专题9.4 中心对称（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“中心对称”核心知识点，系统梳理中心对称图形的概念（绕点旋转180°重合）与性质（对称点连线过对称中心且被平分），两个图形成中心对称的定义、判定及作图步骤，以及与轴对称的区别联系，构建从概念到应用的递进学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型变式”螺旋设计，结合剪纸、车标等生活实例培养数学眼光，通过网格作图、坐标计算发展空间观念与几何直观，助力学生用数学思维辨析图形关系，课中辅助教师突破重难点，课后通过分层练习查漏补缺，提升应用意识。

专题9.4 中心对称 教学目标 1.理解中心对称图形与成中心对称的概念。 2.掌握中心对称的性质，会进行简单计算与判断。 3.能画出已知图形关于某点的中心对称图形。 4.区分中心对称与轴对称，解决综合识别问题。 教学重难点 重点 （1）中心对称图形的概念与性质 （2）两个图形成中心对称的特征 （3）中心对称作图 难点 （1）中心对称与轴对称的辨析 （2）利用中心对称性质计算面积与线段 （3）确定对称中心与中心对称作图 知识点01：中心对称图形 1.定义：在平面内，一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，该点叫对称中心。 2.本质：旋转角为180°的特殊旋转对称图形。 3.性质： 对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 过对称中心的任意一条直线，把图形分成面积相等的两部分。 4.常见图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·四川达州·期中）下列达州巴文化图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A，B，D中的图形找不到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 知识点02：两个图形成中心对称 1.定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，则这两个图形成中心对称，该点叫对称中心。 2.性质： 两个图形全等。 对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3.判定：对应点连线都经过某一点，且被该点平分，则这两个图形成中心对称。 4.确定对称中心： 方法1：取一组对称点连线的中点。 方法2：两组对称点连线的交点。 【即学即练】 1．（24-25九年级上·全国·暑假作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 【答案】(1)作图见解析，这两个图形成中心对称，对称中心是点D (2)A、B、C、D关于中心的对称点为和D 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，判定一个图形是否为中心对称图形，找出其对称中心是关键，先延长，使得；同理作：；连接，则四边形为所求的四边形． （1）根据对称中心对称的定义解答即可； （2）根据对称中心对称的定义解答即可． 【详解】（1）解：作法：①延长，并且使得；②同理可得：；③连接，则四边形为所求的四边形，如图所示． 根据作图，可得：这两个图形成中心对称，对称中心是点D； （2）解：A、B、C、D关于中心的对称点为和D． 知识点03：中心对称作图 1.步骤：连关键点与对称中心→延长→截取等长→顺次连接对应点。 2.依据：对称点到对称中心的距离相等。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： (1)在网格中画出关于O点的中心对称图形； (2)以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，旋转作图，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键． （1）连接，并延长使，连接，并延长使，连接，并延长使，得出点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质得出点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求． 知识点04：中心对称与轴对称的区别与联系 对比项目 中心对称 轴对称 变换方式 绕点旋转180° 沿直线翻折180° 对称元素 对称中心（点） 对称轴（直线） 相同点 都不改变图形的形状与大小，变换前后图形全等 【即学即练】 1．（25-26九年级上·全国·期中）下列关于与的几何变换中，配对正确的是（ ） Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移． A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称、轴对称、平移、旋转的定义，熟练掌握这些几何变换的概念，准确观察图形特征是解题的关键．通过观察图形中与的位置关系，依据中心对称、轴对称、旋转的定义，判断每个图形对应的几何变换类型，进而确定正确配对． 【详解】解：对于①：图形绕着点旋转后能与自身重合，符合中心对称（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这里两个三角形关于点中心对称 ）的特征， 故①对应的几何变换是中心对称（Ⅱ）； 对于②：图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，符合轴对称（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 ）的特征， 故②对应的几何变换是轴对称（Ⅰ）； 对于③：图形是绕着某个点旋转一定角度得到的，符合旋转（在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转 ）的特征， 故③对应的几何变换是旋转（Ⅲ）； 对于④：图形是绕着点旋转一定角度得到的，符合旋转的特征， 故④对应的几何变换是旋转（Ⅲ）． 综上，① - Ⅱ，② - Ⅰ，③ - Ⅲ，④ - Ⅲ， 故选：B． 题型01识别中心对称图形 方法技巧：绕某点旋转180°能与自身重合，即为中心对称图形。 【例题1】.（25-26九年级下·山东临沂·期中）为传承中华优秀传统文化，弘扬非物质文化遗产，学校开展非遗剪纸进校园主题实践活动．在老师的指导下，同学们动手创作剪纸作品，在实践中感受传统艺术与数学知识的融合之美．请判断下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A选项：是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式题1-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式题1-2】.（2026·黑龙江佳木斯·二模）下列剪纸图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：、选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、既是轴对称图形又是中心对称图形． 题型02确定对称中心位置 方法技巧：两组对称点连线的交点，或对称点连线的中点。 【例题2】.（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为21 【分析】（1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 答：的周长为21． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点，点即为所作； （2）根据成中心对称的图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知和关于点E成中心对称，根据对应点连线经过对称中心可知连接，交于点E，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点E，其坐标是． 题型03 涂阴影构造中心对称图形 方法技巧：确定对称中心，补涂后使图形绕该点旋转180°与自身重合，按定义逐一验证涂法。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·贵州遵义·期中）（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）（2）（3）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此设计图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求；      （3）如图所示，即为所求； 【变式题3-2】.（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·期中）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． (1)在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； (2)在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图——利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案； （1）如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，设计轴对称图形之前要确定对称轴，根据对称轴来画图即可，对称轴不同所设计的图案就不同，所以答案不唯一； （2）在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，设计中心对称图形之前要确定对称中心，对称中心不同所设计的图案就不同，所以答案不唯一. 【详解】（1）解：图形如图①所示（答案不唯一） （2）解：图形如图②所示（答案不唯一） 题型04画中心对称图形 方法技巧：作关键点关于对称中心的对称点，再顺次连接。 【例题4】.（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，和关于某一点成中心对称，找出对称中心O，并补全． 【答案】见解析 【分析】根据对应点连线的交点就是对称中心，连接、，交于点，点即为对称中心，连接并延长到点使，点即为点的对应点，连接、，得到即为所求． 【详解】解：如下图所示， 连接、，交于点， 点即为对称中心， 连接并延长到点，使， 连接、，得到即为所求． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形和点，画四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，四边形即为所求． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形，以顶点为对称中心，画出与四边形成中心对称的图形． 【答案】见解析 【分析】根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：如图所示，四边形即为所求． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）画图题（保留必要画图痕迹，不需要写画法）：如图，已知直线和． (1)画出关于直线成轴对称的 (2)在直线上找一点，并画出关于点成中心对称图形，让所得三角形至少有一顶点与的三个顶点之一重合．（只需画出一种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、画中心对称图形、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先确定点关于关于直线的对称点，然后连线即可； （2）取与的交点为O，分别作出点关于点O的对称点，然后连线即可；或取与的交点为O，分别作出点关于点O的对称点，然后连线即可；或取与的交点为O，分别作出点关于点O的对称点，然后连线即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求作的图形， （2）解：取与的交点为O，如图2，即为所求作的图形． 取与的交点为O，如图3，即为所求作的图形． 取与的交点为O，如图4，即为所求作的图形． 题型05网格中的中心对称作图 方法技巧：按格点定位，延长并截取等长确定对称点。 【例题5】.（2026·安徽马鞍山·二模）在边长为1的正方形网格中有格点（顶点均是网格线的交点）和格点． (1)将向上平移个单位，向右平移个单位得到，画出； (2)以点为旋转中心，将旋转得到，画出； (3)借助网格过作，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，分别将点、、向上平移个单位，再向右平移个单位，得到对应点、、，顺次连接各点得到． （2）根据中心对称的性质，分别作出点、、关于点的对称点、、，顺次连接各点得到． （3）取格点E，连接，根据网格特点可知，再平移线段过点A，得到，与的交点即为垂足，线段为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下图中每个小正方形网格的边长为，在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)作关于点的中心对称图形； (2)将平移，使得点平移到图中点位置，点、点的对应点分别为点、点，画出； (3)在（2）中，四边形的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查中心对称图形的定义与作图方法，图形平移的定义与作图方法，网格图形的面积计算方法． （1）根据中心对称图形的定义找到关于点的对称点，对应点连线即可得到答案； （2）根据图形平移的定义找到点到的平移规律，同样平移点到点，对应点连线即可得到答案； （3）根据观察图形在网格中的占位和网格的关系，根据割补法可得四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，根据中心对称图形的定义，点和点关于点对称，找到点关于点的对称点，即为点，同理找到点, 再连接，即为所求； （2）解：如图，从点到的水平方向向右移动格，竖直方向向下移动格，将点按相同的方向和距离平移, 得到点，连接, 即为所求； （3）解：如图，连接，， 如下图所示，根据四边形在网格中的位置，根据割补法可得： ，且均为直角三角形， ∵直角边长均为和， ∴． ∴四边形的面积为． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出关于直线轴对称的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)在直线上找一点，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 证明：根据轴对称的性质可知， ∴的周长， 可知当P在线段上时的周长最小． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向上平移2格，顺次连接即可； （2）将点A，B分别绕点旋转，再顺次连接即可； （3）连接，利用格点取的中点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 题型06中心对称与坐标结合 方法技巧：关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。 【例题6】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为．平移，使点A的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）先确定平移方式，再根据平移的性质画图即可； （2）先根据中心对称的性质画图，再根据连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心解答即可． 【详解】（1）解：∵平移后，点的对应点的坐标是， ∴平移方式是：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 画出平移后的如图所示： ． （2）解：画出关于原点中心对称的如图所示： ∵与关于原点中心对称，且， ∴， 又∵和关于某一点中心对称，且， ∴这一点为的中点，其坐标为，即． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． (1)点的坐标为________，请画出； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)，图见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出，并读取点的坐标； （2）结合是的边AC上一点，将平移后点P的对应点是，得出平移规律是向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，据此画出平移后的； （3）连接对应点，它们的交点即为对称中心点，再读取坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 则点的坐标为； （2）解：所作如图所示： （3）解：∵和关于某一点成中心对称， ∴图中点即为对称中心，的坐标为． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将平移至，使得点的对应点的坐标为，请在图中直接画出平移后的； (2)将绕原点旋转后得到，直接在图中画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称．（直接写出该点坐标） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点对应点，则三角形向左平移4个单位作图即可； （2）根据绕原点旋转，顺次连接即可得到； （3）连接对应点即可确定交点位置，由此可得坐标． 【详解】（1）解：由点对应点， 则向左平移4个单位得到，如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：连接，，，如图，可得交点， 则与关于点中心对称． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)平移，得到，若点的对应点的坐标为，请画出； (2)以点为对称中心，请画出与成中心对称的； (3)绕点______旋转可以得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质进行画图； （2）根据中心对称的性质画图； （3）根据中心对称的性质求出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：由的对应点的坐标为，可得， 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为，即， ∴绕点旋转可以得到． 题型07中心对称图形性质求面积 方法技巧：过对称中心的直线平分面积，不规则图形可转化计算。 【例题7】.（2026·江西·三模）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，至少经过两个格点作一条直线，其中能将阴影部分的面积平分的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】观察图形可知，阴影部分是中心对称图形，找出其对称中心，根据中心对称图形的性质，过对称中心的直线能平分其面积，再结合“至少经过两个格点”的条件找出所有符合条件的直线即可． 【详解】解：如图， ∵至少经过两个格点作一条直线， ∴能将阴影部分的面积平分的直线有，，，，，共条． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和___． 【答案】60 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：60． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的中心对称性，解决此题的关键是找到对称中心． 先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可． 【详解】解：如图所示． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)图见详解， (4)见详解 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，旋转作图，轴对称图形与中心对称图形等，掌握中心对称作图、旋转作图的作法，理解轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． （1）按画已知图形关于某点对称的图形的作法作图，即可求解； （2）要求进行旋转作图，即可求解； （3）四边形是正方形时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，用割补法求面积，即可求解； （4）连接、交于点，作射线，截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段为所求作； （2）解：如图，线段为所求作； （3）解：如图，四边形为所求作； 四边形的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，点为所求作． 一、单选题 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 2．刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆的面积．设圆的半径为R，其内接正n边形的面积记为．下列选项中，中心对称图形个数最多的一组是（    ） A．正三角形、正方形 B．正方形、正五边形 C．正五边形、正八边形 D．正方形、正八边形 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义，正多边形只有边数为偶数时才是中心对称图形，据此即可得出结果． 【详解】解：∵把一个图形绕某点旋转，若旋转后的图形能和原图形重合，则该图形是中心对称图形， ∴对于正多边形，只有边数为偶数时，绕中心旋转后能与自身重合，即边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形不是中心对称图形， ∴正方形、正八边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形，故选：D． 3．围棋起源于中国，是拥有4000多年历史的二人策略棋类，被誉为“棋之鼻祖”，是琴棋书画四艺之一．下列用棋子摆出的图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 二、填空题 4．若点与点关于原点对称，则___． 【答案】 【分析】本题考查原点对称的性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标的特点是：横纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，； ∴． 5．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 【答案】① 【详解】解：如图， 当涂灰①时，图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 当涂灰②时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰③时，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰④时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 6．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 【详解】解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 三、解答题 7．如图，在中，点D是边的中点，已知，． (1)作出与关于点D成中心对称的图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形， （2）解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．平面直角坐标系如图所示． (1)请画出先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的图形； (2)请画出关于原点O中心对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，再顺次连接即可； （2）作出三个顶点关于原点O的对称点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求 9．如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”． (1)在图1中再涂黑1格，使新涂黑的图形为轴对称图形． (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 10．如图，正六边形中，为上一点，连接．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图（1），连接，，过点作一条直线平分的面积； (2)在图（2）中作出将绕点O旋转得到的及旋转中心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据正六边形的特点连接，则得到的中点，再根据等底等高面积相等，作过的中点和点G的直线即为所求； （2）连接对角线，对角线的交点即为旋转中心，根据旋转的性质即可得到中心对称图形． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：如图即为所求． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 中心对称 教学目标 1.理解中心对称图形与成中心对称的概念。 2.掌握中心对称的性质，会进行简单计算与判断。 3.能画出已知图形关于某点的中心对称图形。 4.区分中心对称与轴对称，解决综合识别问题。 教学重难点 重点 （1）中心对称图形的概念与性质 （2）两个图形成中心对称的特征 （3）中心对称作图 难点 （1）中心对称与轴对称的辨析 （2）利用中心对称性质计算面积与线段 （3）确定对称中心与中心对称作图 知识点01：中心对称图形 1.定义：在平面内，一个图形绕某一点旋转 后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，该点叫 。 2.本质：旋转角为 °的特殊旋转对称图形。 3.性质： 对称点的连线经过 ，且被对称中心 。 过对称中心的任意一条直线，把图形分成 的两部分。 4.常见图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·四川达州·期中）下列达州巴文化图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：两个图形成中心对称 1.定义：把一个图形绕某一点旋转 °，能与另一个图形重合，则这两个图形成中心对称，该点叫 。 2.性质： 两个图形 。 对称点的连线经过 ，且被对称中心 。 3.判定：对应点连线都经过某一点，且被该点平分，则这两个图形成中心对称。 4.确定对称中心： 方法1：取一组对称点连线的 。 方法2：两组对称点连线的 。 【即学即练】 1．（24-25九年级上·全国·暑假作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 知识点03：中心对称作图 1.步骤：连关键点与对称中心→延长→截取等长→顺次连接对应点。 2.依据：对称点到对称中心的距离 。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： (1)在网格中画出关于O点的中心对称图形； (2)以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 知识点04：中心对称与轴对称的区别与联系 对比项目 中心对称 轴对称 变换方式 绕点旋转180° 沿直线翻折180° 对称元素 对称中心（点） 对称轴（直线） 相同点 都不改变图形的形状与大小，变换前后图形全等 【即学即练】 1．（25-26九年级上·全国·期中）下列关于与的几何变换中，配对正确的是（ ） Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移． A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ 题型01识别中心对称图形 方法技巧：绕某点旋转180°能与自身重合，即为中心对称图形。 【例题1】.（25-26九年级下·山东临沂·期中）为传承中华优秀传统文化，弘扬非物质文化遗产，学校开展非遗剪纸进校园主题实践活动．在老师的指导下，同学们动手创作剪纸作品，在实践中感受传统艺术与数学知识的融合之美．请判断下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·黑龙江佳木斯·二模）下列剪纸图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A．B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型02确定对称中心位置 方法技巧：两组对称点连线的交点，或对称点连线的中点。 【例题2】.（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 题型03 涂阴影构造中心对称图形 方法技巧：确定对称中心，补涂后使图形绕该点旋转180°与自身重合，按定义逐一验证涂法。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·贵州遵义·期中）（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·期中）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． (1)在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； (2)在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 题型04画中心对称图形 方法技巧：作关键点关于对称中心的对称点，再顺次连接。 【例题4】.（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，和关于某一点成中心对称，找出对称中心O，并补全． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形和点，画四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形，以顶点为对称中心，画出与四边形成中心对称的图形． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）画图题（保留必要画图痕迹，不需要写画法）：如图，已知直线和． (1)画出关于直线成轴对称的 (2)在直线上找一点，并画出关于点成中心对称图形，让所得三角形至少有一顶点与的三个顶点之一重合．（只需画出一种情况即可） 题型05网格中的中心对称作图 方法技巧：按格点定位，延长并截取等长确定对称点。 【例题5】.（2026·安徽马鞍山·二模）在边长为1的正方形网格中有格点（顶点均是网格线的交点）和格点． (1)将向上平移个单位，向右平移个单位得到，画出； (2)以点为旋转中心，将旋转得到，画出； (3)借助网格过作，垂足为． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下图中每个小正方形网格的边长为，在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)作关于点的中心对称图形； (2)将平移，使得点平移到图中点位置，点、点的对应点分别为点、点，画出； (3)在（2）中，四边形的面积为______． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出关于直线轴对称的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)在直线上找一点，使的周长最小． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 题型06中心对称与坐标结合 方法技巧：关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。 【例题6】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为．平移，使点A的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为_________． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． (1)点的坐标为________，请画出； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将平移至，使得点的对应点的坐标为，请在图中直接画出平移后的； (2)将绕原点旋转后得到，直接在图中画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称．（直接写出该点坐标） 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)平移，得到，若点的对应点的坐标为，请画出； (2)以点为对称中心，请画出与成中心对称的； (3)绕点______旋转可以得到． 题型07中心对称图形性质求面积 方法技巧：过对称中心的直线平分面积，不规则图形可转化计算。 【例题7】.（2026·江西·三模）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，至少经过两个格点作一条直线，其中能将阴影部分的面积平分的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式题7-1】.（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和___． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 一、单选题 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆的面积．设圆的半径为R，其内接正n边形的面积记为．下列选项中，中心对称图形个数最多的一组是（    ） A．正三角形、正方形 B．正方形、正五边形 C．正五边形、正八边形 D．正方形、正八边形 3．围棋起源于中国，是拥有4000多年历史的二人策略棋类，被誉为“棋之鼻祖”，是琴棋书画四艺之一．下列用棋子摆出的图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若点与点关于原点对称，则___． 5．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 6．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 三、解答题 7．如图，在中，点D是边的中点，已知，． (1)作出与关于点D成中心对称的图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 8．平面直角坐标系如图所示． (1)请画出先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的图形； (2)请画出关于原点O中心对称的图形． 9．如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”． (1)在图1中再涂黑1格，使新涂黑的图形为轴对称图形． (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 10．如图，正六边形中，为上一点，连接．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图（1），连接，，过点作一条直线平分的面积； (2)在图（2）中作出将绕点O旋转得到的及旋转中心O． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $