精品解析：陕西西安市第八中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（ ） A. 3种 B. 14种 C. 30种 D. 90种 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 用1，2，3，5，6，8可以组成n个无重复数字的三位数，则（ ） A. 20 B. 60 C. 120 D. 210 4. 小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9，0.95，则小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为（ ） A. 0.93 B. 0.91 C. 0.94 D. 0.92 5. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.18 B. 0.22 C. 0.09 D. 0.27 6. 展开式的常数项为（ ） A. B. C. 252 D. 504 7. 以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 210 B. 190 C. 195 D. 180 8. 若函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知3名女同学与5名男同学站成一排，则（ ） A. 不同排法数为 B. 3名女同学站在一起的排法数为 C. 3名女同学两两不相邻的排法数为 D. 3名女同学都不站两端的排法数为 10. 已知函数有唯一的零点，则m的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 2 11. 小李每次射击的命中率为，他射击6次，且每次射击是否命中相互独立，设他最多连续命中的次数为X（若他6次均未命中，则；若他至少命中1次且未连续命中，则），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的各项系数之和为_________. 13. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则_________． 14. 在数列中，，，，则的前100项和为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放入碗中. （1）求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； （2）求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若，，成等比数列，求m的值； （3）证明：数列的前n项和恒小于. 17. 某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. （1）求甲通过三关的概率； （2）设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； （3）现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：存在唯一的极值点. （3）若， ，求t的取值范围. 19. 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求 （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（ ） A. 3种 B. 14种 C. 30种 D. 90种 【答案】B 【解析】 【详解】根据分类加法计数原理可得他的选择共有种. 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，所以. 3. 用1，2，3，5，6，8可以组成n个无重复数字的三位数，则（ ） A. 20 B. 60 C. 120 D. 210 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可得. 4. 小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9，0.95，则小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为（ ） A. 0.93 B. 0.91 C. 0.94 D. 0.92 【答案】D 【解析】 【分析】考查全概率公式的运用，分析题意，把外卖准时送达事件分为两种情况，分别用概率中的乘法公式求解即可. 【详解】由全概率公式，得小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为. 5. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.18 B. 0.22 C. 0.09 D. 0.27 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且 ，所以，则， 故 （或）. 6. 展开式的常数项为（ ） A. B. C. 252 D. 504 【答案】A 【解析】 【详解】展开式的通项为 ， 令，得， 则展开式的常数项为 . 7. 以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 210 B. 190 C. 195 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】应用组合数求从10个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】正五棱柱共10个顶点，任取4个顶点，有种不同选法， 底面为正五边形，任取4个顶点，有种不同选法， 5条侧棱互相平行，任取2条，有种不同选法， 四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况， 则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为. 8. 若函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知3名女同学与5名男同学站成一排，则（ ） A. 不同排法数为 B. 3名女同学站在一起的排法数为 C. 3名女同学两两不相邻的排法数为 D. 3名女同学都不站两端的排法数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据排列知识，结合捆绑法、插空法及特殊位置法求解即可. 【详解】若3名女同学与5名男同学站成一排，则不同排法数为，A错误； 由捆绑法可得，3名女同学站在一起的排法数为，B正确； 由插空法可得，3名女同学两两不相邻的排法数为，C正确； 若3名女同学都不站两端，则从5名男同学中选2名进行排列，剩余3名男同学与3名女同学进行全排列， 则3名女同学都不站两端的排法数为，D正确. 10. 已知函数有唯一的零点，则m的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】AD 【解析】 【详解】令，得 ， 设，则， 令，解得，单调递增， 令，解得，单调递减， .当时，，当时，， 作出的大致图象如下： 由图象可知： 当，即时，无交点； 当，即时，有两个交点； 当或，即或时，有一个交点； m的值可能为1或2． 11. 小李每次射击的命中率为，他射击6次，且每次射击是否命中相互独立，设他最多连续命中的次数为X（若他6次均未命中，则；若他至少命中1次且未连续命中，则），则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分析题意得出总事件个数为个，对于选项AD根据选项条件分析各个选项包含的事件个数，运用古典概型求解即可；对于选项B，可用求解；对于选项C，正常求离散型随机变量的期望即可. 【详解】用1表示命中，0表示未命中，则 .的样本点为111110、011111，则，A正确. 的样本点分为3类：1个1、5个0共有6个，2个1、4个0且2个1不相邻的有个， 3个1、3个0且3个1互不相邻的有个，共20个， 则.， 所以，B错误. ，C正确. 的样本点为111100、111101、011110、101111和001111，则. 的样本点分为4类：有4个，有2个，有2个，有4个，共12个，（a，b取值为0，1） 则，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的各项系数之和为_________. 【答案】81 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，得展开式的各项系数之和为. 13. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则_________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】从6张卡片中随机抽取2张的组合数为：， 事件的组合数为：， 事件B的组合数为：， 则， ，， ． 14. 在数列中，，，，则的前100项和为_________. 【答案】235 【解析】 【分析】先根据已知的首项和递推公式计算数列的前若干项，找出数列的周期规律，再利用周期分组计算该数列前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的数列. 因为，，，， 所以的前100项和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放入碗中. （1）求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； （2）求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三个汤圆恰有2个黑芝麻馅，以及1个花生馅即可求解. （2）先求解碗中一个花生馅都没有的概率，再由概率之和为1求解即可. 【小问1详解】 碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率为. 【小问2详解】 由间接法可得碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率为. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若，，成等比数列，求m的值； （3）证明：数列的前n项和恒小于. 【答案】（1） （2）或76. （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 设公差为，则， 则， 则 . 【小问2详解】 ， 若，，成等比数列，则， 则，解得或76. 【小问3详解】 因为， 所以数列的前n项和 17. 某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. （1）求甲通过三关的概率； （2）设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； （3）现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）甲应该选择方案B，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率求解； （2）X的可能取值为1，2，3，分别求得其概率，列出分布列； （3）若甲选择方案A，得到获奖金的期望，若甲选择方案B，Y的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，由，比较选择. 【小问1详解】 设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. 【小问2详解】 X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P 【小问3详解】 若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则 ， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：存在唯一的极值点. （3）若， ，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数和函数单调性间的关系，结合导数和极值间关系求解即可； （3）通过函数单调性，将不等式问题转化为最值问题，即可求解. 【小问1详解】 解：因为 ， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 证明：设 ，则 ， 则为增函数. 因为， ，所以在上存在唯一的零点， 当时，，即，单调递减， 当时， 0，即，单调递增. 所以存在唯一的极值点. 【小问3详解】 解：由（2）知，在上单调递增， 则当时，. 当时， . 设 ，则 ， 当时， ，当时，， 所以. 设 ，， 则，当 时， ，当 时， ， 所以 . 若， ，则， 解得，故t的取值范围是. 19. 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求 （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）是定值，定值为3. 【解析】 【分析】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或，即每轮的奇偶性改变一次，实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始，设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，，则或，从而得到 或，得到证明. （2）列出或，解得的值，求出． （3）列出方程组，通过计算得到，由得到，从而得到，从而得到结论. 【小问1详解】 初始诱变强度等级，每轮筛选变化或， 即每轮的奇偶性改变一次， 实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始， 设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，， 则或， 则或，所以或， 因为为整数，所以为奇数． 【小问2详解】 由或，解得或， 所以 ． 【小问3详解】 当为奇数时，是定值，定值为3. 理由如下： 依题意可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，即，所以当为奇数时，是定值，定值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $