专项06 圆中证明与计算、综合问题6大题型（大题专练）（湖南通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项06 圆中证明与计算、综合问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 命题趋势： 解答题：稳定考查圆中证明与计算、综合问题，核心是结合全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、菱形等知识点解决边、角、面积等综合问题． 2026年预测：解答题极可能仍为圆中证明与计算、综合问题． 备考核心：熟记定理与公式，解答题强化多知识点结合综合训练． 题型01 垂径定理与圆周角定理 析典例·建模型 1．（2026•长沙模拟）如图，AB为⊙O的直径，点P在线段OA上，A，Q两点关于点P对称，过点P作CD⊥AB交⊙O于点C，D，连结CQ并延长交⊙O于点E，连结DE，AC，AD． （1）求证：CQ＝DE； （2）若AB＝6，且OP＝OQ，求CD的长． 【思路分析】（1）连接DQ，根据垂径定理得出CP＝DP，根据轴对称的性质得出PA＝PQ，则可证明四边形ACQD是平行四边形，进而证明平行四边形ACQD是菱形，得出AD＝CQ，∠ACD＝∠QCD，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出AD＝DE，即可得证； （2）连接CO，根据PA＝PQ并结合OP＝OQ可求出AP＝2OP，结合AB＝6可求出OP＝1，在Rt△CPO中，根据勾股定理求出，结合（1）中CP＝DP即可求解． 【规范答题】（1）证明：连接DQ， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD于点P， ∴CP＝DP， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴PA＝PQ， ∴四边形ACQD是平行四边形， 又∵AQ⊥CD， ∴平行四边形ACQD是菱形， ∴AD＝CQ，∠ACD＝∠QCD， ∴， ∴AD＝DE， ∴CQ＝DE． （2）如图，连接CO， ∵AB＝6， ∴， ∵OP＝OQ，PA＝PQ＝OP+OQ， ∴AP＝2OP， 又∵AP+OP＝AO＝3， ∴OP＝1， ∴， ∴． 研考点·通技法 1、垂径定理内容： 垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的两条弧 2、知二推三 一条直线满足任意两个，即可推出剩余三个： （1）过圆心（直径） （2）垂直弦 （3）平分弦（弦非直径） （4）平分优弧 （5）平分劣弧 3、核心计算公式 设：圆半径r、弦长l、圆心到弦距离d， 一半弦、弦心距、半径构成直角三角形 4、圆周角定理 （1）同弧所对圆周角等于圆心角一半 （2）同弧/等弧，圆周角全部相等 （3）直径所对圆周角为直角，90°圆周角所对弦必为直径 （4）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 破类题·提能力 1．（2026•株洲校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D． （1）求证：∠DBC＝∠DAB； （2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD，求AF的长． =【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理可得结论； （2）先根据条件求出BD、CD长，求出cosC，得CF＝BC＝6，求出AC长，再可求AF的长． 【解答】（1）证明： ∵CB与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝90°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠ABD+∠DAB＝90°． ∴∠DBC＝∠DAB． （2）解：如图， ∵∠ABC＝∠ADB， ∴∠ABD+∠DBC＝∠C+∠DBC． ∴∠ABD＝∠C． ∵， ∴ ∵BC＝6， ∴． ∴DC＝4． ∴cosC， ∵∠DFB＝∠ABF+∠DAB，∠FBC＝∠DBF+∠DBC， 又∵点E为的中点， ∴AE＝DE， ∴∠DBF＝∠ABF． 由（1）得：∠DAB＝∠DBC， ∴∠DFB＝∠FBC． ∴CF＝BC＝6． ∵cosC， ∴AC＝9． ∴AF＝AC﹣CF＝9﹣6＝3． 2．（2026•长沙校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若，AE＝1，求的长． 【分析】（1）连接OD，由BD＝BC，OD＝OC，OB＝OB，根据“SSS”证明△ODB≌△OCB，则∠ODB＝∠ACB＝90°，即可证明AB是⊙O的切线； （2）根据三角函数的定义和全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OC， 在△ODB和△OCB中， ， ∴△ODB≌△OCB（SSS）， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且AB⊥OD于点D， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：设⊙O的半径为R， 在Rt△OAD中，， ∴， 解得R＝1， ∴OD＝1，∠AOD＝60°， ∴∠COD＝120°， 由（1）知△OBD≌△OBC， ∴， ∴的长π． 题型02 切线的性质与判定 析典例·建模型 1．（2026•临湘市模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，点D为半径OC的延长线上一点，连接AD，∠B＝∠D＝30°． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若，求的长度（结果保留π）． 【思路分析】（1）证明∠DOA＝60°，即可求得∠DAO＝90°； （2）根据，求得AO的长，利用弧长公式即可解答． 【规范答题】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝30°， ∴∠DOA＝60°， ∵∠D＝30°， ∴∠DAO＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：AO＝AD•tan30°＝2， ∵∠BOC＝180°﹣2∠B＝120°， ∴若，则． 研考点·通技法 1、切线三大性质： （1）切线垂直于过切点的半径 （2）过圆心且垂直切线→必过切点 （3）过切点且垂直切线→必过圆心 2、切线三种判定方法： （1）定义法 直线与圆只有一个公共点→切线 （2）距离法（无切点，作垂线） 圆心到直线距离 d=r →直线是切线 口诀：无切点，作垂直，证等于半径 （3）判定定理（有切点，连半径） 经过半径外端，且垂直半径→切线 口诀：有切点，连半径，证垂直 3、切线长定理： （1）圆外一点引两条切线：切线长相等 （2）圆心和该点连线：平分夹角、垂直平分切点弦 破类题·提能力 1．（2026•衡南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC，BC． （1）求证：BC平分∠ABE； （2）若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长． 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，证明OC∥BE，根据平行线的性质得到得到∠OCB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，得到∠OBC＝∠CBE，根据角平分线的定义证明； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用勾股定理可计算出BC，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵BE⊥DE， ∴OC∥BE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠CBE，即BC平分∠ABE； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝2OA＝4， ∴， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°， 由（1）可知：∠CBE＝∠ABC＝30°， ∴． 2．（2026•宁乡市一模）如图，△ABC的三个顶点都在以BD为直径的半圆上，AB＝AC，连接DA并延长至点E，交BC于点F，且AE＝AF，连接BE． （1）求证：BE是该半圆的切线； （2）若BD＝12，∠AFB＝60°，求CF的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，进而得到∠ABC＝∠ADB，易证明△ABE≌△ABF（SAS），进而得到∠EBA＝∠FBA，从而得到∠EBD＝90°，进而得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到∠ABF＝30°，由（1）知∠ADB＝∠ABF＝∠EAB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AB、AF长，根据∠ACB＝∠CBD证明AC∥BD，进而得到∠CAD＝∠BCA，从而得到CF＝AF． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴， ∴∠ABC＝∠C＝∠D， ∵BD是半圆的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABC+∠CBD+∠D＝90°， ∴∠ABC+∠CBD+∠ABC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ABF中， ， ∴△ABE≌△ABF（SAS），∠ABE＝∠ABF， ∴∠ABC+∠CBD+∠ABE＝90°， 即∠DBE＝90°，BE⊥BD， ∴BE是该半圆的切线； （2）解：∵∠AFB＝60°， ∴∠ABF＝30°， ∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CAF＝∠C，CF＝AF， ∵BD＝12，∠ADB＝∠ABF＝30°， ∴， ∴． 3．（2026•郴州一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点A作直线AD交BC的延长线于点D，使得　①（或②）　 ，请从“①∠DAC＝∠B；②2∠B＝90°﹣∠D”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： （1）题干横线上所填序号为：　①（或②）　 ； （2）求证：AD为⊙O的切线； （3）若∠B＝30°，AC＝2，求的长度（结果保留π）． 【分析】（1）任选其中一个条件即可； （2）选择条件①：利用直径所对的圆周角是直角这一性质，结合等腰三角形的性质进行角度转换，从而证明半径与直径垂直，从而得证结论；选择条件②：根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠B，从而得到∠AOC+∠D＝90°，从而得证结论； （3）利用解直角三角形求出圆的半径，进而计算出弧长． 【解答】（1）解：①（或②）， 故答案为：①（或②）； （2）证明：选择条件①∠DAC＝∠B： 如图，连接OA， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACB， ∴∠B+∠OAC＝90°， ∵∠DAC＝∠B， ∴∠DAC+∠OAC＝90°，即∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线． 选择条件②：2∠B＝90°﹣∠D， ∵2∠B＝90°﹣∠D，∠AOC＝2∠B， ∴∠AOC+∠D＝90°， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线． （3）解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2， ∴，即， ∴BC＝4， ∵BC是⊙O的直径， ∴， 在△OAC中，OA＝OC＝2，且AC＝2， ∴OA＝OC＝AC＝2，即△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴． 题型03 不规则图形的面积 析典例·建模型 1．（2026•永定区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线交于点D，与AC交于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）如果∠B＝2∠CDO，OD＝3，求CD的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【思路分析】（1）连接OC，可证得△COD≌△AOD，从而∠DAO＝∠DCO，进一步得出结果； （2）可推出∠CDO∠COD，结合∠CDO+∠COD＝90°得出∠CDO＝30°，进而得出结果； （3）可结合（1）（2）得出∠3＝∠COD＝2∠DCO＝60°，，，从而求得△AOD和扇形AOF的面积，进而得出结果． 【规范答题】（1）证明：如图，连接OC，则OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∵BC∥OD， ∴∠B＝∠AOD，∠BCO＝∠COD， ∴∠COD＝∠AOD， 在△COD和△AOD中， ， ∴△COD≌△AOD（SAS）， ∴∠DAO＝∠DCO， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠DCO＝90°， ∴∠DAO＝90°， ∴半径OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：如图1中，由（1）知：∠B＝∠BCO＝∠COD， ∵∠B＝2∠CDO， ∴∠CDO∠COD， ∵∠CDO+∠COD＝90° ∴∠CDO＝30°， ∵∠DCO＝90°， ∴； （3）解：如图1中，设OD交⊙O于F， 由（1）（2）知，∠AOD＝∠COD＝2∠DCO＝60°，，， ∴，， ∴． 研考点·通技法 在计算阴影面积时，我们可以将物体划分为若干个子区域，然后利用容斥原理来计算阴影面积. 方法：我们需要将物体划分为不同的部分，每个部分都是由一个或多个对象组成的.然后，我们计算每个部分的面积，并相加得到总面积.但是，这样计算得到的总面积中可能包含了重复计算的部分，即重叠区域.为了避免重复计算，我们需要减去重叠区域的面积. 容斥原理的核心思想是先计算每个部分的面积，并相加得到总面积，然后再减去重叠区域的面积，最后得到的结果就是阴影面积. （1）直接用公式求解． S阴影=S扇形ABC S阴影=S△ABC S阴影=S四边形ABCD=ab （2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解． ①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形） 图形 面积计算方法 图形 面积计算方法 S阴影=S△ACB−S扇形CAD S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB S阴影=S△AOB−S扇形COD S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB ②构造和差法 图形 公式 S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE （3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解． ①全等法 图形 公式 S阴影=S△AOB ②等面积法 图形 公式 S阴影=S扇形COD ③平移法 图形 公式 S阴影=S正方形BCFE ④旋转法 图形 公式 S阴影=S扇形BOE ⑤对称法 图形 公式 S阴影=S△ACD S阴影=S扇形CDE 破类题·提能力 1．（2026•雨花区模拟）如图，E是正方形ABCD的CD边的中点，将该正方形沿BE折叠，点C落在C′处，⊙O分别与AB、AD、BC′相切，切点分别为F、G、H． （1）求证：∠DEC′＝2∠EBC′； （2）若正方形的边长是6cm，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据折叠的性质得到∠BCE＝∠BC'E＝90°，∠CBE＝∠C′BE，再利用四边形内角和得到∠CBC'+∠CEC'＝180°，根据邻补角的定义得到∠DEC'+∠CEC'＝180°，所以∠CBC＝∠DEC′，从而得到∠DEC′＝2∠EBC′； （2）延长BC′交AD于点K，连接EK，OF，OG，OH，OB、OA、OK，如图，根据切线的性质得到OG⊥AB，OF⊥AD，OH⊥BC′，易得四边形AFOG为正方形，则∠GOF＝90°，接着证明Rt△DEK≌RtΔC′EK得到DK＝C′K，设AK＝xcm，则DK＝KC′＝（6﹣x）cm，在Rt△ABK中利用勾股定理得到x2+62＝（6+6﹣x）2，则解方程得到AKcm，所以BKcm，设⊙O为rcm，利用面积法得到6×rrr6，解方程得r，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S正方形AGOF﹣S扇形GOF进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵正方形沿BE折叠，点C落在C′处， ∴∠BCE＝∠BC'E＝90°，∠CBE＝∠C′BE， ∴∠CBC'+∠CEC'＝180°， ∵∠DEC'+∠CEC'＝180°， ∴∠CBC＝∠DEC′， ∴∠DEC′＝2∠EBC′； （2）解：延长BC′交AD于点K，连接EK，OF，OG，OH，OB、OA、OK，如图， ∵⊙O分别与AB、AD、BC′相切， ∴OG⊥AB，OF⊥AD，OH⊥BC′， ∵∠A＝∠AGO＝∠AFO＝90°，OG＝OF， ∴四边形AFOG为正方形， ∴∠GOF＝90°， ∵E是正方形ABCD的CD边的中点， ∴DE＝CE＝3cm， ∵正方形沿BE折叠，点C落在C′处， ∴BC′＝BC＝6cm，EC′＝EC＝3cm， 在Rt△DEK和RtΔC′EK中， ， ∴Rt△DEK≌RtΔC′EK（HL）， ∴DK＝C′K， 设AK＝xcm，则DK＝KC′＝（6﹣x）cm， 在Rt△ABK中，x2+62＝（6+6﹣x）2， 解得x， 即AKcm， ∴BK＝12（cm）， 设⊙O为rcm， ∵S△AOB+S△BOK+S△AOK＝S△ABK， ∴6×rrr6， 解得r， ∴图中阴影部分的面积＝S正方形AGOF﹣S扇形GOF ＝（）2 ＝（π）cm2． 2．（2026•澧县一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积； （3）若CF的长为1，求⊙O的半径长． 【分析】（1）连接OD，以此可得OD⊥AC，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得OD∥BC，进而得到∠CBD＝∠ODB，由OD＝OB可得∠OBD＝∠ODB，因此∠OBD＝∠CBD，以此即可证明； （2）连接DE、OD、OF，易得AE＝OE＝OB＝2，根据直角三角形中线的性质的DEOE，因此△DOE为等边三角形，则∠DOE＝60°，根据平行线的性质得∠FBO＝∠DOE＝60°，于是可证明△FBO为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可； （3）连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，则四边DOGC为矩形，根据垂径定理可得BG＝FG，设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝6﹣r，BG＝r﹣1，易证△AOD∽△OBG，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴∠CBD＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC； （2）解：连接DE、OD、OF，如图， ∵AB＝6，E是AO的中点， ∴AE＝OE＝OB＝2， 在Rt△AOD中，DEOE， ∴DE＝OD＝OE， ∴△DOE为等边三角形， ∴∠DOE＝60°， ∵OD∥BC， ∴∠FBO＝∠DOE＝60°， ∵OF＝OB， ∴△FBO为等边三角形， ∴∠BOF＝60°， ∴S扇形BOF； （3）解：连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，如图， 则BG＝FG，四边DOGC为矩形， ∴DO＝CG， 设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝AB﹣OB＝6﹣r， ∵CF＝1， ∴BG＝FG＝CG﹣CF＝r﹣1， ∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠OBG， ∵∠ADO＝∠OGB＝90°， ∴△AOD∽△OBG， ∴，即， 解得：r＝2或， ∴⊙O的半径长为2或， 题型04 圆与三角形 析典例·建模型 1．（2026•荷塘区校级一模）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE，DE． （1）判断DE和⊙O的位置关系，并证明； （2）若，DE＝5，求AD的长； （3）求证：． 【思路分析】（1）连接BD，OD，根据直径所对的圆周角是直角可得BD⊥AC，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，从而证明△OBE≌△ODE（SSS），即可证明结论； （2）在Rt△BDC中，利用锐角三角函数求出三边长，再证明△ADB∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求解； （3）根据三角形中位线的定义可得OE∥AC，从而证明△OBE∽△BDC，再根据△OBE≌△ODE（SSS），可得到边之间的等量代换，即可证明． 【规范答题】解：（1）结论：相切； 理由：连接BD，OD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC， 在Rt△BDC中，点E是BC的中点， ∴， 又∵OB＝OD，OE＝OE， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∵D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：由（1）中结论，得BC＝2DE＝10， 在Rt△BDC中，， ∴CD＝6， ； ∵∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABD＝90°， ∴∠C＝∠ABD， ∵∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴△ADB∽△BDC， ∴， ∴； （3）证明：∵OA＝OB，BE＝CE， ∴OE∥AC， ∴∠OEB＝∠C， ∵∠OBE＝∠BDC＝90°， ∴△OBE∽△BDC， ∴， 由（1）中结论△OBE≌△ODE（SSS），得BE＝DE，BC＝2DE， ∴， 即2DE2＝CD•OE， ∴． 研考点·通技法 1、圆中全等三角形 （1）等弦对等三角 同圆中等弦→圆心角相等、弦心距相等，直接证全等 （2）垂径全等 直径垂直弦，分割出两个全等直角三角形 条件：半径相等、公共边、直角 （3） 切线全等 圆外一点引双切线： 切线长相等、半径相等、公共斜边→HL全等 （4）直径直角全等 直径对直角，搭配角平分线、垂直，快速证全等 2、圆中相似三角形 （1）母子相似（射影模型） 直径作垂线，构成三组相似 直角+公共角→相似 （2）相交弦相似（八字型） 两弦相交：对顶角相等，同弧圆周角相等→AA相似 （3）切割线相似（重中之重） 切线+割线： 弦切角=所夹弧圆周角，加公共角→三角形相似 （4）共边相似（蝴蝶模型） 同弧等角，对角互补，构成斜八字相似 3、圆中倒角（证相似核心手段） （1）同弧所对的圆周角相等 （2）对顶角相等 （3）直径所对的圆周角为90° （4）圆内接四边形外角等于内对角 破类题·提能力 1．（2026•荷塘区校级一模）如图，在⊙O中，直径所在的直线AO垂直于弦BC，连接AC，过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD于E，点F在CE上，且CF＝BD． （1）求证：点E为DF中点； （2）若BC＝4，，求⊙O的半径． 【分析】（1）先证AC弧＝CD弧，从而得AC＝CD，进而可依据“SAS”判定△ACF和△CDB全等得AF＝BC＝AD，然后再根据等腰三角形的性质可得出结论； （2）设AO的延长线交BC于P，交⊙O于Q，连接CQ，由（1）得AD＝AF＝BC＝4，AC＝CD，根据，设BD＝5t，AC＝9t，则CD＝AC＝9t，CF＝BD＝5t，DF＝4t，进而得DE＝EF＝2t，CE＝7t，再根据由勾股定理求出t，则AC＝9t＝6，由此得AP，证△ACP∽△CQP得PQ，从而得AQ，据此可得⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵直径所在的直线AO垂直于弦BC， ∴， 即， ∵BD∥AC， ∴，∠ACF＝∠CDB， ∴AD＝BC，， ∴AC＝CD， 在△ACF和△CDB中， ， ∴△ACF≌△CDB（SAS）， ∴AF＝BC， ∴AD＝AF， ∵AE⊥CD， ∴DE＝EF， 即点E为DF中点； （2）解：设AO的延长线交BC于P，交⊙O于Q，连接CQ，如图所示： ∵BC＝4， ∴由（1）可知：AD＝AF＝BC＝4，AC＝CD， ∵， 设BD＝5t，AC＝9t， ∴CD＝AC＝9t， ∵CF＝BD＝5t， ∴DF＝CD﹣CF＝4t， ∵点E为DF中点， ∴DE＝EF＝2t，则CE＝CF+EF＝7t， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2＝AF2﹣EF2＝16﹣4t2， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2＝81t2﹣49t2， ∴16﹣4t2＝81t2﹣49t2， 整理得：36t2＝16， ∴t，舍去负值； ∴AC＝9t6， ∵AP垂直于弦BC， ∴PCBC＝2，， ∴∠CAQ＝∠BCQ， 在Rt△APC中，由勾股定理得：AP， ∵∠CAQ＝∠BCQ，∠APC＝∠CPQ， ∴△ACP∽△CQP， ∴AP：CP＝CP：PQ， 即， ∴PQ， ∴AQ， ∴⊙O的半径OAAQ． 2．（2026•衡阳模拟）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD． （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立； （2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB， ∴△AEC∽△DEB； （2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°， ∴∠B＝30°， ∵AB是⊙O的直径，AD＝3， ∴∠ADB＝90°， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3． 题型05 圆中最值、定值问题 析典例·建模型 1．（2026•长沙二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，点P是DC延长线上一点，点E，F是⊙O上的两点，连接PE，PF，PO，连接FE并延长交PO于点N，交BA延长线于点G，已知PE是⊙O的切线且PE＝PF，BM＝CD＝8． （1）求证：PF是⊙O的切线； （2）令（cos∠OPM）2＝x，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） （3）在点P运动的过程中，MG是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【思路分析】（1）连接OE，OF，利用三角形全等，证明∠OFP＝90°即可； （2）连接OC，OF，设⊙O的半径为r，得到r2＝（8﹣r）2+42，设MP＝a，由勾股定理得OP2＝PM2+OM2＝a2+9，得到x＝（cos∠OPM）2，代入求解即可； （3）在点P运动的过程中，MG为定值；连接OE，利用三角形相似的判定和性质，求解即可； 【规范答题】（1）证明：如图1，点E，F是⊙O上的两点，连接OE，OF，则OE＝OF， 在△OEP与△OFP中， ， ∴△OEP≌△OFP（SSS）， ∴∠OEP＝∠OFP， ∵PE是⊙O的切线， ∴∠OEP＝90°， ∴∠OFP＝90°， ∴半径OF⊥PF， ∴PF是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接OC，OF， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴MC＝MDCD8＝4， 设⊙O的半径为r， ∵BM＝8， ∴OM＝BM﹣OB＝8﹣r， 在直角三角形COM中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2， 即r2＝（8﹣r）2+42， 解得：r＝5， ∴OM＝8﹣r＝3， 设MP＝a， 在直角三角形OPM中，由勾股定理得OP2＝PM2+OM2＝a2+9， ∴x＝（cos∠OPM）2， 故PF2＝OP2﹣OF2＝a2+9﹣52＝a2﹣16， ∴y ； （3）解：在点P运动的过程中，MG为定值，定值为；理由如下： 如图3，连接OC、OE、OF， ∵PE、PF是圆O的切线， ∴PE＝PF，OP⊥EF， ∴∠ENO＝90°， ∵∠PMO＝∠GNO＝90°，∠POM＝∠GON， ∴△OPM∽△OGN， ∴， ∴OP•ON＝OM•OG， ∵∠OEP＝∠ONE＝90°，∠EOP＝∠NOE， ∴△OEP∽△ONE， ∴， ∴OE2＝OP•ON， ∴OE2＝OM•OG，即52＝3OG， 解得：OG， ∴MG＝OG﹣OM3， ∴在点P运动的过程中，MG为定值． 研考点·通技法 1、圆中定值问题 （1）线段定值 同圆半径永远不变、垂径定理：弦心距+弦长一半为定值、圆外一点到圆：切线长固定不变 （2）角度定值 同弧所对圆周角固定、直径对直角，恒为90°、切线与半径夹角，恒为90° 2、圆中最值四大模型 （1）点到圆距离最值 设：定点P，圆心O，半径r 最大值：PO+r、最小值： （2）圆上动点到直线最值 最大距离：圆心到直线距离+r，最小距离：圆心到直线距离-r （3）直径最值（最大弦） 圆内最长弦是直径、过圆内一点最短弦：垂直该点与圆心连线 （4）隐形圆最值 ① 定弦定角→隐形圆 固定弦长，对应角度不变，动点在圆上 ② 直角对斜边→隐形圆 直角顶点轨迹：以斜边为直径的圆 3、线段和差最值 （1）PA+PB最小：将军饮马，对称转化，共线最小 （2）|PA−PB|最大：三点共线取最大值 （3）圆上两动点距离：最大为直径 4、面积最值 （1）同底三角形：高最大→面积最大 （2）圆内三角形：内接等边三角形面积最大 （3）固定底边，顶点在圆上：高过圆心面积最大 破类题·提能力 1．（2026•长沙校级一模）如图1，△ABC内接于⊙O，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，交BC于点F，连接BD． （1）若∠DBC＝35°，求∠BAC的度数． （2）如图2，连接BE，若AE＝3，EF＝2，求BD的长． （3）如图3，连接OE，若⊙O的半径为4，弦，设OE＝x，AE＝y，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 【分析】（1）证∠BAD＝∠CAD＝∠CBD＝35°，即可得解； （2）根据内心可知∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，设设∠ABE＝∠CBE＝α，∠BAE＝∠CAE＝β，导角可得∠EBD＝∠BED，所以BD＝ED，再设DF＝x，证△DBF∽△DAB，利用相似性质建立方程求出x值，进而得解； （3）连接OB，过点O作OM⊥BC于点M，则BM＝2，OM＝2，DM＝2，BD＝4＝DE，作OH⊥AD，连接OA，OE，利用双勾股表示OH2，从而得到关于x的式子，再导边求解即可． 【解答】解：（1）∵点E为△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵， ∴∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD＝35°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝70°． （2）∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC， 设∠ABE＝∠CBE＝α，∠BAE＝∠CAE＝β， ∴∠CBD＝β， ∴∠EBD＝∠CBD+∠EBC＝α+β，∠BED＝∠ABE+∠BAE＝α+β， ∴∠EBD＝∠BED， ∴BD＝ED， 设DF＝x， ∵AE＝3，EF＝2， ∴BD＝ED＝DF+EF＝x+2， ∴AD＝AE+ED＝x+5， ∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴， ∴DB2＝DA•DF， ∴（x+2）2＝x（x+5）， ∴x＝4， ∴BD＝ED＝x+2＝6． （3）如图，连接OB，连接OD交BC于点M， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD， ∴OD垂直平分BC， ∴BM＝CMBC＝2， ∵OB＝4， 在Rt△OBM中，MO2， ∴DM＝2， ∴． 由（2）得，当BE平分∠ABC，AE平分∠BAC时， 有BD＝ED， ∴DE＝BD＝4 作OH⊥AD，连接OA，OE， 在Rt△OHA中，OH2＝16﹣AH2， 在Rt△OHE中，OH2＝x2﹣HE2， ∴x2＝16﹣AH2+HE2， ∵AH＝DH，DE＝4， ∴x2＝16﹣（AH2﹣HE2）＝16﹣（AH+HE）（AH﹣HE）＝16﹣（DH+HE）（AH﹣HE）， 即x2＝16﹣4y， ∴， ∵， ∴y的最大值是4，即AE的最大值为4． 2．（2026•株洲一模）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，∠A＝60°．点P从点B出发沿BC边向点C运动（P不与B、C重合），同时点E从点A出发沿AB边向点B运动，点E的运动速度是点P的运动速度的2倍．连接PE，DE，作△PEB的外接圆O与射线DE相交于另一个点F，连接PF． （1）【基础感悟】如图1，若AE＝8，求BP的长； （2）【初步探索】如图2，当点P运动到线段BC的中点时，求证：PF∥AB； （3）【深度探索】如图3，随着点P的运动，点F的位置也在变化，当点F与D重合时，连接BD． ①求证：∠CBD＝90°； ②求的值． 【分析】（1）根据题意得出AE＝2BP，即可求解； （2）设AD＝a，则AB＝2a，先证明△ADE是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补得出，∠FPB＝∠AED＝60°，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，则∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，即可得出∠ABP+∠FPB＝180°，则PF∥AB； （3）①连接BD，作DM⊥AB于点M，作PN⊥AB交AB的延长线于点N，在线段AB上截取线段AG＝AD，连接DG，则∠DMA＝∠DME＝∠PNE＝90°，证明∠ADB＝90°，再根据平行线的性质，即可得证； ②根据∠CBD＝90°得出PD是⊙O的直径，则∠PED＝90°，即可得出∠MDE＝∠PEN，进而证明△DME∽△ENP，则，设BP＝x，则AE＝2x，BE＝2a﹣2x，分别解直角三角形，求得DM，ME，EN，PN，代入比例式，求得，即可求解． 【解答】（1）解：∵点E的运动速度是点P的运动速度的2倍， ∴AE＝2BP， ∵AE＝8， ∴BP＝4； （2）解：设AD＝a，则AB＝2a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝a，AD∥BC， ∵点P运动到线段BC的中点时，则， ∴AE＝2BP＝a＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∵四边形EBPF是⊙O的内接四边形， ∴∠FEB+∠FPB＝180°， 又∵∠FEB+∠AED＝180°， ∴∠FPB＝∠AED＝60°， ∵AD∥BC，∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠ABP+∠FPB＝180°， ∴PF∥AB； （3）①证明：连接BD，作DM⊥AB于点M，作PN⊥AB交AB的延长线于点N， 在线段AB上截取线段AG＝AD，连接DG，则∠DMA＝∠DME＝∠PNE＝90°， ∴∠MDE+∠DEM＝90°， 设 BC＝AD＝a，则AB＝2a， ∴AG＝AD＝a＝GB， ∵∠A＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴，∠ADG＝∠AGD＝60°， ∴， ∴∠ADB＝∠GDB+∠ADG＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB＝90°； ②解：∵∠CBD＝90°， ∴PD是⊙O的直径， ∴∠PED＝90°， ∴∠DEM+∠PEN＝90°， ∴∠MDE＝∠PEN＝90°﹣∠DEM， 又∵∠DME＝∠ENP＝90°， ∴△DME∽△ENP， ∴， 设BP＝x，则AE＝2x，BE＝2a﹣2x， ∵AD∥BC， ∴∠PBN＝∠A＝60°， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴3x2﹣4ax+a2＝0， 解得：∴x1＝a（舍去），， ∴． 题型06 圆综合题 析典例·建模型 1．（2026•邵阳模拟）如图1，已知MN为⊙O的直径，弦AB交MN于点C（点C与点O不重合），连接MA，MB，∠AMN＝∠BMN． （1）求证：MA＝MB； （2）如图2，在线段MC上取点D，使得CD＝CN，延长AD交MB于点E，求证：AE⊥MB； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AE交⊙O于点F，连接BF，在直径MN上取点G，使得∠NGF+∠AFB＝90°．若MG＝14，BC＝15，求⊙O的半径． 【思路分析】（1）如图，连接AN，BN，证明△AMN≌△BMN（AAS），利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到∠NAB＝∠DAB，再结合圆周角定理可得∠BAD+∠ABM＝90°，即可证明结论； （3）如图，连接NF，MF，过点F作FH⊥MN于点H，先说明NF＝AB＝2 BC＝30．设⊙O的半径为r，易证△NFH∽△NMF；再利用相似三角形的性质可得，易得r＝25即可解答． 【规范答题】（1）证明：如图1，MN为直径，连接AN，BN， ∴∠MAN＝∠MBN＝90°， 在△AMN和△BMN中， ， ∴△AMN≌△BMN（AAS）， ∴AM＝BM； （2）证明：∵AM＝BM，∠AMN＝∠BMN， ∴AB⊥DN． 又∵CD＝CN， ∴AD＝AN． ∴∠NAB＝∠DAB． ∵∠BMN＝∠BAN，∠BMN+∠ABM＝90°， ∴∠BAD+∠ABM＝90°． ∴AE⊥MB； （3）解：如图3，连接NF，MF，过点F作FH⊥MN于点H， ∵∠AFB＝∠AMB，∠AMB+∠MAF＝90°，∠FGN+∠AFB＝90°， ∴∠FGN＝∠MAF＝∠FNG． ∴FG＝FN． ∴NH＝HG． 又∵∠AMB＝2∠BMN＝2∠BAN＝∠NAF， ∴NF＝AB＝2BC＝30． 设⊙O的半径为r， ∵∠FHN＝∠MFN＝90°，∠HNF＝∠FNA， ∴△NFH∽△NMF， ∴，即FN2＝NH•NM， ∴900＝2 r（r﹣7）， 解得r＝25， ∴⊙O的半径长为25． 研考点·通技法 1、七大核心工具 （1）垂径定理：作垂线，得直角 （2）圆周角定理：同弧角相等，圆心角是圆周角2倍；直径对90° （3）切线性质：切线⊥半径；证切线：有切点连半径证垂直，无切点作垂线证半径 （4）切线长定理：外点两切线相等，连线平分夹角、垂直切点弦 （5）圆内接四边形：对角互补，外角=内对角（倒角神器） （6）圆中相似三类 相交弦→八字相似、切线+弦→弦切角相似、直径垂线→射影相似 （7）三大公式：扇形面积、弧长、弓形面积 2、圆综合五大模型 （1）切线+直径直角模型：倒角最快，证垂直首选 （2）垂径折叠模型：求弦长、半径高频考查 （3）双切线等腰模型：边长计算最简单 （4）蝴蝶/八字相似模型：求线段比例专用 （5）定弦定角隐形圆：压轴最值、动点问题专属 破类题·提能力 1．（2026•汨罗市模拟）如图，过⊙O上的动点D作⊙O的切线AD，在⊙O上取点B（异于点D），使得AB＝AD，弦CD∥AB，连接AC交⊙O于点F，连接DF并延长，交AB于点E，连接BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）记△AEF，△ADF；△DCF的面积分别为S1，S2，S3，当S1+S2＝S3时，求的值； （3）设⊙O的半径为R，当DE∥CB时，求四边形BCDE的面积．（用含R的式子表示） 【分析】（1）如图，连接OB、OD，BD，由切线的性质得∠ADO＝∠ADB+∠ODB＝90°，由OB＝OD，AB＝AD，得∠OBD＝∠ODB，∠ABD＝∠ADB，从而得∠ABO＝∠OBD+∠ABD＝∠ODB+∠ADB＝90°，进而根据切线的性质定理即可证明结论成立； （2）证明△AEF∽△CDF，得，进而得，又S1+S2＝S3，得，求解一元二次方程得，或（舍去），从而得，于是即可得解； （3）连接BO并延长交⊙O于M，交CD于H，连接OD，BF，BD，OA，证明△ABO≌△ADO，得，进而得∠BCD＝∠AOD＝∠AOB＝∠ABD＝∠ADB，再证△AEF∽△AFB，得，△EBF∽△BDE，得，△BDE∽△DAB，得，从而，得AF＝CF，进而证明AE＝BE＝CD，，，在Rt△BDH和Rt△ODH中，利用勾股定理求解得，，，从而即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接OB、OD，BD， ∵AD是⊙O的切线， ∴OD⊥AD， ∴∠ADO＝∠ADB+∠ODB＝90°， ∵OB＝OD，AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB，∠OBD＝∠ODB， ∴∠ABO＝∠OBD+∠ABD＝∠ODB+∠ADB＝90°， ∴OB⊥AB， ∵OB是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵CD∥AB， ∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF， ∴△AEF∽△CDF， ∴，即， ∵△AEF和△ADF等高， ∴ ∴， ∴， ∵S1+S2＝S3， ∴， ∴， 解得，或（舍去） ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：连接BO并延长交⊙O于M，交CD于H，连接OD，BF，BD，OA， ∵OB＝OD，AB＝AD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上，点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD＝∠ADB， ∴OA垂直平分BD， ∴∠AOB+∠OBD＝90°， 由（1）得∠ABO＝∠OBD+∠ABD＝90°， ∴∠AOB＝∠ABD＝∠ADB， ∵OB＝OD，AB＝AD，OA＝OA， ∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴， ∵， ∴∠BCD＝∠AOD＝∠AOB＝∠ABD＝∠ADB， ∵DE∥CB，CD∥AB， ∴四边形BCDE是平行四边形，∠BDC＝∠ABD＝∠BCD＝∠AOD＝∠AOB＝∠ADB，∠CBD＝∠BDF， ∴，∠BED＝∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＝∠AOD＝∠AOB＝∠ADB， ∴BD＝BC＝DE，BF＝CD＝BE， ∵， ∴即， ∴∠CBF＝∠BCD＝∠ABD， ∴∠ABF＝∠CBD＝∠CFD＝∠AFE， ∵∠EAF＝∠FAB， ∴△AEF∽△AFB， ∴， ∵∠BDC＝∠BCD＝∠CBF＝∠ABD，∠BFC＝∠BDC， ∴BD＝BC，∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝BC＝BD， ∵∠DBE+∠DEB+∠BDE＝∠BFE+∠BEF+∠EBF＝180°， ∴∠EBF＝∠BDE， ∴△EBF∽△BDE， ∴， 同理可得△BDE∽△DAB， ∴， ∴， ∴AF＝CF， 由（2）得△AEF∽CDF， ∴， ∴AE＝BE＝CD， ∵即， ∴， ∴， ∵BD＝BC， ∴， ∴BM⊥CD，， ∴， ∴， ∴在Rt△BDH中，， ∴， ∵在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2， ∴， 解得， ∴，， ∴平行四边形BCDE的面积． 2．（2026•长沙县模拟）如图，AC是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，连接AE并延长到点B，连接BC，D是上的动点（不与点A，E重合），AE与CD相交于点F，∠BCE＝∠CDE． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CD是∠ACE的角平分线，且S△CEF＝3S△DEF，求tan∠CDE的值； （3）若，设，求y关于x的函数解析式（不考虑x的取值范围）． 【分析】（1）易得∠BCE＝∠CDE＝∠CAE，即可得证； （2）连接OE和OD，OD与AE交于点G，易得CE＝3DG，CE＝2OG，则2OG＝3DG，据此求解即可； （3）易证△ACE是等腰直角三角形，四边形OHDG是矩形，设参，证△DEF∽△ACF，即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠CDE，∠CDE＝∠CAE， ∴∠BCE＝∠CAE． ∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠BCE+∠ACE＝90°，即∠ACB＝90°． 又∵OC是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：方法一：如图1，连接OE和OD，OD与AE交于点G． ∵CD平分∠ACE， ∴∠ECD＝∠ACD， ∴∠EOD＝∠AOD． ∵OE＝OA， ∴OD⊥AE． ∵S△CEF＝3S△DEF， ∴， ∴CE＝3DG， ∵∠CEA＝90°， ∴CE⊥AE， ∴CE∥OD． ∵O是AC中点， ∴CE＝2OG， ∴2OG＝3DG． 设圆O半径为5R， ∴OG＝3R，DG＝2R， ∴AG＝4R， ∴， ∴； 方法二：∵S△CEF＝3S△DEF， ∴CF＝3DF，S△CDE＝4S△DEF， ∵CD是∠ACE的平分线， ∴∠ACD＝∠DCE． ∵∠ACD＝∠DEF， ∴∠DCE＝∠DEF． 又∵∠CDE＝∠EDF， ∴△DCE∽△DEF， ∴． 设DF＝a，EF＝x，则DE＝2a，CF＝3a，CE＝2x， 在△CEF中，∠CEF＝90°，由勾股定理，得EF2+CE2＝CF2， ∴x2+4x2＝9a2， 解得或（舍去）， ∴，CEa． ∵∠ECF＝∠DAF，∠CFE＝∠AFD， ∴△CEF∽△ADF， ∴， ∴， ∴，即AFa， ∴AE＝AF+EFaaa， ∴tan∠CDE＝tan∠CAE； （3）解：方法一：如图2，作DG⊥AC，DH⊥OE． ∵， ∴，∠EAC＝45°， ∵∠CEA＝90°， ∴∠ECA＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∵点O是AC中点， ∴OE⊥AC， ∴OH∥DG，DH∥OG， ∴四边形OHDG是矩形， ∴OH＝DG，DH＝OG． 设DG＝h， ∴OH＝h，HEh，HD2＝OG2＝2﹣h2， ∴， ∴． ∵∠CDA＝90°， ∴， ∴． ∵∠EFD＝∠CFA，∠DEF＝∠ACF， ∴△DEF∽△ACF， ∴， ∴， ∴． 方法二：如图3，延长DE，过点C作CG⊥DG于点G， ∴∠CGE＝90°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠CDA＝90°， ∴∠CDA＝∠CGE． ∵∠ECG+∠CEG＝90°，∠DEF+∠CEG＝90°， ∴∠ECG＝∠DEF． ∵∠DEF＝∠ACD， ∴∠ECG＝∠ACD． 在△CEG和△CAD中， ， ∴△CEG∽△CAD， ∴． ∵，∠ACB＝90°， ∴∠CAE＝45°， ∴， ∴，CE＝2． ∵∠CDG＝∠CAE＝45°， ∴． 设EG＝m，则，CG＝DG＝x+m， 在△CGE中，∠CGE＝90°由勾股定理，得CG2+EG2＝CE2， ∴（x+m）2+m2＝4， 整理得x2+2mx+2m2＝4． ∵， ∴AD•CD＝4﹣x2． ∵∠EFD＝∠CFA，∠DEF＝∠ACF， ∴△DEF∽△ACF， ∴， ∴， ∴． 3．（2026•湖南模拟）如图1所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于点H，直线FH交⊙O于点G． （1）如图2所示，当点E为AD的中点时，求证：FH为⊙O的切线； （2）当FH∥BE，求FG的长； （3）在点E的运动过程中，当AEAD时，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由． 【分析】（1）连接OF、EF，证明OF为△BCE的中位线，得出OF∥CE．证出OF⊥FH，即可得出FH为⊙O的切线； （2）作OM⊥FG于点M，连接OF，先证明△ABE∽△CDE，得出，求出AE＝1或AE＝4； ①当AE＝1时，证明△CFH∽△CBE，得出比例式，求出CH、OM，根据勾股定理求出FM，即可得出FG＝2FM； ②当AE＝4时，同①得出△CFH∽△CBE，得出，求出CH，得出OM，由勾股定理求出FM，即可得出FG； （3）连接EF，由圆周角定理得出∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x，由已知条件得出点G在点F上方，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，得出△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF＝KF＝x，BKx，EK＝2﹣KF＝2﹣x，GK＝EG（2﹣x），BG＝GK+BK（2+x），证明△BEG∽△CEF，得出，得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：如图2，连接OF、EF， ∵BE为⊙O的直径， ∴∠BFE＝90°， ∵∠A＝∠ABF＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴AE＝BF， ∵E为AD的中点， ∴F为BC的中点， ∴OF为△BCE的中位线， ∴OF∥CE， ∵FH⊥EB， ∴OF⊥FH， 又∵OF是⊙O的半径， ∴FH为⊙O的切线． （2）解：如图3，作OM⊥FG于点M，连接OF， ∵FH∥BE， ∴∠BEC＝∠FHC＝90°， ∠HFC＝∠EBF， 又∵∠HFC+∠FCH＝90°，∠EBF+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠FCH， ∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠FCH+∠DCE＝90°， ∴∠AEB＝∠DCE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， 解得：AE＝1或AE＝4； ①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4， ∴BE，CE＝2，OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝5， ∵FH∥BE， ∴△CFH∽△CBE， ∴，即， ∴CH， ∴OM＝EH＝CE﹣CH， ∴FM， ∴FG＝2FM； ②当AE＝4时，BF＝4，DE＝CF＝1， ∴BE＝2，CE，OG， ∵△CFH∽△CBE， ∴，即， ∴CH， ∴OM＝EH＝CE﹣CH， ∴FM， ∴FG＝2FM； 综上所述：FG的长为：或； （3）连接EF、OF、OG，如图4所示： 则∠BFE＝90°， 设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x， 若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°， 又∵AEAD， ∴点G在点F上方， 连接BG、EG，设BG、EF交于点K， ∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形， ∴BF＝KF＝x，BKx，EK＝2﹣KF＝2﹣x， 在等腰直角△EGK中，根据勾股定理得：GK＝EG（2﹣x），BG＝GK+BK（2+x）， 又∵∠EBG＝∠EFG＝∠FCH， ∴△BEG∽△CEF， ∴，即， 解得：x，或x5（不合题意，舍去）， ∴AE． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 圆中证明与计算、综合问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 命题趋势： 解答题：稳定考查圆中证明与计算、综合问题，核心是结合全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、菱形等知识点解决边、角、面积等综合问题． 2026年预测：解答题极可能仍为圆中证明与计算、综合问题． 备考核心：熟记定理与公式，解答题强化多知识点结合综合训练． 题型01 垂径定理与圆周角定理 析典例·建模型 1．（2026•长沙模拟）如图，AB为⊙O的直径，点P在线段OA上，A，Q两点关于点P对称，过点P作CD⊥AB交⊙O于点C，D，连结CQ并延长交⊙O于点E，连结DE，AC，AD． （1）求证：CQ＝DE； （2）若AB＝6，且OP＝OQ，求CD的长． 研考点·通技法 1、垂径定理内容： 垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的两条弧 2、知二推三 一条直线满足任意两个，即可推出剩余三个： （1）过圆心（直径） （2）垂直弦 （3）平分弦（弦非直径） （4）平分优弧 （5）平分劣弧 3、核心计算公式 设：圆半径r、弦长l、圆心到弦距离d， 一半弦、弦心距、半径构成直角三角形 4、圆周角定理 （1）同弧所对圆周角等于圆心角一半 （2）同弧/等弧，圆周角全部相等 （3）直径所对圆周角为直角，90°圆周角所对弦必为直径 （4）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 破类题·提能力 1．（2026•株洲校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D． （1）求证：∠DBC＝∠DAB； （2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD，求AF的长． 2．（2026•长沙校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若，AE＝1，求的长． 题型02 切线的性质与判定 析典例·建模型 1．（2026•临湘市模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，点D为半径OC的延长线上一点，连接AD，∠B＝∠D＝30°． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若，求的长度（结果保留π）． 研考点·通技法 1、切线三大性质： （1）切线垂直于过切点的半径 （2）过圆心且垂直切线→必过切点 （3）过切点且垂直切线→必过圆心 2、切线三种判定方法： （1）定义法 直线与圆只有一个公共点→切线 （2）距离法（无切点，作垂线） 圆心到直线距离 d=r →直线是切线 口诀：无切点，作垂直，证等于半径 （3）判定定理（有切点，连半径） 经过半径外端，且垂直半径→切线 口诀：有切点，连半径，证垂直 3、切线长定理： （1）圆外一点引两条切线：切线长相等 （2）圆心和该点连线：平分夹角、垂直平分切点弦 破类题·提能力 1．（2026•衡南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC，BC． （1）求证：BC平分∠ABE； （2）若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长． 2．（2026•宁乡市一模）如图，△ABC的三个顶点都在以BD为直径的半圆上，AB＝AC，连接DA并延长至点E，交BC于点F，且AE＝AF，连接BE． （1）求证：BE是该半圆的切线； （2）若BD＝12，∠AFB＝60°，求CF的长． 3．（2026•郴州一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点A作直线AD交BC的延长线于点D，使得　 　 ，请从“①∠DAC＝∠B；②2∠B＝90°﹣∠D”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： （1）题干横线上所填序号为：　 　 ； （2）求证：AD为⊙O的切线； （3）若∠B＝30°，AC＝2，求的长度（结果保留π）． 题型03 不规则图形的面积 析典例·建模型 1．（2026•永定区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线交于点D，与AC交于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）如果∠B＝2∠CDO，OD＝3，求CD的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 研考点·通技法 在计算阴影面积时，我们可以将物体划分为若干个子区域，然后利用容斥原理来计算阴影面积. 方法：我们需要将物体划分为不同的部分，每个部分都是由一个或多个对象组成的.然后，我们计算每个部分的面积，并相加得到总面积.但是，这样计算得到的总面积中可能包含了重复计算的部分，即重叠区域.为了避免重复计算，我们需要减去重叠区域的面积. 容斥原理的核心思想是先计算每个部分的面积，并相加得到总面积，然后再减去重叠区域的面积，最后得到的结果就是阴影面积. （1）直接用公式求解． S阴影=S扇形ABC S阴影=S△ABC S阴影=S四边形ABCD=ab （2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解． ①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形） 图形 面积计算方法 图形 面积计算方法 S阴影=S△ACB−S扇形CAD S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB S阴影=S△AOB−S扇形COD S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB ②构造和差法 图形 公式 S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE （3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解． ①全等法 图形 公式 S阴影=S△AOB ②等面积法 图形 公式 S阴影=S扇形COD ③平移法 图形 公式 S阴影=S正方形BCFE ④旋转法 图形 公式 S阴影=S扇形BOE ⑤对称法 图形 公式 S阴影=S△ACD S阴影=S扇形CDE 破类题·提能力 1．（2026•雨花区模拟）如图，E是正方形ABCD的CD边的中点，将该正方形沿BE折叠，点C落在C′处，⊙O分别与AB、AD、BC′相切，切点分别为F、G、H． （1）求证：∠DEC′＝2∠EBC′； （2）若正方形的边长是6cm，求图中阴影部分的面积． 2．（2026•澧县一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积； （3）若CF的长为1，求⊙O的半径长． 题型04 圆与三角形 析典例·建模型 1．（2026•荷塘区校级一模）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE，DE． （1）判断DE和⊙O的位置关系，并证明； （2）若，DE＝5，求AD的长； （3）求证：． 研考点·通技法 1、圆中全等三角形 （1）等弦对等三角 同圆中等弦→圆心角相等、弦心距相等，直接证全等 （2）垂径全等 直径垂直弦，分割出两个全等直角三角形 条件：半径相等、公共边、直角 （3） 切线全等 圆外一点引双切线： 切线长相等、半径相等、公共斜边→HL全等 （4）直径直角全等 直径对直角，搭配角平分线、垂直，快速证全等 2、圆中相似三角形 （1）母子相似（射影模型） 直径作垂线，构成三组相似 直角+公共角→相似 （2）相交弦相似（八字型） 两弦相交：对顶角相等，同弧圆周角相等→AA相似 （3）切割线相似（重中之重） 切线+割线： 弦切角=所夹弧圆周角，加公共角→三角形相似 （4）共边相似（蝴蝶模型） 同弧等角，对角互补，构成斜八字相似 3、圆中倒角（证相似核心手段） （1）同弧所对的圆周角相等 （2）对顶角相等 （3）直径所对的圆周角为90° （4）圆内接四边形外角等于内对角 破类题·提能力 1．（2026•荷塘区校级一模）如图，在⊙O中，直径所在的直线AO垂直于弦BC，连接AC，过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD于E，点F在CE上，且CF＝BD． （1）求证：点E为DF中点； （2）若BC＝4，，求⊙O的半径． 2．（2026•衡阳模拟）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD． （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 题型05 圆中最值、定值问题 析典例·建模型 1．（2026•长沙二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，点P是DC延长线上一点，点E，F是⊙O上的两点，连接PE，PF，PO，连接FE并延长交PO于点N，交BA延长线于点G，已知PE是⊙O的切线且PE＝PF，BM＝CD＝8． （1）求证：PF是⊙O的切线； （2）令（cos∠OPM）2＝x，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） （3）在点P运动的过程中，MG是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 研考点·通技法 1、圆中定值问题 （1）线段定值 同圆半径永远不变、垂径定理：弦心距+弦长一半为定值、圆外一点到圆：切线长固定不变 （2）角度定值 同弧所对圆周角固定、直径对直角，恒为90°、切线与半径夹角，恒为90° 2、圆中最值四大模型 （1）点到圆距离最值 设：定点P，圆心O，半径r 最大值：PO+r、最小值： （2）圆上动点到直线最值 最大距离：圆心到直线距离+r，最小距离：圆心到直线距离-r （3）直径最值（最大弦） 圆内最长弦是直径、过圆内一点最短弦：垂直该点与圆心连线 （4）隐形圆最值 ① 定弦定角→隐形圆 固定弦长，对应角度不变，动点在圆上 ② 直角对斜边→隐形圆 直角顶点轨迹：以斜边为直径的圆 3、线段和差最值 （1）PA+PB最小：将军饮马，对称转化，共线最小 （2）|PA−PB|最大：三点共线取最大值 （3）圆上两动点距离：最大为直径 4、面积最值 （1）同底三角形：高最大→面积最大 （2）圆内三角形：内接等边三角形面积最大 （3）固定底边，顶点在圆上：高过圆心面积最大 破类题·提能力 1．（2026•长沙校级一模）如图1，△ABC内接于⊙O，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，交BC于点F，连接BD． （1）若∠DBC＝35°，求∠BAC的度数． （2）如图2，连接BE，若AE＝3，EF＝2，求BD的长． （3）如图3，连接OE，若⊙O的半径为4，弦，设OE＝x，AE＝y，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 2．（2026•株洲一模）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，∠A＝60°．点P从点B出发沿BC边向点C运动（P不与B、C重合），同时点E从点A出发沿AB边向点B运动，点E的运动速度是点P的运动速度的2倍．连接PE，DE，作△PEB的外接圆O与射线DE相交于另一个点F，连接PF． （1）【基础感悟】如图1，若AE＝8，求BP的长； （2）【初步探索】如图2，当点P运动到线段BC的中点时，求证：PF∥AB； （3）【深度探索】如图3，随着点P的运动，点F的位置也在变化，当点F与D重合时，连接BD． ①求证：∠CBD＝90°； ②求的值． 题型06 圆综合题 析典例·建模型 1．（2026•邵阳模拟）如图1，已知MN为⊙O的直径，弦AB交MN于点C（点C与点O不重合），连接MA，MB，∠AMN＝∠BMN． （1）求证：MA＝MB； （2）如图2，在线段MC上取点D，使得CD＝CN，延长AD交MB于点E，求证：AE⊥MB； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AE交⊙O于点F，连接BF，在直径MN上取点G，使得∠NGF+∠AFB＝90°．若MG＝14，BC＝15，求⊙O的半径． 研考点·通技法 1、七大核心工具 （1）垂径定理：作垂线，得直角 （2）圆周角定理：同弧角相等，圆心角是圆周角2倍；直径对90° （3）切线性质：切线⊥半径；证切线：有切点连半径证垂直，无切点作垂线证半径 （4）切线长定理：外点两切线相等，连线平分夹角、垂直切点弦 （5）圆内接四边形：对角互补，外角=内对角（倒角神器） （6）圆中相似三类 相交弦→八字相似、切线+弦→弦切角相似、直径垂线→射影相似 （7）三大公式：扇形面积、弧长、弓形面积 2、圆综合五大模型 （1）切线+直径直角模型：倒角最快，证垂直首选 （2）垂径折叠模型：求弦长、半径高频考查 （3）双切线等腰模型：边长计算最简单 （4）蝴蝶/八字相似模型：求线段比例专用 （5）定弦定角隐形圆：压轴最值、动点问题专属 破类题·提能力 1．（2026•汨罗市模拟）如图，过⊙O上的动点D作⊙O的切线AD，在⊙O上取点B（异于点D），使得AB＝AD，弦CD∥AB，连接AC交⊙O于点F，连接DF并延长，交AB于点E，连接BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）记△AEF，△ADF；△DCF的面积分别为S1，S2，S3，当S1+S2＝S3时，求的值； （3）设⊙O的半径为R，当DE∥CB时，求四边形BCDE的面积．（用含R的式子表示） 2．（2026•长沙县模拟）如图，AC是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，连接AE并延长到点B，连接BC，D是上的动点（不与点A，E重合），AE与CD相交于点F，∠BCE＝∠CDE． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CD是∠ACE的角平分线，且S△CEF＝3S△DEF，求tan∠CDE的值； （3）若，设，求y关于x的函数解析式（不考虑x的取值范围）． 3．（2026•湖南模拟）如图1所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于点H，直线FH交⊙O于点G． （1）如图2所示，当点E为AD的中点时，求证：FH为⊙O的切线； （2）当FH∥BE，求FG的长； （3）在点E的运动过程中，当AEAD时，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $