专题07 二次根式（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 辽宁多地期末真题汇编，聚焦二次根式四大核心考点，基础选择填空与综合解答题梯度分布，适配期末复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约19题|考点01求取值范围（8题）、考点02最简判断（9题）、考点03运算辨析（2题）|立足基础，重复考查核心概念| |填空|约3题|考点01取值范围（1题）、考点04几何应用（2题）|简洁考查易错点| |解答|约17题|考点03混合运算（15题）、考点04综合应用（2题）|运算题分层设计，应用题结合A系列纸长宽比、长方形面积计算，含阅读材料探究题|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07二次根式 ☆高频考点概览 考点01求二次根式有意义、无意义、取值范围 考点02二次根式的化简与最简二次根式的判断 考点03二次根式的混合运算 考点04二次根式的应用 目目 考点01 求二次根式有意义、无意义、取值范围 1.(24-25八年级上辽宁沈阳·期末)若二次根式2-x有意义，则x的值不可以是() A.3 B.2 C.1 D.0 2.(24-25八年级上辽宁大连·期末)若二次根式x+3有意义，则x的取值范围是() A.X>-3 B.X≥-3 C.x<-3 D.X≤-3 3.(24-25八年级上辽宁大连·期末)当a是怎样的实数时，V2a+3在实数范围内有意义（) B.a￥-3 C.a≥- 3 D.az 3 2 4.（24-25八年级下辽宁盘锦期未)若式子Vx+2 有意义，则x的取值范围是() 2 A.X≥-2 B.X≤-2 C.x<-2 D.x>-2 5.(24-25八年级下·辽宁阜新·期末)如果二次根式2x+8有意义，那么x应满足的条件是() A.X≥0 B.X≥-2 C.x≥-4 D.x<-4 6.(24-25八年级下辽宁大连·期末)X-2有意义，则x的取值范围是() A.X>2 B.X<2 C.x≥2 D.X≠2 7.(24-25七年级上·辽宁大连·期末)若二次根式Vx+3有意义，则实数x的取值范围是() A.X≥-3 B.X>-3 C.x≥0 D.x>0 8.(24-25八年级上·辽宁大连·期末)若a-5在实数范围内有意义，则a的取值范围是() A.a≥5 B.a≤5 c.a>5 D.a≠5 1 9。(24-25八年级下·辽宁鞍山：期末)使x-亏在实数范国内有意义的x的取值范围是 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 二次根式的化简与最简二次根式的判断 1.(24-25八年级下·辽宁盘锦·期末)下列根式中，是最简二次根式的是() B.V0.5 c.5 D.V25 2.(24-25八年级下·辽宁大连期末)下列各式是最简二次根式的是() A.9 B.0.2 c.5 D.V18 3.(24-25八年级下·辽宁大连·期末)下列根式是最简二次根式的是( A.V15 B.V12 c.8 D.5 4.（24-25八年级下·辽宁抚顺期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.12 B.15 D.0.3 5.(24-25八年级下·辽宁抚顺·期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.V0.5 B.-V3 c.V8 n阴 6.（24-25八年级下·辽宁葫芦岛期末)下列二次根式中，最简二次根式是() B.V0.1 c.V5 D.99 7.(24-25八年级下·辽宁鞍山期末)下列二次根式为最简二次根式的是() A.-V8 c.-V5 D.4 8.(24-25八年级上·辽宁大连·期末)下面各式中，是最简二次根式的是() B.0.5 c.2 D.V45 9.(24-25八年级上·辽宁沈阳·期末)下列各数，不是最简二次根式的是() A.3 B.9V15 c.26 V8 D. 2 目目 考点03 二次根式的混合运算 1.(24-25八年级下·辽宁大连期末)下列运算错误的是() A.2x7=/14 B./6÷V2=3 C.V2+V5=7 D.(-22=2 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八年级下·辽宁抚顺·期末)下列计算正确的是（) A.27-3=23 B.2+3=23C.-27=-2D.9=±3 3.（24-25八年级下…辽宁盘锦·期末)计算 (四2×R4+5-25+-8 (2)/50-20÷5+/12×3 4.（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末)计算： (/8+2+1-3-V12 (2%32÷2+1-/2+9V8 5.(24-25八年级下-辽宁大连期末)(1)计算：8+/45-18-125 2》计西-6+4-2x2, 6.(24-25八年级下…辽宁阜新·期末)计算： 1e48÷V2+6-12: a38+1川3-1小-8-2 7.(24-25八年级下·辽宁抚顺期末)计算： (1)2/48-3V27÷V6 225+5V2125-5V2-5-V22 8.（24-25八年级下·辽宁铁岭期末)计算： 话+3-2-2 e西x停浸 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8yg48-98-径x2+924: 42-1}+2+1V2-1 9.（24-25八年级下·辽宁抚顺期末)计算 03+27-3得 1+-2x924 10. (24-25七年级下·辽宁抚顺期末)计算： a4-8*2得 2V3+2+RV2-3 11.(24-25七年级下辽宁抚顺期末)计算： 03+2-2 (2)3-8+-27+1-V2 12.（24-25八年级下·辽宁鞍山期末)计算： (1)只/27×V50÷/6 (2)/24÷9/2- x2+V81 13.(24-25八年级下辽宁营口·期末)计算： (1)348- 24+2y24-22-54÷6 14.(24-25八年级下·辽宁大连·期末)计算： 1)8+y3xV6-24÷83 2)e5-3I5-2 15.（24-25七年级下辽宁大连期末)计算： 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 aR36+- 38 16 (22/2+2+1-V2 目目 考点04 二次根式的应用 1.(24-25八年级下辽宁抚顺期末)若一个长方形的面积是10cm2,它的长与宽的比为6：5，则它的长 为■ cm 2.(24-25七年级下·辽宁盘锦期末)按国际标准，A系列纸均为长宽比为√2：1的长方形.若A4纸的宽 为841mm,则A4纸的长为 mm.(用含根号的式子表示) 3.(24-25七年级下·辽宁大连·期末)如图，长方形ABCD中有两个正方形ABEF和ECHG,正方形 ABEF的面积是6cm2,正方形ECHG的面积是4cm2. F D G 6cm2 4cm2 B E C (1)求长方形ABCD的周长； (2)求长方形GHDF的面积. 4.（24-25八年级下辽宁抚顺期末)【基本概念】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5 2一样的式子，其实我们还可将其进一步化 3’ 3+1 简：5 5×3=53, 2 2×3_6 2_2×3-1 2x3-1-3-1像 39V/3×只33 3V3×3-33+13+13-132-12 这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化. 【理解应用】 2 (1)化简5+3 【拓展提升】 517 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 1 1 (2)化简： +15+93+7+呢+…+2n+1+92n1 5.(24-25七年级下辽宁盘锦期末)(1)计算： 27+2×/9-23-2 (2)如图，在数轴上以单位长度1为边长画一个正方形，则正方形的对角线长为只2.以原点为圆心，正 方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点A,若点A,点B所对应的数分别为Q,b,且AB=4OA, 试比较a+b,a-b和π的大小. l a 6.(24-25八年级上辽宁丹东期末)[基础定义]在平面直角坐标系中，Fa,b是第一象限内一点，给 b 出如下定义：k =和k2=b两个值中的最大值叫做点F的“倾斜系数”k. 本y [学以致用](1)求点F4,12的“倾斜系数”k的值. [能力提升](2)若点Fa,b的“倾斜系数”k=6,请写出a和b的数量关系，并说明理由. [拓展延伸](3)若点Fa,b的“倾斜系数”k=5,且a+b=12,求OF的长 7.（24-25七年级下·辽宁大连·期末)我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若 无理数t,m<t<n(其中m、n为两个连续的整数)，则称无理数t的“整数区间”为m,n.例如： 1<V2<2,则V2的“整数区间”为1,2：-3<-7<-2，则-V7的“整数区间”为-3，-2. (1)无理数V5的“整数区间”为，无理数-只17的“整数区间”为 (2)若实数x、y满足y=Vx-5+5-x+23,求Vx+y的“整数区间”； ()若一个无理数的“整数区间”为m,nr且满足4<m+n<10其中X三是关于x,y的二元一次 Ly=Vn 方程mx+y=a的一组正整数解，求a的值。 8.(24-25八年级上·辽宁大连·期末)阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 617 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【阅读材料1】如果两个正数a,b,则a-yb?≥0即a+b-2/ab≥0' ∴a+b≥2Vab,当且仅当a=b时取等号，此时a+b有最小值为2ab: 【实例展示1】已知x>0,求式子X+9最小值. X 解：x+9≥2x 96.当且仅当XX>0,即x=3时，式子有最小值 X X 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大：或者分子.分母同样大 的分数，叫做“假分数”.类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大 于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分 式”. 【实例展示2】如： -1,父这样的分式就是假分式：如 32x x+1’x-1 +1’x2+1 这样的分式就是真分式，假分 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带影 X1x+1212·xx1+1x+x-生x+1+ x+1X+1 x+1X-1x-1 x-7 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x>0,则当x=时，式子x+16 取得最小值，最小值为 X ②分式己是一（填“真分式”或“假分式”）；假分式+ X X+ 可化为情分式花式为机：如果分得的 值为整数，则满足条件的整数x的值有个； (3)用篱笆围一个面积为225的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短， 最短的篱笆是多少？ x-1 4己知x>1,当x取何值时，分式X一2x+5 取得最大值，最大值是多少？ 7/7 专题07 二次根式 高频考点概览 考点01求二次根式有意义、无意义、取值范围 考点02二次根式的化简与最简二次根式的判断 考点03二次根式的混合运算 考点04二次根式的应用 考点01 求二次根式有意义、无意义、取值范围 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 即不可以是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数必须非负，即，解此不等式即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【详解】解：如果二次根式有意义，那么， 解得， 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 9．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）使在实数范围内有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：， 即在实数范围内有意义的的取值范围是． 故答案为：． 考点02 二次根式的化简与最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此依次分析即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握和运用最简二次根式的定义是解决本题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．逐一分析选项即可确定答案． 【详解】A．是三次根式，不属于二次根式，故本选项不符合题意； B．，被开方数可写为，被开方数，需中含有分母，有理化为，故不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，被开方数是质数，无平方因数，无法再化简，符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； D．，，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，不是最简二次根式，则此项不符合题意； C、，不是最简二次根式，则此项不符合题意； D、不是二次根式，则此项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号． 【详解】解：选项A：．被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式． 选项B：．被开方数，不含完全平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式的条件． 选项C：．被开方数为分数，分母含根号，化简后为，故不是最简二次根式． 选项D：．被开方数，分母含根号，化简后为，故不是最简二次根式． 综上，只有选项B满足条件． 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，即，被开方数含分母，不满足条件①，故不是最简二次根式； 选项B：，被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件； 选项C：，被开方数8可分解为，其中4是平方数，可化简为，故不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不满足条件①，故不是最简二次根式； 故选B 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；     B. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；     C. 是最简二次根式，故本选项符合题意；     D. ，可化简为整数，故不是最简二次根式，故本选项不符合题意；     故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号逐项判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，含平方因数，可化简为，不是最简二次根式． B：的分母含根号，可化为，不是最简二次根式． C：的被开方数是质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式条件． D：的被开方数是完全平方数，可化简为，不是最简二次根式． 故选：C 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下面各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列各数，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故A不符合题意； B．是最简二次根式，故B不符合题意；     C．是最简二次根式，故C不符合题意；     D．，故不是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 考点03 二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． 根据二次根式的运算规则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】A．根据二次根式乘法法则，，故，原式计算正确，不符合题意； B．根据二次根式除法法则，，故，原式计算正确，不符合题意； C．与非同类根式，无法直接相加得，故本选项计算错误，符合题意； D．根据乘方法则，，原式计算正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了二次根式的运算，对各选项逐一计算，判断其正确性． 【分析】解：A. ，故A正确； B. 是加法运算，无法合并为 ，故B错误； C. ，算术平方根非负，结果应为2而非，故C错误； D. ，算术平方根仅取非负值，是平方根的两个解，故D错误． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则． （1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，然后合并同类二次根式解题即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式和绝对值，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【详解】解： ； 解： ． 6．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）运用二次根式的除法，完全平方公式去括号，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）运用平方差公式，二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合与运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的除法进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 8．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，可结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）先算乘除法，并化简二次根式，再合并即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练地利用二次根式的性质化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可； （2）先根据二次根式的性质和完全平方公式运算化简，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，先开方并求绝对值，再进行加减运算即可． （1）先根据开方的意义，最后计算即可求解； （2）先绝对值的意义进行化简，最后计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 11．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式加减运算，绝对值的运算，算术平方根与立方根的运算，掌握以上知识是解题的关键． （1）去括号，合并同类二次根式即可， （2）先求解立方根，化简二次根式和绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：原式= （2）解：原式= 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的乘除的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，及运用乘法公式简便计算，熟练掌握计算法则和公式是解题关键． （1）先化简为最简二次根式，再加减计算即可； （2）先化简再结合乘法公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 14．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘法和除法法则计算，再合并同类二次根式； （2）先根据二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算及实数的混合运算， （1）先根据算术平方根及立方根计算，再合并即可； （2）先根据二次根式乘法及绝对值化简计算，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点04 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）若一个长方形的面积是，它的长与宽的比为，则它的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据面积公式列方程，根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可． 【详解】解：这个长方形的长为，则宽为， 则， ， 解得， ∵， ∴， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为______．（用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式运算法则，是解题的关键．根据A系列纸均为长宽比为的长方形，纸的宽为，求出长即可． 【详解】解：∵A系列纸均为长宽比为的长方形，纸的宽为， ∴纸的长为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用， （1）首先求出，，得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是 ∴， ∴ ∴长方形的周长； （2）∵ ∴ ∴长方形的面积． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【基本概念】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如—样的式子，其实我们还可将其进一步化简：，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 【理解应用】 （1）化简； 【拓展提升】 （2）化简：． 【答案】（1） （2）． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，理解题意并熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式的分子，分母同时乘以后计算即可； （2）将原式变形后利用分母有理化化简后进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 =． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）计算：； （2）如图，在数轴上以单位长度1为边长画一个正方形，则正方形的对角线长为．以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，若点，点所对应的数分别为，，且，试比较，和的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，实数与数轴，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简立方根、算术平方根，化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先理解题意得出，，即可得，结合数轴得出，，再算出，，最后比较，和的大小，即可作答． 【详解】解：（1）原式； （2）由题意得，， ， ， ， ，， ，， 则 ． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［基础定义］在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”． ［学以致用］（1）求点的“倾斜系数”的值． ［能力提升］（2）若点的“倾斜系数”，请写出和的数量关系，并说明理由． ［拓展延伸］（3）若点的“倾斜系数”，且，求的长． 【答案】（1）；（2）或．理由见解析；（3） 【分析】（）直接由“倾斜系数”定义求解即可； （）点的“倾斜系数”，则或，然后化简即可； （）分两种情况讨论：当时，当时，根据，分别求出的值，然后用两点间的距离即可求解； 本题主要考查了平面直角坐标系—坐标与图形，读懂题意及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：（）∵的， ∴，， ∴， ∴点的“倾斜系数”； （） 或， 理由如下：连接， ∵点的“倾斜系数”， ∴当时，，当时，， ∴或 （）分两种情况讨论： 当时，， 又∵ ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ， 综上可知：的值为． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $