专题01 空间向量与立体几何（期末复习讲义）高二数学下学期苏教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量与立体几何（期末复习讲义） 内容导航 明期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识育区 破•重难题型 题型分类突破，方法枝巧精讲 题型01空间向量基础概念与线性运算 题型02空间向量数量积运算 题型03空间向量坐标运算 题型04方向向量与平面法向量求解 题型05空间平行关系向量证明 题型06空间垂直关系向量证明 题型07空间角计算（重难点） 题型08空间距离计算（高频考点） 题型09几何体规范建系 题型10立体几何综合大题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+高频易错） 1.空间向量基础概念与线 熟记空间向量基本概念； 命题趋势：多作为大题铺垫知识点，选择 性运算向量定义、相等/相 熟练掌握向量线性运算法 填空基础考查；高频易错：混淆向量与固 反向量、零向量；向量加 则；能精准利用共线、共 定线段，忽略向量自由平移性；共线定理 减、数乘运算；共线向量 面向量定理证明三点共 遗漏「非零向量」前提；四点共面证明缺 定理、共面向量定理 线、四点共面 少公共点条件 2.空间向量数量积运算数 掌握数量积运算规则；能 命题趋势：必考基础考点，是空间角、垂 量积公式、向量模长、向 利用数量积求解向量模 直证明的核心工具；高频易错：误将数量 量夹角；向量垂直判定； 长、夹角；熟练运用数量 积（实数）当作向量；记错向量夹角范围 模长公式变形应用 积判定向量垂直关系 [0°，180]；认为数量积为0则向量必为零 向量 1/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.空间向量坐标运算坐标 熟练掌握空间向量坐标四 命题趋势：期未计算核心，所有立体几何 加减、数乘、数量积；坐 则运算；能通过坐标快速 大题的解题基础；高频易错：向量坐标 标法判定向量平行、垂 判定向量平行、垂直；精 「终点减起点」颠倒；负数坐标运算符号 直；坐标求模长与夹角 准计算向量模长与夹角余 出错；平行判定时分母为0不会处理 弦值 4.方向向量与平面法向量 能快速选取直线方向向 命题趋势：大题解题核心突破口，所有空 求解直线方向向量选取； 量；熟练列方程求解平面 间位置关系、角度、距离计算均依赖此 平面法向量定义、求解方 法向量；理解方向向量、 法；高频易错：认为方向向量、法向量唯 法；法向量的平行特性 法向量的多解平行特性 求解法向量方程组列写错误；误用零 向量 5.空间平行关系向量证明 规范掌握三类平行的向量 命题趋势：解答题第一问高频考点，侧重 线线平行、线面平行、面 证明步骤；能完整书写证 步骤规范性考查；高频易错：线面平行证 面平行的向量判定方法 明过程，满足定理全部条 明遗漏「直线不在平面内」；向量平行直 件 接判定直线/平面重合 6.空间垂直关系向量证明 熟练运用向量数量积、向 命题趋势：期未高频大题考点，常与空间 线线垂直、线面垂直、面 量平行关系证明各类垂 角计算综合考查；高频易错：混淆线面、 面垂直的向量判定方法 直；精准区分三类垂直的 面面垂直判定条件；遗漏异面直线垂直的 判定条件 判定情况 7.空间角计算（重难点) 熟记三类空间角的取值范 命题趋势：期末解答题必考核心重难点， 异面直线所成角、线面 围与计算公式；能结合图 分值占比最高；高频易错：空间角计算不 角、二面角的向量求解公 形判断二面角锐钝，精准 加绝对值，出现钝角；混淆线面角与向量 式与范围 求解角度 夹角的互余关系；二面角直接照搬法向量 夹角，不判断图形 8.空间距离计算（高频考 熟记各类空间距离公式： 命题趋势：选择填空高频考查，大题偶尔 点)两点间距离、点到平 能将平行距离转化为点面 综合考查；高频易错：点面距离计算遗漏 面距离、平行距转化（线 距离求解；保证计算结果 绝对值出现负数；用两点直线距离代替垂 线、面面距离) 符合几何意义 距； 公式记忆混淆 9.几何体规范建系正方 掌握常见几何体的标准建 命题趋势：所有坐标法解题的前提，建系 体、长方体、正棱锥的建 系方式；能规范书写各点 错误直接整题失分；高频易错：强行建立 系方法；坐标轴垂直判定 坐标，保证坐标系两两垂 不垂直坐标系；棱锥高度、垂足坐标书写 错误 2/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.立体几何综合大题位置 能独立完成综合大题解题 命题趋势：期末压轴大题固定题型，重方 关系证明+空间角/距离计 流程：建系→求向量→判 法、重步骤、重计算；高频易错：步骤残 算综合题型 位置→算角度距离，步骤 缺扣分；中间步骤计算失误导致最终结果 完整规范 错误；忽略几何范围限制 记·必备知识 及知识01空间向量的蒸本颜念 【核心知识点】空间中具有大小和方向的量称为空间向量。向量只有大小和方向，与位置无关，可自由平 移。 相关定义：1.模：向量的长度：2.零向量：模为0，方向任意；3.单位向量：模为1：4.相等向量：大小 相等、方向相同；5.相反向量：大小相等、方向相反。 【典型示例】 在正方体ABCD-ABCD1中，向量AB与向量DC为相等向量，向量AB与向量BA为相反向量，AB的模 就是正方体的棱长。 【专属易错点】 1.误认为向量有固定位置，平移后不是同一个向量：2.只比较大小忽略方向，错将相反向量当成相等向 量： 3.对零向量的任意方向理解混乱。 空间向量的线性运算（加减、数乘) 【核心知识点】1.加法：遵循三角形法则、平行四边形法则；2.减法：终点向量减起点向量；3.数乘： ,2大于0向量同向，小于0向量反向，2等于0为零向量；4.满足交换律、结合律、分配律。 【典型示例】平行六面体中，体对角线向量AC1=AB+AD+AA1;若向量a=(1,2,3),则-2a=(-2,-4,-6)。 【专属易错点】 1.向量减法首尾关系颠倒，符号出错：2.数乘向量只缩放长度，忘记改变方向；3.混淆向量运算与实数 运算，乱套实数运算规律。 空间共线向量定理 【核心知识点】若向量b不为零向量，则向量ā平行于向量b的充要条件是：存在唯一实数入，使得a= b。 用途：判定三点共线、空间两直线平行。 3/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典型示例】已知向量AB=(2,4,O,向量AC=(1,2,3),可得AB=2AC,因此A、B、C三点共线。 【专属易错点】1.忽略“b不为零向量”的前提条件；2.向量共线直接等同于直线重合，忽略异面直线平 行 3.无法区分共线向量与空间平行直线。 空间共面向量定理 【核心知识点】若向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对心，y),使得p= xa+yb。用途：证明四点共面。 【典型示例】己知a=(1,0,0),b=(0,1,0),p=(3,2,0),满足p=3a+2b,因此三个向量共面。 【专属易错点】1.遗漏“a、b不共线”的核心前提；2.证明四点共面缺少公共点，逻辑不完整；3.混淆 向量共面与空间点共面的概念。 空间向量数量积 【核心知识点】 1.非零向量夹角范围：0至180°；2.数量积公式：ab=|allb|cos6,运算结果为实数；3.核心性质：a垂直 b÷ab=0;a2=aa。 【典型示例】|a=2,b=3,夹角60°，则ab=2×3×0.5=3;a=(1,1,0),b-(1,-1,0),ab=0,两向量垂直。 【专属易错点】1.误将数量积实数结果当成向量：2.记错向量夹角范围；3.认为数量积为0，则两个向 量必有零向量。 风知识2空间向量的坐标表示 空间直角坐标系与向量坐标 【核心知识点】己知两点A(&1,y1,Z1)、B(&,y2,z),向量AB坐标为：(2-X,y2y1,z-Z1),口诀：终点减起 点。 【典型示例】A(1,2,3),B(4,5,6,向量AB=(3,3,3)。 【专属易错点】 1.起点终点颠倒，坐标符号全部错误；2.漏写z轴坐标，维度书写不全。 空间向量坐标运算 【核心知识点】设a=k1,y1,z),b-x2,y2,z)1.加减运算：a此=(&1士x,y1y2,z±z)2.数乘运算：2a= (0x1,y1,z1)3.数量积：ab=x1x+yy2+z1z 【典型示例】 4/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=(1,0,2),b=(2,1,-1)a+b=(3,1,1),ab=1×2+0+2×(-1)=0。 【专属易错点】 1.负数坐标运算符号出错；2.数乘只乘部分坐标；3.数量积计算漏项、错项。 向量模长与夹角坐标公式 【核心知识点】1.向量模长：a=根号下(x2+y2+z2)2.夹角余弦值：cos0=ab/(ab) 【典型示例】a1,1,0),模长=根号2；a=(1,1,0),b=(1,0,1),cos0-1/2,夹角60°。 【专属易错点】1.模长计算忘记开根号；2.混淆向量夹角与立体空间角；3.分母漏乘其中一个向量模长。 向量平行与垂直坐标判定 【核心知识点】1.平行(b不为0向量)：a=b,坐标成比例；2.垂直：ab=0。 【典型示例】 a-(1,2,3)、b=(2,4,6),坐标成比例，两向量平行： a-(1,2,1)、b=(2,-1,0),数量积为0，两向量垂直。 【专属易错点】 1.坐标含0时误用比例式判定平行；2.垂直忘记验证数量积为0；3.零向量参与判定出现逻辑错误。 尽知识03空间向量的应用（期末核心露难点） 直线方向向量与平面法向量 【核心知识点】1.方向向量：直线上任意非零向量，一条直线有无数组平行方向向量： 2.法向量：垂直于平面的非零向量，一个平面有无数组平行法向量：3.求法向量：取平面内两个不共线 向量，列垂直方程组求解。 【典型示例】 直线过(0,0,0)、(1,2,3)，方向向量s=(1,2,3):x0y平面法向量n=(0,0,1)。 【专属易错点】 1.认为直线、平面只有唯一的方向向量、法向量；2.求解法向量方程组列写错误；3.选取零向量作为方 向向量或法向量。 空间平行关系的向量证明 【核心知识点】1.线线平行：两直线方向向量平行：2.线面平行：直线方向向量垂直平面法向量，且直 线不在平面内；3.面面平行：两平面法向量互相平行。 【典型示例】直线方向向量s(1,0,1),平面法向量=(0,1,0)，数量积为0，且直线不在平面内，可证线面 5/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行。 【专属易错点】1.证明线面平行遗漏“直线不在平面内”关键条件；2.向量平行直接判定直线重合：3. 忽略两平面不重合的前提。 空间垂直关系的向量证明 【核心知识点】1.线线垂直：两直线方向向量数量积为0；2.线面垂直：直线方向向量与平面法向量平行： 3.面面垂直：两平面法向量数量积为0。 【典型示例】平面α法向量(1,1,0)，平面B法向量(1，-1,0)，数量积为0，两平面垂直。 【专属易错点】 1.混淆线面、面面垂直判定条件；2.证明线面垂直缺少向量平行依据；3.遗漏异面直线垂直情况。 空间角的计算（期末必考） 【1.异面直线所成角】范围：0°<0≤90 公式：cos0=两个方向向量夹角余弦的绝对值（只取锐角、直角）示例：两向量夹角120°，异面直线角取 60°。 易错点：不加绝对值算出钝角，超出角度范围。 【2.直线与平面所成角】 范围：0≤≤90°公式：si0=直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值（互余关系） 示例：向量夹角30°，线面角为60°。 易错点：三角函数公式混用，直接用余弦求线面角。 【3.二面角】范围：0≤≤180° 方法：先求两平面法向量夹角，再看几何体图形，二面角与法向量夹角相等或互补。 示例：法向量夹角45°，图形为锐角，二面角即为45°。 易错点：不判断锐钝，直接照搬向量夹角。 空间距离的计算（期末高频） 【1.两点间距离】 公式：d=根号下[x2-x)+y2y1+(z2-Z1)月示例：A(1,2,0)、B(3,0,2),距离d=2V3 易错点：平方计算错误、忘记开根号。 【2.点到平面的距离】公式：d向量PA·法向量n/n 说明：P为平面外点，A为平面内任意一点示例：法向量n=(0,0,1),P(1,1,2),A(1,1,0),-2 易错点：去掉绝对值出现负距离、选错向量。 6/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【3.平行距离转化】平行线间距、平行平面间距，统一转化为点到直线、点到平面的距离。 易错点：用任意两点直线距离代替垂距。 常见几何体建系方法 【核心知识点】1.正方体、长方体：顶点为原点，三条两两垂直的棱为x、y、z轴：2.正棱锥：底面中心 或垂足为原点，几何体高为z轴，保证三轴两两垂直。 【典型示例】棱长为2正方体：A(0,0,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0)、A1(0,0,2) 【专属易错点】 1.三轴不垂直强行建系；2.高度、垂足坐标写错，导致全盘计算错误。 破·重难题型 题型一 空间向量基础概念与线性运算 解题技|巧 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列 的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已 知与未知之间的关系式.另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换 【典例1】如图所示，在三棱柱1C-ABC中，M为4C的中点，若B=ā，BC=6,=,则丽可 表示为() B M A B A. +5+e.a++e 1 1 1 1 2 C.2a-16+e 2 2 ABCD-ABCD BD. 【变式1】如图，在长方体 中，下列各式运算结果不为的是() 7/28 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.4D-44-4B BC+BB-D.C C.DD-AB+AD D.BD-44+DD 【变式2】（多选）（多选）下列命题为真命题的是() A若空间向量a,5满足同-闪， 则a=6 B.在正方体 BCD-ABCD中，必有1 AC=AC C.若空间向量i,i,卫满足m=i,万=p,则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 心腿型二 空间向量数量积运算 答|题|技|巧 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间 向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式： a6=l5外cosa,b 即可顺利计算. BCD-AB,CD中，0为1C与BD的交点，G为CC的中点， CC 【典例1】如图所示，在棱长为2的正方体 则40在4C上的投影向量的模为： DG在平面ABCD内的投影向量的模为： 8/28 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C B G D B 【变式1】（多选）如图，平行六面 ABCD-ABCD的底面 BCD 是边长为1的菱形，且 ∠CCB=∠CCD=∠BCD=- 3,CA⊥平面CBD,则() B A A.直线BD与直线CC,所成角为3 B.平 CBD∥平面 AB D C.4C= D.平行六面体ABCD-AB,C,D,的体积为2 ABCD-ABCD 【变式2】（多选）（多选）在正方体 中，下列结论正确的是() A.四边形1BC,D的面积为MBC B.AD与AB的夹角为60 C.(44+AD+4B)=34B1 D.4C-(4B-AD)=0 巴悲型三 空间向量坐标运算 答|题|技|巧 9/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的 分解向量的模.同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也 不一定相同，但其实质是一样的.建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互 相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造 【典例1】在空间直角坐标系中，0为坐标原点，对空间中任意一点 P(x,y,2) 则下列叙述错误的是 () A点P关于轴的对称点是怎--)B,点P关于平面0的对称点是Bx) C.点P关于'输的对称点是B(:-少D.点P关于原点的对称点是（少-） 【变式1】（多选)已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，1BCD和4BCD 和 是两个全等的矩形， AB=AD=1 AD=AB=2 ABC D 2,平面1BCD/平面A ,则下列结论中正确的是() A D B A BD⊥AC B.若4B=4DnCB=CD ,则 C.若直线AC与￥面ABCD交于E,则征-4C D。若平面4BCD与平面4BCD的距离为1，则该六面体的体积P- 6 【变式2】已知a=2-310.6=(203c=00,2）,则i+6-c为（） A.(14,-3,3) B.(14,-3,-7） c.(0,-3-) D.(10,-3,3) 10/28 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四方向向量与平面法向量求解 答|题|技|巧 1.直线的方向向量： 点A是直线1上的一个点，ā是直线1的方向向量，在直线1上取AB=ā，取定空间中的任意一点O, 则点P在直线1上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+a或OP=OA+1AB,这就是空间直线的向量表 达式 平面的法向量确定通常有两种方法： (1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向 量： (2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如 (i)设出平面的法向量为元=(x,少，2）， (i)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标ā=(a,b,9),b=(a,b,G): 「n.a=0 ()根据法向量的定义建立关于x、八、z的方程万：6=0， ()解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程 组的解中取一个最简单的作为平面的法向量， 【典例1】在棱长为1的正方体 BCD-AB,CD中，M是枝BB的中点，N是正方形 BB CCB 内的动点 (包含边界)，且DWI∥平面4MD N1/平面4D,则点N的轨迹长度为() 11/28 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π A.2 B.√5 C.4 ABCD-ABC D DD 【变式1】正方体 中， E是楼CD的中点，F是 上的动点，过点B,E,F的平面 DF 截该正方体所得的截面记为a,若三棱锥D-ADE的外接球球心落在平面a内，则DD,的值为() 1 A B.5 c.3 【变式2】（多选）在棱长为的正方体 BCD-ABCD中，4N分别为4B,BC的中点，则() D B D:. M MNIIDC A. B.D.N LCM C.点p在正方形AB,CD,内，当DP1I平面B,MN时，P点轨迹长度为2 π D.点p在棱DD,所在直线上，当BP⊥平面B,MN时，四面体P-DCW的外接球表面积为2 它题型五 空间平行关系向量证明 答|题|技|巧 (1)线线平行 设直线，凸的方向向量分别是a,b,则要证明/%，只需证明a/6,即a=(keR) (2)线面平行 12/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是a,平面“的向量是i,则要证明l11a,只需证明d⊥i,即a,i=0 ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与己知直线 的方向向量是共线向量。 ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平 面内两个不共线向量线性表示即可. (3)面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可. ②若能求出平面a,P的法向量i,,则要证明a/IB，只需证明元/：. 【典例1】如图，长方体 4 BCD-ABCD中，AB=4,Bc-3,CG=2 D 、B1 A D ACB/I ACD (1)求证：平面 平面 C ACD (2)线段 上，是否存在点P,使 AP// 平面 【变式1】如图，正四棱柱 BCD-4BCD中，D=2,DD=40为BD的中点，E在线 CC CC=4CE,M AA 为 的中点 D A B M 13/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明： MCIIOE (2)证明：M0⊥平面DEB, 【变式2】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳 马P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD,且AD=PA=2AB=2,E为BC的中点，F为DP上的点， DF=DP.当2=2时，证明：EF11平面PAB 它题型大 空间垂直关系向量证明 答|题|技|巧 (1)线线垂直 设直线，人的方向向量分别为a,b,则要证明1h,只需证明a1b,即ā.b=0. (2)线面垂直 ①设直线I的方向向量是ā，平面a的向量是i,则要证明l1a,只需证明a/: ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直. (3)面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直. ②证明两个平面的法向量互相垂直， 0-xyz V2 【典例1】如图，在空间直角坐标系 中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为 ,点M,N PM BN 1 分别在PA,BD上，且PA=BD3·试用向量法证明.。 14/28 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：MN L AD: (2)取PC的中点E,求证：OE∥平面PAD, 【变式1】如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°， AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD B (1)证明：PA⊥BD; (2)证明：平面PAD⊥平面PAB! ZA M 不妨设 ,则 CD=1 AB=BC=2 PO=3 所以AL-2,0),B(10,0),D(-1,-1,0）.P0,05) 所以BD=(-2-10).PA=(1,-2,-V5) 因为BD.PA=(-2x1+(-I)x(-2)+0x(5)=0 所以PA⊥BD,所以PA⊥BD 【变式2】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD,点E是线段BC的 15/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中点，AB=2,PA=BC=4,∠ABC=60°.求证：平面PAE⊥平面PED. R 心腿型七 空间角计算（重难点） 答题|技|巧 设直线I的方向向量为ā，平面0的法向量为i,直线与平面所成的角为8，ā与i的角为P, ail sin=cos= 则有 al 如图，若PA⊥a于A,PB上B于B,平面PAB交I于E,则∠AEB为二面角a-I-P的平面角， ∠AEB+∠APB=180 n·n2 若，”分别为面，B的法向量， 则二面角的平面角1B=,)或-（何，四， 【典例1】如图所示，在三棱锥P-ABC中，PAL AB,BCLAB,平面PAB⊥平面PBC,点M为PC中 点 16/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：PA⊥底面ABC: (2)若PA=AB=BC=2,试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值. ABCD-ABCD 【变式1】（多选）在直四棱柱 中，底面 ABCD 为菱形， ∠BAD=60°，AB=2,侧棱 AA=22 0. 为底面ABC 对角线的交点，点M是侧面 BCCB 内的动点（含边界），且满足OM∥平面 ACD ,则() A动点M的轨迹是一条线段，且长度为25 B.过A,M,D 三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 DM ,V2] C.直线 M与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为 ABD-AB D D.三棱柱 的外接球球心与动点M距离的最小值为6 【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD,M为AD中点，过 点A作PM的垂线交PM于点N,交PD于点E. D D B (1)证明：PM⊥平面ABE; 17/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若PA⊥PD,AP=AB=AD=2,求平面ABE与平面ACE所成角的余弦值. 它影型八 空间距离计算（高频考点） 答|题技|巧 1求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量： ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. AB.n d 即：点A到平面以的距离 1l, 其中B∈a,i是平面a的法向量. 2设直线的单位方向向量为i,A∈1，PEL,设P=ā，则点P到直线1的距离d=V-(a:m 【典例1】（多选）在四棱锥P-ABCD中，PAL面ABCD,ADI/BC,AB⊥AD,AD=AP=2, AB=BC=1,点E为PD的中点，点F为AC的中点，则下列说法正确的是() AAC⊥EF B.PC与面BE交于点O,则PO=子PC 3 C.点D到平面PHC的距离为5 D.三棱锥P-ADC与P-ABC的外接球体积之比为4：3 【变式1】（多选）在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中.E.F分别是40和CB的中点，则下列结论 正确的有() A.AG∥平面CEF B,D⊥ B. 平面 CEF 25 C.点D到直线CE的距离为3 18/28 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 D.点D到平面CEF的距离为 【变式2】已知直三棱柱 ABC-ABC ACLAB AC=3 AB=4 AB,C⊥ ABB A (1)证明：平面 平面 12 (2)若点B到平面ABC的距离为5，求二面角A-BC-B的正弦值. 巴慰型九 几何体规范建系 答|题|技|巧 建立平面直角坐标系是几何解题常用方法，选址遵循就近简便原则，优先以图形直角顶点、对称中心作为 坐标原点，依托互相垂直的线段设定x轴与y轴，贴合图形摆放方向确立坐标轴正向。 根据题干边长、角度、线段比例等己知条件，精准标注图形所有顶点坐标，特殊点、动点坐标按规则合理 设参。解题时依托坐标公式，依次开展距离、斜率、角度、面积、位置关系运算推导。 书写步骤条理清晰，建系说明、坐标罗列、公式套用、计算推演依次呈现，每一步推导有理有据，严格遵 循书写格式，减少多余步骤，规避坐标写错、符号疏漏问题，借助坐标转化几何关系，高效完成证明与计 算。 【典例1】如图在棱长为1的正方体 BCD-ABCD中，五，卫，G分别是 DD BD BB 的中点. D B D (1)求直线BD与CG所成角的余弦值。 (2)求证：CF⊥平面DEB (3)求三棱锥B-EFC的体积. 【变式I】如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2,aPCD是正三角形，且平面ABCD L平面PCD, O是CD的中点. 19/28 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)证明：BO⊥PA: (2)求二面角C-BP-O的余弦： 3 (3)在线段CP上是否存在点Q,使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为8，若存在，确定点Q的位置， 若不存在，请说明理由、 P-ABCD 【变式2】四棱锥 的底面ABC 为矩形，AB=V5.BC=2.P1=PD4C1PB D B (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: √66 (2)设四棱锥P-ABCD的外接球的球心为M,且点M与点P在平面ABCD的同一侧，球M的半径为6. (i)求平面PAD与平面MAD夹角的余弦值； (i)己知平面PAD与平面PBC的交线为L,点Q在I上，设直线QM和平面PBC所成的角为B,求sinO 的取值范围 心题型十 立体几何综合大题 答|题|技|巧 立体几何大题常考查证明平行垂直、空间角、体积距离类题型，解题分几何法与空间向量法两类思路。 证明题优先梳理线线、线面、面面间判定与性质定理，找准中位线、垂线、平行截面，紧扣定理条件完整 书写推理步骤，缺一不可。 20/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算类首选建立空间直角坐标系，以两两垂直棱的交点为原点规范建系，准确写出各点坐标，求出对应直 线方向向量与平面法向量。利用向量公式求解异面直线角、线面角、二面角，计算时留意角度范围与正负 取值。 求解体积灵活选用底高公式、等体积转化法，不规则几何体可分割补形简化运算。答题步骤层次分明，定 理标注清晰，计算仔细核对数值与符号，合理选择最简解题路径，规避漏条件、坐标系建立不当、角度判 断失误等常见失分点。 【典例1】如图，在正方体ABCD-ABC,D,中，点P满足D丽-D而，则向量P与DB夹角的余弦值为 3 D C B B 230 2V30 30 √30 A 15 B.15 C.15 D.20 【变式1】已知圆锥P-O的半径为3，点A为底面圆周上任意一点，点B为圆锥侧面（不含边界）上任意 OA.OB 点，则 的取值范围为 【变式2】（多选）正方形ABCD,ABEF的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点M、N分别在正方 形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a0<a<V2. 则() M A.直线AC与BF所成的角为60 21/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.MN∥平面DAF 2 d= √2 C.当"2时，MN的长最小，且最小值为2 2 D.当MN的长最小时，点F到平面AMN的距离为2 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） -…---=------------…----- -------…----------- 1.(24-25高二下江苏南京·期末)如图，在直三棱柱 c4ac孤c,28c-0 CC E,F分别为 BC的中点： B AB⊥B,C (1)求证： AB (2)求直线 “与平面AEF 所成角的余弦值 2.(24-25高二下江苏南通期末)如图，正三棱柱 BC-4BC中，8=2,4=3，D是8C中点，万 是楼CG上一点。 22/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B E D (1)求证： AD上平面 BCC B B,EA⊥ (2)若平面 平面4DE,求CE的长， ABCD-ABC D 3.(24-25高二下江苏南通·期末)（多选）已知正方体 的棱长为2，点P在 DD上 点Q在面ABCD内，则() A.AC⊥BP AACC B.点P到平面 的距离为V2 B-AC-B C.二面角 的正切值为1 D.BO+O 的最小值为26 4.(2425高二下江苏南适期末)已知向量8=(2L,6=(4,24),且a/6,则x=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(24-25高二下江苏淮安·期末)已知空间四点 A(0,0,0)B(2,1,1)C(1,0,2)D(5,2,m) 构成梯形， 则实数m的值为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） ABCD-ABC D 1.(24-25高二下江苏镇江期末)（多选)在棱长为2的正方体 中，点P满足 B即=BC+B丽，且O≤元≤1,0≤u≤1，则下列说法正确的是() 23/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ·P D B A.若+u= ,则PI面ACD 面 B.若1+u=1 AP⊥BC ,则 C名=-一之，则到平面4D的距窝为子6 D若A=l0≤H≤1时，直线Dp与平面4BD所成角为g,则m0 3’3 2.(24-25高二下江苏扬州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠ADC=90°， AD∥BC,PA=BC=2,AD=CD=1,E为棱PD上一点，且PE=2ED. (1)求证：PB/1平面ACE: (2)求二面角P-AC-E的正弦值. 3.(2425高二下江苏扬州期末)在空间直角坐标系0-2中，4(4,5m）,B1L6),若网=5，则实 数m=一 AA BB 4.(24-25高二下江苏镇江期末)已知直三棱 ABC-ABC中，侧面 为正方形，AB=BC=2 g,P分别为4C和CC的中点，D为枝48上的点. BF⊥AB, 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (A)证明：B上平面 BCC (2)证明：BF⊥DE BD BBCC 3)当为何值时，面 与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值. 5.(24-25高二下江苏常州期末)在四棱锥P-ABCD中，已知 ADIlBC,AB⊥BC,PB⊥BC,AB=BC=2AD=2△PA 是等边三角形，点从M在楼PC上 M B a当PM=亏PC时，求证：PAW平面MBD (2)求点P到底面ABCD的距离： 1 )当，-ac=2D时，求平面PBC与平面MBD所成角的余弦值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） ABCD-AB C D A4=8 ,底面 ABCD 1.(24-25高二下江苏连云港·期末)（多选）在长方体 中， 是边长 为3的正方形， 正=24(0≤元≤)，则下列选项正确的有（） A.V2cD则，三楼锥D-BCD 的体积是定值 25/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.当D死-五C=0时，存在唯一的使得DE1平面DCE C.F为棱DD,的中点，当入=4时，△BEF的周长取最小值 16√2 3V2 D.当直线DB与CE所成角的余弦值为41时，2的值为10 ABCD-ABCD 2.(24-25高二下江苏宿迁·期末)如图，在长方体 BB,DD上的 中，点E,F分别是棱， AE⊥A,BAF⊥A,D 动点，且 B E ,‘A AC⊥ (1)求证： 平面AER (2)若AB=1,AD=2」 ①求平面EF与平面 CBD 夹角的余弦值的最大值： ②若平面1BF截长方体的裁面为五边形，求平面AEF与平面 CB D 夹角的余弦值的范围， 3.(2425高=下江苏销江期末)图1是边长为5的正方形BCD,将△1CD沿4C 折起得到直二面角 P-AC-B,如图2所示. 图1 图2 (1)求异面直线AB与PC所成角： 26/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7W51 AM (2)棱PA上是否存在一点M,使得二面角M-BC-A的余弦值为51，若存在，求出AP的值；若不存 在，请说明理由. 4.(24-25高二下江苏泰州期末)在三棱锥S-ABC中，已知SA⊥平面ABC,AB⊥AC,SA=AC=AB=1 点P在aSAC内（包括边界），PC⊥PA. PA (1)已 2· 求B (ii)求直线PA与BC所成角的大小. a若点E,下分别满足死-PC,F-西.D为直线P4上一点，且E时平面C8D:求二面角 A-BC-D余弦的最小值。 5.(24-25高二下江苏南京期末)如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2,△PCD是正三角形， O是CD的中点，平面ABCDL平面PCD, B (1)证明：BO⊥PA: 27/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求点D到平面PAB的距离： (3)已知点O为线段CP靠近C的三等分点，直线AQ与平面PAB所成角为a,求sina. 28/28 专题01 空间向量与立体几何（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间向量基础概念与线性运算 题型02 空间向量数量积运算 题型03 空间向量坐标运算 题型04 方向向量与平面法向量求解 题型05 空间平行关系向量证明 题型06 空间垂直关系向量证明 题型07 空间角计算（重难点） 题型08 空间距离计算（高频考点） 题型09 几何体规范建系 题型10 立体几何综合大题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+高频易错） 1.空间向量基础概念与线性运算向量定义、相等/相反向量、零向量；向量加减、数乘运算；共线向量定理、共面向量定理 熟记空间向量基本概念；熟练掌握向量线性运算法则；能精准利用共线、共面向量定理证明三点共线、四点共面 命题趋势：多作为大题铺垫知识点，选择填空基础考查；高频易错：混淆向量与固定线段，忽略向量自由平移性；共线定理遗漏「非零向量」前提；四点共面证明缺少公共点条件 2.空间向量数量积运算数量积公式、向量模长、向量夹角；向量垂直判定；模长公式变形应用 掌握数量积运算规则；能利用数量积求解向量模长、夹角；熟练运用数量积判定向量垂直关系 命题趋势：必考基础考点，是空间角、垂直证明的核心工具；高频易错：误将数量积（实数）当作向量；记错向量夹角范围[0°,180°]；认为数量积为0则向量必为零向量 3.空间向量坐标运算坐标加减、数乘、数量积；坐标法判定向量平行、垂直；坐标求模长与夹角 熟练掌握空间向量坐标四则运算；能通过坐标快速判定向量平行、垂直；精准计算向量模长与夹角余弦值 命题趋势：期末计算核心，所有立体几何大题的解题基础；高频易错：向量坐标「终点减起点」颠倒；负数坐标运算符号出错；平行判定时分母为0不会处理 4.方向向量与平面法向量求解直线方向向量选取；平面法向量定义、求解方法；法向量的平行特性 能快速选取直线方向向量；熟练列方程求解平面法向量；理解方向向量、法向量的多解平行特性 命题趋势：大题解题核心突破口，所有空间位置关系、角度、距离计算均依赖此法；高频易错：认为方向向量、法向量唯一；求解法向量方程组列写错误；误用零向量 5.空间平行关系向量证明线线平行、线面平行、面面平行的向量判定方法 规范掌握三类平行的向量证明步骤；能完整书写证明过程，满足定理全部条件 命题趋势：解答题第一问高频考点，侧重步骤规范性考查；高频易错：线面平行证明遗漏「直线不在平面内」；向量平行直接判定直线/平面重合 6.空间垂直关系向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的向量判定方法 熟练运用向量数量积、向量平行关系证明各类垂直；精准区分三类垂直的判定条件 命题趋势：期末高频大题考点，常与空间角计算综合考查；高频易错：混淆线面、面面垂直判定条件；遗漏异面直线垂直的判定情况 7.空间角计算（重难点）异面直线所成角、线面角、二面角的向量求解公式与范围 熟记三类空间角的取值范围与计算公式；能结合图形判断二面角锐钝，精准求解角度 命题趋势：期末解答题必考核心重难点，分值占比最高；高频易错：空间角计算不加绝对值，出现钝角；混淆线面角与向量夹角的互余关系；二面角直接照搬法向量夹角，不判断图形 8.空间距离计算（高频考点）两点间距离、点到平面距离、平行距转化（线线、面面距离） 熟记各类空间距离公式；能将平行距离转化为点面距离求解；保证计算结果符合几何意义 命题趋势：选择填空高频考查，大题偶尔综合考查；高频易错：点面距离计算遗漏绝对值出现负数；用两点直线距离代替垂距；公式记忆混淆 9.几何体规范建系正方体、长方体、正棱锥的建系方法；坐标轴垂直判定 掌握常见几何体的标准建系方式；能规范书写各点坐标，保证坐标系两两垂直 命题趋势：所有坐标法解题的前提，建系错误直接整题失分；高频易错：强行建立不垂直坐标系；棱锥高度、垂足坐标书写错误 10.立体几何综合大题位置关系证明+空间角/距离计算综合题型 能独立完成综合大题解题流程：建系→求向量→判位置→算角度/距离，步骤完整规范 命题趋势：期末压轴大题固定题型，重方法、重步骤、重计算；高频易错：步骤残缺扣分；中间步骤计算失误导致最终结果错误；忽略几何范围限制 知识01 空间向量的基本概念 【核心知识点】空间中具有大小和方向的量称为空间向量。向量只有大小和方向，与位置无关，可自由平移。 相关定义：1. 模：向量的长度；2. 零向量：模为0，方向任意；3. 单位向量：模为1；4. 相等向量：大小相等、方向相同；5. 相反向量：大小相等、方向相反。 【典型示例】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB与向量DC为相等向量，向量AB与向量BA为相反向量，AB的模就是正方体的棱长。 【专属易错点】 1. 误认为向量有固定位置，平移后不是同一个向量；2. 只比较大小忽略方向，错将相反向量当成相等向量； 3. 对零向量的任意方向理解混乱。 空间向量的线性运算（加减、数乘） 【核心知识点】1. 加法：遵循三角形法则、平行四边形法则；2. 减法：终点向量减起点向量；3. 数乘：λa，λ大于0向量同向，λ小于0向量反向，λ等于0为零向量；4. 满足交换律、结合律、分配律。 【典型示例】平行六面体中，体对角线向量AC1 = AB + AD + AA1；若向量a=(1,2,3)，则-2a=(-2,-4,-6)。 【专属易错点】 1. 向量减法首尾关系颠倒，符号出错；2. 数乘向量只缩放长度，忘记改变方向；3. 混淆向量运算与实数运算，乱套实数运算规律。 空间共线向量定理 【核心知识点】若向量b不为零向量，则向量a平行于向量b的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 a = λb。 用途：判定三点共线、空间两直线平行。 【典型示例】已知向量AB=(2,4,6)，向量AC=(1,2,3)，可得AB=2AC，因此A、B、C三点共线。 【专属易错点】1. 忽略“b不为零向量”的前提条件；2. 向量共线直接等同于直线重合，忽略异面直线平行； 3. 无法区分共线向量与空间平行直线。 空间共面向量定理 【核心知识点】若向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对(x,y)，使得 p = xa + yb。用途：证明四点共面。 【典型示例】已知a=(1,0,0)，b=(0,1,0)，p=(3,2,0)，满足p=3a+2b，因此三个向量共面。 【专属易错点】1. 遗漏“a、b不共线”的核心前提；2. 证明四点共面缺少公共点，逻辑不完整；3. 混淆向量共面与空间点共面的概念。 空间向量数量积 【核心知识点】 1. 非零向量夹角范围：0°至180°；2. 数量积公式：a·b = |a||b|cosθ，运算结果为实数；3. 核心性质：a垂直b ⇔ a·b=0；|a|² = a·a。 【典型示例】|a|=2，|b|=3，夹角60°，则a·b=2×3×0.5=3；a=(1,1,0)，b=(1,-1,0)，a·b=0，两向量垂直。 【专属易错点】1. 误将数量积实数结果当成向量；2. 记错向量夹角范围；3. 认为数量积为0，则两个向量必有零向量。 知识02空间向量的坐标表示 空间直角坐标系与向量坐标 【核心知识点】已知两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，向量AB坐标为：(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)，口诀：终点减起点。 【典型示例】A(1,2,3)，B(4,5,6)，向量AB=(3,3,3)。 【专属易错点】 1. 起点终点颠倒，坐标符号全部错误；2. 漏写z轴坐标，维度书写不全。 空间向量坐标运算 【核心知识点】设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)1. 加减运算：a±b = (x1±x2 , y1±y2 , z1±z2)2. 数乘运算：λa = (λx1 , λy1 , λz1)3. 数量积：a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2 【典型示例】 a=(1,0,2)，b=(2,1,-1) a+b=(3,1,1)，a·b=1×2+0+2×(-1)=0。 【专属易错点】 1. 负数坐标运算符号出错；2. 数乘只乘部分坐标；3. 数量积计算漏项、错项。 向量模长与夹角坐标公式 【核心知识点】1. 向量模长：|a|=根号下(x²+y²+z²)2. 夹角余弦值：cosθ = a·b / (|a|·|b|) 【典型示例】a=(1,1,0)，模长=根号2；a=(1,1,0)，b=(1,0,1)，cosθ=1/2，夹角60°。 【专属易错点】1. 模长计算忘记开根号；2. 混淆向量夹角与立体空间角；3. 分母漏乘其中一个向量模长。 向量平行与垂直坐标判定 【核心知识点】1. 平行（b不为0向量）：a=λb，坐标成比例；2. 垂直：a·b=0。 【典型示例】 a=(1,2,3)、b=(2,4,6)，坐标成比例，两向量平行； a=(1,2,1)、b=(2,-1,0)，数量积为0，两向量垂直。 【专属易错点】 1. 坐标含0时误用比例式判定平行；2. 垂直忘记验证数量积为0；3. 零向量参与判定出现逻辑错误。 知识03 空间向量的应用（期末核心重难点） 直线方向向量与平面法向量 【核心知识点】1. 方向向量：直线上任意非零向量，一条直线有无数组平行方向向量； 2. 法向量：垂直于平面的非零向量，一个平面有无数组平行法向量；3. 求法向量：取平面内两个不共线向量，列垂直方程组求解。 【典型示例】 直线过(0,0,0)、(1,2,3)，方向向量s=(1,2,3)；xOy平面法向量n=(0,0,1)。 【专属易错点】 1. 认为直线、平面只有唯一的方向向量、法向量；2. 求解法向量方程组列写错误；3. 选取零向量作为方向向量或法向量。 空间平行关系的向量证明 【核心知识点】1. 线线平行：两直线方向向量平行；2. 线面平行：直线方向向量垂直平面法向量，且直线不在平面内；3. 面面平行：两平面法向量互相平行。 【典型示例】直线方向向量s=(1,0,1)，平面法向量n=(0,1,0)，数量积为0，且直线不在平面内，可证线面平行。 【专属易错点】1. 证明线面平行遗漏“直线不在平面内”关键条件；2. 向量平行直接判定直线重合；3. 忽略两平面不重合的前提。 空间垂直关系的向量证明 【核心知识点】1. 线线垂直：两直线方向向量数量积为0；2. 线面垂直：直线方向向量与平面法向量平行；3. 面面垂直：两平面法向量数量积为0。 【典型示例】平面α法向量(1,1,0)，平面β法向量(1,-1,0)，数量积为0，两平面垂直。 【专属易错点】 1. 混淆线面、面面垂直判定条件；2. 证明线面垂直缺少向量平行依据；3. 遗漏异面直线垂直情况。 空间角的计算（期末必考） 【1. 异面直线所成角】范围：0°＜θ≤90° 公式：cosθ = 两个方向向量夹角余弦的绝对值（只取锐角、直角）示例：两向量夹角120°，异面直线角取60°。 易错点：不加绝对值算出钝角，超出角度范围。 【2. 直线与平面所成角】 范围：0°≤θ≤90°公式：sinθ = 直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值（互余关系） 示例：向量夹角30°，线面角为60°。 易错点：三角函数公式混用，直接用余弦求线面角。 【3. 二面角】范围：0°≤θ≤180° 方法：先求两平面法向量夹角，再看几何体图形，二面角与法向量夹角相等或互补。 示例：法向量夹角45°，图形为锐角，二面角即为45°。 易错点：不判断锐钝，直接照搬向量夹角。 空间距离的计算（期末高频） 【1. 两点间距离】 公式：d=根号下[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]示例：A(1,2,0)、B(3,0,2)，距离d=2√3 易错点：平方计算错误、忘记开根号。 【2. 点到平面的距离】公式：d=|向量PA · 法向量n| / |n| 说明：P为平面外点，A为平面内任意一点 示例：法向量n=(0,0,1)，P(1,1,2)，A(1,1,0)，d=2 易错点：去掉绝对值出现负距离、选错向量。 【3. 平行距离转化】平行线间距、平行平面间距，统一转化为点到直线、点到平面的距离。 易错点：用任意两点直线距离代替垂距。 常见几何体建系方法 【核心知识点】1. 正方体、长方体：顶点为原点，三条两两垂直的棱为x、y、z轴；2. 正棱锥：底面中心或垂足为原点，几何体高为z轴，保证三轴两两垂直。 【典型示例】棱长为2正方体：A(0,0,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0)、A1(0,0,2) 【专属易错点】 1. 三轴不垂直强行建系；2. 高度、垂足坐标写错，导致全盘计算错误。 题型一 空间向量基础概念与线性运算 解｜题｜技｜巧 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【典例1】如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 【变式1】如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 【变式2】（多选）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 题型二 空间向量数量积运算 答｜题｜技｜巧 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例1】如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 【变式1】（多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 【变式2】（多选）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 题型三 空间向量坐标运算 答｜题｜技｜巧 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【典例1】在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 【变式1】（多选）已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若直线与平面交于，则 D．若平面与平面的距离为1，则该六面体的体积 【答案】ABD 【分析】取基底向量，用它们表示出，证明即可判断A选项；根据即列出向量等式，得到，再利用它证明；将用表示，根据空间四点共面的推论得到的方程，求解即可；首先证明平行于底面的截面的面积只与截面高度有关，根据祖暅原理可知可以在不改变体积的前提下移动，使得该几何体可以放进长方体中，用长方体的体积减去多余部分的体积即是所求几何体的体积. 【详解】设，因为是矩形，所以， 依题意有平面平面，平面平面， 且平面平面，所以， 同理可得， 又因为， 所以，且， 对于A，可知， 则， 所以，A正确； 对于B，可知， 若，则，展开得， 移项得， 又， ， 则 ， 所以，B正确； 对于C，设， 则 ，因为平面，所以， 解得，所以，C错误； 对于D，取该几何体平行于底面的某截面， 同A中分析可知，， 所以也是矩形， 设，则 ，即的长度只与有关即只与截面高度有关， 同理可得的长度也只与截面高度有关，所以截面的面积只与截面高度有关， 根据祖暅原理，可以移动使得的正投影刚好是，而不影响该几何体的体积， 此时该几何体可以放进长方体中，如图所示，依题意长方体的高为， 因为长方体的体积， 直三棱柱的体积为， 直三棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以几何体体积为，D正确. 【变式2】已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 题型四 方向向量与平面法向量求解 答｜题｜技｜巧 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【典例1】在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 【变式1】正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 【变式2】（多选）在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为 D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】选项A：通过向量共线判断,与坐标不成比例,故与不平行,A错误.选项B：计算与的数量积为0,可判断两直线垂直,B正确.选项C：利用面面平行确定点轨迹为线段,计算得,C正确.选项D：由线面垂直求出点坐标,再计算四面体外接球表面积为,D错误. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 正方体棱长为，各点坐标为，，，，， ，，，，. 选项A：，.两向量坐标不成比例，故与不平行，A错误. 选项B：，. ， 故，B正确. 选项C：取中点，中点，连接.， ，，，，. 可得与共面，与共面，. 因为平面，平面，且， 所以平面平面.点在正方形内且平面， 故点轨迹为线段，则，C正确. 选项D：，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得，即. 设，. 由平面得，即，解得，即. 四面体的顶点为，，，， 该四面体的外接球等价于以为邻边的长方体的外接球， 长方体的长宽高分别为，外接球直径， 外接球半径，表面积，D正确. 题型五 空间平行关系向量证明 答｜题｜技｜巧 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【典例1】如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 【变式1】如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【变式2】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 题型六 空间垂直关系向量证明 答｜题｜技｜巧 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典例1】如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【变式1】如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【变式2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 题型七 空间角计算（重难点） 答｜题｜技｜巧 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【典例1】如图所示，在三棱锥中，，，平面平面PBC，点M为PC中点．    (1)求证：底面ABC； (2)若，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)由面面垂直得到平面，则，再证明平面，则，又有，从而得到平面 . (2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角公式计算求解. 【详解】（1）在平面内，过点作 于点. 因为平面平面，平面 平面，平面， 所以 平面，因为 平面，所以 . 又因为 ， ， 平面， 所以平面. 因为平面 ，所以 . 又因为 ，， 平面， 所以 平面 . （2）    由 (1) 知 平面，且平面，平面， 所以 . 如图，以为坐标原点，分别以 的方向为轴、轴的正方向， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系 因为，所以，，. 因为平面 ，且，所以 . 因为为的中点，所以. 所以 ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 的法向量为 ，则，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 和平面 的夹角为 ，则 所以平面 和平面夹角的余弦值为 . 【变式1】（多选）在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令轴沿方向，轴在底面内且与垂直，轴沿方向．由点在侧面内设出其坐标，再利用平面求出点的轨迹，从而判断A；取特殊位置说明截面可能为平行四边形，从而判断B；利用直线方向向量的竖直分量与水平投影长度之比求线面角正切值的范围，从而判断C；求出三棱柱外接球球心坐标，并计算它到点的距离最小值，从而判断D． 【详解】以为坐标原点，取所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 因为底面为菱形，，，， 所以 又为底面对角线的交点，所以． 设点在侧面内，则可设 由，，，得 设平面的一个法向量为，则 取，，，则平面的一个法向量可取 因为平面，所以． 又所以 化简得，于是 又，因此点在线段上运动． 又 所以A正确． 对于B，取，则此时为线段的中点． 又点，，，共面，且四边形中，，，所以四边形为平行四边形． 由于线段的中点也在平面内，所以过，，三点的平面就是平面． 此时截面为平行四边形，所以B正确． 对于C，由上可知 平面与底面平行，其法向方向为竖直方向． 设直线与平面所成角为，则等于的竖直分量长度与其在平面内的投影长度之比． 所以 令 则 所以在上单调递增，在上也单调递增． 当时，；当时，．故的取值范围为，C正确． 对于D，因为为边长为的正三角形，所以其外心为 三棱柱为直三棱柱，其外接球球心在过且垂直于底面的直线上，并位于高的一半处，所以 由，得 化简得 因为，所以当时，取得最小值，即的最小值为，不是．D错误． 【变式2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E. (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质证得平面，继而证得，再结合，即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又因为平面，可得， 又因为，， 所以平面； （2）由题意可得两两互相垂直，， 以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，， 可得，解得λ＝3，则. 所以. 设平面的法向量为， 由，令，则 则平面的一个法向量为， 由（1）得为平面的一个法向量， 可得0×1+1×（﹣1）+（﹣2）×2＝﹣5，，， 设平面与平面所成角为， 则|， 因此平面与平面所成角的余弦值为. 题型八 空间距离计算（高频考点） 答｜题｜技｜巧 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例1】（多选）在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．与面交于点，则 C．点到平面的距离为 D．三棱锥与的外接球体积之比为 【答案】ABC 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积 判断A；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式判断C；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径判断D；设，求出平面的法向量，再由判断B. 【详解】 因为平面 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，，点为的中点，点为的中点， 则， 由中点坐标公式可得， A，，， 所以，即，故A正确； B，设，，则，， 设平面的法向量为，， 由，可得，令，则， 因为 ，解得， 所以，故B正确； C，设平面的法向量为， 由，可得，令，可得， 又，所以点到平面的距离为，故C正确； D，因为平面，所以三棱锥的外接球的球心为中点， 又，所以其外接球半径为； 因为，，，所以， 又平面所以三棱锥的外接球的球心为的中点， ，所以其外接球半径为， 所以外接球半径之比为，即外接球体积之比为，故D错误； 【变式1】（多选）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 【变式2】已知直三棱柱，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】(1)根据直三棱柱的特点，侧棱与底面垂直，以及题干所给垂直条件，先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直； (2)根据(1)中的证明结果可得到三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，利用所给条件得到的长，根据法向量夹角与二面角的平面角之间的关系，通过法向量计算二面角的正弦值． 【详解】（1） 证明：因为为直三棱柱，故平面，所以； 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，故平面平面； （2）由(1)知，平面，平面， 故，，； 以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 设，则，，，， 则，， 设平面的法向量， 则，故，令，可得：； 因为点到平面的距离为， 故，即，，解得或（舍去）； 故； ，， 设平面的法向量， 则，故，令，可得：； 设二面角的平面角为， 则， 因为，则． 故二面角的正弦值． 题型九 几何体规范建系 答｜题｜技｜巧 建立平面直角坐标系是几何解题常用方法，选址遵循就近简便原则，优先以图形直角顶点、对称中心作为坐标原点，依托互相垂直的线段设定x轴与y轴，贴合图形摆放方向确立坐标轴正向。 根据题干边长、角度、线段比例等已知条件，精准标注图形所有顶点坐标，特殊点、动点坐标按规则合理设参。解题时依托坐标公式，依次开展距离、斜率、角度、面积、位置关系运算推导。 书写步骤条理清晰，建系说明、坐标罗列、公式套用、计算推演依次呈现，每一步推导有理有据，严格遵循书写格式，减少多余步骤，规避坐标写错、符号疏漏问题，借助坐标转化几何关系，高效完成证明与计算。 【典例1】如图在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，，的中点． (1)求直线与所成角的余弦值． (2)求证：⊥平面． (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，再利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）根据正方体的几何性质，利用线面垂直判定定理证明结论； （3）利用等体积法，结合三棱锥体积公式计算求解． 【详解】（1）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知正方体棱长为1，E，F，G分别是，，的中点， 则， ， 设直线与所成角为，则 . （2）在正方体中，底面，底面， ， 为中点，是等腰直角三角形， ， 又，平面， 平面． （3） ． 【变式1】如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位于的中点位置 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解； （3）求出平面的法向量，假设存在点，满足，利用向量夹角余弦公式构造方程，解方程求出，进而得出结论． 【详解】（1）已知是正三角形，是中点，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ． （2），设平面的法向量为， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，令，则， 二面角的余弦值为： ． （3），设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简整理得，解得或（舍去）， 存在点，位于线段的中点位置． 【变式2】四棱锥的底面为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)设四棱锥的外接球的球心为M，且点M与点P在平面的同一侧，球M的半径为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）已知平面与平面的交线为l，点Q在l上，设直线和平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用几何法，结合已知条件，利用面面垂直判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用几何法求出点坐标，由几何法得出是平面与平面的夹角，进而利用余弦定理求出余弦值；（ii）设点坐标，求出相关点和向量坐标，进而利用向量夹角余弦公式求出的表达式，进而求出的取值范围． 【详解】（1）取中点O，连接，，   底面为矩形，且，， ， ， 又， ， ， ，，平面， 平面，又平面， ， ， ， 又，平面， 平面， 平面， 平面平面． （2）（i）连接交于点N，连接．分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建系，    过点N作平面的垂线l，则， 设，，其中； ，，解得， ，解得， ，， 连接，， ，， 是平面与平面的夹角， 又，，， 由余弦定理得． 平面与平面夹角的余弦值为． （ii），平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ， 可设， 又， ， ，，设平面的法向量为， 则，，可取， ， ， ，即的取值范围为． 题型十 立体几何综合大题 答｜题｜技｜巧 立体几何大题常考查证明平行垂直、空间角、体积距离类题型，解题分几何法与空间向量法两类思路。 证明题优先梳理线线、线面、面面间判定与性质定理，找准中位线、垂线、平行截面，紧扣定理条件完整书写推理步骤，缺一不可。 计算类首选建立空间直角坐标系，以两两垂直棱的交点为原点规范建系，准确写出各点坐标，求出对应直线方向向量与平面法向量。利用向量公式求解异面直线角、线面角、二面角，计算时留意角度范围与正负取值。 求解体积灵活选用底高公式、等体积转化法，不规则几何体可分割补形简化运算。答题步骤层次分明，定理标注清晰，计算仔细核对数值与符号，合理选择最简解题路径，规避漏条件、坐标系建立不当、角度判断失误等常见失分点。 【典例1】如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   【变式1】已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论. 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为    【变式2】（多选）正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（   ） A．直线与所成的角为 B．平面 C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】构造空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算向量夹角，判断选项A；利用向量与平面法向量平行证明线面平行判断选项B；利用向量模的公式构造二次方程判断选项C，利用点到平面距离公式求出点面距离，判断选项D． 【详解】已知正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，故， 设夹角为，则， ，故A正确； ， ， ， ， 平面的法向量为， ， ， 平面， 平面，故B正确； ， ，函数开口向上，对称轴为， 当时取得最小值，最小值为， 故C正确； 当时，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， ， 则点到平面的距离为：，故D错误． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【详解】（1）连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则，     因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以，     因为，，平面，所以平面，     又平面，则； （2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以，     即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 3．（24-25高二下·江苏南通·期末）（多选）已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（   ） A． B．点P到平面的距离为 C．二面角的正切值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后用向量法逐项判断即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设， 所以，，则，所以，所以A正确； 因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离， 因为为正方形，连接，，使,所以， 因为正方体中，平面，所以， 所以平面，所以点到平面的距离为，所以B正确； 由题知，平面的一个法向量， 又，所以，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以C错误； 作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 5．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行； （2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． （2）方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数______． 【答案】6 【分析】求出的坐标，再求模长即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，最小值为 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直. （3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以， 因为，，所以， 又，平面，平面， 所以平面． （2） 由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示， 以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，，，．设． 因为，， 所以，所以． （3）设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即．令，则 且平面的法向量为， 设平面与平面DEF的二面角的平面角为， 则． 根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值, 可知，当时，取最小值为， 此时取最大值为，则， 此时． 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. (1)当时，求证：平面； (2)求点到底面的距离； (3)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可. （2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，，所以，所以． 因为，所以， 所以，则在中，， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为，所以面，且面， 所以面底面，侧面底面， 所以底面，则点到底面的距离为， ，则，. 所以到底面的距离为. （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，所以， 所以，所以， 则，则. 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏连云港·期末）（多选）在长方体中，，底面是边长为的正方形，，则下列选项正确的有（    ） A．，三棱锥的体积是定值 B．当时，存在唯一的使得平面 C．为棱的中点，当时，的周长取最小值 D．当直线与所成角的余弦值为时，的值为 【答案】ACD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BD选项；将平面、延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线，取最小值，可得出的周长取最小值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，即点在棱，则点到平面的距离等于， 因为四边形为矩形，所以， 故，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， 因为，则，所以， 当时，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 则， 因为，解得或，所以，存在两个，使得， 因此当时，存在两个使得平面，B错； 对于C选项，将平面、延展为同一个平面，如下图所示：    由题意可知，当、、三点共线时， 取最小值， 因为，所以，故，故， 在长方体中，当时，取最小值，而的长为定值， 此时的周长取最小值，C对； 对于D选项，由题意得、、、， ，，      所以， 因为，解得，D对. 故选：ACD. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，② 【分析】（1）在长方体中,平面，可得，结合，可证平面，得到，同理可证，进而证得平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，分别得出两个平面的法向量，即可得到夹角的余弦值，再根据函数性质可求最值； ②根据截面可确定在棱（不包含端点），然后可得的范围即可得到余弦值的范围. 【详解】（1）在长方体中,平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面. （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 由（1）知为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 ， 又，当，即时取等， 又点E，F分别是棱，上的动点，且，， 所以，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. ②在平面中，过作， 同（1）的证明理由可得，即平面， 所以当在棱时，截面为四边形， 当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形， ，， 又，， 又在棱（不包含端点），所以，解得， 又不在棱端点，所以， 由①知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的范围为. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），． (1)已知． （i）求； （ii）求直线与所成角的大小． (2)若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）；(2) 【分析】（1）（i）由题意可建立适当空间直角坐标系，设出点坐标，由及长度，借助向量计算可得点坐标，即可得；（ii）求出、后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）由题意求出、平面法向量，则可得与平面法向量垂直，从而可计算出点位置，再借助空间向量夹角公式表示出平面与平面的夹角余弦值，最后计算即可得解. 【详解】（1）由平面，、平面，故，， 又，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 设，且，则、， 由，则，即； （i）由，则，又，故， 即，则，故； （ii），， 则， 即，则直线与所成角的大小为； （2），， 设，， 则， ，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，， 即可为， 由平面，故， 即， 化简得，由，则， 故， 由平面，故为平面的法向量， 则 令，则， ， 由，则，故， 故， 由图可知二面角为锐角，设为， 故，即二面角余弦的最小值为. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，已知四边形是矩形，，是正三角形，O是的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)已知点Q为线段靠近C的三等分点，直线与平面所成角为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明转化为证明向量即可； （2）由（1）求出平面的法向量，然后由点到平面距离的向量求法求解即可； （3）由线面所成角的向量求法求解即可. 【详解】（1）证明： 连接，因为是正三角形，且是的中点，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取中点，因为四边形是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， 可得，， 则， 所以. （2）由（1）可得：，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 故点D到平面的距离. （3）由（1）知，又点Q为线段靠近C的三等分点， 所以，， 又平面的法向量. 故 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $