八、特殊平行四边形-【一战成名新中考·乾坤卷】2025河北中考原创压轴卷（全学科）

八、特殊平行四边形 1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠， 格线的交点)上.将小正方形网格变为小菱形网 得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为 格（边长不变），且小菱形的较小内角为60°， 矩形ABCD也相应地变为了四边形A'B'C'D', 如图②，则S四边BCp·S矩形Bcn= 第1题图 A.1 B.2 C.2 D.3 图① 图② 2.如图，在菱形ABCD中，连接AC,以点C为圆 心，AC长为半径画弧，交AD边于点E.再分 第4题图 别以点A,B为圆心，大于】北的长为半径在 A.√3：2 B.2:3 C.3:4 D.4:3 5.淇淇在复习几种特殊四边形的关系时整理如 AD上方画弧，两弧交于点F,作射线CF交 图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列 AD边于点G.若∠B=50°，则∠ACG的度数 条件添加错误的是 ( 为 矩形 A D 平行 正方 四边形 D 形 B (3) 菱形 C 4 B 数 第2题图 第5题图 学 A.15° B.20° C.25 D.30 A.(1)处可填∠A=90° 3.如图①，将边长为2的正方形ABCD沿对角 B.(2)处可填AD=AB 线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移， C.(3)处可填DC=CB 得到△A'B'C',如图②，若两个三角形的重叠 D.(4)处可填∠B=∠D 部分的面积为1，则它移动的距离A4'等于 6.如图，已知∠A,按以下步骤作图，如图①~ 图③ (1)以点A为圆心，任 意长为半径作孤，与 ∠A的两边分别交于点 图① 图② B,D; 图① 第3题图 (2)分别以点B,D为 A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 圆心，AD长为半径作 4.如图①，在8×8的小正方形网格中，小正方形 孤，两孤相交于点C; B 的边长都为1，矩形ABCD的顶点均在格点（网 图② 78 乾卷加练·河北 A.20 B.24 C.28 D.无法求出 (3)分别连接DC,BC 9.将图①中两个三角形按图②所示的方式摆 图③ 放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ,MN, 甲、乙两人有如下结论： 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据 甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则 是 四边形PQMW必是正方形； A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形AB B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 CD必是边长为1的正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 下列判断正确的是 D.四条边相等的四边形是菱形 7.如图，将其中的三个正方形区域记为①，②， D ③，④是②和③的公共区域，余下两个区域的 面积分别记为S,和S2.已知①，②，③的边长 分别为100米，200米和300米，则下列结论 一定正确的是 图① 图② ) 第9题图 S ② (④ A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确 C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确 S2 ③ 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 第7题图 于点O,点M,N分别是边AD,CD的中点， 连接MN,OM.若MN=3,S菱形BcD=24,则OM A.S=2 B 的长为 数 学 C.S1=S2-100 D.S1=S2-200 8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在 我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图 ①，以直角三角形的各边为边分别向外作正 第10题图 方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的 11.将形状、大小相同的两个矩形ABCD,AGMN 方式放置在最大的正方形内，若直角三角形 如图摆放，已知AC=2AB,在GM边上找 两直角边长分别为6和8，则图中阴影部分 点F,使得GF=AB,连接BF.若AB=2,则 的面积为 BF2= 图① 图② 第8题图 第11题图 乾卷加练·河北 79 12.综合与实践图①中的四边形纸片1与图 13.如图①和②，矩形ABCD中，AB=4,AD=3, ②中的四边形纸片2形状相同，但大小不 连接AC.点E从点B出发沿折线BC→CD 同，其中AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，∠B 运动，连接AE,将AE绕点A顺时针旋转得 =60°，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出 到AF,旋转角等于∠BAC,连接CF.设点E 两个正方形.嘉嘉利用纸片1按图示方法截 在折线BC→CD上运动的路径长为x. 取正方形AEFG,设BE=x. (1)当点E在BC上时， (1)①纸片1中的EF= (用含x的 ①尺规作图：在图①上作FM⊥AC于点M 代数式表示)；若正方形AEFG的面积为27， (保留作图痕迹，不写过程)；并证明：AB 则可列一元二次方程： =AM; ②请解①中的方程，并求AB的长： ②如图②，当点F恰巧落在边CD上时，求x (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知 的值； 识拼出一个面积最大的正方形.请在图②中画 (2)当AE=3√2时，求tan∠ACF的值； 出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）； (3)连接DF,点E从点B运动到点D的过 ②若图2中4-后，请比秘)2)的条 程中，直接写出DF长的最小值. 件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 纸片1 纸片2 E 图① 图② 第13题图 备用图 FòO 图① 图② 第12题图 学 80 乾卷加练·河北八、特殊平 1.D【解析】由题图知AC=2BC,∠B=90°，.AC2=AB+BC, .(2BC)2=32+BC,.BC=√3. 2.C【解析】由作图可知CG⊥AD,在菱形ABCD中，BA=BC AD/BC,∠BCA+∠ACG=90°，∠BAC=∠BCA=180°-∠B 2 180°-50 -=65°，.∴∠ACG=90°-∠BCA=90°-65°=25° 2 3.B【解析】如解图，设AC交A'B于点H,:∠A=45°，∠D= 90°，A'B'∥CD,..△A'HA是等腰直角三角形.设AA'=x,则阴 影部分的底A'H=x,高A'D=2-x,.若两个三角形的重叠部 分的面积为1，则x(2-x)=1,解得x=1,即A4'=1. H ②p① S F 二(4 E H S2 ③ B'C C G 第3题解图 第7题解图 4.A【解析】由网格可知矩形ABCD中，AB=2√2，BC=42, ∴.S矩形Bm=22×42=16,小菱形网格中，小菱形的较小内 角为60°，.∠BA'D=30°+60°=90°，同理∠A'B'C=∠B'C'D =90,四边形A'B'CD是矩形，AB"=2x5 ×2=23, B'C'=4,.S四边形rc=8V3,.S边形4gcD:S四边形ABCD=83:16 =√3：2. 5.D【解析】A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A选 项正确，不符合题意；B.一组邻边相等的矩形是正方形，故B 选项正确，不符合题意；C.一组邻边相等的平行四边形是菱 形，故C选项正确，不符合题意：D.有一个角是直角的菱形是 正方形，而∠B=∠D无法判定两角是不是直角，故D选项错 误，符合题意 6.D【解析】由作图得AB=AD,CB=CD=AD,.AB=AD=CB= CD,四条边相等的四边形是菱形，四边形ABCD是菱形. 7.B【解析】如解图，由①③可得GH=300+100=400(米)， .GF=400-200=200(米)，DE=200-100=100(米)，.设CD= a米，则1H=300+200-a=(500-a)(米)，∴.AB=500-a-200 100=(200-a)(米)，EF=500-a-300=(200-a)(米)，∴.S1= 100.(200-a）,S=200.(200-a),S=25 8.B【解析】将阴影部分分割如解图所示，根据直角三角形的 三边为6,8,10，得阴影部分的面积为2×10+2×2=24. G 第8题解图 第11题解图 乾卷加练答案 行四边形 9.D【解析】若四边形ABCD是边长为1的正方形，.AB=BC =CD=AD=1,∠BAD=90°，∴.AQ=4-1=3,AP=3+1=4, ∠PAQ=90°，..PQ2=AQ+AP2=25,PQ=5,同理MW=5, .四边形PQMN是菱形，在△QMD和△PQA中， MQ=OP, MD=QA,∴.△QMD≌△PQA(SSS),∴.∠MQD=∠QPA, DO=AP. .·∠AQP+∠QPA=90°，∴，∠AQP+∠MQD=90°，∴.∠MQP= 90°，则四边形PQMN必是正方形，.甲正确；若四边形 PQMN为正方形，则PQ=PN=MN=MQ=5,且∠QMD+ ∠MQD=∠AQP+∠QPA=∠MQD+∠AQP=90°，∴.在△QMD I∠QMD=∠PQA, 和△PQA中，{MQ=QP, ∴.△QMD≌△PQA(ASA), （∠MQD=∠QPA, .QD=AP=4,同理QD=AP=MC=BN=4,又.BP=MD=AQ =3,.QD-AD=PA-AB,.AB=AD=1,又四边形ABCD为 矩形，.四边形ABCD必是边长为1的正方形，.乙正确. 10.2.5【解析】四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,A0=C0= 4C.B0=D0=之BD,∠A0D=90,MN=3,点M,N分别 是边AD,CD的中点，.AC=2MW=6,∴A0=C0=3, )AC·BD=24,BD=8,5D0=B0=4, VA0+D0=V3+4=5.0M=2AD=2.5 11.8+43【解析】如解图，连接AF,过点A作AH⊥BF于点 H,:四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°，AC=2AB, cos∠BAC=AB1 AC=2,∠BAC=60,四边形ABCD, 数 AGMN是形状、大小相同的两个矩形，.AG=AB,.△ABG 学 是等边三角形，，∠ABG=∠AGB=60°，BG=AG,GF=AB, AG=AB=2,.FG=AG=2,.△AFG是等腰直角三角形， .AF=√2AG=22,∠GAF=∠AFG=45°，：∠BGF=∠AGB+ 1 ∠AGF=60°+90°=150°，FG=BG,∠GBF=∠GFB=2× (180°-150)=15°，，∠ABF=60°-15°=45°，∠AFH=45°- 15°=30，△4BH是等腰直角三角形，BH= 2AB=2, 1 :∠AHF=90,LAFH=30°，AH=2AF=V2,FH= √3AH=6,.BF=BH+HF=√2+6，∴.BF2=8+4N3. 12.解：(1)①3x,3x2=27;【解法提示】四边形AEFG为正方 形，.∠AEF=90°，∠BEF=90°.∠B=60°，.∠EFB= 30°.FB=2BE=2,EF=√FB-BE=V3x,.S正方形BG =EF2=3x2=27. ②.·3x2=27, .x2=9, ∴.x1=3,x2=-3(不合题意，舍去)， 及解析·河北 31 ∴.BE=3,AE=EF=3√3， .AB=AE+BE=35+3: (2)①如解图，过点A作AMLBC,设AM为裁剪线， .AB=AD,∠BAD=90° ∴.将△ABM绕点A逆时针旋转90°得△ADN,如解图， .AM=AN,∠B=∠ADN. ∠BCD=90°， .∠B+∠ADC=180° .∴.∠ADC+∠ADN=180°， .C,D,N三点共线， .∴.∠N=∠MCN=∠AMC=90°， .四边形AMCN为矩形， 又AM=AN, .矩形AMCN为正方形，即此时拼出的正方形面积最大： 纸片2 A D B M C 第12题解图 ②(1)(2)的条件下得到的两个正方形中，(1)中的正方形 面积较大；理由如下： 由(2)①可知∠AMB=90°， 又·∠B=60° .∠BAM=30°， 33 .AM=√/AB2-BM=5, 数 .S正方形Mcv=AM2=25, 学 .27>25, .(1)(2)的条件下得到的两个正方形中，(1)中的正方形 面积较大 13.(1)①解：作图如解图①所示： D 第13题解图① 证明：如解图①，由旋转可知AF=AE, :四边形ABCD为矩形，且FM⊥AC, .∠AMF=∠ABE=90° .·∠EAF=∠BAC .∠EAF-∠CAE=∠BAC-∠CAE, .∴.∠FAM=∠EAB, 在△ABE和△AMF中， ∠ABE=∠AMF. ∠EAB=∠FAM, AE=AF 32 乾卷加练答案及 .∴.△ABE≌△AMF(AAS), .AB=AM; ②解：如解图②，过点F作FM⊥AC于点M, 由①同理可证△ABE≌△AMF, .BE=MF,AB=AM=4, 在Rt△ACD中，AD=3,CD=4, .AC=√AD2+CD=5, .CM=AC-AM=1, ,∠CMF=∠ADC=90°，∠FCM=∠ACD ..△FCM∽△ACD :00 FM CM FM 1 3=4 3 ∴.FM= 4 即x=BE=FM= 49 图② 图③ 第13题解图 (2)解：当点E在BC上时，如解图③，过点F作FM⊥AC于点M, .·△ABE≌△AMF,AE=3√2， .AE=AF=32,AM=AB=4, 在Rt△AMF中 FM=√AF-AM=√2， 在Rt△CMF中，FM=√2，CM=1, FM-: ÷ilan∠ACF=CM 当点E在CD上时，如解图④，过点E作EG⊥AB于点G,过 点F作FH⊥AC于点H, 由①同理可证△AEG≌△AFH, 由题意知四边形BCEG为矩形， .AG=AH.EG=FH=BC=3. AE=32, 在Rt△AEG中，AG=/AE2-EG2=3, ∴.AH=AG=3, ..CH=AC-AH=2, 在Rt△CHF中，FH=3,CH=2, ..tan LACF'= FH 3 CH 2 D 第13题解图④ 解析·河北 3 综上，tanLACF的值为2或2： (3)解：DF长的最小值为子【解法提示】当点E在BG上 时，点F的轨迹为沿解图⑤中直线MF方向的一段，可知当 点F运动到点H时，DF最小，记MH与CD相交于点J,由 (①②同要可得c=1.川-子c:VOm4- 4 11 .DJ=DC-CJ=- 4,:∠H=∠C,∠MWC=∠WD, 11 △CM∽△DHJ, DA-D即Dn-4 CM CI' -号，可得DM=号：当点 4 E在CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转∠BAC的度数 得到AR,连接FR,如解图⑥，由①同理可证△AFR≌△AED, 九 1.A【解析】如解图，连接OP2,OP1,OP2,OP1,OPo,其中 OP2与PP1,P2Po的交点分别为E,F,由题意可得OP2⊥ PP1,OP2⊥P2Po,∠P,OP1=60°，∠P20Po=120°，OP2 3 =OP,=OP2=OP1=OPo=3,EP,=EP1=3·cos60°= 2 0E=√-（产-5号形PP,A,的面积为09 360 1 2=24,由题意可得∠OPP,=∠OP,P。= 2+3x3/33π9W3 3090F=,PF=PF=/32-()3)2=33 2AOP:Pio 的面积为)×2× 2X2=4,阴影部分的面积=2× 33393 -X- 120π·32953π95 36042+4)=3m P P E P P 第1题解图 2.C【解析】结论I:如解图①，连接0B,OC,:正六边形AB- CDEF内接于⊙0，∠B0C.360 6 =60°，.△B0C是等边三 角形，.BC=OB=2,连接CE,过点D作DH⊥CE于点H, DE=CD,∠EDC=∠BCD=（6-2)X180°=120，∠DEC= 6 ∠DCE=30°.DH=)CD=1,∠ECP=90°，∴.CE=2CH=2 V2-可-23，P是边BC的中点CP=BC=1,PE √(23)2+12=√13，故结论I正确： 乾卷加练答 ∴.点F的轨迹为沿解图⑥中直线FR方向的一段，过点D作 DQ⊥AR于点Q,DK⊥FR于点K,易知当点F运动到点K 时，DF最小，由题易知四边形DKRQ为矩形，DK=QR,AQ= 12 3311 AD·cOs∠BAC= 5,DK=QR=AR-AQ=亏；<5， DF长的最小值为 5 E D C K H 图⑤ 图⑥ 第13题解图 圆 结论Ⅱ：如解图②，连接BF,BE,设正六边形ABCDEF的边长 为a,正六边形ABCDEF内接于⊙O,∴BE过点O,连接 OF,则△E0F是等边三角形，∠E0F=60°，过点A作AT⊥ BF于点T,.·多边形ABCDEF是正六边形，∴.CB∥EF,AB= AF,∠BAF=120°，.SAPE=SABF,AT⊥BF,AB=AF,.BT= FT,∠BAT=∠FAT=60°-BT=FT=AB·sim60°=)：BB =2BT=√3a,·∠AFE=120°，∠AFB=∠ABF=30°，·.∠BFE 590Sat=Sr=)a·3as3 1 2a=1(负值舍去)， :的长0。-号故结论正确 180 E E 数 - O D 学 图① 图② 第2题解图 3.(5,0)【解析】如解图，：线段AB为网格中的正方形的对角 线，·.线段AB的垂直平分线为经过AB中点的正方形的对角线， .·线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点坐标为 M(5,0),.点M到点A,B,C的距离相等，.点M为△ABC的外 接圆的圆心，.△ABC外接圆的圆心坐标为(50) B 4 3 、M 01234567x 第3题解图 及解析·河北 33