专题03 概率（期末复习讲义）高二数学下学期苏教版

专题03 概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率的性质及应用 题型02 全概率公式 题型03 贝叶斯公式 题型04 求离散型随机变量的分布列 题型05 两点分布 题型06 离散型随机变量均值的性质 题型07 求离散型随机变量的方差 题型08 二项分布的均值与方差（高频考点） 题型09 超几何分布的分布列 题型10 正态分布 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+高频易错） 1.随机事件与概率基本性质事件分类、概率取值范围、概率基本运算性质 区分必然事件、不可能事件、随机事件；熟记概率取值范围[0,1]；能利用概率基本性质进行简单运算 命题趋势：选择填空基础考点，多为送分题型；高频易错：混淆事件类型；错误认为随机事件概率一定在(0,1)，忽略0和1的边界情况 2.古典概型古典概型判定条件、基本事件计数、概率计算公式 判定古典概型的有限性、等可能性特征；能结合计数原理统计基本事件数；精准求解古典概型概率 命题趋势：期末必考基础题型，常结合实际场景考查；高频易错：忽略等可能性前提；基本事件计数漏算、重复计算；混淆有序与无序基本事件 3.互斥事件与对立事件互斥、对立事件定义、概率加法公式、对立事件概率公式 辨析互斥事件与对立事件的包含关系；熟练运用加法公式、正难则反公式计算概率；能精准判断事件关系 命题趋势：高频易混考点，是概率运算的核心基础；高频易错：混淆互斥与对立（对立一定互斥，互斥不一定对立）；互斥事件乱用乘法公式；不会用对立事件简化计算 4.相互独立事件独立事件定义、概率乘法公式、独立与互斥区分 理解事件相互独立的本质；熟记独立事件乘法公式；能准确区分独立事件与互斥事件，解决多事件概率问题 命题趋势：期末核心考点，常结合分布列综合考查；高频易错：将互斥事件当成独立事件计算；多个独立事件概率计算遗漏情况；混淆独立事件的判定条件 5.条件概率条件概率公式、变形运算、简单实际应用 熟记条件概率定义及计算公式；能区分普通概率与条件概率；能求解简单场景下的条件概率问题 命题趋势：中档选择填空高频考点，区分基础层次；高频易错：忘记限定前提条件；公式分子分母混淆；直接用普通概率代替条件概率 6.全概率公式（拓展考点）分步概率叠加、全概率公式应用场景 掌握全概率公式适用场景；能拆分完备事件组；能分步叠加计算复杂事件概率 命题趋势：期末拔高题型，多用于复杂应用题；高频易错：事件拆分不完整、遗漏分支；各分支概率计算出错；不会判定完备事件组 7.离散型随机变量及其分布列随机变量定义、分布列性质、分布列书写规范 识别离散型随机变量；熟记分布列概率和为1的核心性质；能规范书写完整概率分布列 命题趋势：概率解答题必考第一步，基础性极强；高频易错：随机变量取值遗漏、多写；概率计算后不验证总和为1；分布列书写格式不规范扣分 8.离散型随机变量的均值与方差均值、方差公式、性质、实际意义 熟记均值、方差计算公式及线性性质；能精准计算数值；能结合实际场景解释均值、方差的统计意义 命题趋势：解答题核心设问，期末必考；高频易错：公式记忆混淆；忽略均值方差线性变换规则；计算粗心出错；不会结合实际分析数据 9.二项分布二项分布判定条件、概率公式、均值方差结论 判定独立重复试验与二项分布模型；熟记二项分布概率公式及均值、方差结论；能直接套用模型解题 命题趋势：期末高频大题模型，套路固定；高频易错：未验证独立、重复、两点分布条件就套用公式；记错均值方差固定结论；概率指数运算出错 10.超几何分布超几何分布适用场景、概率公式、模型区分 区分超几何分布与二项分布适用场景；熟记超几何分布概率公式；能精准识别抽样模型 命题趋势：期末重难点，高频区分度题型；高频易错：有放回、无放回抽样模型混淆，乱用二项/超几何公式；组合数计算错误导致概率出错 11.概率综合应用题模型识别、分布列+均值方差综合计算 能快速识别概率模型；能完整完成「判模型→求概率→列分布列→算均值方差」整套解题流程 命题趋势：期末概率压轴大题，固定考查形式；高频易错：模型判断错误全盘失分；步骤缺失扣分；未检验概率和为1；最终结果未化简 知识01 随机事件的概率 【核心知识点】 1. 随机现象：在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。 2. 事件分类：必然事件（概率为1）、不可能事件（概率为0）、随机事件（概率）。 3. 概率定义：在大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个常数附近，该常数即为事件的概率。 4. 概率范围：。 【典型示例】 判断事件类型：①掷骰子点数小于7，为必然事件，；②掷骰子点数为7，为不可能事件，；③掷骰子点数为偶数，为随机事件，。 【易错点警示】 1. 误认为随机事件概率一定在，忽略0和1的边界情况； 2. 混淆频率与概率：频率是试验值、可变，概率是理论值、固定不变； 3. 少量试验的频率等同于概率，概念理解错误。 知识02 古典概型 【核心知识点】 1. 古典概型两大条件：①有限性：基本事件总数有限；②等可能性：每个基本事件发生概率相等。 2. 古典概型概率公式：。 【典型示例】 掷一枚均匀骰子，求点数为奇数的概率。 解：总基本事件6种，奇数点数3种，。 【易错点警示】 1. 忽略「等可能性」前提，非等可能事件乱用古典概型公式； 2. 基本事件计数漏算、重复计算，混淆有序与无序基本事件； 3. 复杂场景不会结合排列组合统计事件数。 知识03 互斥事件与对立事件 【核心知识点】 1. 互斥事件：在同一试验中，两个事件不可能同时发生，。 概率加法公式：若A、B互斥，则。 2. 对立事件：两个事件互斥且必有一个发生，A的对立事件记为。 核心公式：，即。 核心关系：对立一定互斥，互斥不一定对立。 【典型示例】 掷骰子，设A=点数为1，B=点数为2，A、B为互斥事件；设A=点数为奇数，=点数为偶数，二者为对立事件。 【易错点警示】 1. 混淆互斥与对立事件，将互斥事件当成对立事件计算； 2. 乱用加法公式，非互斥事件直接概率相加； 3. 复杂概率问题不会用「正难则反」的对立事件简化计算。 知识04 相互独立事件 【核心知识点】 1. 定义：事件A的发生不影响事件B发生的概率，称A、B相互独立。 2. 判定公式：。 3. 性质：若A、B独立，则与、与、与均独立。 【典型示例】 先后掷两枚硬币，A=第一枚正面朝上，B=第二枚正面朝上，两事件相互独立，。 【易错点警示】 1. 最大误区：将互斥事件当成独立事件计算； 2. 多个独立事件概率计算遗漏情况、漏乘概率； 3. 凭主观判断独立，不通过公式验证。 知识05 条件概率 【核心知识点】 1. 定义：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记为。 2. 公式：。 3. 变形公式：。 【典型示例】 已知一袋中有2白3黑球，不放回摸球，第一次摸到白球，求第二次摸到黑球的概率。 解：第一次摸白球后剩1白3黑，总4球，。 【易错点警示】 1. 混淆条件概率与普通概率，忘记限定前提条件； 2. 公式分子分母写反，记错运算逻辑； 3. 独立事件误用条件概率公式计算。 知识06 全概率公式（期末拔高考点） 【核心知识点】 1. 完备事件组：事件两两互斥、并集为全集。 2. 全概率公式：。 3. 适用场景：复杂事件由多个分支情况构成，分步叠加求总概率。 【典型示例】 甲乙两个袋子，甲袋2白1黑，乙袋1白2黑，随机选一个袋子，再摸一球，求摸到白球的概率。 解：选甲乙概率均为，。 【易错点警示】 1. 完备事件组拆分不完整、遗漏分支； 2. 各分支条件概率计算错误； 3. 简单概率题乱用全概率公式，解题繁琐易出错。 知识07 离散型随机变量及其分布列 【核心知识点】 1. 离散型随机变量：取值可以一一列举的随机变量。 2. 分布列定义：列出随机变量所有取值及对应概率的表格。 3. 核心性质：①；②所有概率和（必检验）。 【典型示例】 掷一枚硬币，定义正面为1，反面为0，分布列为：，概率和为1，符合性质。 【易错点警示】 1. 随机变量取值遗漏、多写、取值范围错误； 2. 计算概率后不验证「概率和为1」，隐藏计算错误； 3. 分布列书写格式不规范，大题扣分。 知识08 离散型随机变量的均值与方差 【核心知识点】 1. 均值（期望）公式：，反映平均水平。 2. 方差公式：，反映数据波动程度。 3. 线性性质：，。 【典型示例】 已知取值0、1，概率均为0.5，求均值方差。 解：，。 【易错点警示】 1. 均值、方差公式记忆混淆，代入数据出错； 2. 方差线性变换忘记平方，是最高频易错点； 3. 不会根据均值方差实际意义分析问题。 知识09 二项分布（独立重复试验） 【核心知识点】 1. 判定条件：n次独立重复试验、每次只有两种结果、每次概率不变。 2. 概率公式：若，则。 3. 固定结论：，。 【典型示例】 投篮命中率0.6，投篮3次，求命中2次的概率。 解：，。 【易错点警示】 1. 未验证独立重复试验条件，盲目套用二项分布公式； 2. 记错均值、方差固定结论； 3. 指数运算、组合数计算失误。 知识10 超几何分布（期末重难点） 【核心知识点】 1. 判定条件：总体含两类元素、无放回抽样、有限总体。 2. 概率公式：总体个，其中特殊元素个，抽取个，。 3. 核心区分：无放回→超几何分布，有放回→二项分布。 【典型示例】 袋中5白3黑共8球，不放回抽3球，求恰好2白的概率。 解：。 【易错点警示】 1. 最大误区：混淆有放回与无放回，乱用二项/超几何公式； 2. 组合数上下标对应错误，公式代入数据混乱； 3. 抽样总数、剩余元素数量判断失误。 题型一 条件概率的性质及应用 解｜题｜技｜巧 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 【典例1】现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用缩小样本空间法求出条件概率. 【详解】在甲被选中的前提下，再从余下7人中选出2人，有种方法， 其中乙被选中的情况，有种方法， 所以所求概率为. 【变式1】抛红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.若事件：红色骰子的点数大于3；事件：两枚骰子的点数之和等于7，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛红、蓝两个质地均匀的骰子，朝上的点数共有种， 其中红色骰子的点数大于3有种， 红色骰子的点数大于3且两枚骰子的点数之和等于7共有种， 则，，则. 【变式2】（多选）口袋内装有大小、质地均相同，其中红球3个，黄、蓝球各2个.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】ABC 【分析】使用条件概率公式与独立事件概率公式求解. 【详解】由题意知，选项正确； 事件的发生可分为两种互斥情况：第一次抽到非黄球（红球或蓝球），第二次抽到黄球，或第一次与第二次都抽到黄球， 故，选项正确； 事件：第一次抽到红球并且第二次抽到黄球，故， ，选项正确； ，因为，所以与不相互独立，选项错误. 题型二 全概率公式 答｜题｜技｜巧 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【典例1】三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【答案】 【详解】记｛球取自号罐｝，{取得红球}， 显然的发生总是伴随着之一同时发生， 即，且两两互斥， ， 由全概率公式可得， 【变式1】甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】若取出的是甲袋，取到红球的概率为， 若取出的是乙袋，取到红球的概率为， 故取到的球为红球的概率是. 【变式2】有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 【答案】 【分析】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球，利用全概率公式计算，，再利用条件概率的计算公式即可. 【详解】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球， 则 ； ， 则， 故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为. 题型三 贝叶斯公式 答｜题｜技｜巧 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【典例1】小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 【变式1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为______. 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，再使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 【变式2】（多选）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解；对于C选项利用贝叶斯公式求解；对于D选项不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为： ，故A正确， 对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 依题意两两互斥， 其和为， 并且， ， ， ， 由全概率公式有：，故B正确； 对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同， ， ， ， 则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大， 故C不正确； 对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份， 再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有： ，故D正确； 故选：ABD. 题型四 求离散型随机变量的分布列 答｜题｜技｜巧 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列． 【典例1】某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． (1)求． (2)若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． (3)假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式，分别求解和，结合古典概型、排列组合计数方法统计符合条件的基本事件数，单次抽取共5种等可能结果，5次抽取总基本事件数为，通过符合条件的事件数除以总事件数求得对应概率. （2）求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，求出满足的序列的种数，求出甲、乙都取这类序列的基本事件数，从而得到样本空间的基本事件总数，求出甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数，求出当时的总事件数，求出甲、乙奖金相等的情况种数，从而得到所求的概率. （3）采用状态期望法，定义不同连续中奖次数对应的剩余期望次数，结合单次抽取的概率（抽中5元券概率、未抽中概率），搭建线性期望方程组，通过逐步代入消元求解方程组，最终得到初始状态下的总抽取期望. 【详解】（1）包含两种情况：和， 计算：5 次都抽到同一张奖券，共有种奖券选择， 每次抽中该奖券的概率为， 所以， 计算：先选1种奖券出现4次，再选1种其他奖券出现1次， 共有 种情况，所以， 因此：. （2）题目中条件为 “甲、乙的相等且”，包含两种情况： ：满足的序列有种，甲、乙都取这类序列的基本事件数为， ：满足的序列有种， 甲、乙都取这类序列的基本事件数为， 样本空间的基本事件总数为：， 当时， 甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数为组合数（从种中选种，甲选更优的 1 种，乙选另 1 种）， 当时， 总事件数为，其中甲、乙奖金相等的情况有种， 那么甲奖金多于乙和甲奖金少于乙的情况数相等， 因此：， 则总计事件数为， 故所求的概率为. （3）设为已连续抽中张5元奖券时， 到结束还需抽取的期望次数（， ）. 每次抽到5元奖券的概率为，没抽到的概率为, ， ， ， 由得， 代入， 再代入，解得： . 【变式1】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为，则_____，_____. 【答案】 【分析】由题意可知，根据期望及方差公式计算即可. 【详解】由题意可知在一次抛掷中，成功的概率为，且， 所以；. 【变式2】某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； (2)当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； (3) 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【详解】（1）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. （2）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （3）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 题型五 两点分布 答｜题｜技｜巧 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【典例1】已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为X服从两点分布，所以， 又，所以． 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【答案】0.6/ 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 【变式2】已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 题型六 离散型随机变量均值的性质 答｜题｜技｜巧 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 【典例1】已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 【变式1】设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 【变式2】离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【答案】D 【分析】 由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 题型七 求离散型随机变量的方差 答｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 【典例1】已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 【答案】2 【分析】由分布列的性质求，再由均值定义求，再由方差定义求结论. 【详解】由分布列的性质可得， 所以， 由表中的数据有： ， . 【变式1】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 【变式2】某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1000元的概率； ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值； (2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 【答案】(1)①；②分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】本题考查了离散型随机变量的概率、分布列、均值与方差，掌握组合数计算概率、均值与方差的公式是解题的关键． （1）①明确奖励金额1000元对应的摸阄组合，用组合数计算概率； ② 确定奖励金额的所有可能取值，计算各取值概率，列出分布列并计算均值； （2）根据人均奖励1000元的条件，筛选出可能的阄面值组合，通过计算方差判断哪种组合的奖励金额更均衡． 【详解】（1）（1）设员工所获得的奖励金额为， ①， 员工所获得的奖励金额为1000元的概率为． ②所有可能的取值为400，1000， ， 的分布列为 400 1000 员工所获得的奖励金额的均值为 ． （2）（2）根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元， 先寻找均值为1000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择（，，，）的方案， 元是面值之和的最大值， 均值不可能为1000元， 如果选择（，，，）的方案， 元是面值之和的最小值， 均值不可能为1000元， 因此可能的方案是（，，，），记为方案1； 同理，对于面值由600元和400元组成的情况， 排除（，，，）和（，，，）的方案， 可能的方案是（，，，），记为方案2． 对于方案1，设员工所获得的奖励金额为，可取400，1000，1600， ， ， ， ， ； 对于方案2，设员工所获得的奖励金额为，可取800，1000，1200， ， ， ， ， ， 由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小， 应选择方案2． 题型八 二项分布的均值与方差（高频考点） 答｜题｜技｜巧 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．. 【典例1】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 【变式1】（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【答案】ACD 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为 有 ， 有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， 又由， 可得，可知D选项正确. 【变式2】在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出事件，由独立事件乘法公式求出结果； （2）根据独立重复试验概率公式求出结果； （3）判断出服从二项分布，代入公式即可求期望． 【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； （3）甲猜对的次数为，，期望为. 题型九 超几何分布的分布列 答｜题｜技｜巧 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 【典例1】盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 【变式1】某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意，的可能取值为，根据超几何分布的知识求得的分布列和数学期望； （2）利用全概率公式来求得答案. 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望. （2）记“第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为”为事件，则两两互斥，， 记“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”为事件， 由（1）知，， 由全概率公式，， 故“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率为. 【变式2】（多选）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有黄球40个，白球60个，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则（    ） 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 A．如果采取有放回摸球，其方差为24 B．如果采取不放回摸球，其期望为8 C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率约为0.7988 D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1的限制条件下，采用不放回摸球估计的结果更可靠 【答案】BCD 【分析】根据二项分布与超几何分布的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，当采取有放回摸球时，则每次摸到黄球的概率为， 此时，方差为，故A错误； 对于B，当采取不放回摸球时，则服从超几何分布，期望为，故B正确； 对于C，如果采取不放回摸球，样本中黄球比例为，总体黄球比例为0.4，因此， 查阅参考数据中超几何分布列（第三行）可知，该值约等于，故C正确； 对于D，如果采取有放回摸球时，查阅参考数据中二项分布列（第二行）可知， ， 因,即采用不放回摸球估计的结果更可靠，故D正确. 故选：BCD. 题型十 正态分布 答｜题｜技｜巧 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【典例1】某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 【变式1】某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 【答案】160 【分析】根据正态曲线的对称性求出，再乘以1000可得结果. 【详解】∵考试的成绩服从正态分布， ∴考试的成绩X关于对称， ∵， ∴， ∴该年级数学成绩在120分以上的人数为． 故答案为：160. 【变式2】新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据条件概率的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 3．（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【答案】 4 /0.75 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先计算出左右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案； （2）计算出左右手所取两球颜色相同的概率，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 故两只手中所取的球颜色不同的概率为； （2）的可能取值为0,1,2， 左手所取两球颜色相同的概率为， 右手所取两球颜色相同的概率为， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正态分布均值的含义，利用正态曲线的对称性求解即可． 【详解】由随机变量，且， 则，求得，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【答案】D 【分析】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D. 【详解】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布． 该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误； 该地小麦株高的方差约为，B选项错误； 因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误； 因为，该地株高超过130cm的小麦约占， 则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏淮安·期末）在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1)数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7．(2)．(3) 【分析】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得. （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可. （3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”. 【详解】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得： 数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”； 数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7． （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件． 若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素， 每列有3个元素，且，则． 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和． 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾； 若和不同行也不同列时，不妨设， 根据定义可得：， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的． 所以． 答：是“数组”的概率为． （3）根据题意的可能取值为（共个取值）， 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： …… 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 由这些计数无重复，故的元素个数为 注意到以上计数具有对称性，即： …… 所以利用“倒序相加”法我们有： ，，所以． 5．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 【答案】 【分析】由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解. 【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．设随机变量，则 B．设离散型随机变量满足，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 【答案】AC 【分析】根据二项分布的概率公式求解判断A，根据均值的性质求解判断B，根据正态分布的对称性判断C，结合组合数根据古典概型概率公式求解判断D 【详解】对于A，若随机变量，则，，故A正确； 对于B，若离散型随机变量满足，则，故B错误； 对于C，随机变量服从正态分布，均值为，则，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：AC 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（   ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 【答案】AB 【分析】利用古典概率和对立事件的概率可判断A的正误，利用古典概率的概率公式可判断B的正误，根据独立事件和对立事件的概率公式可判断C的正误，根据二项分布的概率公式可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若每次取出的球不放回，则，故B正确； 对于C，若每次取出的球放回，则相互独立，且， 故， 故，故C错误； 对于D，若每次取出的球放回，设前5次取球中取到个红球， 则，故，其中， 令，则，故， 故前5次取球中最有可能取到2次红球，故D错误. 故选：AB. 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】直接由二项分布的期望公式计算即可. 【详解】若随机变量，则. 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 【答案】 【分析】记次后落在处概率为与的递推关系，进一步计算得出与的关系进行判断，最后根据等比数列前项和公式得出结果即可； 【详解】记次后落在处概率为，得出 ，， 则， ，， 所以， 所以，即， 所以，数列是等比数列， ， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)25元. (2)3号球槽中落入19或20个小球的概率最大 【分析】（1）首先求的分布列，再根据的分布列求的分布列，并计算均值，从而比较成本，确定定价； （2）首先由（1）得，小球落入3号球槽的个数为，判断的单调性，从而确定概率的最大值. 【详解】（1）的取值可能为. ， . 因为，所以的取值可能为. ， . 的分布列为 0 5 10 15 ， 则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元， 所以该商品的最低定价约为25元. （2）由（1）得. 进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则. . 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，，此时这两项概率均为最大1. 故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率的性质及应用 题型02 全概率公式 题型03 贝叶斯公式 题型04 求离散型随机变量的分布列 题型05 两点分布 题型06 离散型随机变量均值的性质 题型07 求离散型随机变量的方差 题型08 二项分布的均值与方差（高频考点） 题型09 超几何分布的分布列 题型10 正态分布 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+高频易错） 1.随机事件与概率基本性质事件分类、概率取值范围、概率基本运算性质 区分必然事件、不可能事件、随机事件；熟记概率取值范围[0,1]；能利用概率基本性质进行简单运算 命题趋势：选择填空基础考点，多为送分题型；高频易错：混淆事件类型；错误认为随机事件概率一定在(0,1)，忽略0和1的边界情况 2.古典概型古典概型判定条件、基本事件计数、概率计算公式 判定古典概型的有限性、等可能性特征；能结合计数原理统计基本事件数；精准求解古典概型概率 命题趋势：期末必考基础题型，常结合实际场景考查；高频易错：忽略等可能性前提；基本事件计数漏算、重复计算；混淆有序与无序基本事件 3.互斥事件与对立事件互斥、对立事件定义、概率加法公式、对立事件概率公式 辨析互斥事件与对立事件的包含关系；熟练运用加法公式、正难则反公式计算概率；能精准判断事件关系 命题趋势：高频易混考点，是概率运算的核心基础；高频易错：混淆互斥与对立（对立一定互斥，互斥不一定对立）；互斥事件乱用乘法公式；不会用对立事件简化计算 4.相互独立事件独立事件定义、概率乘法公式、独立与互斥区分 理解事件相互独立的本质；熟记独立事件乘法公式；能准确区分独立事件与互斥事件，解决多事件概率问题 命题趋势：期末核心考点，常结合分布列综合考查；高频易错：将互斥事件当成独立事件计算；多个独立事件概率计算遗漏情况；混淆独立事件的判定条件 5.条件概率条件概率公式、变形运算、简单实际应用 熟记条件概率定义及计算公式；能区分普通概率与条件概率；能求解简单场景下的条件概率问题 命题趋势：中档选择填空高频考点，区分基础层次；高频易错：忘记限定前提条件；公式分子分母混淆；直接用普通概率代替条件概率 6.全概率公式（拓展考点）分步概率叠加、全概率公式应用场景 掌握全概率公式适用场景；能拆分完备事件组；能分步叠加计算复杂事件概率 命题趋势：期末拔高题型，多用于复杂应用题；高频易错：事件拆分不完整、遗漏分支；各分支概率计算出错；不会判定完备事件组 7.离散型随机变量及其分布列随机变量定义、分布列性质、分布列书写规范 识别离散型随机变量；熟记分布列概率和为1的核心性质；能规范书写完整概率分布列 命题趋势：概率解答题必考第一步，基础性极强；高频易错：随机变量取值遗漏、多写；概率计算后不验证总和为1；分布列书写格式不规范扣分 8.离散型随机变量的均值与方差均值、方差公式、性质、实际意义 熟记均值、方差计算公式及线性性质；能精准计算数值；能结合实际场景解释均值、方差的统计意义 命题趋势：解答题核心设问，期末必考；高频易错：公式记忆混淆；忽略均值方差线性变换规则；计算粗心出错；不会结合实际分析数据 9.二项分布二项分布判定条件、概率公式、均值方差结论 判定独立重复试验与二项分布模型；熟记二项分布概率公式及均值、方差结论；能直接套用模型解题 命题趋势：期末高频大题模型，套路固定；高频易错：未验证独立、重复、两点分布条件就套用公式；记错均值方差固定结论；概率指数运算出错 10.超几何分布超几何分布适用场景、概率公式、模型区分 区分超几何分布与二项分布适用场景；熟记超几何分布概率公式；能精准识别抽样模型 命题趋势：期末重难点，高频区分度题型；高频易错：有放回、无放回抽样模型混淆，乱用二项/超几何公式；组合数计算错误导致概率出错 11.概率综合应用题模型识别、分布列+均值方差综合计算 能快速识别概率模型；能完整完成「判模型→求概率→列分布列→算均值方差」整套解题流程 命题趋势：期末概率压轴大题，固定考查形式；高频易错：模型判断错误全盘失分；步骤缺失扣分；未检验概率和为1；最终结果未化简 知识01 随机事件的概率 【核心知识点】 1. 随机现象：在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。 2. 事件分类：必然事件（概率为1）、不可能事件（概率为0）、随机事件（概率）。 3. 概率定义：在大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个常数附近，该常数即为事件的概率。 4. 概率范围：。 【典型示例】 判断事件类型：①掷骰子点数小于7，为必然事件，；②掷骰子点数为7，为不可能事件，；③掷骰子点数为偶数，为随机事件，。 【易错点警示】 1. 误认为随机事件概率一定在，忽略0和1的边界情况； 2. 混淆频率与概率：频率是试验值、可变，概率是理论值、固定不变； 3. 少量试验的频率等同于概率，概念理解错误。 知识02 古典概型 【核心知识点】 1. 古典概型两大条件：①有限性：基本事件总数有限；②等可能性：每个基本事件发生概率相等。 2. 古典概型概率公式：。 【典型示例】 掷一枚均匀骰子，求点数为奇数的概率。 解：总基本事件6种，奇数点数3种，。 【易错点警示】 1. 忽略「等可能性」前提，非等可能事件乱用古典概型公式； 2. 基本事件计数漏算、重复计算，混淆有序与无序基本事件； 3. 复杂场景不会结合排列组合统计事件数。 知识03 互斥事件与对立事件 【核心知识点】 1. 互斥事件：在同一试验中，两个事件不可能同时发生，。 概率加法公式：若A、B互斥，则。 2. 对立事件：两个事件互斥且必有一个发生，A的对立事件记为。 核心公式：，即。 核心关系：对立一定互斥，互斥不一定对立。 【典型示例】 掷骰子，设A=点数为1，B=点数为2，A、B为互斥事件；设A=点数为奇数，=点数为偶数，二者为对立事件。 【易错点警示】 1. 混淆互斥与对立事件，将互斥事件当成对立事件计算； 2. 乱用加法公式，非互斥事件直接概率相加； 3. 复杂概率问题不会用「正难则反」的对立事件简化计算。 知识04 相互独立事件 【核心知识点】 1. 定义：事件A的发生不影响事件B发生的概率，称A、B相互独立。 2. 判定公式：。 3. 性质：若A、B独立，则与、与、与均独立。 【典型示例】 先后掷两枚硬币，A=第一枚正面朝上，B=第二枚正面朝上，两事件相互独立，。 【易错点警示】 1. 最大误区：将互斥事件当成独立事件计算； 2. 多个独立事件概率计算遗漏情况、漏乘概率； 3. 凭主观判断独立，不通过公式验证。 知识05 条件概率 【核心知识点】 1. 定义：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记为。 2. 公式：。 3. 变形公式：。 【典型示例】 已知一袋中有2白3黑球，不放回摸球，第一次摸到白球，求第二次摸到黑球的概率。 解：第一次摸白球后剩1白3黑，总4球，。 【易错点警示】 1. 混淆条件概率与普通概率，忘记限定前提条件； 2. 公式分子分母写反，记错运算逻辑； 3. 独立事件误用条件概率公式计算。 知识06 全概率公式（期末拔高考点） 【核心知识点】 1. 完备事件组：事件两两互斥、并集为全集。 2. 全概率公式：。 3. 适用场景：复杂事件由多个分支情况构成，分步叠加求总概率。 【典型示例】 甲乙两个袋子，甲袋2白1黑，乙袋1白2黑，随机选一个袋子，再摸一球，求摸到白球的概率。 解：选甲乙概率均为，。 【易错点警示】 1. 完备事件组拆分不完整、遗漏分支； 2. 各分支条件概率计算错误； 3. 简单概率题乱用全概率公式，解题繁琐易出错。 知识07 离散型随机变量及其分布列 【核心知识点】 1. 离散型随机变量：取值可以一一列举的随机变量。 2. 分布列定义：列出随机变量所有取值及对应概率的表格。 3. 核心性质：①；②所有概率和（必检验）。 【典型示例】 掷一枚硬币，定义正面为1，反面为0，分布列为：，概率和为1，符合性质。 【易错点警示】 1. 随机变量取值遗漏、多写、取值范围错误； 2. 计算概率后不验证「概率和为1」，隐藏计算错误； 3. 分布列书写格式不规范，大题扣分。 知识08 离散型随机变量的均值与方差 【核心知识点】 1. 均值（期望）公式：，反映平均水平。 2. 方差公式：，反映数据波动程度。 3. 线性性质：，。 【典型示例】 已知取值0、1，概率均为0.5，求均值方差。 解：，。 【易错点警示】 1. 均值、方差公式记忆混淆，代入数据出错； 2. 方差线性变换忘记平方，是最高频易错点； 3. 不会根据均值方差实际意义分析问题。 知识09 二项分布（独立重复试验） 【核心知识点】 1. 判定条件：n次独立重复试验、每次只有两种结果、每次概率不变。 2. 概率公式：若，则。 3. 固定结论：，。 【典型示例】 投篮命中率0.6，投篮3次，求命中2次的概率。 解：，。 【易错点警示】 1. 未验证独立重复试验条件，盲目套用二项分布公式； 2. 记错均值、方差固定结论； 3. 指数运算、组合数计算失误。 知识10 超几何分布（期末重难点） 【核心知识点】 1. 判定条件：总体含两类元素、无放回抽样、有限总体。 2. 概率公式：总体个，其中特殊元素个，抽取个，。 3. 核心区分：无放回→超几何分布，有放回→二项分布。 【典型示例】 袋中5白3黑共8球，不放回抽3球，求恰好2白的概率。 解：。 【易错点警示】 1. 最大误区：混淆有放回与无放回，乱用二项/超几何公式； 2. 组合数上下标对应错误，公式代入数据混乱； 3. 抽样总数、剩余元素数量判断失误。 题型一 条件概率的性质及应用 解｜题｜技｜巧 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 【典例1】现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】抛红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.若事件：红色骰子的点数大于3；事件：两枚骰子的点数之和等于7，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）口袋内装有大小、质地均相同，其中红球3个，黄、蓝球各2个.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D．与相互独立 题型二 全概率公式 答｜题｜技｜巧 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【典例1】三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【变式1】甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 题型三 贝叶斯公式 答｜题｜技｜巧 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【典例1】小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为______. 【变式2】（多选）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 题型四 求离散型随机变量的分布列 答｜题｜技｜巧 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列． 【典例1】某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． (1)求． (2)若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． (3)假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望． 【变式1】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为，则_____，_____. 【变式2】某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； (2)当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 题型五 两点分布 答｜题｜技｜巧 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【典例1】已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【变式2】已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 题型六 离散型随机变量均值的性质 答｜题｜技｜巧 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 【典例1】已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【变式1】设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 题型七 求离散型随机变量的方差 答｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 【典例1】已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 【变式1】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【变式2】某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1000元的概率； ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值； (2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 题型八 二项分布的均值与方差（高频考点） 答｜题｜技｜巧 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．. 【典例1】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【变式1】（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【变式2】在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 题型九 超几何分布的分布列 答｜题｜技｜巧 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 【典例1】盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 【变式2】（多选）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有黄球40个，白球60个，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则（    ） 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 A．如果采取有放回摸球，其方差为24 B．如果采取不放回摸球，其期望为8 C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率约为0.7988 D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1的限制条件下，采用不放回摸球估计的结果更可靠 题型十 正态分布 答｜题｜技｜巧 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【典例1】某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【变式1】某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 【变式2】新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 3．（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 4．（24-25高二下·江苏淮安·期末）在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 5．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．设随机变量，则 B．设离散型随机变量满足，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（   ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．5 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $