四川眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高一下学期5月阶段检测数学试题，涵盖复数、三角函数、向量、立体几何等，通过梯度化题型设计，综合考查空间观念、运算能力与应用意识，如解三角形测量问题、正四棱锥线面平行证明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数纯虚数、三角函数值、直观图面积、仰角测量|基础概念与简单应用结合，如第5题仰角测量考查数学眼光| |多选题|3/18|空间线面关系、三角函数图像、锐角三角形性质|多角度辨析，如第9题空间线面关系考查推理意识| |填空题|3/15|复数模、向量垂直、三角形最值|简洁考查运算能力，如第14题锐角三角形最值| |解答题|5/77|向量与三角函数、解三角形面积、正四棱锥表面积与线面平行、四边形几何计算|综合应用，如18题正四棱锥线面平行证明考查空间观念与推理能力|

彭山一中2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（      ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 2．的值为（     ） A． B． C．0 D． 3．已知，则（     ） A．1 B． C． D． 4．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（     ） A．12 B． C．24 D． 5．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 6．为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．已知，则（     ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（     ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10．已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为 11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（     ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12．若复数，则___________ 13．已知向量，，且，则k =______. 14．在锐角△ABC中，，则的最小值为__________. 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分） 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 16．（1）求值：； （2）已知都是锐角，，求的值. 17．已知分别为△ABC三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求△ABC面积的最大值． 18．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19．在凸四边形中，． (1)若，，，四点共圆，，，． ①求四边形的面积； ②求的值； (2)若，，，求的值． 《彭山一中2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D A C C B D BD ACD ABD 12． 13． 14．10 15．【详解】（1）由向量. 因为，所以 ，解得， 又因为，所以； （2）由， 因为，所以， 当时，即时，； 当时，即时， ． 16．【详解】（1） ； （2）∵是锐角，； ∵都是锐角，，所以. ，， . 17．【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 18．【详解】（1）在正四棱锥中，， 则正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的表面积为； （2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点， 当M为SA的中点时，， 又平面平面， 所以平面； （3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得， 过Q作的平行线交于E，连接，， 中，有，又平面，平面， 所以平面，由，得. 又，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. 19【详解】（1）①因为，，，四点共圆且， 所以，则， 在中由余弦定理，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 在中由余弦定理，又， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以； ②由①在中由余弦定理， 即，则， 所以， 在中由余弦定理， 即，则， 所以， 即，所以， 所以. （2）设，，则，则，， 又，所以， 在中，由正弦定理可得， 即， ∴，即， ∴ ， 故， 又，解得， 又由正弦定理有， 故， 所以. 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $