专题01 平面向量及其应用（4考点期末真题汇编，重庆专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 重庆多所重点中学高一下期末试题汇编，聚焦平面向量与解三角形4大高频考点，涵盖选择、填空、解答等题型，注重基础运算与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约20题|向量运算、坐标表示、正余弦定理|结合等边三角形、平行四边形等几何图形| |多选题|3题|向量基底、投影向量、三角形性质|考查向量关系判断与多结论辨析| |填空题|约10题|向量模长、坐标运算、三角形面积|设置单位向量、动点最值等问题| |解答题|约10题|向量证明、正余弦定理应用|含公园规划、山高测量等实际情境，需综合几何与代数推理|

专题01 平面向量及其应用 4大高频考点概览 考点01平面向量的运算 考点02平面向量基本定理及坐标表示 考点03余弦定理、正弦定理 考点04 余弦定理、正弦定理应用举例 一、单选题地 城 考点01 平面向量的运算 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知是边长为4的等边三角形，则（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据数量积的定义解题即可. 【详解】在边长为4的等边三角形中，和的夹角为，， 所以． 故选：D 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【详解】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A 3．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)已知向量满足与的夹角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用数量积定义及数量积的运算律求解. 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 故选：B. 4．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 5．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（    ）． A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向量模的平方等于向量自身平方将平方，再根据向量数量积的运算律展开并结合已知条件进行计算. 【详解】 因为，是单位向量，所以，且，代入得： 则 故选：A 6．(24-25高一下·重庆南开融侨中学校·期末)在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，由向量的加法公式得，再由模长的性质得到最值. 【详解】，， 所以， 所以， 所以，即， ， 因为，， 根据向量模长的性质，最大值为，最小值为， 故选：D. 7．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知，，向量与的夹角为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将两边平方，结合向量数量积定义得到关于的等式，求解即可. 【详解】由两边平方，得， 所以， 即，解得或 ∵，∴， 故选：A. 二、填空题 8．(24-25高一下·重庆·期末)已知，则______. 【答案】 【分析】利用数量积的运算律求得，然后利用数量积的运算律求解模即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 9．(24-25高一下·重庆·期末)已知是所在平面上的一点，且. (1)证明：； (2)若，记， （i）当时，求； （ii）比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii），理由见解析 【分析】（1）根据数量积为0得出即可证明； （2）（i）根据已知化简得出，计算求解；（ii）作差计算化简再结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）由，得，所以① 由，得，所以② 由①，②得：，从而， 即，故. （2）作于，由， 得，， ， ，故， ，当且时，. ， 所以， 所以， 所以 所以. （i）当时，. 所以. （ii）. 由题意，， 所以. ， 因为，所以， 从而， 当且仅当时，取“”. 所以，即. 10．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)如图，在平行四边形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量线性运算的几何意义，用、表示出向量，即可求出、的值，代入即可. （2）将也用、表示，结合已知条件和数量积的定义求解即可. 【详解】（1），，，又，，故. （2），， 又，，，， 故的值为. 地 城 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 2．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 3．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)在中，为CD中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 4．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表达式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：C. 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在平面直角坐标系xOy中，在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出A,B点的坐标，写出的表达式，即可求出最小值. 【详解】由题干知：由①，设， 那么，即求参数t的最小值，因为 ， 所以代入①式整理得：，因为此方程有解， 故，解得， 故最小值为： 故选：A 6．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基地不能共线的要求，逐个判断各选项是否正确. 【详解】零向量于任意向量共线，所以A错误， 因为，所以B错误， 因为，所以C错误， 不共线，所以D正确； 故选：D. 7．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系：    则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 二、多选题 8．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点P是边BC的中点 B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C．若，则 D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 【答案】BD 【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，P为边BC的中点等价于， 即，，故A错误； 对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点， 则， 即，，即，故B正确； 对于C，若，则，且， 如图2，设，即，则点在边上， 点为的中点，所以，即C错误； 对于D，若，所以，且， 如图3，设，即，则点在上， 又因为P在BC边的中线上，则即为中线，从而点P为的重心，故D正确. 故选：BD． 9．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与方向相反的单位向是是 C．与的夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向是为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，由向量的坐标运算可直接判断；对于选项B，由相反的单位向量为可直接得答案；对于选项C，可求出，，，根据数量积的公式即可判断；对于选项D，根据投影向量的计算公式即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，与相反的单位向量为，故B正确； 对于C，因，所以，所以C不正确； 对于D，由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)在四边形中，若，则该四边形的面积为______ 【答案】10 【分析】根据向量的坐标运算可知，结合模长公式可求面积. 【详解】因为， 则，且， 可知，所以该四边形的面积为. 故答案为：10. 11．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知向量，向量，则的值是__________. 【答案】 【分析】利用向量坐标求出的坐标，再由向量模长公式计算即得. 【详解】由，，可得， 则. 故答案为：． 12．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)如图，在矩形中，为的中点，若以向量为基底，则______（用向量表示） 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为： 13．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，则，由即得解. 【详解】由题意知，．设， 则． 又，∴，∴． 故答案为：. 14．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)已知向量，若，则实数___________. 【答案】4 【分析】先求，利用共线向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有：，由有：，解得， 故答案为：4. 15．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量的意义求得结论. 【详解】由已知可得，.因为，所以， 所以，所以，所以， 解得或（舍去），所以， 所以，向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 四、解答题 16．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，，，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量及平面向量数量积的运算律即可求解； （2）由两向量夹角为钝角则点积小于0且不共线即可求解范围． 【详解】（1）∵，，与的夹角为30°，， ∴． （2）∵向量与的夹角为钝角， ∴ ， ∴即或， 又与不能共线， 当与共线时，设，， 得， 所以实数的取值范围为． 地 城 考点03 余弦定理、正弦定理 1、 单选题 1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理得到与的关系式，然后利用基本不等式对其进行变形，从而求出的最大值. 【详解】由余弦定理，代入， 得 根据完全平方公式，则，将其代入上式可得： 因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以 代入 设，则 即，两边同时乘以3得到 因为，所以 即 所以的最大值为 故选：D 2．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【详解】因为，，，由正弦定理， 可得，即，可得， 由余弦定理可得，所以. 故选：B． 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 4．(24-25高一下·重庆·期末)在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角可得，再结合条件可得，最后由面积公式得解. 【详解】由及正弦定理， 可得， 因，所以， 又，则有， 若，则有，则， 所以. 选选：B. 5．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】由余弦定理可求得，利用正弦定理可求得外接圆的半径. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. 6．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得到，又，所以，故. 【详解】由正弦定理得，即， 所以， 又，所以，故. 故选：C 二、多选题 7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知内角的对边分别为点为的重心，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．的面积最大值为 D．a的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据三角形重心的性质、向量的线性运算即可求解A，根据模长公式以及基本不等式即可求解B,由三角形的面积公式即可求解C ,根据余弦定理，结合不等式即可求解D. 【详解】    设边中点为，因为点为的重心，则 又因为，所以，故选项A正确； 已知，两边平方可得 因为，所以，又则 根据基本不等式，可得，即 所以，故B错误； 因为，，所以 由，可得，当且仅当时取等号，故C正确； 由余弦定理，将变形为代入可得： 因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 8．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的取值范围为 D．若为的中点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求，可判断A，利用基本不等式来推理可判断B，利用举反例可判断C，利用中线向量来求中线长可求解取值范围来判断D. 【详解】由，结合正弦定理角化边得：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，故A正确； 再由，因为，所以， 又因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，此时，故B正确； 在直角中，，，斜边，故C错误； 由中线平方可得：， 即，利用可得： ，因为， 所以，当且仅当取等号， 因为，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知的内角，，的对边分别为，，，且，则______ 【答案】 【分析】由余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 10．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理求出的值，结合的取值范围即可求解. 【详解】利用余弦定理可得， 又因为，所以． 故答案为：. 11．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时，__________. 【答案】/ 【分析】由等面积法可得，由正弦定理得：，结合余弦定理可得，由辅助角公式结合三角函数性质即可得解. 【详解】设BC边上的高为h，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 又， ， 令，则，则， ∴当时，取得最大值，此时，. 故答案为：． 12．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)中，为三角形的垂心，又，则___________. 【答案】 【详解】 如图所示，过作于，过作于，，连接, 在中，，那么， 则， 又  故， 可知， 所以； 故答案为：. 13．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 【答案】 【分析】①先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解； ②过作的平行线，交于点，分别在中运用余弦定理，求得，结合即可求得的面积. 【详解】①因为， 由正弦定理，得 即 因为，所以 所以 因为，所以 所以. ②因为的外接圆半径为，， 由正弦定理，得，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以 因为D在边BC上，且，所以. 如图，过作的平行线，交于点. 在中，. 由余弦定理，得 即， 所以， 又 所以 故的面积为. 故答案为： 四、解答题 14．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知的内角所对边分别为，若，，. (1)求边长的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理联立解方程组可得结果； （2）代入三角形面积公式计算即可； 【详解】（1）由余弦定理得，即， 又,联立解得 故； （2）由（1）知的面积为 15．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在中，内角所对的边分别为. (1)若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. (2)若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)①2② (2) 【分析】（1）①由三角形面积公式、数量积的定义列式，两式相比即可求解；②由余弦定理、基本不等式可得，再结合乘1法即可求解最小值； （2）由正弦定理、余弦定理以及基本不等式可得，故只需求得的最小值即可. 【详解】（1）①若的面积为1，则，若，则， 两式相比，可得； ②,由余弦定理： , 所以 ， 等号成立当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 所以的最小值为； （2）由题意恒成立， 只需，所以， 由余弦定理，由正弦定理， ， 在锐角中，，令， 则表示四分之一单位圆上的动点与定点连线斜率， 如图所示， 由图可知，当与圆弧相切时，最小，此时， 而， 所以， 所以， 解得，而，所以， 所以， 所以式子，所以，等号成立当且仅当且， 所以存在满足题意，且. 16．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解. （2）由（1）可知，根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式进一步求出与，最后利用两角和与差公式即可求解. （3）根据面积公式和余弦定理变形公式即可求解. 【详解】（1）解：（1）因为， 由正弦定理得， 即， 因为，则，故. （2）因为，且，则， ， . ， ， . （3）， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 17．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角的三角函数关系化简后，运用正余弦定理即可求得； （2）先由条件求出角，利用正弦定理求出边的长，即得三角形的周长. 【详解】（1）由 可得， 即， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：， ，. （2）在中，由（1）得，因，则， ， 由正弦定理可得：， 即，则，， 则的周长为. 18．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)中，内角所对的边分别是，若， (1)求的大小； (2)若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，根据诱导公式、和差公式辅助角公式即可求解； （2）在中利用余弦定理可求出，在中利用余弦定理可求出，再利用面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理知：， 可得：， 又，则， 代入上式，可得， 所以，由于， 可得，即， 由，所以，所以. （2）在中，， 所以，解得（舍负）， 又即， 由， 所以，可得BC边上的高. 19．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 由（1）得，解得， 所以的周长为. 地 城 考点04 余弦定理、正弦定理应用举例 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 2．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)如图，某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为.则大楼的高度为（    ）m. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理得到，进而由三角函数求出. 【详解】在中，，，， 故， 由正弦定理得，即， 故， 在Rt，，z则m. 故选：B. 二、解答题 3．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. (1)求角的大小； (2)若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式得，由正弦定理得，最后由两角和的正弦公式即可求解； （2）①利用得，在和利用余弦定理得，在中由余弦定理得，即可求解，进而得，又即可求解； ②记则，在中，由正弦定理得，在等腰中，，由即可求解. 【详解】（1）由得，， 则，由正弦定理得 ； （2）①在中，由余弦定理：得： ，化简的：① 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ， ； ②记则， 在中，由正弦定理得： 在等腰中， 由题意，则， ，即的取值范围为. 4．(24-25高一下·重庆·期末)如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中. (1)若公园区域是一个占地面积为平方千米的钝角三角形，需要修建多长的步道？ (2)在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角形的面积公式和同角基本关系式可得，再利用余弦定理可解； （2）根据正弦函数的值域和三角形面积公式可得，设，由正弦定理和面积公式以及三角恒等变换得，从而求最值. 【详解】（1）， 根据三角形的面积公式可得， 解得， 由是钝角，得， 根据余弦定理可得， ， 所以需要修建的步道. （2）由题意，， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，根据正弦定理可得， 根据三角形的面积公式可得 ， 由，得，当， 即时，， 此时. 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)中，内角所对的边分别是. (1)若，求的最小值； (2)若的内切圆半径是，且. （i）请判断三角形的形状并说明理由； （ii）若，请写出两个函数与，对于一切满足条件的实数，使得且式子恒为定值； 【答案】(1) (2)（i）钝角三角形，理由见解析；（ii） 【分析】（1）根据余弦定理，写出角的余弦值，根据基本不等式，求出余弦值的最小值； （2）（i）根据正弦定理，求出三边之间的关系，再根据余弦定理，求出角的正弦值和余弦值之间的关系，再根据角的范围，判断三角形的形状； （ii）根据正弦两角和的公式和正弦二倍角公式，对已知条件进行变形，得角的余弦值关系式，代入题干条件，列出方程，根据等量关系，求出两个函数的函数关系式. 【详解】（1）由平方可得 又 故的最小值为，当且仅当时，等号成立 （2）（i）由可知： 那么不等式可化为： 即， 则， 即，平方可得，化简得， 由于，故即C为钝角，所以为钝角三角形； （ii）由可得： ， 展开有：， 即：即 又由， 可得， 即， 又由知， 即，平方可得：， 即， ， ， 那么：， 即， 6．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】(1); (2); (3). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可. （3）由（1）得利用基本不等式求得，再根据D为的中点， 得，平方并利用向量数量积的运算律得，即可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. （2）由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. （3）因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 平面向量及其应用 目目 考点01 平面向量的运算 2 3 4 5 6 7 D B A D A 8.2V3 9.【答案】(1)证明见解析 (2)(i) :（i）元+u>,理由见解析 5 【分析】(1)根据数量积为0得出C万⊥AB即可证明： (2)(i)根据已知化简得出C7=tand4)万+tanBBH,计算求解；(i)作差计算化简再结合基本不等式计 算求解 【详解】(1)由A⊥BC,得A丽，BC=0,AF(AC-AB=0,所以AAC=AAB① 由BH⊥AC,得BF·AC=0,(AF-ABAC=0,所以AH,AC=AB.AC② 由①，②得：AH.AB=AC.AB,从而AF-ACAB=0, 即C五.AB=0,故C五⊥AB (2)作CE⊥AB于E,由CF=2AF+μBH, 得2AH·AB+μBH·AB=CH,AB=0,2AE.AB+μBE.AB=0, 元AEAB=μBEAB, AE=μBE,故 CE CE tan∠BAC=u； tan∠ABC 久m∠ABC=Ham∠BAC,当A+号且B*号时，女ZABC 元_tan∠BAC CH.BC=1AH,BC+μBH.BC=μBH.BC H (CA+AHBC=uBA+AH)BC→CA·BC=uBA.BC, E 1/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以C:BCcos元=uBA:BC cos.∠ABC, 4 π π CA cos sin∠ABC 所以u= =tan∠ABC, BA cos∠ABC π sin COS∠ABC 4 所以u=tan∠ABC,入=tan∠BAC 所以CH=tan∠BACAH+tan∠ABCBH 1 (i)当tan∠BAC=。时， 2 tan∠ABC=tan(π-∠BAC-∠ACB)=-tan(∠BAC+∠ACB)=-tan∠BAC_tan∠ACB_l 1-tan∠BAC tan∠ACB3 所以元+u=tan∠BAC+tan∠ABC=3 6 (ii)元+u=tan∠BAC+tan∠ABC,u=tan∠BACtan∠ABC 由题意，tan(∠BAC+∠ABC) an∠BAC+tan∠ABC-元+L=l, 1-tan∠BACtan∠ABC1-2u 所以元+4=1-24 2+a-a=2+-aem∠c+m∠4c-1=m☑ac+m月2ac -2macm281-we+e2c小1-2：smac2acy小l 1+tan∠BACJ 因为0<∠BAC<,所以0<an∠B4C<L, 2 从而21+a81C+1+am2BAC21245-小-1=4W5-5, 当且仅当tan∠BAC=√2-1时，取“=” 所以入+4-μ>0，即入+4>2， 10.【答案】1)-1 (2)-18 【分析】(1)结合向量线性运算的几何意义，用AB、AD表示出向量EF,即可求出x、y的值，代入即 可 (2)将AC也用AB、AD表示，结合己知条件和数量积的定义求解即可. 【详都】D:服=8c.示-历厅-c+G-c-沉号而-号孤.又 2/14 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)C-B+D,4cF-(西+列}0-号西}而-号孤-名而， 又AB=6,AD=4,∠BAD=60°， .AC.EF=IAD-24B-14B.AD=1x16-2 1 ×36-×6×4×c0s60°=8-24-2=-18， 6 6 故AC.EF的值为-18 目目 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 2 3 4 5 6 7 8 9 D C B C A D BD ABD 10.10 11.2√5 12.c-号孤 13.[5-5,5+5 14.4 15.( 16.【答案】(1)5 (2-0,-25U(-2v5,2U(6,+o) 【分析】(1)根据投影向量及平面向量数量积的运算律即可求解； (2)由两向量夹角为钝角则点积小于0且不共线即可求解范围 【详解】0》6,=2,5消夹角为30,=风s30r=5x59-6 2×24 6-2--2d--4 cos 30+2网-6-9+9-5. (2》:向量日-习与2a-4)的夹角为钝角， (6-a-同-6-5ja-=-56-64 4 =-xa9若5x2号24=f以-30 22-82+12>0即元<2或1>6， 又a-号与a-4d不能共线， 3/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当[6-音与d-共线断，设6-=a-4.<0, 得=-25， 所以实数元的取值范围为(-0，-25U(-25,2U(6,+∞). 目目 考点03 余弦定理、正弦定理 2 3 4 5 6 7 8 D B A B B ACD ABD 9.v6 12 10. 3π 1.25/25 55 12.3+2V5 2π 12W5 14.(1)b=2(2)V5 15.【答案】(1022？ (2v分 7 【分析】(1)①由三角形面积公式、数量积的定义列式，两式相比即可求解；②由余弦定理、基本不等式 可得 1 4 1 ,再结合乘1法即可求解最小值； sinA 1-cosA 1+cos A 1-cosA 2》由正弦定理、余法定理以及基木不等式可得，+办之2.咖C abc c0sC、4),故只需求得 3 -2.sin C 4,C∈0 π 2 的最小值即可 cos C- 3 【详解】(1)①若ABC的面积为1，则号-besinA=l,若BA.CA=1,则cbcosA=1, 两式相比，可得tanA=2; ②besin 4=1=bc=2由余弦定理： sin A b+-2bccos Az2be-2bccos4=2bc(1-cos)41-c) sin A 4/14 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 4(1-cos 4) 所以a2 1 sin A 1 4(1-cos A)1 sinA 1-cosA sin A 1-cosA sin2A 1-cosA 4(1-cos A) 1 4 1 1-cos2 4 1-cosA 1+cos A'1-cos4 -i-s4n-cas4i7-dd +1 -5+4cos+cs4}上5+2)-2 21 1+cos 4 1-cos4 2 等号成立当且仅当41-cos1-1+cos4且6=c, 1+cos A 1-cosA 即当且仅当41-cos4A)2=(1+cos42且b=c, 即当且仅当2(1-cosA)=1+cosA且b=c, 即当且仅当cosA=号且b=c, 所以a 1 9 sinA 1-cosA 的最小值为 (2)由题意abc≤(a2+b+3c2)→元≥， abc 「a+62+3c恒成立， abc abc 只需九2 a2+b2+3c2 ,所以入an= max a2+b2+3c)mm 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,由正弦定理c=2 R sin C=12sinC, abc 12absin C a2+b2+3c2= a2+b2+3(a2+b2-2abcosC) 12absin C 12absin C 6sin C -2. sin C 4(a2+b2)-6abcosC 8ab-6abcosC 4-3cosC 4 cosC- 3 在锐角ABC中， ). 则k表示四分之一单位国上的动点P与定点A信0连线斜率， 如图所示， 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 由图可知，当AP与圆弧相切时，k最小，此时OP.AP=0, (.)p(cosc.inc).c 所以op-(oC.sinC),4P=eosc-专snC, 所以cos2C-4cosC+sin2C=0, 3 解得cosC=3 而ce引： 所以sinc= 4 万 所以k=sinC 4 3√7 cosC-4-34=- 7 343 所以式子9s5,所以，abc， 7 2十212s6V7,等号成立当且仅当a=b且cosC 7 所以存在A满足题意，且入-6万 7 16.【答案】（①cosC=4 1 (2)215+17 64 (3)30+V10 【分析】(1)根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解 (2)由(1)可知，根据同三角函数关系可求出sinC,再根据正弦定理求出sinA,根据二倍角公式进一步 求出sin2A与cos2A,最后利用两角和与差公式即可求解 (3)根据面积公式和余弦定理变形公式即可求解， 【详解】(1)解：(1)因为ccosA=(4b-acosC, 由正弦定理，&C得nCos4=(inB-s到esC, sinA sinB sinC 4sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sin(n-B)=sinB, 6/14 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 因为Be0,π，则sinB>0,故cosC= 4 (2)图为eosc=}且Ce0x小，则mC=-osC: 4 C ,a=1,c=2, sinA sinC 12 5 sinA 15 ,∴.sinA= 8 4 a<C4e0号co472AE2sin14E2g577因 8 8832 .cos2A=2(cos4A02-1=2× 7 1 321 sin2A+ 6 =sin2Acos+cos2 sin17121+17 -X X 6 “6322322 64 3)Suc =absinC=g ab=15...ab=8. 因为由余弦定理得2 abcosC=a2+b2-c2, 于是(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2ab(cosC+1=20, 因为a+b=V3c,则(a+b)2-c2=2c2=20,所以c=√10， 因此a+b=√5c=V30,于是ABC的周长a+b+c=30+V10 17【答案】0写 (2)3+V3+V6 【分析】(1)利用同角的三角函数关系化简后，运用正余弦定理即可求得； (2)先由条件求出角B,利用正弦定理求出边b,C的长，即得三角形的周长 【详解】(1)由sin2A+cos2C=cos2B+sinBsinA 可得sin2A+1-sin2C=1-sinB+sinBsinA, sin2A+sin2B-sin'C=sinBsinA, 由正弦定理可得：a2+b2-c2=ab, 由余弦定理可得：cosC=a+b-c2-ab_1 2ab2ab2’ 0≤C<x,C= 3 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)在48c中，由1)得C-骨因4：异则8= 12 sinB=sim5=sin径+马）=V6+v2 )= 12 464 由正弦定理可得： a b sind sinB sinC' 2 b 即sin 4 sin 5π，则c=√6，b=V3+1, 12 则ABC的周长为C.4Bc=Q+b+c=2+V3+1+V6=3+V5+V6 18【答案】04-骨 ②327 7 【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，根据诱导公式、和差公式辅助角公式即可求解； (2)在△ABE中利用余弦定理可求出C,在ABC中利用余弦定理可求出Q,再利用面积公式即可求解 【详解】(1)由正弦定理知：a=2 R sin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 可得：sin AcosC+V3 sin Asin C-sinB-sinC=0, 又A+B+C=元，则sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C), 代入上式，可得sin AcosC.+V3 sin AsinC-sin(A+C-sinC=0, 所以√5 sin Asin C-cos AsinC-sinC=0,由于sinC≠0， 可得5n4-a4=1,即(4)分 由4e@网，所以4名-云所以4-号 (2)在△ABE中，BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cOSA, 所以7c=c2+9-30,解得c-2《舍负)， 又a2=b2+c2-2 bccosA=28即a=2V7, 由S4c=)besin=ah, 2 2 所以)×6x2x5x =二x2√7·h,可得BC边上的高h= 3√21 2 22 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 19.【答案】（①）4= 3 (2)7+V13 【分析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得 (2)利用三角形面积公式及(1)中信息求出b+c即可， 【详解】(1)在ABC中，由-b-m4+si血B及正弦定理，得9-b-a+b, a-b sin C a-b c 整理得分+c-口=c,由余教定理得ms4:“c公-宁而0<4<x, 所以4-骨 （2)由ABC的面积为35，得besin=5bc=35,解得bc=12, 4 由(1)得13=a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-36,解得b+c=7, 所以ABC的周长为a+b+c=7+√3 目目 考点04 余弦定理、正弦定理应用举例 1.A 2.B 3.【答案】（①）B= 2π 205,②0.2) 7 【分析】(1)利用二倍角的余弦公式得2b(cosA+1)=a+2b+2c,由正弦定理得 2 sin B cos A=sinA+2sinC,最后由两角和的正弦公式即可求解； (2)①利用MC=3AM得AM=1,MC=3,在△BMC和△BMC利用余弦定理得a2+3C2=16,在ABC中 由余弦定理得a2+c2+ac=16,即可求解a,C,进而得S4c,又S。BMc= S4c即可求解： 4 ②记∠C=0则∠A-胥-0，在4BC中，由正弦定理得a=号m m仔-小右等腰△8MC中. BM= ,由0<0<匹即可求解 【详解】（1D由4hc0s2=a+2b+2c得，2(c0s4+)=a+26+2c, 9/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 则2 bcosA=a+2c,由正弦定理得2 sin B cosA=sinA+2sinC .A+B+C=,.sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B .2sin B cos A=sin A+2sin Acos B+2cos Asin B,.sin A+2sin Acos B=0 .A∈(0，π)，sinA>0,.∴.cosB= 2B∈(0，，B=2 1 3 (2)①在ABC中，由余弦定理：b2=a2+c2-2 ac cos B得： 16=a2+c2-2a.cos- S3，化简的：a2+c2+ae=16① MC=3AM,.AM=1,MC=3 由∠AMB+∠CMB=π得coS∠AMB+coS∠CMB=O 即：AM+BM-AB+CM+BM-BC=0,代入数据化简得： 2AM·BM 2.CM.BM 8 a=- 7 a2+3c2=16②，联立①②得a=2c代入②式解得： 4 c= 1 184 2元83 S.4ac=2 acsin B=2× =x sin- 2√7√7 37 _385_65 S BMCS.ABC 4 77 ②记∠C=0则∠A=文-0， 3 b a 在4BC中，由正弦定理得：sin2 3 sin 0…a8、 3 8 3 在等腰△BMC中，BM=2。 sinπ- =33 42 os0- sine45tan0 522 cose 2cose 2c0s0 3 cos0 由题意0<0<骨 则tan0e(0,V3), 4V31 V322 an0∈(0,2)，即BM的取值范围为(0,2) 4.【答案】(1)√7km 255,5km 4 D根拼三角的血面积公式和同角基本关系式可得c0sC·再利用余弦 10/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2） (2)根据正弦函数的值域和三角形面积公式可得BD=√5，设LABD=α，a∈0，二π，由正弦定理和面积 3 公式以及三角恒等变换得S。BD= -+sin 2a- 从而求最值 62 【详解】(1)CD=1km,BC=2km, 根据三角形的面积公式可得S.ac=)BC-CD-sinC=)x1x2×si血C=y5 1 2 解得sinC= 2 由C是钝角，得c0sC:- 2 根据余弦定理可得， BD=BC2+CD2-2BC.CD.cosC 22+1P-2×2x1× 2 =7, 所以需要修建√万km的步道， (2)由题意，Sm=)BC-CD-sinC≤BC-CD=l, 2 当且仅当C=?时取到等号，此时BD=5, 2) 设∠ABD=a,a∈0，π， 3 AD AB BD_V5_25 在△ABD中，根据正弦定理可得sina (2 sin π√53， sin 3 32 根据三角形的面积公式可得 S.D4Bsin4=5 -sinasin +sin'a 2 3 32 2 555 34 即a=时，（m55, 4 此时AB=BD=V5km. 5.【答案】(0) 11/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2'8()=-1-102 1-t (2)(i)钝角三角形，理由见解析；(ii)f()= 2 【分析】(1)根据余弦定理，写出角的余弦值，根据基本不等式，求出余弦值的最小值； (2)()根据正弦定理，求出三边之间的关系，再根据余弦定理，求出角的正弦值和余弦值之间的关系， 再根据角的范围，判断三角形的形状： (ⅱ)根据正弦两角和的公式和正弦二倍角公式，对己知条件进行变形，得角的余弦值关系式，代入题干条 件，列出方程，根据等量关系，求出两个函数的函数关系式 【详解】(1)由a+b=2c平方可得a2+2ab+b2=4c2 cosC=+b2-c2 a+b_a+b+2ab 又 4 3(a2+b2）1、6ab1_1 2ab 2ab 8ab 4-8ab42 故cosC的最小值为；，当且仅当a=b时，等号成立 (2)(i)由S=,rc可知：r=2S=absinC 1 2 C a+b+c 2 S absinC、1 那么不等式可化为：r= >-(a+b-C) C a+b+c 2 2absinC>(a+b-c)(a+b+c), 2absin C>a2+b2+2ab-c2=2ab(cosC+1), 即sinC-cosC>1,平方可得sin2C-2 sinCcosC+cos2C>1,化简得2 sinC cosC<0, 由于C∈(0，π)，故cosC<0即C为钝角，所以ABC为钝角三角形； (ii)由sin2A+sin2B=tsin2C可得： sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)+(B-A)]=tsin 2[-(A+B)], 展开有：2sin(A+B)cos(A-B)=-2tsin(A+B)cos(A+B), 即：cos(A-B)=-tcos(A+B)即(t+l)cos Acos B=(t-l)sin Asin B 又由cos Acos B+f(t)cosC=0, 可得f)=cosAcosB=cosAcosB cos AcosB -cosC cos(A+B)cos Acos B-sin Asin B 即()=、 cos Acos B 11-t cos AcosB-+1 IcosAcosB 1-1+1 2, t-1 t-1 又由cos Acos B+f(t)cosC=0知2 cos Acos B+(1-t)cosC=0, 即2 cos Acos B=(t-1)cosC,平方可得：4cos2Acos2B=(t-1)2cos2C, .1+cos241+cosB(1):1+cos2C 2 2 2 12/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+cos24+cos2B+cos24cos2B=(-1)1+cos2C 2 cos24+cos2B-(-1)+cs2C-(l+cos2cos2B). 2 那么： c0s24+c0s2B-((l+c0s2C) 2 1+cos2Acos2B 即g0=--)2 2 6【学案】0 (2)3+2√5； 3 2 【分析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出c0sA,即可得A的大小； (2)利用正弦定理，表示出ABC的周长，利用三角函数求出最大值即可 (3)由(1)得b2+c2=9-bc,利用基本不等式求得(bc)mx≤3，再根据D为BC的中点， 得D-B+4C,平方并利用向量数量积的运算律得a西=c2+公-bc)=49-26,即可求得答 案 【详解】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin BsinC, 由正弦定理，得a2-b2-c2=bc,即b2+c2-a2=-bc cos4=bitc'-a'_-be 1 因为A∈(0，，所以A=2π 3 2由0)得4=经且=3 a 由正弦定理得：in B sinc sinA 3 -=25 3 .b=23 sin B,c=23 sin C =2V5sinB+π】 3 0<B号+号3<25sn+}26 13/14 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :当B=无时，b+c的最大值为2√5， 6 :.ABC周长的最大值是3+2V5 (3)因为a=3,b2+c2-a2=-bc,所以b2+c2=9-bc≥2bc 所以bc≤3，当且仅当b=c=√5时，等号成立 即bc)n≤3 因为D为BC的中点，所以而-{B+AC), 所以而=（丽+4C+2丽C 即-e+6+2加m）-+8-加-0-2咖9-2- 4 所9 故AD的最小值为 2 14/14 专题01 平面向量及其应用 4大高频考点概览 考点01平面向量的运算 考点02平面向量基本定理及坐标表示 考点03余弦定理、正弦定理 考点04 余弦定理、正弦定理应用举例 一、单选题地 城 考点01 平面向量的运算 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知是边长为4的等边三角形，则（   ） A．4 B． C． D．8 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 3．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)已知向量满足与的夹角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（    ）． A． B．2 C．4 D．5 6．(24-25高一下·重庆南开融侨中学校·期末)在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知，，向量与的夹角为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 8．(24-25高一下·重庆·期末)已知，则______. 三、解答题 9．(24-25高一下·重庆·期末)已知是所在平面上的一点，且. (1)证明：； (2)若，记， （i）当时，求； （ii）比较与的大小，并说明理由. 10．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)如图，在平行四边形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，，求的值. 地 城 考点02 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)在中，为CD中点，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在平面直角坐标系xOy中，在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点P是边BC的中点 B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C．若，则 D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 9．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与方向相反的单位向是是 C．与的夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向是为 三、填空题 10．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)在四边形中，若，则该四边形的面积为______ 11．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知向量，向量，则的值是__________. 12．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)如图，在矩形中，为的中点，若以向量为基底，则______（用向量表示） 13．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是__________. 14．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)已知向量，若，则实数___________. 15．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为______． 四、解答题 16．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，，，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 地 城 考点03 余弦定理、正弦定理 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 2．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆·期末)在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 6．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D． 二、多选题 7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知内角的对边分别为点为的重心，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．的面积最大值为 D．a的最小值为 8．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的取值范围为 D．若为的中点，则的取值范围为 三、填空题 9．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知的内角，，的对边分别为，，，且，则______ 10．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 11．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时，__________. 12．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)中，为三角形的垂心，又，则___________. 13．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 四、解答题 14．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知的内角所对边分别为，若，，. (1)求边长的值； (2)求的面积. 15．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在中，内角所对的边分别为. (1)若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. (2)若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 16．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 17．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若，，求的周长． 18．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)中，内角所对的边分别是，若， (1)求的大小； (2)若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 19．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，的面积为，求的周长． 地 城 考点04 余弦定理、正弦定理应用举例 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)如图，某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为.则大楼的高度为（    ）m. A． B． C． D． 二、解答题 3．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. (1)求角的大小； (2)若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 4．(24-25高一下·重庆·期末)如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中. (1)若公园区域是一个占地面积为平方千米的钝角三角形，需要修建多长的步道？ (2)在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度. 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)中，内角所对的边分别是. (1)若，求的最小值； (2)若的内切圆半径是，且. （i）请判断三角形的形状并说明理由； （ii）若，请写出两个函数与，对于一切满足条件的实数，使得且式子恒为定值； 6．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $