第9章 轴对称、平移与旋转（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级下册

**基本信息** 本卷为初中数学“轴对称、平移与旋转”单元提升卷，以生活情境与动手操作为载体，全面考查图形变换核心知识，适配单元复习巩固与能力培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|含全等图形识别（第1题新能源标志）、正六边形变换（第2题）、平移面积计算（第3题）|情境具时代性，注重几何直观| |填空题|6/12|涉及旋转角度（第13题）、尺规作图（第14题）、折叠规律（第17题）|强调空间观念与规律探究| |解答题|8/72|含平移作图（19题）、折纸实践（24题）、综合变换探究（26题）|突出动手操作与推理能力，体现创新意识|

第9章 轴对称、平移与旋转（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 3．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．36 C．42 D．57 4．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D、C分别落在点、处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知四边形纸片．按图、图的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 12．如图，长方形中，，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形（）．若的长度为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为_________． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；③作射线交于点D．若，则的大小为______度． 15．如图，长方形的长，宽，在其内部有三个小长方形，则这三个小长方形的周长之和为_____． 16．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 17．图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，且．如图2，将纸条折叠，使与重合，得到折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得到折痕．若将纸条展开后继续折叠，使与重合，得到折痕，则________．     18．【中档】将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是交于G，再将四边形沿折叠，点的落点分别是，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是________ （填写序号）． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 20．（6分）如图，已知在中，，． (1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于； ②作线段边上的高，分别交、于点、点； (2)在（1）的条件下，求的度数． 21．（8分）示例：将一张正方形纸片按下图方式对折、画图、剪纸、展开． 仿照：请在下面的虚线框中画出对折、画图、剪纸的过程． 22．（8分）如图，粗线①和细线②是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线． (1)判断两条线的长短：粗线①______细线②．（填“”“”或“”） (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米2.6元计费，用式子表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系． (3)如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的13元钱够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？请说明理由． 23．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)将平移，使点移动到点，平移后得到，点、分别是点A、B的对应点．画出平移后的图形，则线段扫过的图形的面积为______； (2)画出关于直线对称的三角形，点D、E、F分别是点A、B、C的对应点． 24．（10分）综合与实践——折纸中的数学． 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． (1)根据上述步骤可知，与的位置关系是 ． (2)【联系拓广】①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． (3)【类别迁移】如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 25．（12分）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 26．（12分）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 轴对称、平移与旋转（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 【答案】A 【分析】本题以正六边形为载体，结合其被对角线分割为个全等的等边三角形的性质，利用平移、旋转、轴对称、中心对称的定义，逐一分析各选项中四边形的变换是否成立，判断错误的变换． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个全等的等边三角形， 各边长相等，各中心角为． 对于选项A： 四边形关于点中心对称，对应点为，，，得到的图形为四边形，而非四边形，故A项说法错误． 对于选项B： 将四边形沿射线方向平移线段的长度， 点，点，点，点，可得到四边形，故B项说法正确． 对于选项C： 将四边形绕点逆时针旋转， 点，点，点，可得到四边形，故C项说法变换正确． 对于选项D： 作过点且垂直于的直线为对称轴，四边形关于该直线轴对称，点，点，点，可得到四边形，故D项说法正确． 3．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．36 C．42 D．57 【答案】D 【分析】由题意易证：即可解决问题． 【详解】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ， ． 4．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D、C分别落在点、处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解，结合对折可得，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， ∵ ， ∴， 由翻折的性质得：，， ∴， ∴， ∴． 5．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义和网格的特点画图求解即可． 【详解】解：如图所示， 即满足条件的点D的个数为2个． 6．如图，已知四边形纸片．按图、图的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可知， 根据平行线的性质结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠可知， ． ，平分， ， ． 7．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． ∴． 8．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 9．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 10．如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用折叠性质确定出等相关角的关系，通过角和差的互补关系，推导出，进而表示出以及，在中，利用两锐角互余列出关于的方程，由此求解即可． 【详解】设， 由折叠可知：，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ． 11．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，，即， 当，则，即， ∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵， ∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 12．如图，长方形中，，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形（）．若的长度为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出即可． 【详解】解：，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…， ，，， ； ， ， 解得， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为_________． 【答案】/30度 【分析】由旋转的性质得到、，结合平行线的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， 、， ， ， ． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；③作射线交于点D．若，则的大小为______度． 【答案】70 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的定义求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由作图步骤可知，平分， ∴， 在中，， ∴． 15．如图，长方形的长，宽，在其内部有三个小长方形，则这三个小长方形的周长之和为_____． 【答案】56 【分析】小长方形的长平移得到，宽向左右平移得到，可知三个小长方形的周长为，即可得出答案． 【详解】解：在长方形中，， 则， 所以这三个小长方形的周长之和为56． 16．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 17．图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，且．如图2，将纸条折叠，使与重合，得到折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得到折痕．若将纸条展开后继续折叠，使与重合，得到折痕，则________．     【答案】/172度 【分析】设点在的延长线上，可得，再由折叠的性质，当与重合时，可得，结合平行线的性质可求解． 【详解】解：如图2，设点在的延长线上，则， 在图2中，∵， ∴， 同理，在图3中， ∴， 同理，在图4中， 当与重合时，则， ∵， ∴． 18．【中档】将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是交于G，再将四边形沿折叠，点的落点分别是，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是________ （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】由折叠的性质得，故①正确；根据平行线的性质得到，故②正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出，即可得到，计算可判断③正确；设，则，根据平行线的性质结合折叠的性质得到．得到等式，计算可判断④正确． 【详解】解：由折叠的性质得，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵在线段上，，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，即， ∵，，则， ∴， 解得， ∴， ∴，故③正确； 设，则， 当在线段上时，． ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段上时，． ∵， ∴． 由折叠的性质得， ∴， ∴，解得， ∴； 综上，或，故④错误． 综上，①②③正确； 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 【答案】见解析 【分析】根据点对应点作图即可． 【详解】解：由题意得；点向右平移个单位，向下平移个单位到点， 所作图形如下所示： 20．（6分）如图，已知在中，，． (1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于； ②作线段边上的高，分别交、于点、点； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据高的定义得到，再由三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，即为所求． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∴． 21．（8分）示例：将一张正方形纸片按下图方式对折、画图、剪纸、展开． 仿照：请在下面的虚线框中画出对折、画图、剪纸的过程． 【答案】见解析 【详解】解：如图， 22．（8分）如图，粗线①和细线②是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线． (1)判断两条线的长短：粗线①______细线②．（填“”“”或“”） (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米2.6元计费，用式子表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系． (3)如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的13元钱够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）利用出租车分段计费进行计算即可求解； （3）把代入（2）的关系式计算，再用计算结果与10作比较即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴两条线的长短为粗线①细线②． （2）解：根据题意得：（元）． （3）解：不够． 理由如下： 当时，， ∴不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫． 23．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)将平移，使点移动到点，平移后得到，点、分别是点A、B的对应点．画出平移后的图形，则线段扫过的图形的面积为______； (2)画出关于直线对称的三角形，点D、E、F分别是点A、B、C的对应点． 【答案】(1)图见解析，9 (2)见解析 【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A、B的对应点、，再顺次连接即可得平移后的；根据线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积计算即可； （2）根据对称的性质分别作出点A、B、C关于直线对称的点D、E、F，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，平移后得到，即为所求； 线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积：； （2）解：如图，即为所求． ． 24．（10分）综合与实践——折纸中的数学． 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． (1)根据上述步骤可知，与的位置关系是 ． (2)【联系拓广】①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． (3)【类别迁移】如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定判断即可； （2）①由平行的性质和正方形的性质，可知，，从而得到； ②过点作，，，即可求解； （3）经过两次翻折，可知，，由内错角相等，两直线平行得到． 【详解】（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①． 理由如下：如图，连接． 由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处， 再将纸片沿折叠，使落在处， ∴关于对称，关于对称， ∴，， ∴， ∴． 25．（12分）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 26．（12分）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）延长交于点，先根据平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，即可得到，即可证明平行； （2）分两种情况讨论，当点在上，当点在上，分别作出辅助线，利用平行线的性质，结合平移的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）延长交于点，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义证明即可； （4）分三种情况讨论，当在延长线上，当点在延长线与直线的交点的左侧，当点在延长线与直线的交点的右侧，过点作平行线，结合平行线的性质以及三角形内角和定理探究即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如图， 在中，， 在中， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：①当点在上时，延长直线交于点，如图： ∵， ∴ 由平移可得， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴； ②当点在上时，过点向上作，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由上可知， ∴， 综上：与的数量关系为：或； （3）证明：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分； （4）解：当在延长线上时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ， ∴， 设 ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在延长线与直线的交点的左侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 当点在延长线与直线的交点的右侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设 ， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ； 综上：与的数量关系为：或或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $