专题08 勾股定理（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 辽宁多地八年级期末试题汇编，聚焦勾股定理五大核心考点，通过基础计算、实际应用与综合探究题，系统考查定理直接应用、逆定理判定及网格、数轴等创新场景。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|多题|直接求解、逆定理判定|结合网格数轴作图（如数轴表示√5）| |填空|多题|实际应用、动态问题|古算诗红莲问题、秋千绳索计算| |解答|适量|综合证明、面积计算|赵爽弦图面积推导、折叠动态问题|

专题08 勾股定理 高频考点概览 考点01直接利用勾股定理求解 考点02根据勾股定理逆定理判定直角三角形 考点03勾股定理在网格图形与数轴上的应用 考点04勾股定理实际应用 考点05勾股定理及逆定理的其他应用 考点01 直接利用勾股定理求解 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，在直线上任取一点，使得，连接，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得．由勾股定理得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线性质，勾股定理，关键是掌握垂线段最短，勾股定理求出，当时，的值最小，然后根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】在中， ∵，， ∴， 当时，的值最小， ∵是的平分线，， ∴． ∴的最小值为6． 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求得两点之间的距离． 【详解】解：∵ ∴线段的长度为 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明可得，即得是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理以及勾股定理的应用．解题关键是熟练掌握角平分线的性质定理； 由作图知平分，结合（即）和，根据角平分线性质得．利用“”可证，从而得出．由，，算出；根据勾股定理，求得．将周长转化为，利用，进一步转化为，代入，，算出周长． 【详解】解：由作图知：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 的周长． 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，，，，垂足为D，延长至点E，取，若的周长为6，则周长是______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，勾股定理是解决问题的关键． 证明是等边三角形得，，由得，，由勾股定理得，再由得，，再根据三角形外角性质求出得，由此即可得出周长． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ，， 的周长为6， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 是的外角， ， ， ， ， 周长是： 故答案为： 7．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为______． 【答案】4 【分析】利用角所对是直角边是斜边的一半求出、的长，再由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理即可解决问题． 本题主要考查了角所对是直角边是斜边的一半，勾股定理，熟记性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵在中，， ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上，连接，，当为等腰三角形时，线段的长是______________． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的定义．先证明为等边三角形，然后分当，当时，两种情况分析即可． 【详解】解：中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 当，如图，过作于， ∴， ∴， 在中，， ∴， 当，如图，过作，交延长线于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 综上可知：的长为或． 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 证明，过点C作，，得到，进而得到，将四边形的面积转化为的面积，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， 过点C作，， 则， ，，且， ， 四边形的面积， ， ， 设，则， 由勾股定理，得：， ， 解得， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，点E为长方形内一点，连接，，，已知，，，若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，过点E作于点F，于点G，根据长方形性质得出，，，根据勾股定理求出，等积法求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点E作于点F，于点G，如图所示： ∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，高，则三角形的周长为______． 【答案】84或64/64或84 【分析】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据角平分线的性质，过点作于点，作于点，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵，是的角平分线，，， ∴，， 在中，， 设 ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴，即． 13．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理， （1）根据等边对等角推出，利用垂直的性质推出，由此证得，得到为等腰三角形； （2）在中，由勾股定理得，代入计算可得答案． 【详解】（1）证明：∵在等腰三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是等腰直角斜边上的高，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，推导出及是解题的关键． （1）由是等腰直角斜边上的高， 得，则，，所以； （2）由等腰直角三角形的性质得，则，因为于点F，交于点G，所以，则，所以，则； （3）由求得，由得． 【详解】（1）解：∵是等腰直角斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵于点F，交于点G， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 考点02 根据勾股定理逆定理判定直角三角形 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．3，3，4 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，若三角形三边长满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解：选项A：3，4，5， ，，等式成立，故为直角三角形． 选项B：4，5，6， ，，等式不成立，故不是直角三角形． 选项C：3，3，4， ，，等式不成立，故不是直角三角形． 选项D：1，2，3， ，等于第三边，无法构成三角形，故排除． 综上，只有选项A满足条件． 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）由下列线段，，，组成三角形，不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，，   最长边为，计算，而． ，不满足勾股定理，故不是直角三角形． B、，， 最长边为，，．   满足勾股定理，是直角三角形． C、，，   最长边为，，． -满足勾股定理，是直角三角形． D、，， 最长边为，，．   满足勾股定理，是直角三角形． 综上，只有选项A不满足勾股定理， 故选A． 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（   ） A． B．5，12，13 C．6，8，12 D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．分别计算每一组中较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就能构成直角三角形，否则就不能构成直角三角形． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意； B、因为，所以能构成直角三角形，此选项符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理计算判断即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴最大角是，∴能构成直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是首先根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形，如果能组成三角形，再用勾股定理的逆定理判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A选项：， 、、三条线段不能组成三角形，故A选项不符合题意； B选项：， 、、三条线段能组成三角形， 又，， ， 、、三条线段不能组直角三角形，故B选项不符合题意； C选项：：， 、、三条线段能组成三角形， 又，， ， 、、三条线段能组直角三角形，故C选项符合题意； D选项：、、，其中， 、、三条线段不能组成三角形，故D选项不符合题意． 故选： C． 8．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 考点03 勾股定理在网格图形与数轴上的应用 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键，根据勾股定理可求得的长，再根据题意得到，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点E表示的实数是， 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征等知识．根据已知可得，．利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据已知可得：，， 在中，． ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，点在数轴上，，过点作，且，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容． 根据勾股定理求出的长，即的长，再根据绝对值的意义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 又∵点C在原点的右侧， ∴点C所表示的数为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，，再由勾股定理求出，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】解：点和分别对应的实数是1和2， ，， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， 即点对应的实数是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案． 【详解】连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 【答案】、、是直角三角形（任写其一即可）． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 【详解】解： 连接、、、、、， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：，，，，，， ∴，，， ∴、、是直角三角形（任写其一即可）． 8．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）取表示数4的点，过该点作垂线，截取长度为1的线段，然后构造直角三角形，则斜边由勾股定理可得为，然后再以表示数0的点为圆心，为半径画弧与数轴相交即可得到数为的点； （2）设秋千绳索的长为由题意，可得，由题意，四边形为矩形，则，，，然后对应用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：设秋千绳索的长为，由题意，可得，四边形为矩形，，，， ， 在中， 解得， 答：秋千绳索的长为． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：，，， 在中，， ∴． 10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析；（3）是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，平面直角坐标系中的点以及网格问题，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据A，B两点坐标确立平面直角坐标系即可； （2）先确定三点位置，再顺次连接即可； （3）分别计算出、和，由勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：（１）如图，即为所求作的平面直角坐标系，点C的坐标为； （2）如图，即为所作； （3）∵、和， 又，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形． 考点04 勾股定理实际应用 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即，解得：， ∴的长度为尺． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）年月日时分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号卫星发射升空．卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在垂直地面上升阶段地面雷达观测站进行实时观测．如图，火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】火箭从点上升到点的高度约为 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含度的直角三角形，先在中，求出，的长，再在中求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：在中，， . ， ，， ， ， ， 答：火箭从点上升到点的高度约为. 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 【答案】 【分析】此题考查了利用勾股定理解决实际问题，正确理解题意中的数量关系构建勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ． ． 木杆折断之前高为． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在西北方向上，测得A在北偏东方向上，又测得A，C之间的距离为100米，则A与B之间的距离是多少米（结果保留根号形式）． 【答案】米． 【分析】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形． 过点作于点，在中，求出、的值，然后在中求出的长度，继而可求得的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ， 由勾股定理，得， 在中， ， 米， 则米， 即、之间的距离为米． 7．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）葫芦岛和平广场是葫芦岛市市民放风筝的最佳场所，某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得人与风筝的水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向竖直上升4米，则他应该继续放线多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)风筝的垂直高度为17.65米 (2)他应该继续放线米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，由勾股定理得              （米）， 答：风筝的垂直高度为17.65米； （2）解：风筝沿方向上升4米，保持不变，如图， 此时的（米）， 即此时在中，米， （米），             相比上升之前，增加长度为米， 答：他应该继续放线米 8．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，某景区有一个四边形区域为观光点平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为景区观光车的行驶道路（道路宽度忽略不计），景区管理部门想要在处安装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头能监控的最远距离为70米，求被监控到的道路长度． 【答案】(1) (2)被监控到的道路长度为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）过点作于，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， 米，， ． 在中，由勾股定理得：米， 米，米， 又 ． （2）过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：米，， 是等腰直角三角形，， ， 米， 米， 答：被监控到的道路长度为米 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 考点05 勾股定理及逆定理的其他应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 5．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，得到，，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 故选B． 6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，过点P作且，得；再过点P1作且，得；又过点P2作且，得…依此法继续作下去，得等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察每次作垂线后线段长度的变化规律，利用勾股定理推导出的表达式，进而求出的值．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并找出线段长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 7．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则______． 【答案】14或22 【分析】本题考查勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系． 分两种情况画出图形，由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图1， ∵， ∴勾股定理得，， ∴， 如图2， ∵， ∴勾股定理得，， ∴， 故答案为：14或22． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 高频考点概览 考点01直接利用勾股定理求解 考点02根据勾股定理逆定理判定直角三角形 考点03勾股定理在网格图形与数轴上的应用 考点04勾股定理实际应用 考点05勾股定理及逆定理的其他应用 考点01 直接利用勾股定理求解 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，在直线上任取一点，使得，连接，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，，，，垂足为D，延长至点E，取，若的周长为6，则周长是______． 7．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为______． 8．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上，连接，，当为等腰三角形时，线段的长是______________． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若，，则四边形的面积为______． 10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，点E为长方形内一点，连接，，，已知，，，若，则的长为_________． 11．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，高，则三角形的周长为______． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 13．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是等腰直角斜边上的高，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)若，求的度数． 考点02 根据勾股定理逆定理判定直角三角形 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．3，3，4 D．1，2，3 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）由下列线段，，，组成三角形，不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（   ） A． B．5，12，13 C．6，8，12 D．4，5，6 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 考点03 勾股定理在网格图形与数轴上的应用 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，点在数轴上，，过点作，且，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数是（    ） A．4 B．5 C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是_________． 6．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为_____． 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 8．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 考点04 勾股定理实际应用 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）年月日时分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号卫星发射升空．卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在垂直地面上升阶段地面雷达观测站进行实时观测．如图，火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（参考数据：，，，结果精确到） 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在西北方向上，测得A在北偏东方向上，又测得A，C之间的距离为100米，则A与B之间的距离是多少米（结果保留根号形式）． 7．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）葫芦岛和平广场是葫芦岛市市民放风筝的最佳场所，某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得人与风筝的水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向竖直上升4米，则他应该继续放线多少米？（结果保留根号） 8．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，某景区有一个四边形区域为观光点平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为景区观光车的行驶道路（道路宽度忽略不计），景区管理部门想要在处安装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头能监控的最远距离为70米，求被监控到的道路长度． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 考点05 勾股定理及逆定理的其他应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，过点P作且，得；再过点P1作且，得；又过点P2作且，得…依此法继续作下去，得等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则______． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $