专项7 勾股定理的运用与证明-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末试卷精选（人教版·新教材）河北专版

∴y与x之间的函数解析式是y=-2x+20.(3分) (2)根据题意，得x≥5， -2x+20≥4： 解得5≤x≤8. (5分) .有四种安排车辆的方案 方案一：装运赵州雪花梨的车5辆，装运安国中 药材的车10辆，装运迁西板栗的车5辆； 方案二：装运赵州雪花梨的车6辆，装运安国中 药材的车8辆，装运迁西板栗的车6辆； 方案三：装运赵州雪花梨的车7辆，装运安国中 药材的车6辆，装运迁西板栗的车7辆； 方案四：装运赵州雪花梨的车8辆，装运安国中 药材的车4辆，装运迁西板栗的车8辆.(7分) (3)设总运费为w元.根据题意，得0=120×6x+ 160×5y+100×4(20-x-y)=320x+400y+ 8000=320x+400(20-2x)+8000=-480x+ 16000. (9分) ·-480<0,.w随x的增大而减小 5≤x≤8，.当x=8时，w最小，此时0=-480 ×8+16000=12160. 在(2)的条件下，若要求总运费最少，应安排装 运赵州雪花梨的车8辆，装运安国中药材的车4辆 装运迁西板栗的车8辆，最少总运费是12160元， (11分) 专项6 数据的分析 一、选择题 1.C2.B3.D4.D5.C 6.B【解析】小芝的成绩为90分，.该班50人的 ×39 测试成绩的平均分不变，为90分，方差为0 ×49+(90-90)]=38.22.38.22<39,.方差变 小故选B 7.B 二、填空题 8.899.96 10.121211.①② 三、解答题 12.解：(1)2 (1分) (2)55 (3分) (3)优秀率高的年级不是平均成绩也高.(4分) 理由：七年级的优秀率为20%+20%=40%，平均 成续为0×名 +80×50%+90×20%+100× 20%=85(分). (6分) 八年级的优秀率为5+5 ×100%=50%. 20 平均成绩为 60×2+70×3+80×5+90×5+100×5 20 84(分). .40%<50%,85>84, .优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级 更高 ∴.优秀率高的年级不是平均成绩也高 (8分) 13.解：(1)7.59 (3分) 5 河北专版数学 5 (2)204000×20=51000(人). .估计对甲款AI软件信息识别准确度打分超过 7分的人数为51000人. (6分) (3)甲款AI软件使用效果更好 (7分) 理由：·信息识别准确度得分的平均数甲高于 乙，而且甲的方差小于乙的方差， .甲款AI软件使用效果更好.（答案合理即可） (9分) 专项7勾股定理的运用与证明 1.解：(1)△ABC如图所示.（答案不唯一） (3分) 4 (2)△ABC是直角三角形. (4分) 理由：AC=2√5，BC=√5，AB=5, .AC2=20,BC2=5,AB2=25. ..AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形 (7分) (3)设点C到AB的距离为h 由(2)得，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， .Sw-AC.BC-AB-h. h=ACBC=25×5 AB 5 -2 .点C到AB的距离为2. (10分) 2.解：(1)连接AC '∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, ∴.AC=√AB2+BC2=15m. (3分) .CD=17m,AD=8 m, ∴.AD+CD-AC=10m. 答：居民可以少走10m. (5分) (2)连接AC.,AC=15m,AD=8m,CD=17m, ..AC2 AD2=CD2. ∴.△DAC为直角三角形，∠DAC=90°. (8分) AB BC+AD:AC- 114m2. 答：这个口袋公园ABCD的面积为114m2.(10分) 3.解：过点B作BE⊥AC于点E. CALAD,∴.BE∥AD. .∠ABE=∠BAD=30 AB-8dm,AE-ZAR-4dm. ∴在Rt△ABE中，BE=√AB2-AE2=4√3dm. （4分) .CA 10 dm,.'CE=CA-AE=6 dm. ∴.在Rt△CBE中，BC=√BE2+CE2=2W21dm. (7分) 设点A到BC的距离为hdm. 年级下册人救 SBc=CABE=BCh,即×10×4W=号 ×2W21×h,h= 0√7 7 答：点A到BC的距离为20，y7dm 7 (10分) 4.解：(1)LAPB=45° (3分) 【解析】∠PAM=60°，∠PBN=15°， .∠PAB=90°-∠PAM=30°，∠ABP=90°+ ∠PBN=105°.∠APB=180°-∠PAB-∠ABP= 180°-30°-105°=45°. (2)画图如图所示. (5分) 北 →东 M 60 .15 B :∠PAB=30°，AB=40 n mile,∴.BC=AB=20 nmile. :∠APB=45°，∴.∠APB=∠CBP=45°.∴.CP=BC= 20 n mile..BP=CP2 BC2 202 n mile. 答：BP的长为20w√2 n mile.. (10分) 专项8四边形的计算与证明 1.解：(1)①②所作图形如图所示 (4分) F (2)0B=OF (5分) 证明：连接EF.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.∠AFB=∠CBF BF平分∠ABC,.∠ABF=∠CBF. ∴.AFB=∠ABF.∴.AF=AB. .BE=AB,..AF=BE. .四边形ABEF是平行四边形 ..OB=OF. (10分) 2.解：选择方案 (1分) 连接OQ.:四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3,AD=BC=5,∠B=∠C=∠D=90° 由作图知0B=0C=28BC=25. 由折叠的性质，得AP=AB=3,0P=OB=2.5, ∠AP0=∠B=90° ∴.0P=0C=2.5,∠QP0=∠C=90° 0Q=0Q, .∴.Rt△QPO≌Rt△QCO. (5分) ∴.PQ=CQ. 设PQ=CQ=x. ..AQ=3+x,DQ=3-x. 在Rt△ADQ中，由勾股定理，得AD2+DQ=AQ2, 即52+(3-x)2=(3+x)2 河北专版数学 舒得x=总：线段c0的长为高 (10分) 或选择方案二.将△AB0绕，点0旋转180°至△RC0 处，如题图3. (1分) 四边形ABCD是矩形， .AB=CD=3,AD=BC=5,∠B=∠D=∠0CD=90° 由作图知0B=0C=2BC=2.5, 由旋转的性质，得CR=AB=3,∠BAO=∠R,∠B= ∠0CR=90°. .∴.∠0CR+∠0CD=180°. D,C,R三点共线. 由折叠的性质，得LBA0=∠OAQ. ∴.∠0AQ=∠R..QA=QR (5分) 设CQ=x,则QA=QR=3+x,DQ=3-x. 在Rt△ADQ中，由勾股定理，得AD2+DQ=AQ, 即52+(3-x)2=(3+x)2. 解将：高 线段CQ的长为2 2 (10分) 3.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，∠BAD= 120°， ∴.LABC=∠BAC=60°，AB∥CD. PE∥CD,∴.PE∥CD∥AB. ∴.∠EPC=∠ABC=60°，∠PEC=∠BAC=60°. △CPE是等边三角形. (3分) (2)证明：∠EPC=∠PEC=60°，LAPM=60°， .∠QPC+∠EPQ=60°，LAPE+∠EPQ=60°， ∠AEP=180°-∠PEC=120°. ∴.∠APE=∠QPC. ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠BCQ=∠BAD=120°. ∴.∠AEP=∠BCQ=120° '△CPE是等边三角形，∴.EP=PC ∴.△APE≌△QPC. (5分) AP=PQ.△APQ是等边三角形. ∴.AP=AQ,∠PAQ=∠PAC+LCAQ=60° ∠DAC=∠ACB=∠D=60°， ∴.∠DAQ+∠CAQ=60°.∴.∠PAC=∠DAQ. ∴.△APC≌△AQD. ∴.CP=DQ. (7分) (3)AC CP 2CH. (8分) 证明：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴.AD∥BC,∠D=60°，AD=CD. ∴∠QCH=∠D=60°，△ACD是等边三角形 ∴.AC=CD. .CD=DQ+CQ, ..AC DQ +CQ. CP=DQ,∴.AC=CP+CQ. ∠CHQ=90°，.∠CQH=90°-∠QCH=30°. ∴.CQ=2CH.∴.AC=CP+2CH. (10分) 4.解：(1)BE=DGBE⊥DG (2分) (2)(1)中的结论成立. (3分) 年级下册人救 6期末复习第2步·攻专项 专项7勾股定理的运用与证明 根据新教材及河北省新中考考情编写 满分：40分得分： 编者按：本专项结合当地期末考情，涵盖勾股定理和勾股定理的逆定理两大核心内容，以集中 式训练助力同学们查漏补缺，提升应用能力和计算技巧， 1.数学思想数形结合了（10分)如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1. (1)以图中点A为一个顶点画△ABC,使AB=5,BC=√5，AC=2√5，且点B,C都在小正 方形的顶点上； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)求点C到AB的距离 期 2.〔朝霞原创〕(10分)为稳步解决老城区缺绿少绿、群众活动场地紧张的问题，河北省计划 通过增绿添景为群众提供高质量的绿色活动空间，让城市更宜居.某小区为了给居民提 供宜居的生活环境，精心打造绿色生活空间，在住宅和护栏间建造了一个口袋公园 2 ABCD.如图，已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,护栏的夹角∠ABC=90°. 步 (1)小区部分居民每天必须从A处先到达D处再去C处，口袋公园修建好后，居民可以直 项 接从A处到达C处，则居民可以少走多少米？ (2)求这个口袋公园ABCD的面积. D 住宅 护 B护栏C 河北专版数学八年级下册人教 25 3.跨学科物理(10分)有这样一道物理试题：“如图1所示，均匀杆AB长为8dm,杆AB可 以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方10dm处固定一个定滑轮，细绳通过 定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.当杆AB与水平面夹 角0为30°时，求动力臂.”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知AB=8dm,CALAD 于点A且CA=10dm,连接CB.当AB与水平面AD的夹角为30°时，求点A到BC的距离. 请写出解答过程.（结果保留根号） B⊙ D 图1 图2 4.(10分)如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向上，航行 40 n mile到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上. 期末复习第2步 (1)直接写出∠APB的度数， (2)小刚想知道轮船行驶到B处时，该轮船与灯塔P的距离，他过点B作BC⊥AP于点C. 请帮小刚画出图形并求BP的长 北 ·攻专项 →东 M W15 26 河北专版数学八年级下册人教