精品解析：贵州黔西南州金成实验学校2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

2025—2026学年度第二学期0522质量检测试题 高一年级 数学 （命题人： ） 一、单选题（共40分） 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知半径为的球的体积与表面积相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. (教材120页练习5） 4. 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E、F、G、H四点共面 B. 与是异面直线 C. 、、三线共点 D. 6. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 若复数满足，则|z|的最大值为（ ）． A. B. C. D. 8. 正四面体中，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个复数根 10. 下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面是等边三角形 B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C. 用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 三、填空题（共15分） 12. 已知复数满足，则______. 13. 正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 14. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，该正四棱台的体积为时，侧棱与底面所成的角为____________. 四、解答题（共77分） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面； （2）求证：平面. (教材95页练习3） 16. 已知，，，试证明下列结论. （1） （2） 17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm. （1）这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） （2）这种“浮球”的表面积是多少？ 18. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． (教材158页例8） 19. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期0522质量检测试题 高一年级 数学 （命题人： ） 一、单选题（共40分） 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解． 【详解】． 2. 已知半径为的球的体积与表面积相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等， 所以. 3. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． (教材120页练习5） 4. 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长求解. 【详解】因为正方体棱长为2，所以正方体的体对角线长为， 所以正方体的外接球的半径为， 所以该球的体积为. 5. 如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E、F、G、H四点共面 B. 与是异面直线 C. 、、三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 6. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 7. 若复数满足，则|z|的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D 8. 正四面体中，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 二、多选题（共18分） 9. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个复数根 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，整理得，即，故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，其对应的点坐标为，属于第二象限，故C正确. 对于D，因为， 所以复数是关于的方程的一个复数根，故D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面是等边三角形 B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C. 用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 【答案】BD 【解析】 【分析】由圆锥的轴截面是等腰三角形，可判断A;由长方体和直四棱柱的定义判断B；由用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，从而判断C；由四棱柱、四棱台、五棱锥和六面体的定义判断D. 【详解】对于A，圆锥的轴截面中有两边都是母线，相等，故轴截面是等腰三角形，但底面直径不一定等于母线，故不一定为等边三角形，故A错误； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱的底面不一定是矩形， 所以直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，故C错误； 对于D，四棱柱、四棱台、五棱锥都有六个面，所以都是六面体，故D正确. 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 三、填空题（共15分） 12. 已知复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，故. 13. 正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三棱锥的体积公式可得三棱锥的高，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示的正三棱锥，过点作平面, 所以，， 解得：，由于, 所以, 即该正三棱锥的侧棱长为 14. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，该正四棱台的体积为时，侧棱与底面所成的角为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合棱台体积公式可求棱台的高，由线面角的定义确定侧棱与底面所成的角，再根据棱台的结构特点解三角形，求角的大小. 【详解】如图，作正四棱台， 由已知，设分别为底面的中心， 则，平面， 所以正四棱台的高为， 因为正四棱台的体积为， 所以， 所以， 作，则平面，， 所以为侧棱与底面所成的角的平面角， 所以，又， 所以，即侧棱与底面所成的角为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面. （2）根据线面垂直的判定定理证得平面. 【小问1详解】 因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 由于平面，， 所以平面. (教材95页练习3） 16. 已知，，，试证明下列结论. （1） （2） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的概念求得，利用复数的乘法法则和复数模的运算，即可证明； （2）利用复数商的运算法则及模的运算得，根据复数模的运算求得，即可证明； 【小问1详解】 因为，所以，所以， 而，所以，所以； 【小问2详解】 因为 ， 所以 ， ， 故； 17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm. （1）这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） （2）这种“浮球”的表面积是多少？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据球体积的公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）根据球的表面积公式和侧面积公式求解即可. 【小问1详解】 该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； 【小问2详解】 上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. 18. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． 【小问2详解】 因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 【小问3详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. (教材158页例8） 19. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $