专题02 复数、三角函数、直线和圆（4大考点期末真题汇编，重庆专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 重庆多校高一下期末试题汇编，聚焦复数、三角函数、直线和圆四大高频考点，通过基础判断、综合应用及创新探究题，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约30题|复数概念与运算、三角函数图像变换、直线与圆位置关系|基础题占比60%，如复数共轭判断、直线方向向量求解| |解答题|5题|复数欧拉公式证明、三角函数新定义运算、直线和圆棋盘距离应用|分层设计，含复向量数量积证明等创新题，适配期末综合测评|

专题02复数 三角函数 直线和圆 4大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的运算 考点03三角函数 考点04直线、圆 地 城 考点01 复数的概念 1．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 复数的运算 1．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·重庆·期末)已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)设，若复数是纯虚数，则（    ）． A． B． C． D． 6．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时，的虚部是-4 C．，使是纯虚数 D．所对应的点不会在复平面的第三象限 7．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为 B． C． D．z在复平面内对应的点在第一象限 8．(24-25高一下·重庆·期末)已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 9．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)在复平面内，复数对应的点为，则（    ） A． B． C． D．复数对应的点满足，则对应的点围成的封闭图形面积为 10．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知是的共轭复数，其中，则=______ 11．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. (1)若为纯虚数，求的值； (2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； (3)已知，求. 12．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 地 城 考点03 三角函数 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 3．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 6．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知，则___________. 8．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. (1)设（），写出函数的有序相伴向量； (2)若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 9．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知函数，，． (1)求的解析式； (2)设函数，求的对称轴和单调区间． 地 城 考点04 直线、圆 1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知直线，，则 的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 6．(24-25高一下·重庆南开融侨中学校·期末)已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 8．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 9．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（    ）．    A． B．点M的轨迹方程为 C．的最小值为 D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 10．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 11．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)直线与直线平行，则实数______． 12．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为______． 13．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 14．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02复数 三角函数 直线和圆 4大高频考点概览 地 城 考点01 复数的概念 1．B 2．C 地 城 考点02 复数的运算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D C A B B ABD CD ACD BD 10． 11．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）因为纯虚数，实部为0，虚部不为0，列出方程组进行计算即可； （2）因为，根据列出等式进行化简计算即可； （3）由，得出，代入计算即可. 【详解】（1）因为，由于为纯虚数， 得，所以； （2）由于，得： 所以； （3）由得：， 所以. 12．【答案】(1)10；； (2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； (3) 【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． （3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 地 城 考点03 三角函数 1 2 3 4 5 6 A C B A D A 7．0 8．【答案】(1) (2) (3)存在，有唯一“和谐区间” 【分析】（1）化简得到，得到有序相伴向量； （2）先得到，进而得到，其中，，画出图象，数形结合得到结论； （3）由，得，分a，，a，，三种情况，将的情况再细分为和两种情况，结合函数图象及定义域和值域，推出有唯一“和谐区间”． 【详解】（1）因为， 所以函数的有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，则， 所以 ，其中，， 如图所示为的草图： ，，， 由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点， 则或，所以； （3）有唯一“和谐区间”，理由如下： ，假设存在“和谐区间”， 则由，得， ①若a，，则由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； ②同理a，时，由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； 下面讨论， ③若，则，故的最小值为，于是， 所以，所以的最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意； ④若，当时，同理可得，，但此时，舍去； 当时，在上单调递减，所以，， 于是， 令，则有， 又为奇函数，且在单调递增， 所以，所以 即，同一坐标系内，画出图象与，如下： 可知，当时，， 所以，从而，矛盾． 综上所述，有唯一“和谐区间”． 9．【答案】(1) (2)对称轴，，增区间为，，减区间为：，. 【分析】（1）代值计算，结合角的范围即可求得函数解析式； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据正弦函数的图象对称轴与单调区间即可求得该函数的对称轴与单调区间. 【详解】（1）由，可得 ， . （2） 求对称轴：，，即， 求单调增区间：，， 解得， 求单调减区间：，， 解得， 综上可得：函数的对称轴为：，， 增区间为，；减区间为：，. 地 城 考点04 直线、圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C B B A B AB AC ACD 11．或 12．1 13.【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程. （2）由给定条件求出直线l将圆C分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 14．【答案】(1)相交 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由棋盘距离的定义及的范围求出，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果； （2）①联立直线和的方程，并得到韦达定理，再由和分别得到和，结合韦达定理并化简可得；②设出和的点斜式方程并联立消掉，结合韦达定理化简得到，即得证. 【详解】（1）圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交. （2）①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②证明：，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得. 故直线交点在定直线上. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02复数 三角函数 直线和圆 4大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的运算 考点03三角函数 考点04直线、圆 地 城 考点01 复数的概念 1．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据实数的定义即可得出结论. 【详解】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B 2．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算及共轭复数定义解题即可. 【详解】，其共轭复数为. 故选：C 地 城 考点02 复数的运算 1．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用复数的运算法则化简求解即可. 【详解】由，得. 故选：D 2．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到方程组，求出，再利用复数乘法和乘方法则计算出答案. 【详解】设，则，， 又，故，解得， 故，. 故选：C. 3．(24-25高一下·重庆·期末)已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用虚部的概念求解即可. 【详解】由题意，所以的虚部为. 故选：A. 4．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算法则即可求出结果. 【详解】， 故选：B 5．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)设，若复数是纯虚数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算展开代数式，再利用纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以， 解得，此时得. 故选：B. 6．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时，的虚部是-4 C．，使是纯虚数 D．所对应的点不会在复平面的第三象限 【答案】ABD 【分析】利用复数模的运算，虚部，纯虚数，复平面的概念来判断即可， 【详解】对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，虚部为-4，故B正确； 对于C选项：当z为纯虚数，则,此时无解，故C错误； 对于D选项：若z对应的点在第三象限，由， 此时无解，故不存在使对应的点在第三象限，故D正确； 故选：ABD 7．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为 B． C． D．z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】CD 【分析】利用复数除法法则计算出，从而利用复数的定义及几何意义对选项一一判断，得到答案. 【详解】AB选项，复数， 则复数z的虚部为4，故AB错误； C选项，，故C正确； D选项，z在复平面内对应的点在第一象限，故D正确． 故选：CD． 8．(24-25高一下·重庆·期末)已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D. 【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为正确； 错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 9．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)在复平面内，复数对应的点为，则（    ） A． B． C． D．复数对应的点满足，则对应的点围成的封闭图形面积为 【答案】BD 【分析】利用复数的几何意义可得，据此计算可判断ABC，利用模的几何意义可判断D. 【详解】因为数对应的点为，所以，所以，故A错误； 由，可得，故B正确； ，故C错误； 因为复数对应的点满足，所以对应的点围成的图形是以为圆心，2为半径的圆， 所以对应的点围成的封闭图形面积为，故D正确. 故选：BD. 10．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知是的共轭复数，其中，则=______ 【答案】 【分析】求出，再根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 11．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. (1)若为纯虚数，求的值； (2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； (3)已知，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）因为纯虚数，实部为0，虚部不为0，列出方程组进行计算即可； （2）因为，根据列出等式进行化简计算即可； （3）由，得出，代入计算即可. 【详解】（1）因为，由于为纯虚数， 得，所以； （2）由于，得： 所以； （3）由得：， 所以. 12．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】(1)10；； (2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； (3) 【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． （3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 地 城 考点03 三角函数 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】， ． 故选：A. 2．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 3．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】 ， 若是上的“完整函数”， 则在上存在，使得成立， 即， 又因为，所以， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知；所以只需保证即可， 解得. 综上可知. 故选：B. 4．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正切公式可求得，切化弦可求值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 5．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 6．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出的取值范围. 【详解】因为，， 根据题中定义可得 ，故. 故选：A. 7．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知，则___________. 【答案】0 【分析】利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式来运算，即可求解. 【详解】由解得：， 又由二倍角正切公式得：， 由两角和正切公式得：， 所以， 故答案为：0 8．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. (1)设（），写出函数的有序相伴向量； (2)若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，有唯一“和谐区间” 【分析】（1）化简得到，得到有序相伴向量； （2）先得到，进而得到，其中，，画出图象，数形结合得到结论； （3）由，得，分a，，a，，三种情况，将的情况再细分为和两种情况，结合函数图象及定义域和值域，推出有唯一“和谐区间”． 【详解】（1）因为， 所以函数的有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，则， 所以 ，其中，， 如图所示为的草图： ，，， 由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点， 则或，所以； （3）有唯一“和谐区间”，理由如下： ，假设存在“和谐区间”， 则由，得， ①若a，，则由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； ②同理a，时，由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； 下面讨论， ③若，则，故的最小值为，于是， 所以，所以的最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意； ④若，当时，同理可得，，但此时，舍去； 当时，在上单调递减，所以，， 于是， 令，则有， 又为奇函数，且在单调递增， 所以，所以 即，同一坐标系内，画出图象与，如下： 可知，当时，， 所以，从而，矛盾． 综上所述，有唯一“和谐区间”． 9．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知函数，，． (1)求的解析式； (2)设函数，求的对称轴和单调区间． 【答案】(1) (2)对称轴，，增区间为，，减区间为：，. 【分析】（1）代值计算，结合角的范围即可求得函数解析式； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据正弦函数的图象对称轴与单调区间即可求得该函数的对称轴与单调区间. 【详解】（1）由，可得 ， . （2） 求对称轴：，，即， 求单调增区间：，， 解得， 求单调减区间：，， 解得， 综上可得：函数的对称轴为：，， 增区间为，；减区间为：，. 地 城 考点04 直线、圆 1．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是， 而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是. 故选：A 2．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知直线，，则 的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为 ，所以且， 解得， 当时，直线，，显然 ， 所以 的充要条件的是. 故选：A 3．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 4．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意可知直线必过圆心，从而得，再利用二次函数性质求解最小值即可. 【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以． 所以， 所以，时，取到最小值为. 故选：B． 5．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 6．(24-25高一下·重庆南开融侨中学校·期末)已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法运算和向量模的运算得，所以点是两圆的公共点，由圆与圆的位置关系求得的最大值. 【详解】若为坐标原点，则， 所以， 所以点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 又因为点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以点是两圆的公共点，即两圆有公共点， 由圆与圆的位置关系得到，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 7．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 8．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 9．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（    ）．    A． B．点M的轨迹方程为 C．的最小值为 D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断； 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上， 所以点M的轨迹方程为（x≠2），故B错误； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设在轴上一点C，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误；    故选：AC. 10．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 【答案】ACD 【分析】利用圆心到直线的距离判断A，作点O关于直线的对称点，结合点与圆的位置关系利用几何法求解最小值判断B，求出圆心到直线的距离，利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得，与半径比较即可判断C，举例法当时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D. 【详解】对于AB，当，时，直线即， 圆即，圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为，故A正确； 如图作点O关于直线的对称点，设，则， 解得，所以，则， 所以的最小值为，故B错误； 当时，圆即， 圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， ，其中， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以任意的，， 故当时，任意的，使圆与直线相交，故C正确； 当时，圆即， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为， 故当时，对任意的，圆与直线均相切，故D正确. 故选：ACD 11．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)直线与直线平行，则实数______． 【答案】或 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 12．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为______． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用数量积的运算律，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 13．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程. （2）由给定条件求出直线l将圆C分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 14．(24-25高一下·重庆第一中学校·期末)在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 【答案】(1)相交 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由棋盘距离的定义及的范围求出，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果； （2）①联立直线和的方程，并得到韦达定理，再由和分别得到和，结合韦达定理并化简可得；②设出和的点斜式方程并联立消掉，结合韦达定理化简得到，即得证. 【详解】（1）圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交. （2）①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②证明：，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得. 故直线交点在定直线上. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $