专项9 平行四边形的计算与证明-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末试卷精选（北师大版·新教材）河北专版

期末复习第2步·攻专项 专项9 平行四边形的计算与证明 根据新教材及河北省新中考考情编写 满分：50分得分： 编者按：本专项精选期末常考题型，涵盖尺规作图、开放设问、动点问题等重要内容.助力学生 通过专项练习，熟练掌握平行四边形的性质与判定 1.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，点G,H分别在AD,BC 上，且DG=BH.求证：FG=EH. D E 2.(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上一点，连接EB并延长，使BF= BE,连接EC并延长，使CG=EC,连接FG,H为FG的中点. (1)求证：AD=FH; (2)若BC=CE,∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数. G H 期末复习第2步 ·攻专 3.设题新角度开放性试题(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上（不 与点A,C重合)，连接DE,DF,BE,BF (1)现有三个条件：①AF=CE,②∠ADE=∠CBF,③DE=BF.请从以上条件中选择一个 添加，使四边形DEBF是平行四边形.你添加的是 (只填序号) (2)利用(1)中你选择的条件，证明四边形DEBF为平行四边形 D B 河北专版数学八年级下册北师 29 4.〔宁波市〕(10分)如图1，已知线段AB,BC,用无刻度的直尺和圆规作口ABCD. 以下是小颖同学的作法： 如图2，先作∠ABC的平分线BM,以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BM于点E,连接AE 并延长，再以点A为圆心，BC长为半径作弧，交射线AE于点D,连接CD,则四边形ABCD 为平行四边形 (1)小颖同学的作法是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由。 (2)在图1中采用与小颖同学不同的方法作口ABCD.(保留作图痕迹，不写作法) (3)如图3，在小颖同学的作法的条件下，连接EC,若∠A+∠BCE=180°，AB=4,BC=6, 求四边形ABCD的面积， D E D B 图1 图2 图3 期末复习第 5.〔安国市〕(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠C,连接BD,∠ADB=90°， AD=6cm,BD=8cm.动点P从点A出发，沿射线AE方向匀速运动，同时动点Q从点C出 发，沿线段CD匀速运动，当点Q运动到点D时两点均停止运动.设运动的时间为ts. 2步 (1)求证：四边形ABCD为平行四边形； 攻专项 (2)若点P的运动速度为4cm/s,点Q的运动速度为2cm/s,当以P,B,C,Q为顶点的四边 形为平行四边形时，求t的值 A 备用图 30 河北专版数学八年级下册北师购进18个A种吉祥物玩偶，41个B种吉祥物玩偶； 方案2：购进19个A种吉祥物玩偶，43个B种吉祥 物玩偶； 方案3：购进20个A种吉祥物玩偶，45个B种吉祥 物玩偶。 (10分) 3.解：(1)设甲种粽子的进价为x元/个，则乙种粽子 的进价为(x+1)元/个 根据题意，得1000-1200 x+1 解得x=5. 经检验，x=5是原方程的根，且符合题意. 此时x+1=6. 答：甲种粽子的进价为5元/个，乙种粽子的进价为 6元个 (4分) (2)①购进甲种粽子m个，购进乙种粽子 (1000-m)个. 根据题意，得w=(7-5)m+(9-6)(1000-m)= -m+3000 .w与m的函数关系式为w=-m+3000. ·甲种粽子的个数不少于乙种粽子个数的2倍， .m≥2(1000-m). 解得m≥ 3m的取值范围为2000 2000 3 ≤m< 1000,且m为整数 (7分) ②-1<0，.w随m的增大而减小， .当m=667时，w有最大值，最大值为2333， 此时1000-m=333. 答：当超市购进甲种粽子667个，乙种粽子333个 时利润最大，最大利润为2333元. (10分) 4.解：(1)设B种晋州鸭梨每千克的进价是x元，则A 种晋州鸭梨每千克的进价是(x+3)元 根据题意，得480-360 x+3x (3分) 解得x=9. 经检验，x=9是原方程的根，且符合题意 .x+3=12 答：A,B两种晋州鸭梨每千克的进价分别是12元 和9元 (5分) (2)根据题意，方案一的总平均单价为 (9+a)m+12+a)m_21+2a(元kg). 2m 2 方案二的总平均单价为 n+n=29+02+(元kg) 2n÷9+a+12+a/ 21+2a 21+2a-2(9+a12+a) 9 2 21+2a 2(21+2a>0, .方案二中A,B两种晋州鸭梨的总平均单价较低 (10分) 河北专版数学 专项9平行四边形的计算与证明 1.证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴.CD=AB,∠D=∠B. (2分) E,F分别为AB,CD的中点， DF-CD.BE-AB. .DF=BE. .DG=BH, ∴.△FDG≌△EBH. (6分) ..FG=EH. (8分) 2.解：(1)证明：BF=BE,CG=EC, ∴.BC为△FEG的中位线. hc-r6. (2分) H是FPG的中点FH=G=BC 四边形ABCD是平行四边形， ..AD BC...AD=FH. (6分) (2):四边形ABCD是平行四边形， .∠DAB=∠DCB. BC=EC,∠BEC=∠EBC=75. .∠BCE=180°-∠BEC-∠EBC=30°. (8分) .∠DCB=∠DCE+∠BCE=40° ..∠DAB=40° (10分) 3.解：(1)①（或②） (3分) (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD= BC,AD∥BC.∴.∠DAE=∠BCF. .AF=CE, AF-EF=CE-EF,即AE=CF ∴.△ADE≌△CBF (6分) .DE=BF,∠AED=∠CFB. ∴.180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF=∠BFE .DE∥BF. ·.四边形DEBF是平行四边形 (10分) [或证明：四边形ABCD是平行四边形， ·.AD=BC,AD∥BC..∠DAE=∠BCF ·.:∠ADE=∠CBF,.△ADE≌△CBF. (6分) ∴.DE=BF,LAED=∠CFB .180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF= ∠BFE.∴.DE∥BF. .四边形DEBF是平行四边形 (10分)] 4.解：(1)小颖同学的作法正确. (1分) 证明：根据作法可得，∠ABE=∠CBE,AB=AE, AD=BC. ∴∠ABE=∠AEB..LAEB=∠CBE. .AD∥BC. 、年级下册北师 8 .四边形ABCD为平行四边形 (3分) (2)如图①，口ABCD即为所求 (5分) D B 图① (3)过点C作CF⊥AD于点F,如图②， M ID 图② ·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,CD=AB..∠A+∠ADC= 180°，∠CED=∠BCE. '∠A+∠BCE=180°，∴.∠ADC=∠BCE. .∴.∠CED=∠ADC. .CE CD. (7分) .·CF⊥AD,AD=BC,AB=AE, .EF=DF=DE=AD-AE BC-AB =1. 2 2 2 在Rt△CFE中，CE=CD=AB=4,EF=1,则 CF=√CE2-EF2=√15 .四边形ABCD的面积为BC.CF=6√15.（10分) 5.解：(1)证明：AD∥BC,.∠A=∠CBE. 'LA=∠C,∴.∠C=∠CBE. AB∥CD. .四边形ABCD为平行四边形， (5分) (2)'∠ADB=90°，AD=6cm,BD=8cm, .AB=√AD2+BD2=√6+82=10(cm). 四边形ABCD是平行四边形， ..CD=AB 10 cm,AD BC=6 cm. (7分) 由题意可知，AP=4tcm,CQ=2tcm :点Q运动到点D时两点均停止运动， .2t≤10.解得t≤5. 分两种情况：①当点P在线段AB上时，0≤4t≤10， 即0≤t≤2.5. .'BP AB-AP=(10-4t)cm. 四边形PBCQ是平行四边形， ∴.BP=CQ. ∴.10-4t=2t. 廊得4多 (9分) ②当点P在线段AB的延长线上时，4t>10,即t> 2.5..2.5<t≤5. .'BP=AP-AB=(4t-10)cm. 9 河北专版数学 八 四边形BPCQ是平行四边形， ..BP=CQ. .4t-10=2t. 解得t=5. （11分) 综上所述，当：的值为}或5时，以P,B,C,Q为顶 点的四边形为平行四边形 (12分) 专项10三角形的综合探究 1.解：(1)A'C∥BD,△B0D为等腰三角形 (2分) 理由如下：根据折叠的性质，得∠ABD=∠A'BD,AB= A'B. 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. .∠ABD=∠CDB,A'B=CD. .∴.∠A'BD=∠CDB.∴.OB=OD. .△BOD为等腰三角形. (5分) .A'B=CD. ..A'B-OB=CD-OD,OA'=OC. ∴.∠OA'C=∠OCA'. .·∠BOD=∠A'OC,∠BOD+∠A'BD+∠CDB =∠A'0C+∠0CA'+∠0A'C=180°， .∠CDB=∠OCA'..A'C∥BD. (7分) (2)AD的长为4-2W3或2√/3-2. (10分) 【解析】根据题意，分两种情况：①当∠A'D0=90° 时，如图①。 ∠0A'D=∠A=60°，.∠A'0D=30° CD∥AB,∠ABA'=∠A'OD=30° ∠ABD=号AB=15.过点D作DBL4D交A 于点E.∴∠AED=30° .∠BDE=∠AED-∠EBD=15 .DE=BE.设AD=x,则AE=2AD=2x. DE=√AE2-AD2=√3x..BE=√3x. .AE BE=AB=2,.'.2x+3x=2. 解得x=4-2√3..AD=4-23. A 0 4 E 图① 图② ②当LA'0D=90°时，如图②. CD∥AB,∠ABA'=∠A'OD=90° ABD-AB45. 过点D作DFLAB于点F. 年级下册北师