中档题专项突破(5) 锐角三角函数的应用-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

中档题专项突破（五）锐角三角函数的应用 考情分析 锐角三角函数的应用是湖北各地中考命题的常考考点，主要考查简单的解直角三角形问 题和视角问题两大类，其类型主要有“背靠背型”和“母子型”两大类及其变式。 ○解题策略 时，AO取得最大值，利用三角函数求出此时 解决与锐角三角函数有关的实际问题，先 的A0值即可：(2)根据60∠AB0=架得 认真审题，把实际问题抽象成数学问题（画出平 出函数值，判断出∠ABO的度数，再根据角 面图形，转化为解直角三角形问题)；再根据条 度得出结论即可· 件，选择合适的锐角三角函数解直角三角形，得 到数学问题的答案，进而得到实际问题的答案. 【解答】解：(1)53°≤a≤72°，当a=72°时，AO取 最大值， 考向一简单的问题 【例1】(2022·宜昌)知识小提示：要想使人 在R△AOB中：n∠A0-把 安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯 ∴.AO=AB·sin∠ABO=4Xsin72°=4×0.95 子与地面成的角a一般要满足53°≤α≤ =3.8(m). 72°.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈ 答：梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8m: 0.60,tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72 (2)在Rt△AOB中， ≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91， cos∠AB0- AB =1.64÷4=0.41, cos66°≈0.41，tan66°≈2.25) .cos66°≈0.41，∴.∠ABO=66°. 如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一 ,53°≤a≤72°， 竖直的墙AO上 ∴人能安全使用这架梯子. (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 答：当∠ABO=66°，此时人能安全使用这架梯子. A与地面距离的最大值； (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算 对点/训练 ∠ABO等于多少度？并判断此时人是否 能安全使用这架梯子？ 1.(2024·湖北模拟)超速行驶是引发交通 事故的主要原因之一，上周末，小明和三 位同学尝试用自己所学的知识检测车速. 如图，观测点设在A处，离红旗大道的距 离(AC)为30m.这时，一辆小轿车由西向 【方法指导】本题主要考查解直角三角形的 东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处 知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的 所用的时间为8s,∠BAC=75°. 关键.(1)根据a的取值范围得出，当α=72° (1)求B,C两点的距离； 181 (2)请判断此车是否超过了红旗大道 面的高度是增加了还是减少了？增 60km/h的限制速度？ 加或减少了多少？（精确到0.1cm,参 (计算时距离精确到1m,参考数据： 考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， sin75°≈0.9659，c0s75°≈0.2588， tan70≈2.75) tan75°≈3.732，√5≈1.732,60km/h≈ 16.7m/s) D B B A 图1 图2 2.(2024·沙洋县一模)为了保护小吉的视 力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架 (如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面 示意图（如图2），测得底座高AB为2cm, ∠ABC=150°，支架BC为18cm,面板长 DE为24cm,CD为6cm.(厚度忽略不计) (1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果 保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C 转动时，面板与桌面的夹角α满足30° ≤α≤70时，能保护视力.当a从30°变 化到70°的过程中，问面板上端E离桌 —182 考向二视角问题 示，热气球到铜像底座底部所在水平面的 【例2】【新课标·革命文化】(2022·襄阳) 距离CE为32m,从热气球C看铜像顶部 位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标 A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为 志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革 63.4°.已知底座BD的高度为4m,求铜 命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为 像AB的高度.（结果保留整数.参考数 襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的， 据：sin63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45， 某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔 tan63.4°≈2.00,2≈1.41) 的高度.无人机在点A处测得纪念塔顶部点 B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角 163.4× 为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为 10m,求纪念塔的高度.（结果保留整数.参 考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48， B tan61°≈1.80) 【方法指导】本题考查解直角三角形的应用 一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的 定义是解答本题的关键.在Rt△ABD中， ∠BAD=45°，AD=10m,则BD=AD= 10m,在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61° -器-0≈1.80，解得CD=18m,由C =BD十CD可得出答案， 【解答】解：由题意，得∠BAD 45,∠DAC=61°， 在R1△ABD中，∠BAD=45°，AD 61δ 革命烈士纪 =10m 碑 ∴.BD=AD=10m. 在Rt△ACD中，∠DAC=61°， 考向三方向角问题 an61°=CD-CP≈1.80，解得CD≈18m, AD 10 【例3】(2022·恩施州)如图，湖中一古亭， .BC=BD+CD=10+18=28(m). 湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相 答：纪念塔的高度约为28m 映成趣.某活动小组赏湖之余，为了测量古 过点训练 亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m到达D 3.(2023·襄阳)在襄阳市诸葛亮广场上矗 点，测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古 立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组 利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛 柳之间的距离AB的长（参考数据：√2≈ 亮铜像的高度.如图，在点C处，探测器显 1.41,√3≈1.73，结果精确到1m). 183 离（即AB的长）.（结果保留根号） 十东 北 C、 zB 西十东 160° 南 15c A459 60° DD 【方法指导】本题考查了解直角三角形的应 用一方向角问题，根据题目的已知条件并结 合图形添加适当的辅助线是解题的关键， 过点B作BC⊥AD,交DA的延长线于点 C,设AC=xm,则CD=(x+50)m,在 Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出 BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角 函数的定义可得BC=DC,从而列出关于x 的方程，进行计算即可求出AC的长，最后在 Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求 5.(2020·恩施州)如图，一艘轮船以每小时 出AB的长，即可解答. 30海里的速度自东向西航行，在A处测 【解答】解：过点B作BC⊥AD,交DA的延长线 得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方 于点C, 向)，2小时后轮船到达B处，在B处测得 设AC=xm,,AD=50m, 小岛P位于其北偏东60°方向.求此时船 ..CD=AC+AD=(x+50)m. 与小岛P的距离（结果保留整数，参考数 在Rt△ABC中，∠CAB=60°， 据：√2≈1.414，√3≈1.732). .∴.BC=AC·tan60°=√3x(m). 在Rt△BCD中，∠BDC=45°， m45-答- 609 ∴.BC=CD..3x=x+50. ∴.x=25√3+25.∴.AC=(25√3+25)m. ÷AB=AC-253+25=505+50≈137m. c0s60 1 2 答：古亭与古柳之间的距离AB的长约为137m. 对点/训八练 4.(2024·谷城县一模)如图，港口A在观测 站O的正东方向，OA=4km,某船从港口 A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离 后到达B处，此时从观测站O处测得该船 位于北偏东60°的方向，求该船航行的距 184- 考向三坡度坡角问题 ,∴.AB=BC·tan45°=xm. 【例4】(2022·鄂州)亚洲第一、中国唯一的 ..AH=AB-BH=(x-30)m. 航空货运枢纽—一鄂州花湖机场，于2022 在Rt△ADH中，∠ADH=30°， 年3月19日完成首次全货运试飞，很多市 ,∴.tan30°= 船-部-9=60厅+0 民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲 在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一 经检验：x=60√十90是原方程的根， 市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的 .AB=(60W3+90)m. 仰角为30°.若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂 答：此时飞机的高度AB为(60√3+90)m. 高度DG=30m(点E,G,C,B在同一水平 线上).求： (1)两位市民甲、乙之间的距离CD: @走进中考 (2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号) 6.(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内 开展综合与实践活动，记录如下： 活动 测量校园中树AB的高度 EG C 项目 【方法指导】(1)根据斜坡CF的坡比=1：3， 活动 可得GC=3DG=90m,然后在Rt△DGC “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案 中，利用勾股定理进行计算即可解答；(2)过 方案 点D作DH⊥AB,垂足为H,则DG=BH 示意 =30m,DH=BG,设BC=xm,在 图 D E Rt△ABC中，利用锐角三角函数定义求出 1.选取与树底B位 AB的长，从而求出AH,DH的长，然后在 于同一水平地面的 Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义列 1.选取与树底B位E处； 出关于x的方程，进行计算即可解答. 于同一水平地面的2.测量E,B两点间 【解答】解：(1)，斜坡CF的坡比=1：3，DG= D处； 的距离； 30m 2.测量D,B两点间3.在E处水平放置 ..DG_1 c元=3GC=3DG=90(m). 的距离； 个平面镜，沿射 实施 3.站在D处，用测线BE方向后退至 在R1△DGC中， 过程 角仪测量从眼睛CD处，眼晴C刚好 DC=√/DG+GC=√/30+902=30√/10(m), 处看树顶A的仰角从镜中看到树顶 答：两位市民甲、乙之间的距离CD为30√10m; ∠ACF; A; (2)过点D作DH⊥AB,垂足为H, 4.测量C到地面的4.测量E,D两点间 则DG=BH=30m,DH=BG, 高度CD. 的距离； 5.测量C到地面的 设BC=xm, 高度CD 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， 185 1.DB=10m; 1.EB=10m; 【实验操作】 测量 2.∠ACF=32.5°； 2.ED=2m; 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面 数据 3.CD=1.6m. 3.CD=1.6m. 上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部 1.图上所有点均在 B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为 1.图上所有点均在同一平面内； ∠A; 同一平面内； 2.AB,CD均与地 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中 2.AB,CD均与地面 面垂直； 点E处时，停止注水.（直线VN'为法线， 备注 垂直； 3.把平面镜看作 AO为入射光线，OD为折射光线.) 3.参考数据： 个点，并由物理学 【测量数据】 tan32.5≈0.64. 知识可得∠CED 如图，点A,B,C,D,E,F,O,V,N'在同一 ∠AEB. 平面内，测得AC=20cm,∠A=45°，折射 请你从以上两种方案中任选一种，计算树 角∠DON=32° AB的高度. A 45 空气 32 水 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下 列问题： (1)求BC的长； (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm). (参考数据：sin32°≈0.52，c0s32°≈0.84， tan32°≈0.62) 7.(2024·贵州)综合与实践：小星学习解直 角三角形知识后，结合光的折射规律进行 了如下综合性学习. 186(1)解：如图所示点G即为所 求.（2)158.解：(1)如图1，连接BD.:四边 形ABCD为菱形，.BD⊥AC.则BD即为所求； (2)如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于 点F,作直线BF.,四边形ABCD为菱形， .DF∥BC..∠AFE=∠BCE,∠FAE= ∠CBE.:点E为线段AB的中点，∴AE=BE ∴.△AEF≌△BEC(AAS).∴.AF=BC.∴.四边 形ACBF为平行四边形.∴.BF∥AC.则直线BF 即为所求. 图1 图2 中档题专项突破（五）锐角三角函数的应用 对点训练 1.解：(1)法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=75°，AC=30,∴.BC=AC·tan∠BAC =30×tan75°≈30×3.732≈112(m).法二：在 BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则 AD=BD,,∠BAC=75°，.∠DAB=∠B= 15°，∠CDA=30°.在Rt△ACD中，∠ACD= 90°，AC=30,∠CDA=30°，.AD=60,CD= 30W3,BC=60+30W3≈112(m).答：B,C两点 间的距离为112m;(2),此车速度=112÷8= 14(m/s)<16.7(m/s)=60(km/h)∴.此车没有 超过限制速度.2.解：(1)如解图1，过点C作 CF⊥I于点F,过点B作BM⊥CF于点M, ∴.∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°. 0 D B 图1 图2 由题意，得∠BAF=90°，∴.四边形ABMF为矩 形.∴.MF=AB=2cm,∠ABM=90°..∠ABC =150°，.∠MBC=60°.，BC=18cm,.CM= BC·sn60=18×9-95(am.∴CF=CM +MF=(9√3+2)cm.答：支点C离桌面l的高 度为(9√3十2)cm;(2)如解图2，过点C作CN∥ l,过点E作EH⊥CN于点H,.∠EHC=90°. ,DE=24cm,CD=6cm,∴.CE=18cm.当 ∠ECH=30时，EH=CE·sin30°=18X号= 9(cm);当∠ECH=70°时，EH=CE·sin70°≈ 18×0.94=16.92(cm);∴.16.92-9=7.92≈ 7.9(cm).答：当a从30°变化到70°的过程中，面 板上端E离桌面！的高度是增加了，增加了约 7.9cm.3.解：由题意，得CE=32m,EF=BD =4m,∴.CF=CE-EF=28(m).四边形BFCG 是矩形，∴.BG=CF=28m.,∠BCG=63.4°， CF ·∠FBC=∠BCG=63.4.BF=tan63.4≈ 2.00.∴.BF=14m..CG=BF=14m. .∠ACG=45°，∴.CG=AG=14m.∴.AB=BG -AG=14m.答：铜像AB的高度是14m. 4.北 B 解：如图，过点A作AD⊥ 西十 D 南 160 C OB于D.在Rt△AOD中，.∠ADO=90°， ∠A0D=30,0A=4km∴.AD=20A=2km, 在Rt△ABD中，.∠ADB=90°，∠B=∠CAB -∠AOB=75°-30°=45°，∴.BD=AD=2km. ∴.AB=√2AD=2√2km.答：该船航行的距离为 2√2km. 5. ↑北解：如图，过点 AP 60 59 P作PH⊥AB于H,由题意，得AB=30×2 60(海里)，∠PBH=90°-60°=30°，∠PAH= 90°-45°=45°，则△PHA是等腰直角三角形， ∴.AH=PH.在Rt△PHA中，设AH=PH=x 海里，在Rt△PBH中，PB=2PH=2x海里， BH=AB-AH=(60-x)海里，.tan∠PBH= an0=器-受=02第得 30(W3-1).∴.PB=2x=60(√3-1)≈44（海 里).答：此时船与小岛P的距离约为44海里. 走进中考 6.解：选择“测角仪”方案：如图：过C作CF⊥AB 于F,则CF=DB=10,FB=CD=1.6, 在R△ACF中，iam∠ACF-5,∠ACr=32.5, ∴.AF=CF·tan∠ACF≈10X0.64=6.4.∴.AB =AF+FB=6.4十1.6=8(m).选择“平面镜”方 案：由题意，得CD⊥DB,AB⊥DB,∴.∠CDE ∠ABE=90°.又∠CED=∠AEB,∴.△CEDp △AEB器-距即片8-品AB=8m 答：树AB的高度为8m.7.解：(1)在Rt△ABC 中，∠A=45°，∴.∠B=45°.∴.BC=AC=20cm 答：BC的长为20cm;(2)由题可知ON=EC 合AC=10cm,NB=0N-=10cm,又∠D0N =32°，∴.DN=ON·tan∠DON=10Xtan32°≈ 10×0.62=6.2(cm).∴.BD=BN-DV=10 6.2=3.8(cm).答：B,D之间的距离为3.8cm. 中档题专项突破（六）统计与概率 对点训练 1.(1)240.30(2)108°(3)解：1200×30% =360(人).答：最喜爱乒乓球这项运动的约360 人.2.(1)50(2)13(3)93(4)八(5)160 3.号 解：(2)列表如下： 第二轮 物理 化学 历史 第三轮 (物理， (历史， 道法 (化学， 道法) 道法) 道法) (物理， (化学， (历史， 地理 地理) 地理) 地理) 生物 (物理， (化学， (历史， 生物) 生物) 生物) 由表可知共有9种等可能结果，其中抽到的学科 恰好是历史和地理的只有1种结果，所以抽到的 学科恰好是历史和地理的概率为。· 1 4.(1)5 (2)144°(3)解：画树状图如下： 女 男 男男 女男 女男 共有6种等可能的结果，其中所选2名同学均为 男生的结果有2种，∴.所选2名同学均为男生的 既率为号 走进中考 5.)号 解：(2)列表如下： A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分 到同一个班的结果有3种，.甲、乙两位新生分 4 到同一个班的概率为子-了 6. “商家服务”评价分值的条形统计图 解：(1)由 ·评价分值个数个 12 10g 出中 3 4 5评价分值分 口甲商家口乙商家 题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个 评价分值，从乙商家抽取了3÷15%=20个评价 分值.∴.甲商家4分的评价分值个数为30一2一1 一12一5=10个，乙商家4分的评价分值个数为 20一1一3一3一4=9个.补全条形统计图如图. ②0e=360X0=120°.(3)a=3.5,b=4.乙商家 平均数x= 1×1+2×3+3×3+4×9+5×4 20 3.6;(4)小亮应该选择乙商家.理由：由统计表可 知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商 家的，方差较接近，小亮应该选择乙商家. 7. ↑人数 (1)24035解： 72 6 48 2412 麻跷脚钵甜美食 辣 牛肉 钵 皮分类 烫 鸡 (2)喜好甜皮鸭的人数为：240一48一72一84=36 (人)，补全条形统计图如图；(3)把四种美食分别 记为A:麻辣烫，B:跷脚牛肉，C:钵钵鸡，D:甜皮 鸭，画树状图如下： B 个 个N cDm ABC 共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和 跷脚牛肉”的结果有2种，选到“钵钵鸡和跷脚 牛肉”的概率为2一6 21 中档题专项突破（七）反比例函数综合题 对点训练 1.解：(1)把点A(3,1)代入直线y=x+m,得m =一2，.直线AB:y=x一2.即一次函数的解 析式为y=2-2,把点A(3,1D代入y=冬，得1 夸=3X1=3.即反比例函数的解析式为 y=3;(2)由图象，可得不等式x十m>的解集 为一1<x<0或x>3;(3)把y=0代入y=x 2,得x=2,即点C的坐标为：C(2,0),.S△c