学生积极参加学校组织的体育特色课堂, 课堂分为A.球类项目,B.径赛项目,C.其他健身项目.该班有25名同学选择球类项目A,20 名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项目C,其中有6名同学同时选择A和B,4 名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和C.“若全班同学每人至少选择一类项目且 没有同学同时选择三类项目,则这个班同学人数是 ( ) A.51　　    B.50　　    C.49　　    D.48     B     解析　设选择A,B,C三类项目的学生分别组成集合A,B,C,由题意得,card(A)=25,card(B) =20,card(C)=18,card(A∩B)=6,card(A∩C)=4,card(B∩C)=3. 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目, 所以这个班同学人数是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A ∩C)-card(B∩C)=25+20+18-6-4-3=50.故选B. 角度4　创新题 典例6    (2025届北京八一学校零模,10)集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B 1,B2,…,Bn(n∈N*).记bi为集合Bi(i=1,2,3,…,n)中的最大元素,则b1+b2+b3+…+b10= ( ) A.10　　    B.40　　     C.45　　    D.50     C     解析　由题意知 B1={1,2,3},b1=3;B2={1,2,4},b2=4; B3={1,2,5},b3=5;B4={2,3,4},b4=4;B5={2,3,5},b5=5;B6={2,4,5},b6=5;B7={3,4,5},b7=5; B8={1,4,5},b8=5;B9={1,3,5},b9=5;B10={1,3,4},b10=4, 则b1+b2+…+b10=3+4×3+5×6=45.故选C. 方法总结　对于以集合为背景的创新问题常常以“问题”为核心,以“探究”为途径, 以“发现”为目的.集合中的创新问题主要体现在:(1)集合中的新定义问题;(2)集合中 的新运算问题;(3)集合中的新性质问题.解决集合中的创新题的着手点如下: (1)正确理解新定义、新运算、新性质,剥去它们的外表,转化为我们熟悉的集合知识; (2)合理利用集合性质是破解问题的关键; (3)对于选择题,可结合选项,通过验证、排除、对比、特值法进行求解,当不满足要求 时,只需通过举反例来说明. 变式训练 8.(关键元素变式)(2026届北京牛栏山一中月考,10)数集A={a1,a2,a3,a4},其中a1<a2<a3<a4, B={a|a=|ai-aj|,ai,aj∈A},若A=B,且集合A中最大元素为6,则a1+a2+a3+a4=( ) A.6　　     B.8　　     C.10　　    D.12     D     解析　由题意知a4=6, 又a1<a2<a3<a4且A=B,故 若0<a1<a2<a3<a4,则a4>a4-a1>a4-a2>a4-a3,a3>a3-a1>a3-a2,a2>a2-a1, 此时B中不存在元素a4,不符合题设; 若a1<0<a2<a3<a4,则a4-a1>a4>a4-a2>a4-a3,a3-a1>a3>a3-a2,a2-a1>a2, 此时B中存在一个大于a4的元素a4-a1,不符合题设; 所以a1=0<a2<a3<a4=6,则6>a4-a2>a4-a3>0,a3=a3-a1>a3-a2>0,a2=a2-a1>0, 所以 可得a2+a3=6且2a2=a3且2a3=a2+6,所以a2=2,a3=4, 则a1+a2+a3+a4=0+2+4+6=12.故选D. $