期末专题：长方体（二）（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积的系统性训练，通过公式变式、空间想象及实际应用构建完整解题体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长变化|1题|表面积=棱长²×6、体积=棱长³，棱长扩大n倍表面积扩大n²倍、体积扩大n³倍|从概念公式推导变化规律，建立量的变化关系| |截取与熔铸|2、3、8、15、21、23题|截取最大正方体取最短棱长；熔铸体积不变，V正方体=V长方体|通过空间切割与形态转化，深化体积守恒原理| |排水法|5、16题|不规则物体体积=容器底面积×水面上升高度|将抽象体积转化为可测量的水面变化，培养转化思想| |实际应用|6、9、10、11、12、14、17-24题|无盖表面积=底面积+侧面积；容积=体积（厚度不计）；单位换算（1L=1dm³等）|结合生活情境，从基础单位到综合问题，形成应用链|

期末专题：长方体（二） 一、选择题 1．一个正方体的棱长扩大4倍，表面积扩大（    ）倍，体积扩大（    ）倍。 A．8；16 B．16；64 C．64；12 D．12；16 2．从一根长6分米，宽4分米，高3分米的长方体木料中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方分米。 A．216 B．108 C．64 D．27 3．一块正方体实心钢坯，棱长为6分米。李师傅想把它锻造成一个高为8分米、宽为3分米的长方体实心钢坯（如图），长方体钢坯的长是（    ）。 A．64分米 B．36分米 C．24分米 D．9分米 4．如图，一个大正方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1dm的小正方体后，（      ）。 A．表面积变小，体积变小 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积不变，体积不变 5．一个装有水的长方体容器，从里面量长是12.5cm，宽是8cm，高是18cm，将一个土豆完全浸没在水中，水面上升了1.5cm（水未溢出），这个土豆的体积是（    ）cm3。 A．2700 B．180 C．150 D．15 二、填空题 6．填上适当的体积或容积单位。 小雪家所在的小区新开了一家无人自助超市，这家超市所占的空间约是500( )。小雪去该超市购物，她先走到容积是300( )的冰柜旁拿了一袋350( )的酸奶，然后去文具区拿了一本体积是0.4( )的笔记本和一支净含量是12毫升的修正液，最后去自助结账后离开了。 7．战国商鞅方升，是我国历史上有记载的一件标准量器，它是一个内口长约12厘米、宽约7厘米、深约2厘米的长方体容器。刘老师买了一个同样尺寸的仿制的容器，并把126毫升的果汁倒入这个容器中，此时容器中果汁的高度约( )厘米。 8．美术课上，张老师指导同学们自行制作橡皮印章，每名同学都分到了一块长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体橡皮（如图）。小美想要制作一枚方印，需要从长方体橡皮中切出一个体积最大的正方体，并在此基础上进行雕刻。这个正方体的体积是( )立方厘米。 9．某小学要铺一个长方形劳动基地，长是12米，宽是长的，需要铺20厘米厚的营养土。这个劳动基地的面积是( )平方米，需要营养土( )立方米。 10．一个长方体的高减少就变成一个正方体，这时表面积比原来减少了，那么原来长方体的高是( )cm，体积是( )。 11．一辆汽车的油箱是一个长是0.6米，宽是0.4米，高是0.2米的长方体，这个油箱的容积是( )升（油箱厚度不计）；如果每行驶100千米耗油8升，加满油后可行驶( )千米。 12．把75L汽油倒入一个长0.5m，宽0.3m的长方体油箱中，正好倒满，这个油箱的高是( )dm。 13．将一根长3米的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了32平方分米，这根木料原来的体积是( )立方米。 14．一个长方体的棱长和是56分米，它的长和宽分别是6分米和5分米，它的高是( )分米，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 15．琪琪将一个棱长为8cm的正方体橡皮泥捏成一个长为16cm，宽为4cm的长方体，则捏成的长方体的高为( )cm。 16．在一个装满水的底面积为2平方分米的长方体玻璃缸中浸没着一个土豆，把土豆从缸中取出后水面下降了3厘米，这个土豆的体积是( )立方分米。 17．如图，同样大小的小正方体堆在墙角，每个小正方体的棱长为2分米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米，这堆小正方体的体积是( )立方分米。 三、计算题 18．求下列图形的表面积和体积。（单位：cm） 四、解答题 19．一个长方体水池，从里面量长15米，宽8米，深2米。这个水池最多能蓄水多少立方米？如果在水池的四周和底面贴上边长为2分米的正方形瓷砖，一共需要多少块瓷砖？ 20．一个长方体玻璃鱼缸，长9分米，宽5分米，高6分米，制作这个无盖鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？如果往鱼缸里注入4分米深的水，水的体积是多少升？ 21．把一块棱长为10厘米的正方体钢块熔铸成一个长方体，熔铸后长方体的底面积是40平方厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 22．肖文买了2箱陈醋准备寄给远方的朋友，每个陈醋箱子都是一个长3分米、宽2分米、高2分米的长方体，如果把它们捆扎在一起，体积是多少？ 23．一块棱长是60厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一根横截面面积是150平方厘米的长方体铁柱。这根长方体铁柱的长是多少厘米？ 24．李叔叔的货车（仿古商队）油箱是一个长方体，长0.9米、宽0.5米、高0.4米。这辆货车每行驶100千米耗油7.5升。 (1)油箱的容积是多少升？ (2)加满一箱油，最多可以行驶多少千米？ (3)如果出发前油箱里已经有20升油，需要再加油多少升才能跑完800千米的路程？ 第4页，共4页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长。当棱长扩大4倍时，分别计算表面积和体积扩大的倍数。 【详解】设原正方体棱长为a，则原表面积为6a2，原体积为a3。 棱长扩大4倍后变为4a，新表面积为6×4a×4a＝6×16a2＝96a2，96a2÷6a2＝16，表面积扩大16倍； 新体积为4a×4a×4a＝64a3，64a3÷a3＝64，体积扩大64倍。 2．D 【分析】从长方体木料中截下一个最大的正方体，则这个正方体的棱长等于长方体最短的那条棱长，再根据正方体的体积公式进行计算。 【详解】（立方分米） 3．D 【分析】正方体实心钢坯变成长方体实心钢坯，体积不变，，先计算正方体体积，再通过体积计算长方体的长。 【详解】＝6×6×6＝216（立方分米） ＝216÷3÷8＝9（分米） 4．B 【分析】挖掉了一个棱长为1dm的小正方体，整体所占空间变小，所以体积变小。从顶点挖掉小正方体时，原来的大正方体减少了3个小正方形的面，但同时又新露出了3个相同的小正方形的面，所以表面积不变。 【详解】一个大正方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1dm的小正方体后，体积变小，表面积不变。 5．C 【分析】土豆完全浸没在水中，水面上升部分水的体积等于土豆的体积。上升部分水的形状是长方体，其长和宽等于容器的内部长和宽，高等于水面上升的高度1.5cm。根据长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】12.5×8×1.5 ＝100×1.5 ＝150（cm3） 即这个土豆的体积是150cm3。 6． 立方米/ 升/ 毫升/ 立方分米/ 【分析】根据题意，结合生活经验和对体积单位与容积单位实际大小的感知，再根据物体实际大小和数据数值选择合适的单位；首先我们要清楚体积单位主要有立方厘米、立方分米、立方米，容积单位主要有升、毫升；计量较大空间的体积应该用立方米作单位，计量较大空间的容积应该用升作单位，而计量较少液体的容积用毫升作单位比较合适，计量较小物体的体积用立方厘米或者根据数据大小用立方分米作单位比较合适，据此解答。 【详解】根据分析可得： 计量超市所占空间的大小，因空间较大，数据为500，故选用较大的体积单位立方米比较合适； 计量冰柜的容积，因容积较大，数据为300，故选用常用的容积单位升比较合适； 计量一袋酸奶的净含量，因液体较少，数据为350，故选用较小的容积单位毫升比较合适； 计量一本笔记本的体积，因物体较小且数据为小数0.4，若用立方厘米则数值过小，若用立方米则数值过大，故选用体积单位立方分米比较合适； 所以这家超市所占空间约是500立方米，小雪去该超市购物，她先走到容积是300升的冰柜旁拿了一袋350毫升的酸奶，然后去文具区拿了一本体积是0.4立方分米的笔记本和一支净含量是12毫升的修正液，最后去自助结账后离开。 7． 1.5 【分析】根据1毫升＝1立方厘米，将毫升换算为立方厘米；长方体的体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽）。 【详解】126毫升＝126立方厘米 126÷（12×7） ＝126÷84 ＝1.5（厘米） 8．64 【分析】根据题意，已知同学们分到的长方体橡皮的长是6厘米、宽是4厘米、高是5厘米，要想在这个长方体中切出一个最大的正方体，那么正方体的棱长应等于长方体最短的一条边，即以长方体宽的长度作为正方体的棱长，为4厘米，再根据正方体的体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算即可解答。 【详解】长方体橡皮的长是6厘米、宽是4厘米、高是5厘米，切一个最大的正方体，正方体的棱长应为4厘米 所以正方体的体积为： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 9． 108 21.6 【分析】把长方形的长看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用12×列式求出长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽求出这个劳动基地的面积是多少平方米；根据1米＝100厘米，把20厘米化成0.2米，再根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据求出需要多少立方米的营养土。 【详解】12×＝9（米） 12×9＝108（平方米） 20厘米＝0.2米 108×0.2＝21.6（立方米） 10． 8 72 【分析】长方体的高减少5cm 后变成正方体，说明原来长方体的底面是正方形（长和宽相等），且原来长方体的长和宽等于变化后正方体的棱长；表面积减少的部分是高为5cm的那一段长方体周围的 4 个侧面的面积之和，利用减少的表面积除以减少的高，求出底面周长；再用底面周长除以4求出底面边长（即正方体棱长），再用正方体的棱长加上5求出原来长方体的高，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出体积。 【详解】60÷5÷4 ＝12÷4 ＝3（cm） 3＋5＝8（cm） 3×3×8 ＝9×8 ＝72（） 11． 48 600 【分析】根据题意，油箱是一个长方体，因此油箱的容积＝长×宽×高计算即可，再根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，进行单位换算即可；每行驶100千米耗油8升，因此用油的体积除以8，即可求出有几个100千米；据此解答。 【详解】0.6×0.4×0.2 ＝0.24×0.2 ＝0.048（立方米） 0.048立方米＝48立方分米＝48升 48÷8×100 ＝6×100 ＝600（千米） 12．5 【分析】先根据1L＝1dm3，1m＝10dm，进行单位转换，再根据长方体体积＝长×宽×高，得到高＝长方体体积÷长÷宽，计算即可。 【详解】75L＝75dm3 0.5m＝5dm 0.3m＝3dm 75÷5÷3 ＝15÷3 ＝5（dm） 这个油箱的高是5dm。 13． 0.24 【分析】根据题意，把木料锯成3段需要锯2次，每锯1次增加2个横截面，一共增加4个横截面；表面积比原来增加的32平方分米就是4个横截面的面积，可以计算每个横截面的面积，也就是底面积；将底面积单位转换成”平方米“后，用”底面积×高＝体积“计算即可。 【详解】3−1＝2（次） 2×2＝4（个） 32÷4＝8（平方分米） 8平方分米＝0.08平方米 0.08×3＝0.24（立方米） 14． 3 126 90 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用长方体的棱长总和除以4，再依次减去长和宽，即可求出它的高。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高；代入数值分别计算即可。 【详解】高：56÷4－5－6 ＝14－5－6 ＝3（分米） 表面积：（6×5＋6×3＋5×3）×2 ＝（30＋18＋15）×2 ＝（48＋15）×2 ＝63×2 ＝126（平方分米） 体积：6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方分米） 15．8 【分析】橡皮泥从正方体变成长方体，只是形状发生了变化，但是体积不变。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出橡皮泥体积，然后用体积÷长÷宽＝高。据此解答。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 512÷16÷4 ＝32÷4 ＝8（cm） 因此，捏成的长方体的高为8 cm。 16．0.6/ 【分析】把土豆浸没在玻璃缸里然后拿出，下降部分水的体积＝土豆的体积，下降部分水的体积＝玻璃缸的底面积×水面下降的高度，代入数据计算，注意换算单位即可。 【详解】3厘米＝0.3分米 2×0.3＝0.6（立方分米） 所以这个土豆的体积是0.6立方分米。 17． 11 44 40 【分析】从正面看，有4个面露在外面，从上面看，有4个面露在外面；从右面看，有3个面露在外面，一共有4＋4＋3个面露在外面； 根据正方形面积＝边长×边长，求出一个正方形的面积，再乘露在外面的面的数量，即解答。 这堆正方体一共有5个；根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体的体积，进而求出这堆小正方体的体积。 【详解】4＋4＋3 ＝8＋3 ＝11（个） 2×2×11 ＝4×11 ＝44（平方分米） 2×2×2×5 ＝4×2×5 ＝8×5 ＝40（立方分米） 18．192，160；，216 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求解。 【详解】长方体的表面积： （10×4＋4×4＋4×10）×2 ＝（40＋16＋40）×2 ＝（56＋40）×2 ＝96×2 ＝192（） 长方体的体积： 10×4×4 ＝40×4 ＝160（） 正方体的表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（） 正方体的体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（） 19．240 立方米；5300 块 【分析】求水池最多能蓄水多少立方米，就是求长方体水池的容积，根据长方体体积＝长×宽×高计算；求需要多少块瓷砖，先计算无盖长方体水池的表面积（只算底面和四周），再计算每块正方形瓷砖的面积，最后用水池的表面积÷每块瓷砖的面积得到瓷砖块数，注意统一单位。 【详解】蓄水体积： 15×8×2 ＝120×2 ＝240（立方米） 2分米＝0.2米 每块瓷砖面积：0.2×0.2＝0.04（平方米） 水池表面积： 15×8＋15×2×2＋8×2×2 ＝120＋60＋32 ＝212（平方米） 瓷砖块数：212÷0.04＝5300（块） 答：这个水池最多能蓄水240立方米，一共需要5300块瓷砖。 20．213平方分米；180升 【分析】无盖长方体鱼缸表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；水的体积＝长×宽×水深，再换算单位。 【详解】9×5＋9×6×2＋5×6×2 ＝45＋108＋60 ＝213（平方分米） 水的体积： 9×5×4 ＝45×4 ＝180（立方分米） 180立方分米＝180升 答：制作鱼缸至少需要213平方分米玻璃，水的体积是180升。 21．25厘米 【分析】熔铸前后钢块的体积不变，用正方体钢块的体积除以长方体的底面积即可解答。 【详解】10×10×10＝100×10＝1000（立方厘米） 1000÷40＝25（厘米） 答：这个长方体的高是25厘米。 22．24立方分米 【分析】总体积等于两个单个箱子的体积之和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出一个箱子的体积，再乘2即可求出总体积。 【详解】3×2×2×2 ＝6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 答：体积是24立方分米。 23．1440 厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体铁块的体积，也是长方体铁柱的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用体积除以底面积即可。 【详解】 （厘米） 答：这根长方体铁柱的长是1440厘米。 24．(1)180升 (2)2400千米 (3)40升 【分析】（1）油箱的体积＝油箱的容积＝长×宽×高，再根据1立方米＝1000升进行单位换算。 （2）每行驶100千米耗油7.5升，邮箱容积÷7.5×100可计算出加满一箱油，最多可以行驶多少千米。 （3）800÷100×7.5先算出跑完800千米一共需要多少升油，再减20升即可。 【详解】（1）0.9×0.5×0.4 ＝0.45×0.4 ＝0.18（立方米）＝180升 答：油箱的容积是180升。 （2）180÷7.5×100 ＝24×100 ＝2400（千米） 答：加满一箱油，最多可以行驶2400千米。 （3）800÷100×7.5 ＝8×7.5 ＝60（升） 60－20＝40（升） 答：如果出发前油箱里已经有20升油，需要再加油40升才能跑完800千米的路程。 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $