3.3 导数与函数的极值、最值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数极值、最值高考核心考点，涵盖极值判定、最值求解及含参分类讨论等内容，按“定义梳理-题型突破-真题应用”逻辑架构知识体系。通过双基自测明考向、核心梳理固基础、题型突破授方法、分层训练强实战的教学流程，帮助学生系统构建解题框架。 资料突出考向预测与实战结合，以“数学思维”引导分类讨论标准划分，“应用意识”强化隐零点、参数分离等方法运用。如含参最值题型按区间划分策略训练，限时训练设置基础到综合题层，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第三章　一元函数的导数及其应用 §3.3　导数与函数的极值、最值 【高考考向预测】 近三年高考导数与函数极值最值为必考基础高频考点，大小题型均有考查，核心围绕极值判定、极值点辨析、闭区间与开区间最值求解、含参最值分类讨论展开，常结合切线、单调性、零点联合命题，是导数综合题型的解题根基；预测2027 年依旧作为导数核心基础重点考查，命题更侧重含参多区间最值探究、隐藏极值点研判、最值与不等式范围结合设问，增多超越函数最值分析，强化定义域优先原则与分类讨论标准划分，注重结合隐零点、参数分离综合运用，夯实基础同时侧重实战应用能力考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有. (　 　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值. (　 　) (3)函数的极小值一定是函数的最小值. (　 　) (4)函数的极大值一定不是函数的最小值. (　 　) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√ 2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为(　　) A.(3，0) B. C.3 D. 【答案】D 【解析】由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=3x-=. 当0<x<时，f'(x)<0； 当x>时，f'(x)>0. 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增， 故f(x)的极小值点为，无极大值点. 3.函数f(x)=2sin x-x在区间上的最大值为(　　) A.1 B.2- C.- D.- 【答案】C 【解析】由f(x)=2sin x-x，求导得f'(x)=2cos x-1， 当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0， 即f(x)在上单调递增，在上单调递减， 故f(x)max=f=-. 4.若函数f(x)=x(x+a)在x=1处取得极小值，则实数a的值为　　　　　.  【答案】-2 【解析】由已知可得f'(x)=x+a+x=2x+a， 又函数f(x)=x(x+a)在x=1处有极小值，所以f'(1)=2+a=0， 解得a=-2，所以f'(x)=2x-2， 当x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在x=1处取得极小值，故a=-2. 【核心梳理●明考点】 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 解题时灵活应用转化以下几个关键点 (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1). (2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念. (3)有极值的函数一定不是单调函数. (4)“f'(x0)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f'(0)=0，但0不是极值点. (5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点. 【题型突破●明方向】 题型一　利用导数求解函数极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 例1　(多选)已知函数y=f(x)，其导函数y=f'(x)的部分图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是(　　) A.在(-2，-1)上单调递增 B.在(1，2)上单调递增 C.-1为极值点 D.1为极值点 【答案】BC 【解析】由y=f'(x)的图象可得， 当x≤-3或-1≤x≤3时，f'(x)≥0； 当-3<x<-1或x>3时，f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，-3]和[-1，3]上单调递增，在(-3，-1)和(3，+∞)上单调递减， 所以-3和3为函数f(x)的极大值点，-1为函数f(x)的极小值点， 所以A，D错误，B，C正确. 命题点2　求已知函数的极值 例2　设函数f(x)=x-aex(a∈R)，求函数f(x)的极值. 【解析】由题意可知f'(x)=1-aex. ①当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在R上单调递增， ∴f(x)没有极值. ②当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln. 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)在x=ln处取得极大值f=ln-1，没有极小值. 综上所述，当a≤0时，f(x)无极值； 当a>0时，f(x)有极大值ln-1，无极小值. 命题点3　已知极值(点)求参数 例3　(1)(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=　　　　　.  【答案】-4 【解析】由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)， 所以f'(x)=(x-2)(x-a)+(x-1)(x-a)+(x-1)(x-2)， 因为x=2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)=2-a=0，得a=2. 当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4)，令f'(x)=0，得x=2或x=， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意，故a=2. 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. (2)(2025·大同模拟)已知函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(-4，0) B.[-4，0] C.(0，4) D.[0，4] 【答案】A 【解析】由题设f'(x)=ex(x3+3x2+a)，令g(x)=x3+3x2+a， 则g'(x)=3x2+6x=3x(x+2)， 当x<-2或x>0时，g'(x)>0， 则g(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增； 当-2<x<0时，g'(x)<0， 则g(x)在(-2，0)上单调递减， g(-2)=-8+12+a=4+a，g(0)=a，且当x→-∞时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→+∞， 要使函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值， 则f'(x)至少有两个变号零点，即g(x)至少有两个变号零点， 所以⇒-4<a<0. 【思维升华】根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)验证：求解后验证根的合理性. 【跟踪训练】1　(1)已知函数f(x)=3(2-m2)x-mx3在x=1处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A.4 B.2 C.-2 D.-4 【答案】A 【解析】由题意得f'(x)=3(2-m2)-3mx2，因为函数f(x)在x=1处取得极小值， 所以f'(1)=3(2-m2)-3m=-3(m2+m-2)=0，解得m=-2或m=1. 当m=-2时，f(x)=-6x+2x3，f'(x)=-6+6x2=-6(1-x2)=-6(1+x)(1-x)， 所以当x<-1或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 所以函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意， 所以函数f(x)在x=-1处取得极大值，为f(-1)=4； 当m=1时，f(x)=3x-x3，f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)， 所以当x<-1或x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当-1<x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意， 综上，f(x)的极大值为4. (2)若函数y=x3-2ax在(0，)上无极值，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞，0] C.(-∞，0]∪ D.(-∞，0]∪ 【答案】C 【解析】由函数y=x3-2ax在(0，)上无极值，得y'=3x2-2a在(0，)上无变号零点， 而函数y'=3x2-2a在(0，)上单调递增，则-2a≥0或9-2a≤0，解得a≤0或a≥， 所以实数a的取值范围是(-∞，0]∪. 题型二　利用导数求函数的最值 命题点1　不含参函数的最值 例4　(2025·全国Ⅰ卷改编)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间的最大值. 【解析】方法一　f'(x)=5(sin 5x-sin x)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos 3xsin 2x， 令f'(x)=0，因为x∈，解得x=0或x=， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，故当x=时，f(x)取得极大值即最大值，f(x)在上的最大值为f=3. 方法二　由和差化积公式f'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x， 因为当x∈时，2x∈，故sin 2x>0， 又当0<x<时，3x∈，则cos 3x>0，即f'(x)>0， 当<x<时，3x∈，则cos 3x<0，即f'(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减， 故f(x)在上的最大值为f=5cos -cos =3. 方法三　f'(x)=-5sin x+5sin 5x， 令f'(x)=0，得sin 5x=sin x， 因为x∈， 所以5x∈， 所以5x=x或5x+x=π， 所以x=0或x=， 因为f(0)=4，f=3，f=3， 所以当x∈时，f(x)max=f=3. 命题点2　含参函数的最值 例5　(2026·淮安模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2，a>0，求f(x)在[1，2]上的最小值. 【解析】f'(x)=xex-ax=x(ex-a). 若0<a≤e，当x∈[1，2]时，f'(x)≥0，f(x)在[1，2]上单调递增， 此时f(x)min=f(1)=-a； 若e<a<e2，当x∈[1，2]时， 令f'(x)>0，得ln a<x≤2， 令f'(x)<0，得1≤x<ln a， 则f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增， 此时f(x)min=f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2； 若a≥e2，当x∈[1，2]时，f'(x)≤0，f(x)在[1，2]上单调递减， 此时f(x)min=f(2)=e2-2a. 综上，当0<a≤e时，f(x)min=f(1)=-a； 当e<a<e2时，f(x)min=f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2； 当a≥e2时，f(x)min=f(2)=e2-2a. 【思维升华】求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【跟踪训练】2　(1)已知函数f(x)=ln x+(a∈R)的最小值为1，则a等于(　　) A. B.e C. D.1 【答案】D 【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-=， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，此时f(x)无最小值； 当a>0时，由f'(x)>0，得x>a，由f'(x)<0，得0<x<a， 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，故当x=a时，f(x)取得最小值， 即f(x)min=f(a)=ln a+1=1，故a=1. (2)若函数f(x)=x++3ln x在(a，2-3a)上有最小值，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  【答案】 【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=1-+==， 令f'(x)=0，得x=1或x=-4(舍去)， 当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=1处取得极小值，即最小值， 又因为函数f(x)在(a，2-3a)上有最小值， 故0≤a<1<2-3a，解得0≤a<. 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果. 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 【答案】ACD 【解析】依题意，函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数. 对于A，g(x)=xex，g'(x)=(x+1)ex， 当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0，∴g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)=x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)=xln x，x>0，g'(x)=1+ln x， 当x∈时，g'(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)=xsin x，g'(x)=sin x+xcos x， 当x∈时，g'(x)<0， ∴g(x)在上单调递减，故D中函数不是“F函数”. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1 B. C.-3 D.(-3，8) 【答案】A 【解析】f'(x)=x2+2x-3， 由x2+2x-3=0，得x=-3或x=1， 易得函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故f(x)在x=1处有极小值，极小值点为1. 2.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则(　　) A.f(x)在(-2，2)上先增后减 B.f(x)有极小值f(2) C.f(x)有2个极值点 D.f(x)在x=-3处取得最大值 【答案】B 【解析】由f'(x)的图象可知，当x∈(-2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误； 当x∈(-3，-2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确； 由f'(x)的图象结合单调性可知，当x=-2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误； 当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(-3)<f(-2)，f(x)在x=-3处不能取得最大值，故D错误. 3.已知函数f(x)=xe-x，则当x∈[0，2]时，f(x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由f(x)=xe-x， 可得f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)， 当0≤x<1时，f'(x)>0； 当1<x≤2时，f'(x)<0， 故f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减， 故当x∈[0，2]时，f(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，为f(1)=. 4.(2025·保定模拟)已知f(x)=x2(x-k)的一个极值点为2，则实数k等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】f'(x)=3x2-2kx，令f'(x)=0，得x=k或x=0， 又f(x)的一个极值点为2，则k=2，解得k=3，经检验，满足题意. 5.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x2+aln(x+1)，x>-1， 所以f'(x)=， 由题意得f'(x)在(-1，+∞)上有两个变号零点，令g(x)=2x2+2x+a，则g(x)在(-1，+∞)上有两个变号零点， 故解得0<a<，经检验，满足题意. 6.已知函数f(x)=2x-2-x+2，若关于x的不等式f(xln x)+f(-x2-ax)>4有解，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，0) C.(-∞，1] D.(-∞，2] 【答案】A 【解析】设g(x)=f(x)-2=2x-2-x， 由y=2x，y=-2-x在R上单调递增，可知g(x)在R上单调递增， 又g(-x)=2-x-2x=-g(x)，∴g(x)为奇函数， 由f(xln x)+f(-x2-ax)>4， 可得g(xln x)+g(-x2-ax)>0， ∴g(xln x)>g(x2+ax)，xln x>x2+ax， ∴a<ln x-x在(0，+∞)上有解， 设h(x)=ln x-x，则h'(x)=， 易知当x∈(0，1)时，h'(x)>0， 当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0， ∴h(x)=ln x-x在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故h(x)max=h(1)=-1， ∴a<-1. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)=x2+x-2ln x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)的极小值为 C.f(x)在(1，2)上单调递减 D.函数f(x)无零点 【答案】BD 【解析】f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=x+1-==，令f'(x)=0，得x=1或x=-2(舍去)， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以1是f(x)的极小值点，极小值为f(1)=，故B正确，A，C错误； 则f(x)的最小值为f(1)=，所以f(x)≥，即函数f(x)无零点，故D正确. 8.(2025·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 【答案】ABD 【解析】对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确； 对于B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确； 对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2， 故C错误； 对于D，当x<0时，f(x)=(3-x2)e-x-2，则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x， 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)， 当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增， 当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减， 则x=-1是f(x)的极大值点，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，则f(a)=　　　　　　.  【答案】- 【解析】因为函数f(x)=sin πx+acos πx，所以f'(x)=πcos πx-πasin πx， 因为是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点， 所以f'=πcos-πasin=0， 所以-πa×=0，得a=，经检验，满足题意， 则f(x)=sin πx+cos πx， 则f(a)=f(1)=sin π+cos π=-. 10.(2026·云南师大附中模拟)已知函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  【答案】 【解析】因为函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，所以关于x的方程(x2+x-1)ex=a有三个实数根. 令g(x)=(x2+x-1)ex，则g'(x)=(x2+3x)ex=x(x+3)ex， 当x<-3或x>0时，g'(x)>0； 当-3<x<0时，g'(x)<0， 所以g(x)在(-∞，-3)，(0，+∞)上单调递增，在(-3，0)上单调递减， 当x<-3时，x2+x-1>0，所以g(x)>0. 又g(-3)=，g(0)=-1， 当x→+∞时，g(x)→+∞， 所以函数g(x)=(x2+x-1)ex的大致图象如图. 因此，实数a的取值范围是. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2-2x在x=1处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式及单调区间；(7分) (2)求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值.(6分) 【解析】(1)f'(x)=3x2+2ax-2， 由题意得f'(1)=0，即3+2a-2=0， 解得a=-， 故f(x)=x3-x2-2x，定义域为R， 则f'(x)=3x2-x-2， 令f'(x)>0，得x>1或x<-； 令f'(x)<0，得-<x<1， 故f(x)在，(1，+∞)上单调递增，在上单调递减， 显然f(x)在x=1处取得极值，故a=-，符合题意， f(x)=x3-x2-2x， f(x)的单调递增区间为，(1，+∞)，单调递减区间为. (2)由(1)知，f(x)在，(1，2)上单调递增，在上单调递减， x - 1 (1，2) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值- 单调递增 又f(-1)=，f(2)=2， 故f(x)在[-1，2]上的最大值为2，最小值为-. 12.(14分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(9分) 【解析】(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). [13题5分，14题6分，共11分] 13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学的知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是(　　) A.f(x)有且只有一个极大值点 B.f(x)在上单调递增 C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)= D.f(x)有最小值，最小值为 【答案】D 【解析】由x>0，则f(x)=xx==exln x，x∈(0，+∞)， 令g(x)=xln x，x>0，则g'(x)=1+ln x， 令g'(x)=0，解得x=， 当0<x<时，g'(x)<0，g(x)在上单调递减， 当x>时，g'(x)>0，g(x)在上单调递增， f(x)由函数y=eu与u=g(x)复合而成，而y=eu在(-∞，+∞)上单调递增， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)在x=处取得极小值f==，且无极大值， 又f(x)min=f=>e-1=，故不存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=. 故A，B，C错误，D正确. 14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则(　　) A.y=f(x)有2个极值点 B.y=f'(x)有3个零点 C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值 D.对∀x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立 【答案】ACD 【解析】由f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，易知f'(x)为奇函数，令h(x)=ln|x|+x2-1， 当x>0时，h(x)=ln x+x2-1，h'(x)=+2x>0，故h(x)在(0，+∞)上单调递增， h(1)=0，显然函数h(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，所以函数f'(x)在(0，+∞)上存在唯一零点， 则当x∈(0，1)时，f'(x)<0， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则x=1为f(x)的极小值点， 同理可得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增， x=-1为f(x)的极小值点，所以函数f(x)有2个极值点， 由函数f'(x)为奇函数，h(1)=0，可得f'(x)存在2个零点：-1，1，故A，C，D正确，B错误. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　一元函数的导数及其应用 §3.3　导数与函数的极值、最值 【高考考向预测】 近三年高考导数与函数极值最值为必考基础高频考点，大小题型均有考查，核心围绕极值判定、极值点辨析、闭区间与开区间最值求解、含参最值分类讨论展开，常结合切线、单调性、零点联合命题，是导数综合题型的解题根基；预测2027 年依旧作为导数核心基础重点考查，命题更侧重含参多区间最值探究、隐藏极值点研判、最值与不等式范围结合设问，增多超越函数最值分析，强化定义域优先原则与分类讨论标准划分，注重结合隐零点、参数分离综合运用，夯实基础同时侧重实战应用能力考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有. (　 　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值. (　 　) (3)函数的极小值一定是函数的最小值. (　 　) (4)函数的极大值一定不是函数的最小值. (　 　) 2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为(　　) A.(3，0) B. C.3 D. 3.函数f(x)=2sin x-x在区间上的最大值为(　　) A.1 B.2- C.- D.- 4.若函数f(x)=x(x+a)在x=1处取得极小值，则实数a的值为　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 解题时灵活应用转化以下几个关键点 (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1). (2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念. (3)有极值的函数一定不是单调函数. (4)“f'(x0)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f'(0)=0，但0不是极值点. (5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点. 【题型突破●明方向】 题型一　利用导数求解函数极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 例1　(多选)已知函数y=f(x)，其导函数y=f'(x)的部分图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是(　　) A.在(-2，-1)上单调递增 B.在(1，2)上单调递增 C.-1为极值点 D.1为极值点 命题点2　求已知函数的极值 例2　设函数f(x)=x-aex(a∈R)，求函数f(x)的极值. 命题点3　已知极值(点)求参数 例3　(1)(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=　　　　　.  (2)(2025·大同模拟)已知函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(-4，0) B.[-4，0] C.(0，4) D.[0，4] 【跟踪训练】1　(1)已知函数f(x)=3(2-m2)x-mx3在x=1处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A.4 B.2 C.-2 D.-4 (2)若函数y=x3-2ax在(0，)上无极值，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞，0] C.(-∞，0]∪ D.(-∞，0]∪ 题型二　利用导数求函数的最值 命题点1　不含参函数的最值 例4　(2025·全国Ⅰ卷改编)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间的最大值. 命题点2　含参函数的最值 例5　(2026·淮安模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2，a>0，求f(x)在[1，2]上的最小值. 【跟踪训练】2　(1)已知函数f(x)=ln x+(a∈R)的最小值为1，则a等于(　　) A. B.e C. D.1 (2)若函数f(x)=x++3ln x在(a，2-3a)上有最小值，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果. 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1 B. C.-3 D.(-3，8) 2.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则(　　) A.f(x)在(-2，2)上先增后减 B.f(x)有极小值f(2) C.f(x)有2个极值点 D.f(x)在x=-3处取得最大值 3.已知函数f(x)=xe-x，则当x∈[0，2]时，f(x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 4.(2025·保定模拟)已知f(x)=x2(x-k)的一个极值点为2，则实数k等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 6.已知函数f(x)=2x-2-x+2，若关于x的不等式f(xln x)+f(-x2-ax)>4有解，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，0) C.(-∞，1] D.(-∞，2] 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)=x2+x-2ln x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)的极小值为 C.f(x)在(1，2)上单调递减 D.函数f(x)无零点 8.(2025·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，则f(a)=　　　　　　.  10.(2026·云南师大附中模拟)已知函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2-2x在x=1处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式及单调区间；(7分) (2)求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值.(6分) 12.(14分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(9分) [13题5分，14题6分，共11分] 13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学的知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是(　　) A.f(x)有且只有一个极大值点 B.f(x)在上单调递增 C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)= D.f(x)有最小值，最小值为 14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则(　　) A.y=f(x)有2个极值点 B.y=f'(x)有3个零点 C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值 D.对∀x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $