第16讲 导数与函数的极值、最值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值、最值高考核心专题，涵盖极值点判断、参数求解、闭区间最值等六大题型，以“基础回顾-题型突破-综合应用”逻辑架构梳理知识联系，通过考点梳理、步骤分解、例题精讲等环节，帮助学生构建解题框架，突破导数应用难点。 资料特色在于题型分类精细，如“已知极值求参数”采用必要条件法与分类讨论结合，关键技巧点拨到位，配合课时精练分层训练，培养学生数学思维与推理能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解决导数综合问题的应考能力。

专题16 导数与函数的极值、最值 题型一 判断函数极值点的存在性 2 题型二 已知极值求参数值或范围 5 题型三 求函数的极值（含极值点与极值） 6 题型四 求函数在闭区间上的最值 8 题型五 已知最值求参数值或范围 10 题型六 含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 12 课时精练 14 【基础回顾】 知识点1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【必备知识】 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型一 判断函数极值点的存在性 1.步骤分解： 求函数定义域，确保后续求导有意义． 计算一阶导数，并化简为易分析的形式（如分式、多项式等）． 令，解方程求驻点（导数为0的点），同时注意导数不存在的点（如分段函数分段点、分母为0的点）． 分析驻点和导数不存在点左右两侧导数的符号变化： 若左侧，右侧，则为极大值点； 若左侧，右侧，则为极小值点； 若两侧符号相同，则不是极值点（如在处）． 2.关键技巧： 导数不存在的点需单独验证（如在处导数不存在，但为极小值点）． 若方程难以直接求解，可结合函数单调性、零点存在定理判断驻点个数． 【例题精讲】 1．下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 2．已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 3．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间 C．有两个极值点 D．有两个零点 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极大值 B．在区间内，有1个极值点 C．在区间内，是增函数 D．是的一个零点 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 6．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列选项正确的为（   ） A．在上单调递增 B．有极大值 C．在处取得最大值 D．有个极值点 减 极小值 增 极大值 减 极小值 增 7．已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（多选）若函数有极大值点和极小值点，则其导函数的大致图像可能为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在上单调递增，则 B．若，则 C．若，则的极小值点为 D．若，则 10．（多选）函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则函数的极大值点为 C．当时，函数有2个零点 D．当时，函数在上的取值范围是 题型二 已知极值求参数值或范围 1.必要条件法（利用极值点处导数为0）： 若是极值点，则，代入求得参数值． 注意：需检验该参数值是否满足极值的充分条件（即导数符号在两侧变化），避免误将驻点当极值点（如，但非极值点）． 2.分类讨论法（参数影响导数符号）： 若导数含参数且无法直接求根，需对参数分类讨论，分析的根的分布及两侧符号． 例如：二次函数型导数，需讨论a的正负、判别式的符号，确定根的个数及区间单调性． 3.隐含条件结合法： 若题目中给出“极值存在”，则需保证导数方程有解且解为极值点，即： 方程有实根； 实根处导数符号变化． 【例题精讲】 1．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 2．设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 3．已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 4．“”是“函数存在极大值和极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若函数无极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数，是的一个极值点，则（   ） A． B．若方程只有一个解，则 C．的图像关于点对称 D．对 9．（多选）函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在单调递减，在单调递增 B．若，则 C．若，则存在一个极值点 D．若，则恒成立 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（） A．，都有两个极值点 B．当时，仅有一个零点 C．若的单调递减区间为，则在区间的值域为 D．存在实数，使直线与的图像交于A、B、C三点，且B为中点 题型三 求函数的极值（含极值点与极值） 1.常规步骤： 确定函数定义域D． 求导，解方程得驻点，同时找出不存在的点，记为． 将定义域D按上述点划分为若干区间，列表分析每个区间内的符号，确定函数单调性． 根据单调性变化，确定每个点是否为极值点，并求出极值： 极大值：左增右减； 极小值：左减右增． 2.特殊情形处理： 分段函数：分段求导，注意分段点处的导数是否存在，结合左右极限判断极值． 含绝对值函数：去绝对值转化为分段函数，再按上述步骤求解（如）． 【例题精讲】 1．函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，则下列说法错误的是（   ） A．有三个零点 B．在上单调递减 C．点是曲线的对称中心 D．有两个极值点 4．函数的极大值为（    ） A．2 B． C． D． 5．函数在区间上（    ） A．有极大值，且极大值为27 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 6．若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 7．已知函数有大于0的极大值，其中，都是实数，则（    ） A． B． C．在内有2个零点 D．在内有1个零点 8．函数的极小值是____． 极大值 极小值 9．函数的极大值为____________ 10．函数的极大值是______． 题型四 求函数在闭区间上的最值 1.步骤总结： 求函数在开区间内的所有极值点（驻点及导数不存在的点）． 计算极值点处的函数值，以及区间端点处的函数值和． 比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值． 2.关键逻辑： 闭区间上的连续函数必有最值，且最值可能在极值点或端点处取得． 若函数在区间内单调递增，则最小值为，最大值为；单调递减则相反． 3.含参数的最值问题： 若参数影响极值点的位置（如极值点与区间[a,b]的相对位置），需分类讨论： 当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点； 当时，需比较； 当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点． 【例题精讲】 1．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 2．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 3．已知函数. (1)若，求的图像在点处的切线方程； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 5．已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)当时，求的最小值； (3)证明：当时，有唯一零点. 6．已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值. 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 8．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 9．已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 10．已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 题型五 已知最值求参数值或范围 1.分类讨论法（参数影响最值位置）： 若参数影响极值点是否在给定区间内，需分情况讨论极值点与区间的位置关系，再结合最值条件列方程或不等式． 例如：函数在[0,2]上的最大值为4，求a．需讨论极值点是否在[0,2]内，再求对应最大值． 2.不等式转化法（最值条件转化为不等式）： 若题目要求“函数在区间上的最大值”，则转化为“”，通过求最值表达式解不等式． 注意：若最值在端点取得，需直接代入端点值；若在极值点取得，需结合极值点条件联立求解． 3.隐含条件注意事项： 若题目中提到“存在最值”，需保证函数在区间上连续（闭区间连续函数必有最值），或参数使函数满足最值存在的条件（如无限增长趋势）． 【例题精讲】 1．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 2．已知函数，记为的导数． (1)若的最小值为． （i）求实数的值； （ii）若，证明：． (2)是否存在，使得的最小值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 3．已知函数（其中）在处取得极小值. (1)求，的值； (2)若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值. 4．已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 5．已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 6．若函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 7．已知函数，，令. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当为正数且时，，求的最小值. 8．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围． 9．已知函数 (1)当时，若的最小值为0，求的值； (2)若为的极小值点，求实数的取值范围． 10．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求m的取值范围； (2)设函数，若在区间上取得最小值4，求m的值． 题型六 含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 1.恒成立问题转化： 在区间D上恒成立； 在区间D上恒成立． 2.存在性问题转化： 存在使； 存在使． 3.求解步骤： 求在区间D上的极值和端点值，确定和（可能含参数）． 根据恒成立或存在性条件，转化为关于参数的不等式，解不等式即可． 【例题精讲】 1．已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围． 2．已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 3．已知函数，当时，恒成立． (1)求实数a的取值范围； (2)已知函数有两个极值点，证明：． (3)当时，直线与函数图像的三个交点的横坐标从小到大依次为，1，判断与0的大小关系，并证明． 4．已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间上有三个零点，求的取值范围． 5．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在R上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：当时，存在唯一极小值点，且. 6．已知函数，（） (1)讨论的单调性； (2)当时，是否存在实数a，使时既有最大值又有最小值，若存在请求出a的范围，若不存在请说明理由；（） (3)当时，若恒成立，求b的取值范围. 7．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围. 8．已知函数. (1)证明：是增函数； (2)已知不等式恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求的极值； (3)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 10．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． (3)若时，单调递增，求的取值范围． 课时精练 一、单选题 1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 2．若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 3．若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 5．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若，，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 10．（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 11．（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为________． 13．已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是__. 14．已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 16．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在闭区间上的最值． 17．已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 18．已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围； (3)若有两个不同的零点，，证明：． 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若的极大值大于，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 导数与函数的极值、最值 题型一 判断函数极值点的存在性 2 题型二 已知极值求参数值或范围 9 题型三 求函数的极值（含极值点与极值） 17 题型四 求函数在闭区间上的最值 22 题型五 已知最值求参数值或范围 34 题型六 含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 44 课时精练 59 【基础回顾】 知识点1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【必备知识】 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型一 判断函数极值点的存在性 1.步骤分解： 求函数定义域，确保后续求导有意义． 计算一阶导数，并化简为易分析的形式（如分式、多项式等）． 令，解方程求驻点（导数为0的点），同时注意导数不存在的点（如分段函数分段点、分母为0的点）． 分析驻点和导数不存在点左右两侧导数的符号变化： 若左侧，右侧，则为极大值点； 若左侧，右侧，则为极小值点； 若两侧符号相同，则不是极值点（如在处）． 2.关键技巧： 导数不存在的点需单独验证（如在处导数不存在，但为极小值点）． 若方程难以直接求解，可结合函数单调性、零点存在定理判断驻点个数． 【例题精讲】 1．下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】B 【分析】由函数的极值定义进行判断即可． 【详解】对于A项，如，则，函数在上单调递增，而导数为零的点为0不是函数的极值点，故A项错误， 对于B，C，D，根据极值的概念， 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递增）；右侧（函数单调递减），那么为极大值． 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递减）；右侧（函数单调递增），那么为极小值．则C，D错误，B项正确． 故选：B 2．已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 【详解】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 3．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间 C．有两个极值点 D．有两个零点 【答案】D 【分析】由导函数为负，原函数单调递减；导函数为正，原函数单调递增.与极值点的定义即可选出答案. 【详解】记函数与轴的两个交点横坐标从左往右依次为， 则由图可知：当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故有两段单调递增区间，有两段单调递减区间，函数有一个极小值点：；有一个极大值点：；即A，B，C选项正确， 不能确定函数的零点个数，D错误. 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极大值 B．在区间内，有1个极值点 C．在区间内，是增函数 D．是的一个零点 【答案】A 【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项. 【详解】A.如图，2附近，左边的导数为正数，2右边的导数为负数，所以2附近是先增后减， 所以2是的极大值点，是函数的极大值，故A正确； B. 在区间内，，单调递减，所以无极值点，故B错误； C.在区间内，，函数单调递减，内，，函数单调递增，故C错误； D.附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以是函数的极大值点，不一定是零点，故D错误. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【详解】由导函数的图像，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 6．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列选项正确的为（   ） A．在上单调递增 B．有极大值 C．在处取得最大值 D．有个极值点 【答案】D 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AC选项；利用函数的极值与导数的关系可判断BD选项. 【详解】对于A选项，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以函数在上不单调，A错； 对于B选项，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，B错； 对于C选项，函数在上单调递增，函数在处不取得最大值，C错； 对于D选项，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 极小值 增 所以函数有个极值点，D对. 7．已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求函数导数，再分析为极大值的充要条件，最后结合充分性，必要性的定义判断选项 【详解】由已知，，令，得或. 若即，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，不合题意； 若即，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点； 若即，，函数无极值点. 综上，若为函数的极大值点，则. 若，则，满足为函数的极大值点，充分性成立； 若为函数的极大值点，则，即不一定成立，必要性不成立. 8．（多选）若函数有极大值点和极小值点，则其导函数的大致图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为是的极大值点，则，由图知，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，当且仅当时取等号， 当时，，所以为的极大值点，为的极小值点，所以B正确， 对于C，当时，，当时，， 当时，，所以为的极大值点，为的极小值点，所以C正确， 对于D，当时，，当时，，为的极小值点，所以D错误． 9．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在上单调递增，则 B．若，则 C．若，则的极小值点为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】求导，根据在上恒成立可求的值，判断A的真假；根据函数中心对称的性质，可求的关系，进而求的值，判断B的真假；利用导数分析函数的单调性，可求函数的极值点，判断C的真假；结合函数零点的存在性判断定理，判断满足的条件，利用不等式的性质可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：因为 ， 因为在上单调递增 在上恒成立. 所以 . 配方得， 当且仅当，即时成立.故A正确； 对B：由可得函数图像关于点成中心对称，且是函数的一个零点，和也是函数的零点， 所以是点和的中点， 所以 . 此时，故B正确； 对C：当时，， . 当时，由 或；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点； 当时，由 或；由 . 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点.故C错误； 对D：由题意，函数在和上各有1个变号零点， 不妨设，则必有. 若，则有，则 ； 若，则有，则. 综上，，故D正确. 10．（多选）函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则函数的极大值点为 C．当时，函数有2个零点 D．当时，函数在上的取值范围是 【答案】AD 【分析】A直接代入求解即可；B利用导数分析的单调性，进而可得极值点；C利用导数分析的单调性，进而可得零点；D导数研究单调性，进而求值域. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或. A：若，解得，故A正确； B：若，则， 当时，；当时，； 所以在内单调递增，在内单调递减， 所以为的极小值点，故B错误； C：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误； D：若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，而，， 所以在上的值域为，故D正确. 题型二 已知极值求参数值或范围 1.必要条件法（利用极值点处导数为0）： 若是极值点，则，代入求得参数值． 注意：需检验该参数值是否满足极值的充分条件（即导数符号在两侧变化），避免误将驻点当极值点（如，但非极值点）． 2.分类讨论法（参数影响导数符号）： 若导数含参数且无法直接求根，需对参数分类讨论，分析的根的分布及两侧符号． 例如：二次函数型导数，需讨论a的正负、判别式的符号，确定根的个数及区间单调性． 3.隐含条件结合法： 若题目中给出“极值存在”，则需保证导数方程有解且解为极值点，即： 方程有实根； 实根处导数符号变化． 【例题精讲】 1．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合结论函数在点处可导且取得极值，则求，再验证结论. 【详解】由题意知函数的定义域为， 由可得， 函数在处取得极值，， ，此时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 经检验时函数在处取得极值. 2．设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导得，函数有极值只需导函数有变号零点，时导函数为一次函数存在变号零点、有极值，时导函数为二次函数，令判别式解得且，合并得取值范围是. 【详解】函数有极值，首先求导得. 函数有极值的充要条件：导函数有至少一个变号零点. 当时，，是一次函数，有一个变号零点，函数有极值. 当时，是二次函数，需满足判别式，即，化简得，解得. 综上，的取值范围是. 3．已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 4．“”是“函数存在极大值和极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两者之间的推出关系可判断它们之间的条件关系. 【详解】由题意可知， 当时，则当时，， 当时，， 故为的极大值点，为的极小值点， 故的极大值为，极小值为， 故“”是“函数存在极大值和极小值”的充分条件； 若，则， 同理可得的极大值为，极小值为， 故“函数存在极大值和极小值”推不出“”， 故是存在极大值和极小值的充分不必要条件. 5．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，把有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不等式组求解． 【详解】函数的定义域为，求导得 ， ，导数的符号由分子决定，令， 函数有两个极值点，等价于在上有两个实根， 则二次方程需满足 ，解得， 的取值范围是． 6．若函数无极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时，， 当时，， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图像，如图所示， 所以． 7．已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导得，导数研究的区间值域，结合的区间极值点个数列不等式求参数范围. 【详解】由题设且， 令且，则， 所以在上单调递减，时， 所以，而， 要使在上存在唯一的极值点，则，即. 8．（多选）已知函数，是的一个极值点，则（   ） A． B．若方程只有一个解，则 C．的图像关于点对称 D．对 【答案】BCD 【分析】利用极值点的定义可判断A；利用三次函数图像的特点可判断B；利用可判断C；代入作差，可判断D. 【详解】求导得 ， 由题意得，解得或， 由得，故A错误； 令，得或， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数递减， 当时，，所以函数递增. 所以的极大值为， 的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解， 只需的极小值或 的极大值. 所以或，故B正确； 因为函数，所以， ，故， 则的图像关于点对称，故C正确； 易知， 则， 即 恒成立，故D 正确. 9．（多选）函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在单调递减，在单调递增 B．若，则 C．若，则存在一个极值点 D．若，则恒成立 【答案】ACD 【详解】，求导可得， 令，求导可得． 选项A：当时，，所以函数在单调递增， 因为， 所以当时，，则，函数在单调递减， 当时，，则，函数在单调递增； 选项B：当时，要证，即证， 当时，，而，此时不成立； 选项C：当时，因为，所以，在上单调递增， 因为，，所以存在，使得， 当时，则，函数在单调递减， 当时，则，函数在单调递增， 所以是函数的极小值点，因此存在一个极小值点； 选项D：当时，，故， 由选项C可知，当时，在处取得极小值， 其中满足，即， 则， 因为，所以，，故， 因此恒成立，故当时，恒成立． 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（） A．，都有两个极值点 B．当时，仅有一个零点 C．若的单调递减区间为，则在区间的值域为 D．存在实数，使直线与的图像交于A、B、C三点，且B为中点 【答案】BD 【分析】对于A，求导，通过导数正负可判断；对于B，确定函数单调性得到极值，可判断；对于C，由单调减区间求得，进而可判断；对于D，结合三次方程韦达定理即可判断. 【详解】已知， 求导得，判别式， 选项A，当，即​时，恒成立，单调递增，没有极值点，因此A错误； 选项B，当时，，， 当，时，，单调递增， 当时，，单调递减， 即极值点为​， 计算得：，， 且时，当时， 因此仅在存在一个零点，B正确； 选项C，若的单调递减区间为， 即的根为， 由韦达定理：​，得， 由B可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 因此值域为，C错误； 选项D，设方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. 三次方程韦达定理得证. 联立与， 整理得，设三个交点横坐标为， 若是中点，则， 由三次方程韦达定理：，得，即​， 将代入方程：， 存在实数满足条件，D正确. 题型三 求函数的极值（含极值点与极值） 1.常规步骤： 确定函数定义域D． 求导，解方程得驻点，同时找出不存在的点，记为． 将定义域D按上述点划分为若干区间，列表分析每个区间内的符号，确定函数单调性． 根据单调性变化，确定每个点是否为极值点，并求出极值： 极大值：左增右减； 极小值：左减右增． 2.特殊情形处理： 分段函数：分段求导，注意分段点处的导数是否存在，结合左右极限判断极值． 含绝对值函数：去绝对值转化为分段函数，再按上述步骤求解（如）． 【例题精讲】 1．函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 2．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，确定函数单调性，即可求解. 【详解】对求导：， 因为恒成立，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此是的极小值点， ，​ 即函数极小值为. 3．已知函数 ，则下列说法错误的是（   ） A．有三个零点 B．在上单调递减 C．点是曲线的对称中心 D．有两个极值点 【答案】A 【分析】根据函数零点的定义判断A；根据导数与单调性及极值的关系判断BD；根据函数的对称性验证C. 【详解】对于A：， 令，则 ，所以或. 方程，，无实根。 所以只有一个零点，A错误. 对于BD：. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增,B正确. 所以当时取得极大值，为， 所以当时取得极小值，为，D正确. 对于C：若点是曲线的对称中心， 则. ， ， 所以， 故点是曲线的对称中心，C正确. 4．函数的极大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是极大值点，是极小值点，极大值为. 5．函数在区间上（    ） A．有极大值，且极大值为27 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 【答案】A 【详解】， 当时，，单调递增；时，单调递减； 所以有极大值． 6．若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意可知，， 由，解得. 当时，， 或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 显然是的极小值点，不符合题意； 当时，，同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意， 故是的极小值点，则的极小值为. 7．已知函数有大于0的极大值，其中，都是实数，则（    ） A． B． C．在内有2个零点 D．在内有1个零点 【答案】D 【分析】由函数有大于0的极大值可得及，进而可判断AB选项；再由函数的零点得，通过构造函数，判断与在，交点可判断CD选项. 【详解】因为的定义域为，当时，显然在上没有极值， 当时，显然在上也没有极值， 所以，得，由有极大值知， 且时，时，所以，A错误； 所以函数极大值，，, ，，，，即； 若，则，所以B错误： 再由得，设，则，， 当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，如图： 又因为．因为，. 所以当时，与在有1个交点，在也只有1个交点； 当时，与在有1个交点，在有2个交点； 所以当时，函数在内有1个零点，在内有1个零点； 当时，函数在内有1个零点，在内有2个零点； 所以C错误，D正确． 8．函数的极小值是____． 【答案】 【详解】的定义域为. ，令，解得或. 极大值 极小值 的极小值为 9．函数的极大值为____________ 【答案】 【详解】由题可知函数定义域为， ， 令，即， 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； 故为函数极大值点，. 10．函数的极大值是______． 【答案】/ 【分析】利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大值. 【详解】由的定义域为， 求导得， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减, 故函数在时取得极大值. 题型四 求函数在闭区间上的最值 1.步骤总结： 求函数在开区间内的所有极值点（驻点及导数不存在的点）． 计算极值点处的函数值，以及区间端点处的函数值和． 比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值． 2.关键逻辑： 闭区间上的连续函数必有最值，且最值可能在极值点或端点处取得． 若函数在区间内单调递增，则最小值为，最大值为；单调递减则相反． 3.含参数的最值问题： 若参数影响极值点的位置（如极值点与区间[a,b]的相对位置），需分类讨论： 当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点； 当时，需比较； 当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点． 【例题精讲】 1．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 2．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果； （2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 3．已知函数. (1)若，求的图像在点处的切线方程； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线方程； （2）求出函数的导数后根据其符号可得函数的单调性，从而可求的最大值； （3）就、、、、分类讨论函数的极小值的符号后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 因此所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为， . 当时，， 令，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （3）①由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为， 又因为当且时，，当时，， 所以当，即时，有两个零点， 当，即时，有且仅有一个零点. ，即时，无零点. ②当时，，所以有且仅有一个零点1. ③当时，由，得， 由，得， 则函数在上单调递增，在和上单调递减， 函数在处取得极小值. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， ，即，， 当时，则， 因此存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. ④当时，，函数在上单调递减， 而， 因此存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. ⑤当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在和上单调递减， 函数在处取得极小值， 与③同理存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. 综上，若有且仅有一个零点，的取值范围为. 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 5．已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)当时，求的最小值； (3)证明：当时，有唯一零点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，求出的单调区间，即可求解； （3）分，和，分别求出的单调区间，再结合零点存在性原理，即可求解. 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，，又易知是递增函数，且时，， 所以当时，，则有， 当时，，则有， 所以对任意的，都有，当且仅当时取等号， 故的增区间为. （2）因为，当时，有恒成立， 所以当时，则，即在区间上单调递增， 当时，则，即在区间上单调递减， 所以，故. （3）当时，令，得到或， 当时， 所以或时，则，即在区间和上单调递增；             当时，则，即在区间上单调递减， 则在时有极小值， 在时有极大值，， 又时，， 由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点， 当时，由（1）知在上单调递增，又时，，时，， 所以时，有且仅有一个零点， 当时，， 当或时，则，即在区间和上单调递增， 当时，则，即在区间上单调递减， 又，时，， 由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点， 综上所述，有且仅有一个零点. 6．已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)当时，的最小值为；当时，的最小值为 【分析】（1）利用导数求切线斜率，并代入切点求参数； （2）对函数求导并令导数为零，以求得的根对进行分类讨论. 【详解】（1）由题知， 则，得， ，将点代入切线方程得， 故. （2）由（1）知，令， 令，得或， ①当时，若，，单调递减， 故函数在区间上的最小值为； ②当时，若，，单调递减， 若 ，单调递增， 故函数在区间上的最小值为； 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）将代入，求函数的导数即可求解. （2）求的导数，令，再由即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得：；令，解得：； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由得：， 令，解得对恒成立， 在递减，. 8．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性； （2）根据（1）的结果，讨论的取值，判断区间的单调性，求函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 9．已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【分析】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【详解】（1）因为， 所以 ，       则 ， 所以． （2）（i）由（1）得， 则 ，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 10．已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. (2)时，； 时，. 【分析】（1）求导，分，，，根据导数讨论求解即可； （2）结合（1），根据函数单调性，分，讨论求解即可. 【详解】（1）易得定义域为. 当时，. ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，. ⅰ.若时，，，， 则在上递增，在上递减. ⅱ.若时，令或. 当， 此时或，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 当，此时在上单调递增， 当，此时或， ， 则在，上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上递增，在上递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）分析可得， 若，则在上单调递减， ； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； 综上可得：时，； 时，. 题型五 已知最值求参数值或范围 1.分类讨论法（参数影响最值位置）： 若参数影响极值点是否在给定区间内，需分情况讨论极值点与区间的位置关系，再结合最值条件列方程或不等式． 例如：函数在[0,2]上的最大值为4，求a．需讨论极值点是否在[0,2]内，再求对应最大值． 2.不等式转化法（最值条件转化为不等式）： 若题目要求“函数在区间上的最大值”，则转化为“”，通过求最值表达式解不等式． 注意：若最值在端点取得，需直接代入端点值；若在极值点取得，需结合极值点条件联立求解． 3.隐含条件注意事项： 若题目中提到“存在最值”，需保证函数在区间上连续（闭区间连续函数必有最值），或参数使函数满足最值存在的条件（如无限增长趋势）． 【例题精讲】 1．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的四则运算求得正确答案. （2）根据判断的单调区间. （3）对进行分类讨论，结合在上的最小值求得. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，，的定义域为， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. （3）的定义域为，. 当时：在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 2．已知函数，记为的导数． (1)若的最小值为． （i）求实数的值； （ii）若，证明：． (2)是否存在，使得的最小值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）（i）利用函数导数与函数单调性求出函数最值，建立方程解出参数即可；（ii）利用分析法结合函数导数与函数单调性证明即可； （2）先通过题意分析得出结论，然后构造函数，利用函数的导数与函数单调性分析出最小值即可说明. 【详解】（1）（i）由题意得函数的定义域为， ， 令，得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以，所以． （ii）设，由，则， 由，得， 即，所以， 要证，只要证，即证， 只要证， 因为，所以，则该不等式等价于， 令，则， 所以在上单调递增，所以，故原不等式得证． （2）由题可知，，注意到， 所以若存在，使得的最小值为，等价于恒成立， 由，令得， 当时，， 设， 因为在上单调递增，且，所以有唯一零点， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，故存在，使得的最小值为． 3．已知函数（其中）在处取得极小值. (1)求，的值； (2)若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极值点的导数为可得，再根据的值得到；（2）求导分析出的单调区间及极值点，并通过解方程得到等于极大值的另一个值，结合图像分析出的范围，从而得到的最大值. 【详解】（1）对求导得，依题意有且， 即有，得. （2）由（1）有，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值， 当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为或， 令即，因式分解得 ， 即，由图像可知，当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为， 综上所述，，所以的最大值为. 4．已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)1条 (2) 【分析】（1）设切点，求出切线，根据过解出切点． （2）求导，对范围讨论，判断单调性，求出最小值，得到实数a的值． 【详解】（1）由题可知的定义域为， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为： ． 将代入上式，得， 化简得． 令，则，设，则， 令，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，在上有唯一的零点， 所以经过点的曲线的切线仅有1条． （2）， 令，得，令，得． ①当时，在上恒成立，故在上单调递增， 所以，不符合题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，由，解得； ③当时，在上恒成立，在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去． 综上，． 5．已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，极小值 (2) 【分析】（1）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （2）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【详解】（1）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （2）由于， 当时，，仅在时等号成立，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 6．若函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出． 【详解】（1），其中，则， 由导数的几何意义可得， 又， 在点处的切线方程为． （2），其中，则， ，则， 由可得，由可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意． 综上，． 7．已知函数，，令. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当为正数且时，，求的最小值. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论，由导数确定函数在上的单调性，并由最小值求出的范围即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数，， 求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，，不符合题意， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 8．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程； （2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，通过求导分析即可确定的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，故 曲线在处的切线方程为：， 即． （2）因为的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值；故． 由得，由得， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，有最小值， 依题意：，即， ，，令，则， 设，则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数的取值范围是． 9．已知函数 (1)当时，若的最小值为0，求的值； (2)若为的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导分析，判断导数得正负，并得到函数的最小值，从而得到方程进而求解. （2）根据题意将代入导数为0，得到参数之间的关系，并分析是否在处取得极小值. 【详解】（1）因为，所以，求导得， 因为，所以令，解得， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以，解得. （2）因为，求导得， 又因为为的极小值点，所以，得到， 代入导数得， 因为，所以， ①当时，，解得或，此时， 所以，，在上单调递减； ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； 所以为的极小值点满足条件. ②当时, 恒成立， 所以在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去. ③当时，，解得或，此时， 所以，，在上单调递减； ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； 所以为的极大值点.不满足条件，舍去. 综上所述，实数的取值范围. 10．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求m的取值范围； (2)设函数，若在区间上取得最小值4，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数在区间上单调递增，得在区间上恒成立，分离参数，并构造新函数，利用导数分析新函数的值，得到m的取值范围； （2）通过讨论的取值情况，利用导数判断函数在区间上的单调性，并求得最值，列出方程，求得的值. 【详解】（1）函数的定义域为. 所以. 若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令，则是减函数， 所以. 所以m的取值范围是. （2）函数，. 若，则恒成立，所以在区间上单调递增， 在处取得最小值，最小值为， 所以，，与矛盾，舍去； 若， 则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，在上单调递增，在处取得最小值，最小值为， 所以，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，在处取得最小值，最小值为， 所以，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以，与矛盾，舍去. 综上所述，. 题型六 含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 1.恒成立问题转化： 在区间D上恒成立； 在区间D上恒成立． 2.存在性问题转化： 存在使； 存在使． 3.求解步骤： 求在区间D上的极值和端点值，确定和（可能含参数）． 根据恒成立或存在性条件，转化为关于参数的不等式，解不等式即可． 【例题精讲】 1．已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数即可求解； （2）由不等式有唯一的整数解，得到有唯一解，利用函数的单调性讨论函数与直线有且仅有一个负整数交点即可. 【详解】（1）由， ∴，且时，；时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，无极大值. （2）由，即，令，原不等式等价于只有唯一负整数解，结合与的图像可知， 是过定点的一条直线， 当时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意， 当时，需且，得，解得， 即实数的取值范围是. 2．已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 3．已知函数，当时，恒成立． (1)求实数a的取值范围； (2)已知函数有两个极值点，证明：． (3)当时，直线与函数图像的三个交点的横坐标从小到大依次为，1，判断与0的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）对函数求导，由当时，恒成立求解即可. （2）对函数求导，由函数有两个极值点求解的取值范围，将，分别代入，换元，令求解即可. （3）将代入，求得与0的大小关系等价于与2的大小关系，并得到，为直线2与函数图像交点的横坐标，对函数求导，令，对求导，求解的单调性，并与的大小关系等价于与的大小关系，设函数，求解的单调性，结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）对函数求导可得． 注意到，且当时，恒成立，从而可得． 由此可得，从而可得． 当且时，令，则， 所以在上单调递增，即可得， 由此可得在上单调递增，则．综上，可得实数的取值范围是． （2）对函数求导可得. 因为函数有两个极值点，．令，所以在上的两个解为，， 从而可得，，． 由此可得的取值范围是． 其中，． 则可得． 要证不等式， 可证， 等价于， 等价于， 令，上式等价于． 由（1）可得，当时，，等价于， 由此即可得原不等式成立． （3）当时，． 令，可得． 由题意可得，，由第（1）问可得． 据此可得． 由，可得． 此时与的大小关系等价于与2的大小关系， 又，此时，为直线2与函数图像交点的横坐标． 对函数求导可得，令，求导可得， 即在上单调递增，且有．从而可得在上单调递减，在上单调递增． 显然可得，则与的大小关系等价于与的大小关系， ， 设函数， 求导可得， 令，则恒成立． 由此可得在上单调递减，即可得，从而可得在上单调递增，由此可得， 从而可得.结合函数的单调性即可得，即，故． 4．已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间上有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值. （2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为. ∵ ， ∴ . 令，解得或. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. 当时，，故，单调递增. ∴ 为的极大值点，极大值为. 为的极小值点，极小值为. （2）计算在区间端点的函数值： ， . ∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上有3个不同的零点，需满足： 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围. 5．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在R上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：当时，存在唯一极小值点，且. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用求导计算出切点的坐标和切线的斜率，再代入点斜式即可得出切线方程； （2）将单调递增条件转化为导函数恒大于等于零，通过“分离参数法”求出剩余函数的最小值，从而确定参数的取值范围； （3）通过二次求导分析出导函数的单调性，以找出唯一的极小值点，直接代入原函数即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， ，，即切点为. 故切线方程为，整理得：. （2），由恒成立得对任意恒成立， ，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得最小值，即， 由恒成立，得. （3）当时，，， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 当时，，结合在上单调递减， 可得在上恒有， 在上单调递增，且， 所以是的唯一零点， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以存在唯一极小值点， 且，即. 6．已知函数，（） (1)讨论的单调性； (2)当时，是否存在实数a，使时既有最大值又有最小值，若存在请求出a的范围，若不存在请说明理由；（） (3)当时，若恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据函数导数和函数单调性之间的关系，对参数进行分类讨论，逐一判定各范围内的单调性情况； （2）根据函数单调性判定函数最值的存在情况，进而根据有最值的情况列出不等式组，进而判定是否存在实数解； （3）根据不等式构造函数，求出单调性，判定函数最小值，进而根据最小值列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）可知函数定义域为，则， 当时，在上，函数在上单调递减， 在上，函数在上单调递增， 当时，在上，函数在上单调递增， 在上，函数在上单调递减， 当时，在上恒成立，且仅，所以函数在上单调递增， 当时，在上，函数在上单调递增， 在上，函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时有最大值，没有最小值， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使在既有最大值又有最小值， 需满足，即， 由，化简得， 令，则， 令，则， 可知在上，函数在上单调递减， 可知，所以函数在上恒为正， 即在上，函数在上单调递增， 因为，即在上， 所以在上无解，即在时，不存在实数a，使时既有最大值又有最小值. （3）当时，，则， 当时，函数在上单调递增，时，时， 所以存在实数，使，即，化简得， 此时在上，函数在上单调递减， 在上，函数在上单调递增， 在时，函数取得最小值， 可知恒成立，等价于， 由，得， 令，可知函数在上单调减，且， 所以的解集为， 可知，解得， 可知，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，，则， 所以实数的取值范围为. 7．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数导数和函数单调性的关系，求出函数单调区间，判定函数极值情况，求出结果即可； （2）根据函数导数的性质，对参数进行分类讨论，判定函数有最小值时的情况，进而根据最小值大于零的要求，构造函数，判定函数单调性，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 函数在处取得极小值，极小值. （2）可知， 当时，在上恒成立，即在上单调递增，此时不存在最小值， 当时，令，即，解得， 则当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值， 最小值， 令函数，则， 可知函数在上单调递减，可知时，，且， 所以存在，使， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为时，，， 所以在时，，所以实数a的取值范围为. 8．已知函数. (1)证明：是增函数； (2)已知不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数判断即可证明； （2）由题意构造函数，根据导数得单调性，由单调性可得，令，求导，根据导数求得最值后可解. 【详解】（1） 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以，所以是增函数； （2）恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 令，则， 且， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 所以是增函数， 所以，所以，所以， 令，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以，即实数a的取值范围是. 9．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求的极值； (3)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】(1) (2)极大值为1，无极小值 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，得到切线的斜率和切点的坐标，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，根据导数的正负，进而求得原函数的单调区间，得到函数的极值； （3）根据题意，化简得到，令，得到， 转化为证明，分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数及新函数，结合导数求得函数的最值，即可得证． 【详解】（1）由函数，可得， 则且 所以切线的斜率为，切点坐标为， 所以函数在处的切线方程，即. （2）解：由函数，可得其定义域为，且 当时；当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）证明：由，变形为，所以， 令，则上式可变为， 所以命题转换为证明：， 因为，则有，不妨设， 由（2）知：，，先证． 要证，即，即证， 即证，即， 令， 可得， 因为，所以 所以在区间内单调递增，所以，即． 再证， 因为，所以，所以， 只需证， 令，所以， 所以在区间内单调递增，所以, 可得，即． 综合可得，． 10．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． (3)若时，单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为-1 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求； （2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可； （3）分离参数，构建辅助函数，通过辅助函数的单调性可求． 【详解】（1），求导可得， 所以切线的斜率为， 则函数在处的切线方程为，即. （2）， 令，解得或， 所以当时，在，上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为， 所以函数在区间的最大值为，最小值为-1． （3），求导可得， 因为当时，单调递增， 所以当时，恒成立， 即在时恒成立， 设，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取极小值， 所以，即， 所以当单调递增时，的取值范围是． 课时精练 一、单选题 1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图像可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图像可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图像可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 2．若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数极值点处的导数值为0的性质来求解 【详解】，函数 时取得极值，则， 即．当时，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 函数 时取得极大值．故符合题意． 3．若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，因为有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 于是有，得或. 4．已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据极值的概念可知，再解方程即可． 【详解】解：，又在处取得极值， ，解得或， 经检验符合题意， 时，单调递增无极值，故舍去， 则． 5．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出的范围 【详解】，又， 令，，则的零点与的零点相同， 因为函数图像开口向下且，要使在区间上有最大值， 所以和，解得. 6．设函数，若，，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据的单调性以及恒成立得出，，进而得到，令 ，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】因为函数在上均为增函数， 且当时，可得，当时，， 若，则，即，又，则，， 令 ，有， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为1. 7．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 8．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】因为，，定义域为. 所以. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值为. 当，所以函数的值域为. 要使函数的值域为, 则，解得， 故选：D. 二、多选题 9．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 【答案】BD 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 10．（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 11．（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断选项A，B；再根据根的范围确定，分析函数单调性，结合处的函数值，判断，与的大小关系，验证选项C，D． 【详解】，， 因为有两个极值点， 所以在上有两个不同的根， 所以方程有两个不同的正根， 根据韦达定理得，，A正确，B错误； 因为且，所以， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，C正确，D正确． 三、填空题 12．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为________． 【答案】 【分析】利用极值点的定义判断即可. 【详解】若为函数的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在右侧附近导数为负， 结合图像可知，函数在上极大值点的个数为. 故答案为：. 13．已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是__. 【答案】 【分析】通过极值点条件建立参数关系，因式分解导函数，结合极值点定义排除特殊参数值，再将单调性转化为导函数恒非负求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由是的极值点，得，即，可得. 将代入导函数并因式分解， 由极值点定义，两侧导函数符号需改变，故，因此，. 函数在上单调递增，等价于在上恒成立. 因时，故只需在上恒成立， 即，解得. 综上，的取值范围为. 14．已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】若，使得成立，等价于大于在上的值域的下界；通过求导求出最小值，再通过构造函数求解实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，， 得到在上单调递增，则， 若，，使得成立 即，使得成立， 得到在上有解， 化简得在上有解， 令，则， 令，则， 所以上单调递减，，得到， 所以上单调递减，， 故，得到取值范围为. 四、解答题 15．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为 (2)，. 【分析】（1）求出函数的导数并判断其符号后可得函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得函数的最值. 【详解】（1）， 当或时，；当时，， 故的增区间为，减区间为. （2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数， 故，. 16．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在闭区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)最大值为83，最小值为． 【详解】（1）由题意，的定义域为，且， 令，解得或． 当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 所以在闭区间上的最大值为83，最小值为． 17．已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值； （2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数，由函数的单调性得到，再构造函数根据函数的单调性，继续构造函数，根据的单调性和端点值，证明不等式 【详解】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 18．已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围； (3)若有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可； （3）由已知，转化为，进行求解，要证，转化为证明，进而构造，判断单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由题意得：，即切点为． 因为，则． 据题意，切线经过点，则，解得． （2）由题意得， 若，因为，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； 若，令，得，令，得， 则在内单调递减，在内单调递增，所以为的极小值点， 由已知，，即， 则，即，得， 所以的取值范围是． （3）证明：由已知，，即， 两式相乘，得， 即，所以， 由（2）得当时，在上单调递增，至多1个零点，不符合题意，所以， 因为，则，同理，要证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证． 不妨设，由（2）知，，则． 因为在上单调递增，即证， 而，即证． 设， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以恒成立，则在上单调递增． 因为，则， 即，即，所以原不等式成立． 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若的极大值大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； （3）利用（2）中结论表示出极大值，根据题意解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得当或时，无极大值． 当时，的极大值为， 则，得． 设，则， 所以在上单调递增． 因为，所以由，得，所以． 当时，的极大值为，则， 解得，因为，所以，则满足题意． 综上，的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $