8.5.3平面与平面平行同步练习题-2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过例题引领、基础达标与能力提升三级分层，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，强化空间观念与逻辑推理核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|基础概念与方法示例|以折叠、正方体模型呈现判定与性质应用，示范推理过程| |A组基础达标|面面平行判定与性质综合应用|选择填空巩固基础考点，解答题结合三棱锥、四棱柱实现初步应用| |B组能力提升|复杂情境下平行关系探究|通过轨迹问题、动态几何设计，提升空间想象与创新思维|

8.5.3　平面与平面平行 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【例2】如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. 求证：是的中点； 【例3】如图，在四棱锥中，，，，设分别为棱的中点，证明：平面． 【例4】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若平面平面，直线，点，且，则在内过点的所有直线中（    ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线 4．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知正方体，平面与平面的交线为l，则（    ） A． B． C． D． 6．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论: ①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB． 其中正确的有（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③ 二、多选题 7．已知m，n表示两条直线，，，表示三个平面，则下列选项中，不正确的有（   ） A．若，，，则 B．若m，n相交且都在平面，外，，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知平面且，过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于，，且，，8，则的长为________． 10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________ 四、解答题 11．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； 12．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【B组能力提升】 1．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 2．四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 3．如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 4．已知几何体为正四棱柱沿和BE的中点C截去一个三棱柱后的剩余部分，其中，如图，平面与直线的交点记为．过A点作与平面平行的平面，试确定平面与的交点位置，并证明； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.3　平面与平面平行 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 【例2】如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. 求证：是的中点； 【答案】证明过程见解析 【分析】连接，由面面平行的性质定理得到，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论； 根据等体积法可求. 【详解】连接，如图所示. 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 又，所以四边形为平行四边形，，. 又E是棱的中点，所以F是的中点. 【例3】如图，在四棱锥中，，，，设分别为棱的中点，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形来证明线线平行或利用A字形来证明线线平行，从而可证明线面平行；也可以利用面面平行来证明线面平行. 【详解】构造面面平行 取的中点，连接因为分别为棱的中点， 所以 又因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 【例4】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 【A组基础达标】 一、单选题 1．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：， 所以“”是“”的充分条件； 由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件． 则“”是“”的充分不必要条件. 3．若平面平面，直线，点，且，则在内过点的所有直线中（    ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线 【答案】D 【分析】由已知条件讨论直线与平面的位置关系，然后根据平面几何平行公理确定. 【详解】若平面平面，直线，可得或， 若，点，且， 在平面过点作直线平行于， 根据平面几何平行公理，平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以可作唯一一条； 若，过直线作平面与相交，交线， 在平面过点作直线平行于，即平行于， 根据平面几何平行公理，有且只有一条满足条件. 所以存在唯一一条与平行的直线. 故选：D. 4．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 5．已知正方体，平面与平面的交线为l，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面面平行的性质可判断. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面，平面平面， 平面平面，. 对于A，，，故A正确； 对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误； 故选：A.    6．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论: ①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB． 其中正确的有（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③ 【答案】C 【分析】把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示， 对于①，因为，分别是，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为，，平面， 所以平面平面，故①正确； 对于②，因为，平面，平面， 所以平面，故②正确； 对于③，因为，平面，平面， 所以平面，故③正确； 对于④，平面平面，故④错误; 所以正确的有①②③. 故选：C. 二、多选题 7．已知m，n表示两条直线，，，表示三个平面，则下列选项中，不正确的有（   ） A．若，，，则 B．若m，n相交且都在平面，外，，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】对于ACD，举例分析判断即可，对于B，由面面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于A，可考虑三棱柱模型，三棱柱的三个侧面中任意两个与第三个侧面相交， 两条交线即侧棱相互平行，但这两个侧面不平行，所以A错误； 对于B，设直线m，n所确定的平面为，因为，，，且m，n相交，所以‖， 因为，，，且m，n相交，所以‖， 所以，所以B正确， 对于C，如图当，时，与相交，所以C错误， 对于D，如图当，，时，与相交，所以D错误， 故选：ACD 8．如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据面面平行的性质定理和棱台的结构特征判断. 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. 三、填空题 9．已知平面且，过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于，，且，，8，则的长为________． 【答案】或24 【分析】根据面面平行的性质定理可得，进而利用平行线分线段成比例定理，结合已知线段长度建立比例关系，求解的长度. 【详解】如图1，，经过直线与可确定平面，如下图所示： vv，平面，平面， ．，即，． 如图2，同理可证． ，即，． 综上所述，或24． 10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________ 【答案】 【分析】先推导出，EFBD1，平面平面，由在上且平面平面，可得，从而 【详解】∵平面AEF平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，∴EFBD1，∴ 易得平面ADD1A1平面BCC1B1，又BG⊂平面BCC1B1，∴BG平面ADD1A1， 又∵平面AEF平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG平面AEF， ∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF， ∴BGAF，∴BG､AF可确定平面ABGF， 又知平面ABB1A1平面CDD1C1， 平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG， ∴ABFG，∴CDFG. ∴. 故答案为：. 四、解答题 11．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. 【详解】（1）平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2）由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. 12．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【B组能力提升】 1．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定轨迹，进而求出其长度. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为.   2．四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 3．如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【答案】 / / 【分析】利用平面基本事实作出直线，进而求出；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得. 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故， 由，得，又，于是，故， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，故， 所以，所以. 4．已知几何体为正四棱柱沿和BE的中点C截去一个三棱柱后的剩余部分，其中，如图，平面与直线的交点记为． 过A点作与平面平行的平面，试确定平面与的交点位置，并证明； 【答案】平面与的交点是的中点，证明见解析； 【分析】利用线面平行的性质定理可得，因此可得，再利用面面平行的判定定理可求得当平面与平面平行时，平面与的交点为的中点； 【详解】平面与的交点是的中点，证明如下： 由几何体为正四棱柱，可知， 平面，平面，所以平面， 又因为过的截面，且平面平面， 由线面平行的性质定理可得，所以四边形为正方形； 过点过A点作交于点，作交于点，连接；如下图所示； 由可知为的中点，平面，平面，可得平面； 又可知为的中点，又，所以， 平面，平面，所以平面； 而，所以平面平面； 所以平面即为平面，与的交点为的中点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $