精品解析：河南平顶山市鲁山县第四教研区2026年中招学科第二次调研考试数学

2026年中招学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（ ） A. 百帕 B. 百帕 C. 百帕 D. 百帕 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给定的记法，推导出高气压的记法即可得到答案． 【详解】解：∵题目规定，比标准海平面气压低记作负数，比标准低60百帕记作百帕， ∴比标准海平面气压高应记作正数， 因此比标准海平面气压高50百帕记作百帕． 2. 据统计，2025年我国原油产量约为216000000吨，创历史新高．数据“216000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案． 【详解】A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误； B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误； C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确； D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D错误， 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C，E，A，D在同一条直线上，，，．当时，α的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：， ， ，点C，E，A，D在同一条直线上， ． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，根据时，一元二次方程有两个相等的实数根即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 6. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明为等边三角形，可得，，从而得到，再由弧长公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ，， 为等边三角形， ，， ， ∴优弧的长为． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 8. 河南作为中华文明的重要发祥地，拥有名人故居、书院遗址、非遗展馆等多元文化地标，是传承中原文化的重要载体．如图，某校综合实践课外活动小组的两名同学打算分别从杜甫故里（名人故居）、嵩阳书院（书院遗址）、宋绣艺术博物馆（非遗展馆）这三个特色地方中随机选取一个作为研学活动目的地，则这两名同学选择同一个地方的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据画树状图法确定所有等可能的结果总数与这两名同学选择同一个地方的总数，再代入概率公式求解即可． 【详解】解：将杜甫故里、嵩阳书院、宋绣艺术博物馆分别记为，画树状图如图所示， 由树状图可知共有种等可能的结果，其中这两名同学选择同一个地方的结果有种， ∴这两名同学选择同一个地方的概率是． 9. 如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点E是的中点，过点E作的垂线交于点F，交于点G，交于点H，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形和勾股定理求出，然后求出，证明是等边三角形，解直角三角形求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，． ，， ， ， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ． 是的中点， ． ， ， ，， ， ． 10. 为比较A，B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是（ ） A. B. A保温杯的保温性能更好 C. 当时间从增加到时，B保温杯的水温变化比A保温杯大 D. 当时，水温随时间的增大而降低 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：由温度计的读数可知，，故A正确； 对于选项B：由图象可知，内A保温杯的曲线高于B保温杯的曲线，因此A保温杯的保温性能更好，故B正确； 对于选项C：从增加到时，A保温杯温度变化为，B保温杯温度变化为， ∵， ∴B保温杯的水温变化比A保温杯小，故C错误； 对于选项D：由图可知，当时，水温随时间的增大而降低，故D正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个与y轴的交点位于负半轴的函数的表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数与y轴交点的特征，交点在y轴负半轴即时函数值小于，构造满足该条件的函数即可． 【详解】解：函数与y轴相交时，交点横坐标为，若交点位于负半轴，则当时，， 若取一次函数，设表达式为，只需常数项即可， 令，，可得满足条件的函数表达式为． 12. 为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在_______（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 【答案】温带森林 【解析】 【详解】解：由表格可得，干旱草原和温带森林的麻雀体重平均数相同，说明平均体重没有差异； 而温带森林的麻雀体重的方差小于干旱草原的麻雀的体重的方差，说明温带森林的麻雀体重波动小，体重差异小，代表麻雀在该栖息地的生存状态更稳定， 因此麻雀更适宜在温带森林栖息地生存． 13. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， ， ； 解不等式， ， ； 求两个解集的公共部分: 由且， 可得不等式组的解集为: ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，将沿边 向右平移得到 点与点O重合，与交于点M．若则点M的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，由，求出的长度，根据，得到的长度，菱形性质得到的长度，进而得到和的长度，即可得到M的坐标． 【详解】解：在中，，，， ． 由平移的性质可知，，， ． ∵四边形是菱形， ，， ． 与x轴垂直， ， ∴点M的坐标为． 15. 如图，在中，，D为的中点，将绕点D顺时针旋转，得到．若，连接，当点G落在任意一边上（ 顶点除外）时，的长为_______． 【答案】3或 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，即当点G在上时和当点G在上时，构造辅助线，得出四边形是矩形，得出直角和相等的边，利用三线合一、相似三角形的判定和性质以及勾股定理求解． 【详解】解：当点G在上时，如解图①，连接，． 由旋转的性质可得，，，． 是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形， ，． ， ． 在中，， ； 当点G在上时，如解图②，连接，，过点A作于点M． ， ， 同理可证四边形是矩形， ， ． ， ， ，即， ， ， ． 综上所述，的长为3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 青少年的体质健康是成长发展的重要基础，充足的体育锻炼不仅能增强体魄，更能锤炼意志品质．某校开展了“阳光体育一小时”活动，为了解学生体质健康的提升情况，随机抽取40名学生参加活动前、后的得分（满分为10分，得分均为整数）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 众数 中位数 平均数 活动前 a 8 8.025 活动后 9 b c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中_______．_________．_________． （2）依据“数据分析与运用”的结果，判断该校开展的“阳光体育一小时”活动是否有效，并为学校进一步增强学生体质健康提出一条具有针对性的合理化建议． 【答案】（1）8，8.5，8.35 （2）活动有效；建议：学校可加强体育锻炼活动的实施，比如设置球类训练课、趣味体能课、体质监测指导课，举办班级篮球赛、跳绳赛等，为学生提供更多在校锻炼的时间和专业指导（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义计算即可； （2）根据已知信息作答即可． 【小问1详解】 解：∵活动前得分为8分的人数最多， ∴众数为8，即； ∵将活动后数据按从小到大的顺序排列后，第20，21个数据分别为8，9， ∴中位数； ． 【小问2详解】 解：活动后的平均数8.35高于活动前的平均数8.025，说明该校开展的“阳光体育一小时”活动非常有效．（言之有理即可） 建议：学校可加强体育锻炼活动的实施，比如设置球类训练课、趣味体能课、体质监测指导课，举办班级篮球赛、跳绳赛等，为学生提供更多在校锻炼的时间和专业指导．（言之有理即可） 18. 如图，在四边形中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一条直线l，使得点A，B，C，D到直线l的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若直线l分别交于点E，F，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）连接交于点P，利用平行线分线段成比例结合三角形中位线定理即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：作直线l如解图①． 【小问2详解】 证明：如解图②，连接交于点P， 由（1）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中位线， ， 同理， 是的中位线， ， ， ． 19. 小军将量角器按如图方式摆放在平面直角坐标系中，分别与x轴，y轴相切于A，B两点，M是的中点，，反比例函数的图象与交于点，与 交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求图中阴影部分的面积． （3）转动量角器，当点D与点F重合时，判断转动后的点C是否落在反比例函数图象上． 【答案】（1） （2） （3）转动后的点C不在反比例函数图象上 【解析】 【分析】（1）将点E与点F的坐标代入反比例函数中，得到m的值，再求解k的值即可． （2）先证明四边形为正方形，再由正方形面积以及扇形面积求阴影面积即可． （3）证明和全等，得到，．再求解出转动后点C的坐标为，代入到反比例函数表达式中验证即可． 【小问1详解】 解：，是反比例函数图象上的点， ，解得， ∴点F的坐标为， ，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图①，连接，． 量角器分别与x轴，y轴相切于A，B两点， 轴，轴，． 又， 四边形为正方形， ， ，， ． 【小问3详解】 解：当点D与点F重合时，如图②，连接，，过点C作于点G，过点D作交的延长线于点H，则． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 由（2）知，轴，轴， 由（1）知点F的坐标为， 即点D的坐标为， ，， ∴转动后点C的坐标为， 将代入，得， ∴转动后的点C不在反比例函数图象上． 20. 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． （1）求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． （2）经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【答案】（1）A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元 （2）当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少 【解析】 【分析】（1）设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套，求出两种方案的费用，进而分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元． 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， 此时． 答：A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元； 【小问2详解】 解：设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套． ∵，两种类型均购买，型民族服饰不超过35套， ∴为正整数，且， 按方案一购买需要的费用为． 按方案二购买需要的费用为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 答：当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少． 21. 茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，是具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．某综合与实践小组开展测量茗阳阁高度的活动，记录如下．   活动主题 测量茗阳阁的高度（） 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量方案与测量数据 在点处用高为米的测角仪测出茗阳阁顶端的仰角，测得为． 在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，在处放置长的标杆，（，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，测得标杆的影长为，在处测得茗阳阁顶端的仰角为． 参考数据 备注 ①图上所有点均在同一平面内；②点在同一水平线上； ③测角仪、标杆、茗阳阁均与地面垂直． （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个方案无法计算茗阳阁的高度．”你认为是 （填“方案一”或“方案二”），并说明理由． （2）请根据正确的测量方案计算出茗阳阁的高度（）（结果精确到1m）． 【答案】（1）方案一，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方案一因缺少关键线段的关联条件，无法建立有效的方程关系，因此无法计算； （2）利用三角函数定义和矩形性质，结合题目条件建立方程求解． 【小问1详解】 解：方案一； 理由：在中，，与相等，的长不可测，测得的的长与的长之间存在一定的差值，不能代替的长，故无法计算茗阳阁的高度． 【小问2详解】 解：根据方案二计算茗阳阁高度， 过点F作于点H， ， 则四边形为矩形， ，，， 由题意知，， 为等腰直角三角形， ． 设， 则，， 由题意得，，，， ， ，即， 解得， ． 22. 综合与实践 消防员不仅是灭火英雄，更是集救援、调查、救护于一体的全能守护者，他们需要具备超强的体能、专业的技能与稳定的心理素质，在各类灾害中保护人民生命和财产安全． 问题背景：为增强消防员专业技能和实战经验，消防员会进行不定期的实战演习．如图，某消防支队对小区楼层失火抢救进行了演习． 收集数据：经无人机在离地面某处探测后，确定是距离地面的大楼A处发生火灾，此时消防员需要在无人机正下方离地面，且距该楼水平距离处的升降梯B处喷水灭火． 数学建模：已知水柱近似呈抛物线形状，且在距离喷水点水平距离处达到最高，此时距离地面．以水平地面为x轴，无人机与消防员所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决： （1）求抛物线的表达式． （2）此时水柱是否能喷射到点A处灭火． （3）由于火势较猛，为保证安全，消防员需要后退，为确保水柱恰好能喷射到着火点A处，消防员所在的升降梯需要升高多少米（喷水时水压和出水口角度保持不变）？ 【答案】（1） （2）水柱能喷射到点A处灭火 （3）升高3米 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式求解即可； （2）求出当时y的值即可判断； （3）根据二次函数的平移可设新抛物线的表达式为：，将代入求出，令，求出y的值，进而可知需要升高的距离． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，， ∴此时水柱能喷射到点A处灭火； 【小问3详解】 解：消防员后退后，可设新抛物线的表达式为：． 又∵新抛物线过点， ，解得， ∴新抛物线的表达式为． 令，则． 又， ∴消防员所在的升降梯需要升高3米． 23. 问题情境：在数学活动课上，老师带领同学们以“特殊三角形折叠有关问题”为主题展开探究活动．在中，是边的中点，为边上一动点，将沿折叠，点的对应点为． （1）【观察猜想】如图1，若为等边三角形，连接，当点落在边上时，与的数量关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若为等腰直角三角形，，连接．当时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】若为直角三角形， 作点关于直线的对称点，连接，，当为等边三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）图见解析；（1）中的结论仍然成立，证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，平分，进而求得．由折叠的性质可知，，，结合等边对等角即可得． （2）根据折叠的性质补全图形即可，由等腰直角三角形的性质可得．根据三线合一可得平分，，，即．由折叠的性质可知，，，，，进而求得，，，再根据等边对等角即可证明． （3）根据题意可得，，再由折叠的性质可知，，，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：为等边三角形，是边的中点， ，平分， ．由折叠的性质可知，，，， ， ， ． 【小问2详解】 解：补全图形如解图①； （1）中的结论仍然成立． 证明：为等腰直角三角形，， ． 是边的中点， 平分，，， ． 由折叠的性质可知，，，，， ，， ， ，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：，， ． 是边的中点， ． 由折叠的性质可知，，． 分两种情况讨论：①如解图②，当点在下方时，设与交于点F． 为等边三角形， ． ∵点，关于对称， ， ， ． ， ， ， ， ． 设，则， ， 解得， ； ②如解图③，当点在上方时，同理可得， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（ ） A. 百帕 B. 百帕 C. 百帕 D. 百帕 2. 据统计，2025年我国原油产量约为216000000吨，创历史新高．数据“216000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( ) A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C，E，A，D在同一条直线上，，，．当时，α的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. 6 D. 9 6. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 河南作为中华文明的重要发祥地，拥有名人故居、书院遗址、非遗展馆等多元文化地标，是传承中原文化的重要载体．如图，某校综合实践课外活动小组的两名同学打算分别从杜甫故里（名人故居）、嵩阳书院（书院遗址）、宋绣艺术博物馆（非遗展馆）这三个特色地方中随机选取一个作为研学活动目的地，则这两名同学选择同一个地方的概率是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点E是的中点，过点E作的垂线交于点F，交于点G，交于点H，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 为比较A，B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是（ ） A. B. A保温杯的保温性能更好 C. 当时间从增加到时，B保温杯的水温变化比A保温杯大 D. 当时，水温随时间的增大而降低 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个与y轴的交点位于负半轴的函数的表达式：_______． 12. 为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在_______（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 13. 不等式组的解集是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，将沿边 向右平移得到 点与点O重合，与交于点M．若则点M的坐标为_______． 15. 如图，在中，，D为的中点，将绕点D顺时针旋转，得到．若，连接，当点G落在任意一边上（ 顶点除外）时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1） （2）． 17. 青少年的体质健康是成长发展的重要基础，充足的体育锻炼不仅能增强体魄，更能锤炼意志品质．某校开展了“阳光体育一小时”活动，为了解学生体质健康的提升情况，随机抽取40名学生参加活动前、后的得分（满分为10分，得分均为整数）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 众数 中位数 平均数 活动前 a 8 8.025 活动后 9 b c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中_______．_________．_________． （2）依据“数据分析与运用”的结果，判断该校开展的“阳光体育一小时”活动是否有效，并为学校进一步增强学生体质健康提出一条具有针对性的合理化建议． 18. 如图，在四边形中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一条直线l，使得点A，B，C，D到直线l的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若直线l分别交于点E，F，求证：． 19. 小军将量角器按如图方式摆放在平面直角坐标系中，分别与x轴，y轴相切于A，B两点，M是的中点，，反比例函数的图象与交于点，与 交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求图中阴影部分的面积． （3）转动量角器，当点D与点F重合时，判断转动后的点C是否落在反比例函数图象上． 20. 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． （1）求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． （2）经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 21. 茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，是具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．某综合与实践小组开展测量茗阳阁高度的活动，记录如下．   活动主题 测量茗阳阁的高度（） 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量方案与测量数据 在点处用高为米的测角仪测出茗阳阁顶端的仰角，测得为． 在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，在处放置长的标杆，（，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，测得标杆的影长为，在处测得茗阳阁顶端的仰角为． 参考数据 备注 ①图上所有点均在同一平面内；②点在同一水平线上； ③测角仪、标杆、茗阳阁均与地面垂直． （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个方案无法计算茗阳阁的高度．”你认为是 （填“方案一”或“方案二”），并说明理由． （2）请根据正确的测量方案计算出茗阳阁的高度（）（结果精确到1m）． 22. 综合与实践 消防员不仅是灭火英雄，更是集救援、调查、救护于一体的全能守护者，他们需要具备超强的体能、专业的技能与稳定的心理素质，在各类灾害中保护人民生命和财产安全． 问题背景：为增强消防员专业技能和实战经验，消防员会进行不定期的实战演习．如图，某消防支队对小区楼层失火抢救进行了演习． 收集数据：经无人机在离地面某处探测后，确定是距离地面的大楼A处发生火灾，此时消防员需要在无人机正下方离地面，且距该楼水平距离处的升降梯B处喷水灭火． 数学建模：已知水柱近似呈抛物线形状，且在距离喷水点水平距离处达到最高，此时距离地面．以水平地面为x轴，无人机与消防员所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决： （1）求抛物线的表达式． （2）此时水柱是否能喷射到点A处灭火． （3）由于火势较猛，为保证安全，消防员需要后退，为确保水柱恰好能喷射到着火点A处，消防员所在的升降梯需要升高多少米（喷水时水压和出水口角度保持不变）？ 23. 问题情境：在数学活动课上，老师带领同学们以“特殊三角形折叠有关问题”为主题展开探究活动．在中，是边的中点，为边上一动点，将沿折叠，点的对应点为． （1）【观察猜想】如图1，若为等边三角形，连接，当点落在边上时，与的数量关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若为等腰直角三角形，，连接．当时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】若为直角三角形， 作点关于直线的对称点，连接，，当为等边三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $