专题04 四边形（2）（期末真题汇编，北京专用北京版）八年级数学下学期

**基本信息** 北京各区期末试题汇编，聚焦矩形、菱形、正方形三大高频考点，涵盖性质判定与几何综合，适配八年级下册期末复习，突出区域真题典型性。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|3|矩形中点连线周长、菱形中点与对角线计算|基础巩固，直接考查图形性质| |填空题|8|矩形翻折、菱形动点最值、正方形边长计算|结合几何直观，渗透空间观念| |解答题|18|矩形判定证明、菱形尺规作图、正方形翻折对称综合|分层设计，综合题融合翻折、对称思想，匹配北京期末命题趋势|

专题04 四边形（2） 3大高频考点概览 考点01 矩形的性质和判定 考点02 菱形的性质和判定 考点03 正方形几何综合 地 城 考点01 矩形的性质和判定 一、单选题 1．(24-25八下·北京顺义区·期末)如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点．若，则四边形的周长为（   ） A． B． C．6 D． 2．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（    ） A．4 B．8 C． D． 二、填空题 3．(24-25八下·北京平谷区·期末)如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则_____． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，则的长为___________．    5．(24-25八·北京通州区·期末)如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 7．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为______． 三、解答题 8．(24-25八下·北京平谷区·期末)如图，中，于，，交的延长线于点，求证：四边形为矩形． 9．(24-25八下·北京顺义区·期末)如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 10．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)求证：         (2)若，，求的长． 11．(24-25八·北京通州区·期末)如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 12．(24-25八下·北京昌平区·期末)已知，中，，作，平行于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在线段上取一点F，使得，连接，交于点O．求证：四边形是矩形． 地 城 考点02 菱形的性质和判定 一、单选题 1．(24-25八·北京通州区·期末)如图，在菱形中，对角线，相交于点，点E，F分别是，的中点，连结，若，，则菱形的边长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 2．(24-25八下·北京平谷区·期末)如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为为的中点，则BM的长为_____． 3．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，是分别是线段，上的动点，连接，．若，，则的最小值为___________． 4．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 三、解答题 5．(24-25八下·北京平谷区·期末)已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接． 四边形ABCD为所求的菱形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成以下证明． 证明：平分， ， 又， 四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据） 又 平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据） (3)若，则菱形的面积为 ． 6．(24-25八·北京顺义区·期末)小华设计了“利用两条互相垂直的直线作菱形”的尺规作图的过程． 如图，于点，作图步骤如下： ①在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ②在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ③连接，，，． 所以四边形即为所求作的菱形． 根据小华设计的尺规作图的过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：，________， 四边形是平行四边形（________）（填推理的依据）． ， 四边形是菱形（________）（填推理的依据）． 7．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)连接，若，，求的长． 8．(24-25八·北京通州区·期末)如图，菱形中，分别延长至点E、F，使，，连结． (1)求证：是等腰三角形； (2)连结，若，，求的长． 9．(24-25八下·北京昌平区·期末)已知，，点D是中点，于点O，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，，，求的长． 地 城 考点03 正方形几何综合 一、解答题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)在正方形中，是上一动点（不与点，重合），是点关于直线的对称点，连接，，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)依题意补全图形．若，求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，正方形中，点分别在的延长线上且，连接，连接并延长交于点． (1)求的大小         (2)点在射线上，，连接，的角平分线交于点．依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．(24-25八·北京通州区·期末)如图，已知正方形中，E为对角线上一点，过点E作交于点F，连结，G为的中点，连结． (1)①依题意，请补全图1 ②求证：； (2)将第（1）问中的绕点B逆时针旋转，如图2所示，G为的中点，连结．求证：． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． (1)①补全图形； ②求的度数； (2)延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 7．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 8．(24-25八下·北京密云区·期末)在正方形中，点是射线上的一个动点（不与点重合），过点作的垂线交直线于点，取线段的中点，连接和． (1)如图1，当点在线段上时，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时． ①用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形（2） 3大高频考点概览 考点01 矩形的性质和判定 考点02 菱形的性质和判定 考点03 正方形几何综合 地 城 考点01 矩形的性质和判定 一、单选题 1．(24-25八下·北京顺义区·期末)如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点．若，则四边形的周长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、三角形中位线定理，连接、，由矩形的性质可得，，由勾股定理求出，再证明四边形为菱形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，分别为，的中点． ∴，， ∴， ∵，分别为，的中点． ∴是的中位线， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为， 故选：B． 2．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题． 二、填空题 3．(24-25八下·北京平谷区·期末)如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．先由勾股定理得到，从而求得，根据矩形的性质得到，从而根据的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在矩形中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：6 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，则的长为___________．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理． 由矩形的性质，得到，，由三角形的中位线定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 5．(24-25八·北京通州区·期末)如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此结合线段长度求解是解题的关键． 先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 故答案为：． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． 7．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得：，则，在中，由勾股定理可得，则，由翻折得出对应对应的线段相等是解题的关键． 【详解】解：由翻折，， 则． 四边形是矩形， ，，． 在中， ， ． 故答案为：2． 三、解答题 8．(24-25八下·北京平谷区·期末)如图，中，于，，交的延长线于点，求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，由得出，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形； 9．(24-25八下·北京顺义区·期末)如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴． 10．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)求证：         (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． （1）证明，根据等角对等边即可得到结论； （2）设，则．得到，．在中，由勾股定理，得，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴． ∴． ∴． （2）解：设，则． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得．即． 11．(24-25八·北京通州区·期末)如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和矩形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，射线即为求作的； （2）证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是，的中点， ． ． ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 12．(24-25八下·北京昌平区·期末)已知，中，，作，平行于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在线段上取一点F，使得，连接，交于点O．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． （1）证明，根据平行四边形的定义即可得证； （2）根据，，得到四边形是平行四边形，再由即可得证四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 地 城 考点02 菱形的性质和判定 一、单选题 1．(24-25八·北京通州区·期末)如图，在菱形中，对角线，相交于点，点E，F分别是，的中点，连结，若，，则菱形的边长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键． 先利用三角形的中位线定理得，再由菱形的对角线互相垂直得，最后用勾股定理求长． 【详解】点E，F分别是，的中点， ， 四边形是菱形， ，， ， 菱形的边长为5． 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八下·北京平谷区·期末)如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为为的中点，则BM的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理． 连接，利用勾股定理可以求得的长，然后根据正方形的性质可以得到的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M为线段的中点， ∴， ∵正方形，正方形的边长分别为6，2 ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，是分别是线段，上的动点，连接，．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短问题，菱形的性质，勾股定理，作E关于的对称点，则，当时，最小，结合勾股定理及菱形的性质求解即可．能够确定的最小值是解决问题的关键． 【详解】解：如图，    作E关于的对称点，连接，则， ， 四边形是菱形， 菱形关于城轴对称， 在线段上， 当时，最小， 四边形是菱形，，，，，， ∴， ∴， 菱形的面积为：， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 4．(24-25八下·北京昌平区·期末)如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的性质解答即可求解，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25八下·北京平谷区·期末)已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接． 四边形ABCD为所求的菱形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成以下证明． 证明：平分， ， 又， 四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据） 又 平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据） (3)若，则菱形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (3) 【分析】本题考查尺柜作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （3）根据菱形的性质得，由勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：∵，平分， ∴， 又∵， .四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）； 故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 6．(24-25八·北京顺义区·期末)小华设计了“利用两条互相垂直的直线作菱形”的尺规作图的过程． 如图，于点，作图步骤如下： ①在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ②在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ③连接，，，． 所以四边形即为所求作的菱形． 根据小华设计的尺规作图的过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：，________， 四边形是平行四边形（________）（填推理的依据）． ， 四边形是菱形（________）（填推理的依据）． 【答案】(1)作图见解析 (2)；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． （1）利用尺规按步骤作图即可； （2）结合图形填空，根据解答过程选择合适的判定方法填空； 【详解】（1）如图所示： （2）证明：，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 7．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）如图，过点作交的延长线于点，先求出，再根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，是边上的中线， ∴． ∴是菱形； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， ∵中，，， ∴． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴，． ∴． 在中，， 由勾股定理，得． 8．(24-25八·北京通州区·期末)如图，菱形中，分别延长至点E、F，使，，连结． (1)求证：是等腰三角形； (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理： （1）根据菱形的性质以及三角形中位线定理可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再由菱形的性质可得，且．在中，根据勾股定理可得，然后在中，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：连结交于点， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴，且． ∴在中，， ∴在中，． 9．(24-25八下·北京昌平区·期末)已知，，点D是中点，于点O，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再证明，则，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∵于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵菱形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 地 城 考点03 正方形几何综合 一、解答题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． （3）解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)在正方形中，是上一动点（不与点，重合），是点关于直线的对称点，连接，，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)依题意补全图形．若，求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)，证明见解析 【分析】本题重点考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，结合题中条件，与图形，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用轴对称的性质，证明，推出，再由，得； （2）过点H，作，交延长线于点M，先在中，推出，再证明，推出，代入化简即可 【详解】（1）如图1所示： 四边形为正方形， ， 点关于的对称点F在的延长线上， 由对称性可知，，， 又， ， ， ， 又， ， ． （2），理由如下： 设，由（1）知，， 又， ， ， 如图2，过点H，作，交延长线于点M，则， 四边形为正方形， ， 又， ， 由勾股定理得， ， ， ， 又，， ， ， ，． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①图见解析；②，见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线． （1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点T，连接，过点O作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①根据题意补全图形如图所示： ②取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点T，的中点O， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)如图，正方形中，点分别在的延长线上且，连接，连接并延长交于点． (1)求的大小         (2)点在射线上，，连接，的角平分线交于点．依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)图见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先根据正方形的性质证明，等量代换即可得到答案； （2）补全图形，过点作交的延长线于点，连接，根据正方形的性质证明，由角平分线得到，进而证明，，即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴； （2）解：依题意补全图形如图2．数量关系：． 证明：过点作交的延长线于点，连接，如图． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵，平分， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 5．(24-25八·北京通州区·期末)如图，已知正方形中，E为对角线上一点，过点E作交于点F，连结，G为的中点，连结． (1)①依题意，请补全图1 ②求证：； (2)将第（1）问中的绕点B逆时针旋转，如图2所示，G为的中点，连结．求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）先运用正方形的性质可得．由垂直定义得．再运用直角三角形的性质可得，．，进而求解； （2）分别延长交于点H，连结，证明，得，．得．可证是等腰直角三角形，，得，∠1=∠2．得是等腰直角三角形．得． 【详解】（1）解：①如图： ②证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵G为中点， ∴，． ∴． （2）证明：当点F在上时， ∵， ∴是等腰直角三角形 当点F在上时，分别延长交于点H，连结，如图所示： ∵正方形， ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，． ∴． ∴在和中 ∴ ∴，∠1=∠2． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查正方形和三角形的综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，旋转性质 三角形全等的证明及性质．直角三角形斜边上的中线性质，是解题关键． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． (1)①补全图形； ②求的度数； (2)延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由点，关于射线对称，得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，推出，于是得到； （2）连接交于点，连接，求得，，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：①补全图形如下； ②点，关于射线对称， ，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，连接交于点，连接， ，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 7．(24-25八下·北京门头沟区·期末)如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．(24-25八下·北京密云区·期末)在正方形中，点是射线上的一个动点（不与点重合），过点作的垂线交直线于点，取线段的中点，连接和． (1)如图1，当点在线段上时，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时． ①用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出正方形边长的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，，即可得出结论； （2）①如图，过点H作于G，连接，先证明，得到，从而求得，进而得出，得到，再由勾股定理求得，然后证明是的中位线，得到，即可得出结论． ②根据直角三角形的性质求得，然后根据可证，得到，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，然后由勾股定理求得，最后由正方形的性质得． 【详解】（1）证明：如图1， ∵正方形， ∴， ∵点是线段的中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①． 证明：如图，过点H作于G，连接， ∵正方形， ∴，， ∵点是线段的中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即G是的中点， ∵点是线段的中， ∴是的中位线， ∴， ∴； ②∵点是线段的中， ∴ ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵正方形， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $