黑龙江牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（平行班）

**基本信息** 结合故宫角楼、《九章算术》鳖臑等文化素材与木楔、小球放置等生活情境，覆盖立体几何、复数、解三角形等核心知识，注重空间观念与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数运算、线面关系、斜二测画法|第8题以故宫角楼抽象几何体考空间距离，培养数学眼光| |多选题|3/18|解三角形、正方体截面体积|第10题正方体截面体积比，体现问题层次性| |填空题|3/15|向量最值、解三角形、圆锥小球放置|第14题圆锥内小球放置，考查模型意识| |解答题|5/77|四棱锥线面平行、鳖臑证明与计算|第19题结合《九章算术》鳖臑，传承文化并考查推理能力|

2025级高一学年下学期期中考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟 分值：150分 1、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以. 2.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错． 对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对． 对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错． 对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错． 故选：B． 3.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】因为正方形的边长为1， 所以，， 将直观图还原为原图形，如图： 由直观图的作法可知，中，，， 所以，， 所以原图形的周长是. 4.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 则由题意等腰梯形全等等腰梯形， 则. 取的中点O，连接，因为，所以， 则， ∴. 因为，，所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面，所以平面， 所以平面，同理可证平面， ∴多面体的体积 ， 故选：C. 5.在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】结合线面角以及圆的知识求得正确答案. 【详解】由于平面，点是矩形内的动点， 则平面，所以， 又直线与平面所成角为即， 所以，即是直线与平面所成角， 又，，， 则，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在矩形内的部分， 设圆与分别交于两点， 则，， 所以，则， 所以点的轨迹长为. 故选：B. 6.在三棱锥中，底面，，，，是线段上一点，且．三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球． 设三角形的中心为，设外接球的半径为，球心到平面的距离为， 即，连接，则，所以， 在三角形中，取的中点，连接，， 则，，所以， 在中，，由题意得当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面半径为，则， 所以截面圆的面积为，当截面过球心时，截面圆的面积最大为， 所以，所以，所以表面积，故选：C． 7.已知共面向量，，满足，，且.若对每一个确定的向量，记（）的最小值为，则当变化时，的最大值为（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解法一：固定向量，则，的终点分别在以为圆心， 为半径的圆上的直径两端运动，其中，，，如图， 易得点的坐标为，因为， 所以，即， 整理得，所以有， 因为（）的最小值为， 即 解法二（几何意义）：设，，， 由可得为中点，由，可得， 的几何意义为到直线上的点的距离，最小值即为到直线的距离； 则，，所以的轨迹为阿氏圆， 由特殊位置确定一下圆的直径两点，如图， 可知，，即在以为直径的圆上，半径为2， 所以点到直线的距离最大为2. 8.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，    取中点，连接， 由已知，、分别为、中点， 因为是直三棱柱，所以，且 ， 所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为； ，在中，， 所以，设角，则有， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为是直三棱柱，所以，且， 所以，， 又因为平面， 平面，所以， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离是， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.若有一个，下面说法正确的是（   ） A．在中，若，则为等腰直角三角形 B．在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C．在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 【答案】BCD 【分析】由，可得或，即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用韦达定理结合余弦定理求出边，再利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为恰有两解， 所以，即，解得，故B正确； 对于C，不妨设三边的长分别为， 则对应的角最大，设为， 则， 所以，即三角形的最大内角为，故C正确； 对于D，设所对的边分别为， 因为最大边与最小边是方程的两个实根，易知两根不相等， 故不是等边三角形. 若为最大角，则， 若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角， 即边既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程的两个实根， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以的外接圆半径，故D正确. 10.在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 11.如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（    ） A．不存在，使得平面 B．当平面平面时， C．线段长的最小值为 D．当时， 【答案】BCD 【详解】当时，与重合，与重合， 易证平面，即存在，使得平面，故A错误； 若平面平面，因为平面平面，平面平面， 所以，设，因为为的中点， 所以为的中点，所以，延长到，使得， 同理可得，又，所以，又为的中点， 所以，所以，所以，故B正确； 由题意知，且， 故 （当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为， 故的面积为 .， 所以，故D正确. 故选：BCD. 3． 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 【详解】如图，作的平行线，根据相似三角形对应高的比， 发现当平行线过圆心的时候，， 当的平行线与圆相切时，即点位于点时， 此时取得最大值，可以得到取得最大比值为3， 即的最大值为3． 13.在中，角所对的边分别为，若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解. 【详解】由，由正弦定理得， 又， 所以， 又由，所以， 所以， 所以，即， 解得或． 又因为，且， 所以，所以，即． 14.如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 【答案】6 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【详解】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6 四.解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD； （2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； 【详解】（1）是PC的中点，取PD的中点E，连接AE,ME,如图， 则ME//CD,，又AB//CD,, ME//AB,ME=AB,四边形为平行四边形,.............2 BM//EA,............4 又平面PAD，平面PAD，则BM//平面PAD；.............5 （2）由（1）知为平行四边形 由PA底面ABCD，AB在平面ABCD内，， 又，平面PAD，.................6 同理平面PAD，平面PAD, ,...................7 则ABME为矩形，CD//ME，，又, 平面ABME，.............9 由平面PBD，平面PBD平面ABME, 在平面ABME内作,故平面PBD，.............10 延长MF交AE于N，在矩形ABME内，，, ,......................12 即N为AE的中点 当点N为AE的中点时，MN平面PBD;...................13 16.如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 则，................2 所以，..................4 在中，由余弦定理得 ， 所以；.......................6 （2）设，则，................9 在中，因为， 所以,....................11 在中，, 所以，即，..................13 所以，即..................15 17．在中，角所对的边分别为，，，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) （1）因为，，且， 所以...........................2 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得，..........................4 又因为，所以；................................5 （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，..............7 因为，由正弦定理得： 所以，，............................9 所以.......................................................12 因为，所以， 所以则的取值范围为...............15 18.如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】(1) (2)（i）不是，体积最小值为；（ii） 【详解】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角，...........................2 由，，得，，，， ................4 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. ..................5 （2）（i）三棱锥的体积不是定值................6 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面，............8 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点，........9 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值，...............10 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 .......................12 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面，.................14 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则，...............15 由，得，解得， 由，得，解得，...............16 所以...............17 19.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【答案】(1)详见解析(2)或；(3) 【详解】（1）如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以；....................4 （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为；.....6 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为；.....8 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或；.............9 （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以，............10 又因为，， 所以平面，平面，所以，..............11 设，，由， 得，，.....................12 中，，得， ..............14 当且仅当时，等号成立，.................15 所以...........................16 所以面积的最小值是.............................17 学科网（北京）股份有限公司 $2025级高一学年下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 一、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.) 1.已知复数z满足√2==i2024-i225(1为虚数单位)，则=2026=( A.1 B.-1 C.i D.-i 2.己知直线1、孤n与平面a、B,下列命题正确的是( A.若l⊥n,m⊥n,则l∥m B.若I⊥o,1WB,则&⊥B C.若l/1a,l⊥m,则⊥o D.若a⊥B,a∩B=m,l⊥，则l⊥B 3.如图，正方形OAB'C的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图 则它的原图形OABC的周长是（) 以 B O A衣 A.2 B.4 C.6 D.8 4.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且 △ADB,△BCF均为等边三角形，EF/CD,EF=4,则该木楔的体积为( ) D A.2W2 B.4V2 c.&2 D.10W2 3 3 5.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,点M是矩形ABCD内的动点，PA=6,AB=3,AD=4·直线 PM与平面ABCD所成角为60°，则点M的轨迹长度为() A.V3n B.23n c.3远 D.2π 2 3 2 6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AB L AC,AB=6,AC=8,D是线段AC上一点，且AD=3DC.三 高一数学试题 第1页，共4页 棱锥P-ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之 差为16π，则球O的表面积为( ) A.72π B.86π C.112元 D.128元 7.已知共面向量a,6,c满足日=3，五+c=2a,且园=5-d.若对每一个确定的向量，记5-td(teR) 的最小值为dmn,则当b变化时，dm的最大值为() B.2 C.4 D.6 8.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将 其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF-CDE和BDG-ACH是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF与 GH互相垂直平分，EF,GH交于点I,AF=BF=a,AF⊥BF,则点G到平面ACEF的距离是( H B 图1 图2 c.2 .5a 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.若有一个△ABC,下面说法正确的是() A·在△ABC中，若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰直角三角形 B.在△ABC中，a=x,b=2,∠B=45°，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是2<x<2√2 C.在△ABC中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120° D.在△ABC中，A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则△ABC的外接圆半 径R=75 3 10.在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是CD,AD,CC的中点，过E,F,G三点的截面把 正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（】 A18 c.i 49 11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，E为棱BC的中点， 高一数学试题 第2页，共4页 BP=BD(2∈(0,1])，C可=uCB(u∈(0，），过点卫，E,0的平面截该正方体所得的截面为，则( ) D 6 D B A.不存在元，u,使得PQ⊥平面ACD B.当平面EPg/平面ACD时，元+L=2 1 C.线段P长的最小值为4W5 3 D。当=么时，PO的面积】 2的面积24 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=mAB+AD, 则+n的最大值为 18在△M8C中，角AB,C所对的边分别为abc,若d+b=3c,cos(2B+C)= ,则C= 6 14.如图，在母线长为4+2√3，高为3+2√3的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱 体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在 平面相切，则这样的小球最多能放入个。 四.解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分。解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤) 15.如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CDL AD,PAL底面ABCD,P在ADCF2AB2,M为PC的中点. 高一数学试题第3页，共4页 P M 、D B （1)求证：BM/平面PAD: (2)在侧面PAD内找一点N,使MWL平面PBD: 16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=10,BC=5,P为△ABC内一点，且∠BPC=90°. B (1)若PB=3,求PA的长： (2)若∠APB=150°，求tan∠PBA. 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(sinA,sinB-sinC),n=(a-b,b+c),且m⊥n. (1)求角C的值： 公若49C为能角二角。且c=1,求'片)5.6的取值范国， 18.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4，E,F分别是CC1,AD上的点，且CE=1,AF=2 D B D (1)求直线AB与EF所成角的余弦值 (2)设G是线段EF上的动点（含端点）. (1)判断三棱锥G-ABD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. 高一数学试题第4页，共4页 (1)当CG1平面4BD时，求答的值 19.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一， 不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有 似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 堑堵 阳马 鳖臑 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD: D (1)若BC⊥CD,∠ADB=A,∠BDC=8,∠ADC=A,求证：c0s8Cos8=cos8: (2)若AB=1,BC=2,CD=1,试求异面直线AC与BD所成角的余弦， (3)若BD⊥CD,AB=BD=CD=2,点P在棱AC上运动.试求△PBD面积的最小值 高一数学试题第5页，共4页 2025级高一学年下学期期中考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟 分值：150分 1、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 2.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 5.在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D．2 6.在三棱锥中，底面，，，，是线段上一点，且．三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7.已知共面向量，，满足，，且.若对每一个确定的向量，记（）的最小值为，则当变化时，的最大值为（   ） A． B．2 C．4 D．6 8.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.若有一个，下面说法正确的是（   ） A．在中，若，则为等腰直角三角形 B．在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C．在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 10.在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 11.如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（    ） A．不存在，使得平面 B．当平面平面时， C．线段长的最小值为 D．当时， 3． 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 13.在中，角所对的边分别为，若，则___________． 14.如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 四.解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD； （2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； 16.如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 17．在中，角所对的边分别为，，，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 18.如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 19.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 高一数学试题 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $A3正面 ■ ■ ■ 高一学年下学期期中考试 数学答题卡 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 一、选择题（1-8每小题5分，9-11每小题6分共58分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] 二、填空题（每小题5分，共15分） 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 ■ ■ 贴条形码区 缺考标记考 生禁填涂！由监考教师责用黑色字迹签字笔填涂。 1、考生必须在本页“条码粘贴区”贴好自己的条形码，并用0.5毫米的黑色签字笔填写好姓名和班级，否则影响考试成绩； 2、选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔答题，超出黑色边框区域的答案无效；并请注意题号顺序； 3、保持卷面清洁，不要折叠，弄破； 4、正确涂卡示例： ▅ 错误：[√] [×] [／] [▂] 注意事项 12. 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 13. 14. 16.（本小题满分15分） 17.（本小题满分15分） 姓　　名： 准考证号： 15.（续） 班　　级： A3反面 ■ ■ ■ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效 ■ ■ 18.（本小题满分17分） 19.（本小题满分17分） 19.（续） 18.（续） $2025级高一学年下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 一、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.) 1.已知复数z满足√2==i2024-i2025(1为虚数单位)，则=2026=（ A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】D 【详解】因为V2z=i4-05=1-i,所以：=1月 ， 所以z2=-i, 所以z20s=(2)03=(←i013=-i. 2.已知直线1、mn与平面a、B,下列命题正确的是( A.若l⊥n,m⊥n,则l∥m B.若1⊥a,1IWB,则a⊥B C.若l/1a,1⊥m,则m⊥ D.若a⊥B,ax∩B=,1⊥，则l⊥B 【答案】B 【详解】对于A选项：若l⊥n,m⊥n,则l与m可能平行、相交或异面.像墙角三条线，所以不能得出平 行，A错 对于B选项：lIWB,则B内有直线a与l平行，又l⊥a,所以a⊥，a在B内，能推出⊥B,B对. 对于C选项：l//且l⊥时，m与&位置不确定，m可在a内等，不能得出m⊥a,C错. 对于D选项：a⊥B,交线为，1⊥m,则l可以在B内，可以与B平行，或与B相交但不垂直，位置不定， D错. 故选：B. 3.如图，正方形OA'B'C'的边长为1，它是按斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图， 则它的原图形OABC的周长是() O' A A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【详解】因为正方形OA'B'C'的边长为1， 所以O'A'=1,OB'=√2， 将直观图还原为原图形，如图： A B A 由直观图的作法可知，OABC中，OA=BC=1,OB=2√2， 所以AB=VOA?+OB2=3,OC=3, 所以原图形OABC的周长是1+1+3+3=8. 4.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且 △ADE,△BCF均为等边三角形，EF/CD,EF=4,则该木楔的体积为( B A.2√5 B.4V2 c.&2 D.10W2 3 3 【答案】C 【详解】如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH, 则由题意等腰梯形ABEF全等等腰梯形CDEF, 则BG=Hr=4,2-14G=GD=BH=Hc=√2-T=3 2 取AD的中点O,连接GO,因为AG=GD,所以GO⊥AD, 则G0=-1=5, .8mmxx2= 因为ABIIEF,AG⊥EF,所以AB⊥AG,因为四边形ABCD为正方形， 所以AB⊥AD,又因为AD∩AG=A,AD,AGC平面ADG,所以AB⊥平面ADG, 所以EF⊥平面AGD,同理可证EF⊥平面BCH, ∴多面体的体积V=V三楼锥E-ADG+V三楼睡r-BCH+V三棱柱AGD-BHC=2V三棱E-ADG十V三棱柱AGD-BHC =2x（G5x1+x2-8 3 B 故选：C. 5.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,点M是矩形ABCD内的动点，PA=6,AB=3,AD=4.直线 PM与平面ABCD所成角为60°，则点M的轨迹长度为() A.3 B.23元 D.2 2 3 【答案】B 【分析】结合线面角以及圆的知识求得正确答案. 【详解】由于PA⊥平面ABCD,点M是矩形ABCD内的动点， 则AMC平面ABCD,所以PA⊥AM, D ! -- D B E C 又直线PM与平面ABCD所成角为6O即， 3 所以∠PMA=交，即∠PMA是直线PM与平面ABCD所成角， 3 又PA=6,AB=3,AD=4, 则am=PA-6-5,所以4M=25e6,4), 3 AM AM 所以M点的轨迹是以A为圆心，半径为2√3的圆在矩形ABCD内的部分， 设圆与BC,AD分别交于E,F两点， 则BE=V23-B了=E,m∠BAB=BB-5 AB 3 所以∠BAB-石则∠B4P-子 3 所以M点的轨迹长为5×25=23m 3 故选：B. 6.在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,AB LAC,AB=6,AC=8,D是线段AC上一点，且AD=3DC.三 棱锥P-ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之 差为16π，则球O的表面积为( A.72π B.86π C.112π D.128π 【答案】C 【详解】将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O, 设三角形ABC的中心为O',设外接球的半径为R,球心O到平面ABC的距离为x, 即O0=x,连接0A,则OA=5,所以R2=x2+25, 在三角形ABC中，取AC的中点E，,连接OD,OE, 则oE=是B=3,DB=}AC=2,所以OD=V丽， 在RtOO D中，OD=√2+13，由题意得当截面与直线OD垂直时，截面面积最小， 设此时截面半径为r,则2=R2-OD=x2+25-(x2+13)=12, 所以截面圆的面积为π2=12π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为R2, 所以元R2-12元=16m,所以R2=28,所以表面积S=4πR2=112π，故选：C. 7.已知共面向量a,6,c满足d=3,万+c=2a,且园=5-d.若对每一个确定的向量，记b-1d(teR) 的最小值为dmn,则当b变化时，dm的最大值为() B.2 C.4 D.6 【答案】B 【详解】解法一：固定向量a=(3,0),则6，c的终点分别在以(3,0)为圆心， r为半径的圆上的直径两端运动，其中OA=a,O死=b,OC=c,如图， 易得点8的坐标为B(rcos0+3,rsi血)，因为=b-d, 所以OB=BC,即(rcos8+3+(rsin日)=4r2, 整理得P-2rc0s日-3=0，所以有c0s6=-3 2r 因为b-td(teR)的最小值为d, 即dnn=rsin6= -r4+10r2-9 (r-5 62 4 4 解法二（几何意义）：设OA=a,OB=i,oC=c, 由b+c=2a可得A为BC中点，由=5-d,可得OB=BC, 仍-td的几何意义为B到直线OA上的点的距离，最小值即为B到直线OA的距离： 则OB =2,OA=3,所以B的轨迹为阿氏圆， AB 由特殊位置确定一下圆的直径两点，如图， B 3 D ----E 可知AE=3,AD=1,即B在以DE为直径的圆上，半径为2， 所以点到直线的距离最大为2. 8.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将 其抽象成几何体如图2所示.己知三楼柱ABF-CDR和BDG-ACH是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF与 GH互相垂直平分，EF,GH交于点I,AF-BF=a,AF⊥BF,则点G到平面ACEF的距离是( H U面 B 图1 图2 A. 3 a B. C.a .5a 2 4 【答案】B 【详解】取AC中点M,连接MM,过G作MM的垂线交M的延长线于点K, D B 取AB中点N,连接N, 由己知，M、I分别为AC、EF中点， 因为ABF-CDE是直三棱柱，所以AF⊥AC,EF∥AC且EF-AC, 所以FI∥AM且I=AM,所以四边形AMⅢF为平行四边形， 又AF⊥AC,所以AMⅡF为矩形，所以EF⊥MK, 又EF⊥GH,MKc平面IG,GHc平面IG,MKOGH=I, 所以EF⊥平面IG,KGc平面IG,所以EF⊥KG, 又因为KG⊥MK,EFC平面ACEF，,MKc平面ACEF,EF OMK=I, 所以KG⊥平面ACEF,所以点G到平面ACEF的距离等于线段G的长度，设为h; AF⊥BF,在Rt△ABF中，AF=BF=A, 所以AB=V+G-a,设角∠RAB=0,则有sin6=y2 2 因为四边形AMMF为平行四边形，所以亚∥AF, 又因为BDG-ACH是直三棱柱，所以ABIIHG,且HG=AB=√2a, 所以∠aG=∠NAB=0,1G=V2a 2 又因为KG⊥平面ACEF,IKc平面ACEF,所以KG⊥IK, 所以sm2Gh么-√② G-V2,，即√2 2,解得h= 24 2 所以点G到平面ACEF的距离是 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.若有一个△ABC,下面说法正确的是() A.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰直角三角形 B.在△ABC中，a=x,b=2,∠B=45°，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是2<x<2√2 C.在△ABC中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120° D.在△ABC中，A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则△ABC的外接圆半 7N5 径R外= 3 【答案】BCD 【分析】由sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A+2B=π，即可判断A;利用正弦定理即可判断B;根据大边 对大角结合余弦定理即可判断C:利用韦达定理结合余弦定理求出边α，再利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A,因为sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2m), 所以2A=2B或2A+2B=元，所以A=B或A+B= 2 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误： 对于B,因为△ABC恰有两解， 所以asin B<b<a,即巨、 二x<2<x,解得2<x<2√2，故B正确： 对于C,不妨设三边的长分别为3x,5x,7x(x>0), 则7x对应的角最大，设为8,0∈(0，π)， 则cos日= 9x2+25.x2-49.x21 2×3.x×5x =2 所以6=120°，即三角形的最大内角为120°，故C正确： 对于D,设A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，易知两根不相等， 故△ABC不是等边三角形 若A为最大角，则A+B+C<180°， 若A为最小角，则A+B+C>180°，所以角A既不是最大角也不是最小角， 即边a既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根， 32 所以b+c=9,bc= 3’ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=(b+C2-3bc=81-32=49,所以a=7, 所以△ABC的外接圆半径R,=2SinA了 .a73 ,故D正确 10.在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是C1D,AD,CC的中点，过E,F,G三点的截面把 正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为() A器 B.72 9 119 C. 49 144 D.72 【答案】C 【分析】首先作出过E,F,G三点的截面为五边形EKFG,根据相似，求解长度，根据体积公式即可求 解 【详解】如图，延长EG,DC相交于H,连接FH,交BC于J, D K D 同理可作FK,则E,F,G三点的截面为五边形EKFG, 不妨设正方体棱长为1，则aHCG∽aCG,所以CH=子 又△HCJ∽△HDF,所以JC= 6 同理可得a1-分，K知-名 1 可知截得较小部分体积V=V-D一2严-E, 前以经2经》对。方品 Γ32222 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为1-25-119 144144 故选：C. 11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，E为棱BC的中点， BP=BD(2∈(0,1])，C可=uCB(u∈(0，），过点卫，E,0的平面截该正方体所得的截面为，则( D 6 D B A.不存在九，u,使得PQI平面ACD B.当平面EPQ/平面ACD,时，元+L=2 1 C.线段P长的最小值为4W 3 D.当入=4=时， △PEO的面积1 2的面积24 【答案】BCD 【详解】当2=u=1时，P与D重合，Q与B重合， 易证B,D⊥平面ACD,即存在2，L,使得PQ⊥平面ACD,故A错误： 若平面EPQ∥平面ACD,因为平面EPQ⌒平面ABCD=PE,平面ACD⌒平面ABCD=AC, 所以PE∥AC,设ACOBD=F,因为E为BC的中点， 所以为的中点，所以1寻延长G到6，使得CC=8C, 同理可得CC∥EQ,又CC2∥BC,所以EQ∥BC,又E为BC的中点， 所以CQ-C网，所以u-子所以+u=行，故B正确： 由题意知P0=PB+BC+C0,且PB,BC=BC,C0=3弧，PB,cO= 3 PO=PB'+BC+CO'+2PB.BC+2BC.CO+2CQ.PB =3222+16+32u2-32-32L+32 =32[a+02--(+]+16232a+0-（2-a+u)+16=24+-32(+-16(当且仅 当1以时等号成动)=24：)5，当且仪当--时等号成立 323 所以Pm= 645, 故C正确： 3 当1=u=二时，易得2为正六边形（如图六边形EGHLJK),其边长为2√5， 故n的面积为6x92-12G 号P.0sim2-x(x5-5 S. 2 22 所以△PC的面积。1 2的面积24， 故D正确. 故选：BCD. D D C B A H D D: E G B 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若A亚=AB+AD, 则+的最大值为 【详解】如图，作BD的平行线，根据相似三角形对应高的比， D 发现当平行线过圆心C的时候，+n=2, 当BD的平行线PN与圆C相切时，即点P位于点时， AN 此时 取得最大值，可以得到 AN AD AD 取得最大比值为3， 即+n的最大值为3. 18在△MBC中，角4B,C所对的边分别为a6c,若d+b=30,cos(2B+C)= 2,则C= 【答案】元/30 6 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解， 【详解】由3c=公2+b,由正弦定理得3nC=smA+sB-1-c9s241-cs2B-1-cos24+os2B), 2 2 cos2A+cos2B=cos[(A+B)+(4-B)]+cos[(4+B)-(A-B)]=2cos(A+B)cos(A-B), 3sin2C=1-cos(4+B)cos(A-B)=1+cosCcos(A-B), 又由cos(2B+C)-5,所以cos(2B+C)=cosB+C+B)=cos红-A+B)=-cs(A-B. 6 所以cos(4-B)= 6 所以3smC=3-3cosc-l-5 >cosC,18cos2 C-3 cos C-12=0, 6 解得cosC-5或-43 2 9 又因为0oaC+6os(4-B)=-cos1++cos(A-BA)=2 sinsinB>0,且osA-B）=5 6 所以cosC>0,所以coC=5,即C= 2 6 14.如图，在母线长为4+2√5，高为3+23的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱 体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在 平面相切，则这样的小球最多能放入一一一个 【答案】6 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可 得解。 【详解】如图， B RC h 则R2=P-R=(4+23(3+23)-7+4W3,解得R=2+5, 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， B 0 因为动 ,所以OA=2,即AB=OB-OA=2+2√5， 则∠BAC=30°，设圆Q的半径为i,则BC=V3+万=1+V5, 解得5=1，即小球的半径为1， 作俯视图， 因为△O'OO为等边三角形，所以∠0,0'02=60°， 由360 =6可知，这样的小球最多能放入6个 60° 故答案为：6 四.解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分。解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤) 15.如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA-AD-CD2AB2,M为PC的中点. M 、D B （1)求证：BM/平面PAD: (2)在侧面PAD内找一点M使MWL平面PBD: 【详解】(1)，M是PC的中点，取PD的中点E,连接AEMB如图， 则@/ca-CD,又a/eAB-CD, .ME/ABE-AB四边形ABME为平行四边形，...·.2 ∴.BM/EA 又BM文平面PAD,EAC平面PAD,则BM/平面PAD·......5 、E M 、D A B (2)由(1)知ABME为平行四边形 由PA⊥底面ABCD,AB在平面ABCD内，：PA⊥AB, 又AB⊥AD,PA∩AD=A,ABL平面PAD,......6 同理CD⊥平面PAD,AEc平面PAD, AB⊥AE,7 则ABE为矩形，CDI/MB,CD⊥PD,ME⊥PD,又PD⊥AE,AE⌒ME=E, .PDL平面ABB,·....9 由PDC平面PBD,.平面PBD⊥平面ABMB 在平面ABE内作MF⊥EB,故MF⊥平面PBD,......10 延长MF交AE于N,在矩形ABME内，AB=MB=1,AE=BM=√2， 2 2 ....12 即W为AE的中点 当点N为AB的中点时，MW1平面PBD......13 P E M B 16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=10,BC=5,P为△ABC内一点，且∠BPC=90°. B (1)若PB=3,求PA的长； (2)若∠APB=150°，求tan∠PBA. 【答案】(1)√61 a225- 11 【详解】(1)在RtAPBC中，PB=3,BC=5, 则cos∠PBC-n∠P8C=专 .2 所以cos∠ABP=cos(90°-∠PBC)=sin∠PBC=4 …….4 在△PAB中，由余弦定理得 PA=PB+4B2-2PB.AB COS_ABP=9+100-2x3x10x4 61, 所以PA=√61；......6 (2)设∠PBA=日，则∠PAB=30°-日，∠PBC=90°-日，......9 在△PAB中，因为，AB PB sin∠APB sin∠PAB 所以PB=4Bi∠PA8=20sim(B0-0).11 sin∠APB 在RtAPBC中，PB=BC cos∠PBC=5sinO, 所以20sim(30°-日)=5sin6,即2cos0-2√3sin0=sin6,......13 所以tan6= 2 225-, 即tan∠PBA=- 2(2W5-1) 2W3+111 11 ….15 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b，C,m=(sinA,sinB-sinC),n=(a-b,b+c),且m⊥n. (1)求角C的值： (②)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求1+V5a 2a-b的取值范围. 2 【答案】①写 2) (1)因为m=(simA,sinB-sinC),n=(a-b,b+c,,且m⊥n, 所以sinA(a-b)+(sinB-sinC)b+c)=0.......2 利用正弦定理化简得：a(a-b)+(亿-c)6+c)=0即a+b2-c2=ab, 由余弦定理可得cosC=+b-c2_1 2ab 2 又因为Ce(0,,所以C- 3……·……··………5 ②由1）得48=，即-行-A 3 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以 0Ae号 2解得：4行 6 1 2 因为c=l,由正弦定理得：sinA sin B sinC simV 3 2 所以a= sin4,b-2 sinB,...9 3 所以 3a-b=1+3、2 1+3 -X 2 25 inA-simnB=1 3 3 8inA-2 ……12 因为君<A巧，所以名牙 6 64下A、交 44 所以554孕1则ab的联值范围为 1-31 ..15 2 18.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4，E,F分别是CC,AD上的点，且CE=1,AF=2, D F A B G E D B (1)求直线AB与EF所成角的余弦值. (2)设G是线段EF上的动点（含端点） （1)判断三棱锥G-ABD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值， (11)当CG1/平面4BD时，求C的值. FG 【答案】(1)75⑧ 58 ②()不是，体积最小值为5：(1) 【详解】(1)在棱长为4的正方体ABCD-ABCD,过点E作EM1IDC交C1D于M,连接FM, 由正方体ABCD-ABGD的对角面ABCD是矩形，得DC/IAB,则EM1/A,B, ∠FEM即为直线AB与EF所成的角或其补角，...2 由CE=1,AF=2,得DM=1,FM=√5，EM=35,EF=√29，........4 因此cos∠FEM= EF2+EMP-FM229+18-57N58 2EF.EM 2×V29×3W258 所以直线AB与EF所成角的余弦值为N5s 58 ….5 D F (2)（1)三棱锥G-ABD的体积不是定值.....·...6 假设三棱锥G-ABD的体积是定值，则线段EF上任意每一点到平面ABD的距离都相等， 又EF4平面ABD,于是EF/平面ABD,由(1)知EM/IAB,且EMa平面ABD, 则EM/平面ABD,而EF∩EM=E,EF,EMC平面EFM,则平面EFMI1平面ABD,.·....8 又FMc平面EFM,因此M1/平面ABD,取CD中点N,连接AN,显然M为DN的中点，..9 则FM/IAN,又AN与平面ABD交于点A,于是FM与平面ABD相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥G-ABD的体积不是定值，.....10 由图知，线段EF在平面ABD的同侧，且在线段EF的所有点中，F到平面ABD的距离最小， 则当G与F重合时，三棱锥G-ABD的体积最小， 且6=54o=64r写分244 3， 所以三棱锥G-ABD体积的最小值为 (1i)连接B,C,B,D,CD,由正方体ABCD-ABCD的对角面BRD,D是矩形， 得B D //BD,且B,DC平面ABD,则BDII平面ABD,同理B,CII平面ABD, 而B,D∩B,C=B,BD,B,Cc平面B,CD,因此平面B,CDI1平面ABD, 此时线段EF∩平面BCD=G,满足CG/平面ABD,·.....14 EG d 设E,F到平面B,CD的距离分别为d,d2,则 FG d 6画CA是边长为4的等边三角形，则S5W=8v5,…15 4 由，得兮8w5}分144，解得4 3 由n=6ar,得}8w54-分244，解得6-2 3 .16 EG4-1 所以Gd,2 .17 19.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一， 不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘微注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有 似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 'c 堑堵 阳马 鳖臑 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD: B D (1)若BC⊥CD,∠ADB=A,∠BDC=O,,∠ADC=A,求证：cos8·cos8=cos8: (2)若AB=1,BC=2,CD=1,试求异面直线AC与BD所成角的余弦 (3)若BD⊥CD,AB=BD=CD=2,点P在棱AC上运动.试求△PBD面积的最小值 【答案】()详见解析②号或下3)2 4 5 5 【详解】(1)如图，因为AB⊥底面BCD,CDc平面BCD 所以AB⊥CD,又CD⊥BC,且ABOBC=B, 所以CD⊥平面ABC,ACC平面ABC, 所以CD⊥AC, BD 所以cos8= AD cos8= CD BD cos=CD AD 所以coscos02=cos03;........4 (2)如图，以DB,DC为临边作平行四边形BDCE,连结AE,则异面直线AC和BD所成的角为∠ACE或其 补角， B H 当BC⊥CD时，AB=1,BC=2,CD=1,并且由(1)可知，AE=√P+1P=√2，AC=P+22=V5, EC=BD=√22+12=V5, △4CE中，cos∠4CB=4C+BC-Ag=-4,所以异面直线AC和BD所成的角的余弦值为(：6 2×ACx EC5 当BD⊥DC时，AE=√2，AC=V5,EC=BD=V22-1P=V5, △ACB中，os∠4CBAC+BCAB5,所以异面直线AC和BD所成的角的余弦值为，V5 2×AC×EC 5；….8 综上可知，异面直线AC和BD所成的角的余弦值为号或y下 4 5 .9 (3)如图，作PQ⊥BC于点2，作OM⊥BD于点M,连结PM, △ABC中，AB,PQ都垂直于BC,所以AB/IPQ, 所以PQL平面BCD,且BDC平面BCD,所以PO⊥BD,·....1O 又因为QM⊥BD,PQ∩QM=9, 所以BDL平面POM,PMc平面POM,所以PM⊥BD,,...·..11 P-Cg→P2=x 设C0=x,cB=2万，由C8→22万' 得0=2，(0≤x≤2)， .12 △BCD中， B2-M→22-x-M BC CD 2√2 2 得oM=2W2-t (25-) PM-PO +OM-1 2 =V-2W2x4…14 =x-2+225 当且仅当x=V2时，等号成立，.15 所以S△n= BDPM≥}x2xV=5 .16 所以△PBD面积的最小值是√2...17 B