精品解析：2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平第一次模拟考试数学科

2026年崇左市宁明县初中学业水平模拟考试 数学科 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 深圳铁岗水库的正常水位为28.7米，水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】规定超过正常水位为正，低于正常水位用负表示即可． 【详解】解：∵超过正常水位0.5米记作米， ∴低于正常水位米应记作米． 2. 已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出a和b的值，再代入一元一次方程求解即可，用到同类项定义和一元一次方程的解法． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴， 解得：， ∴关于x的方程， 解得：． 3. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 4. 一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】先根据概率公式列出等式，整理得到关于的不定方程，根据为非负整数、不超过原有白球数，找出所有符合条件的组合，计算组合数即可． 【详解】解：∵ 原有红球个，白球个，取出个白球，放入个红球后， 红球数量为 ，总球数量为 ， 由题意得 ， 整理得 ， ∵ ，，且(原有白球仅个)，均为整数， ∴ ，得 ，且 为偶数，故必为偶数， ∴ 的可取值为 ，对应均为非负整数，共种组合． 5. 将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案． 【详解】解：过点H作， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 6. 如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质得到，最后利用四边形内角和定理求出的度数． 【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， 是的两条切线， ，， ， 在四边形中， ． 7. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 8. 有10个人去排队买电影票，已知电影票5元钱一张，这10个人中有5人拿了5元纸币，5人拿了10元纸币，且售票员开始手中没有钱，问能使得售票员能顺利找开钱的不同方法数是（ ）（每个人看成相同的，如果第一个拿了10元纸币，那么就找不开钱了）（ ） A. 12 B. 28 C. 36 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】售票员能顺利找开钱，即买票过程中可以直接找零． 【详解】解：由题意可知： 第一个人一定拿了5元，最后一个人一定拿了10元，才会使售票员顺利找钱，否则一定不能， （1）前5个人都拿5元， （2）前4个人拿5元，第5个人拿5元的人插空，则有=5种， （3）前3个人拿5元，第4，5个拿5元的人插空，则有=10种， （4）前2个人拿5元，第3，4，5个拿5元的人插空，则有=10种， （5）前1个人拿5元，第2，3，4，5个拿5元的人插空，则有=5种， 分别减去（2）（3）（4）中放在所有10前面的一种情况，即减去3种， 则共有1+5+10+10+5-3=28种， 故选B． 【点睛】本题考查了排列组合，解题的关键是根据题意合理分情况讨论，并排除重合的情况，做到不重不漏． 9. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】． 设，则，所以． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 11. 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 12. 如图，已知等边边长为，点D、E分别为边、上的两动点，且，连接、交于点H，过点B、A分别作、的垂线，垂足分别为G、F，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】因为是等边三角形且，所以可先证明，得到对应角相等，进而推出的度数．因为、，所以点A、B、G、F共圆，构造出圆，并推出是等边三角形，进而可求出的长度． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵、， ∴， ∴点A、B、G、F共圆，且为直径， 如图，以的中点O为圆心，为半径作圆，并连接、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，  ∴． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若，则_____________． 【答案】15 【解析】 【详解】解：． 14. 若规定符号的意义是：，当时，的值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 原式． 故答案为12． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】由右边两个圆关于点P中心对称，可知过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和，所以若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图可知，右边两个圆关于点P中心对称， 过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和； 若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心， 由题意知，点P的坐标为，左边圆的圆心坐标为， 设该直线的函数解析式为， 将和代入，得：， 解得， 该直线的函数解析式为． 16. 如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：，  ，，  ， 是直角三角形，且，  设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称，  ∴点与点关于点对称，  为线段的中点，  ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时，  即，  解得 ，  的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）解方程组：． （3）化简求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂及有理数乘法，再计算加法即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）先利用完全平方公式及平方差公式展开小括号，再合并同类项，利用多项式除以单项式法则计算，得出最简结果，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 【小问3详解】 解： 当时，原式． 18. 某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】（1）该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条 （2）还需投入1175万元资金更新生产线的设备 【解析】 【分析】（1）设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元，再列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线． ， 解得， 答：该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条． 【小问2详解】 解：设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元． ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 答：还需投入1175万元资金更新生产线的设备． 19. 【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… （1）请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】（1）；，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【小问1详解】 解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． 【小问2详解】 解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 20. 如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求，,进而可求证全等； （2）通过证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，∴．                  ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点． （1）若，求的度数． （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，即可求解； （2）连接，根据题意可得与相切于点，得到，根据圆周角定理可得，等腰三角形的性质可得，从而得到，从而解得，根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， ． ， ， ． 与相切于点， ， ， ． ， ， 半径的长为3． 22. 某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． （1）当时，的值为________； （2）求关于的函数关系式； （3）求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】（1） （2） （3）购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程即可求解； （2）根据题意分情况列解析式即可求解； （3）根据一次函数的增减性判断计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，当时，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，为3的倍数， 当时， ， 当时， 综上， ； 【小问3详解】 解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，． 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 23. 新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）①，；②或 【解析】 【分析】（）根据伴随抛物线的定义解答即可求解； （）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点和 在抛物线上， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得，， ∴，； ②由①得，函数的图象为抛物线， 令，即， 解得或， ∴，， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得或， ∵轴， ∴， 设， 如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 或， 解得或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年崇左市宁明县初中学业水平模拟考试 数学科 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 深圳铁岗水库的正常水位为28.7米，水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 5. 将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 有10个人去排队买电影票，已知电影票5元钱一张，这10个人中有5人拿了5元纸币，5人拿了10元纸币，且售票员开始手中没有钱，问能使得售票员能顺利找开钱的不同方法数是（ ）（每个人看成相同的，如果第一个拿了10元纸币，那么就找不开钱了）（ ） A. 12 B. 28 C. 36 D. 42 9. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（ ） A. B. 2 C. D. 4 11. 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 12. 如图，已知等边边长为，点D、E分别为边、上的两动点，且，连接、交于点H，过点B、A分别作、的垂线，垂足分别为G、F，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若，则_____________． 14. 若规定符号的意义是：，当时，的值为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______． 16. 如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）解方程组：． （3）化简求值：，其中，． 18. 某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 19. 【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… （1）请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 20. 如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点． （1）若，求的度数． （2）若，，求半径的长． 22. 某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． （1）当时，的值为________； （2）求关于的函数关系式； （3）求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 23. 新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $