精品解析：天津市南开中学2026届高三下学期终极模拟数学试题

2026届南开中学终极模拟数学 一、单选题 1. 已知全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 故选：A 2. “都是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性成立，必要性可举出反例，证明不成立，得到正确答案. 【详解】由都是有理数，则一定是有理数， 但为有理数，不一定为有理数，比如为有理数，但是是无理数， 则“都是有理数”是“是有理数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列说法正确的是（    ） A. 设且，则 B. 残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C. 若，，三个事件两两独立，则 D. 一组数据，，，，，，，的第百分位数为 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为，且，故， 则，A错误； 对于B，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度越高，拟合效果越好，B正确； 对于C，举例，抛两次硬币，设“第一次正面向上”，“第二次正面向上”，“两次向上结果相同”， 则，, 满足, 即，，三个事件两两独立，而，即C错误； 对于D，将原数据从小到大排序：2，3，3，4，7，8，10，18， 因为，因此第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，即，D错误. 4. 已知是等差数列，是等比数列，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题可知，则， ， ，解得， ． 5. 函数的部分图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】，函数是奇函数，排除， 时，，时，，排除， 当时，， 时，，排除， 符合条件，故选C. 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 6. 已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（ ） A. ，且 B. ，且 C. 与相交，且交线与垂直 D. 与相交，且交线与平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理，面面平行的性质定理进行推理，或通过模型分析即可逐一判断. 【详解】对于A，假若，则由平面，平面，可得，这与异面矛盾，故A错误； 对于B，如上图，在长方体中， 不妨设平面为平面，平面为平面，满足， 棱所在直线分别为，满足所有题设条件，但，即得不出，故B错误，； 对于C，D，如上图，由A项知，相交，设，过空间内一点，分别作，作， 因，故可确定平面， 因为，，所以，，且，故； 又因，，所以，，所以，，同理可得； 因为，，所以不重合，故有. 综上可知，C项错误，D项正确. 故选：D. 7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. b＞a＞c 【答案】D 【解析】 【分析】易得，.又，比较与0的大小即可. 【详解】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故，综上有. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小. 8. 已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数 的图象关于直线 对称， ，即 ， ，，， 函数 在 内单调递增， ，，解得 ， ． 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用点到直线距离公式可得，再利用双曲线定义及数量积的运算律列式求出离心率. 【详解】设点，则直线方程为， 而，又，则，于是， 由，，成等比数列，得， 而，则，令双曲线半焦距为， 由，得， 因此，解得，所以双曲线C的离心率为. 二、填空题 10. 设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】， 所以. 11. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为，， 令，解得， 则的系数为. 12. 若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 13. 2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________． 【答案】 ①. ##0.75 ②. 7.5#### 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式计算即可得该队员每次罚球的命中率；根据二项分布的均值公式即可求解平均命中次数． 【详解】设该队员每次罚球的命中率为， 则有，故（负值舍去）． 设该队员罚球10次，命中次数为，则， 因为， 所以该队员罚球10次，则平均命中次数为7.5． 14. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 15. 设，满足：关于x的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为_____． 【答案】144． 【解析】 【分析】令，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果. 【详解】解：令，则关于t的方程恰有三个不同的实数解． 由于为偶函数，故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有．以下求方程的实数解． 当时，，等号成立当且仅当；当时，单调增，且当时；当时，单调减，且当时． 从而方程恰有三个实数解． 由条件知，结合得． 于是． 故答案为：144 【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力. 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.满足 （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合条件可得，即可求解； （2）根据余弦定理可得；利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （ⅰ）因为，即， 化简，解得（舍），. 所以. （ⅱ）由， 则， 则，， 所以 . 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直； （2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，结合空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 ∵，为的中点  ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，   ∴； 【小问2详解】 分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； 【小问3详解】 在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得，    解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 18. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差以及等比数列的公比，根据题意列出方程组，再利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可. （2）根据（1）得到表达式，再根据组合数的性质以及二项式定理求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 已知，且 ， ，所以， 解得，. 因此，. 【小问2详解】 当为奇数时，设（ ），则； 当为偶数时，设（ ），则. 故前项和为 . . 因此. 19. 已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法进行求解即可； （2）（ⅰ）设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用一元二次方程根的判别式、直线斜率的公式进行求解即可； （ⅱ）根据角平分线的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左右焦点分别为，， 所以， 又因为该椭圆经过点， 所以， 由可得，或舍去， ， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 所以 ，化简，得， 可得， ，即， ，所以为定值； （ⅱ）设，即，且， 直线的方程为 ， 同理得直线的方程为 ， 因为的平分线与轴交于点， 所以， 由，代入上式，得 ， 因为在，之间， 所以，又， 所以由 ， 因为， 所以，而， 所以，即的取值范围为． 20. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2），都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 【答案】（1）见解析 （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分情况讨论单调性； （2）（ⅰ）先将不等式变形为对恒成立，令可得到的初步范围，再构造辅助函数，通过求导分析函数最大值，结合最大值满足的条件确定的取值集合； （ⅱ）先利用（ⅰ）得到的值确定，再求的导数写出切线方程，代入的坐标得到与的递推关系，结合的定义推导的递推公式，最后对求和式进行放缩，利用不等式放缩证明求和结果小于1. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 分母，导数符号由分子决定： 当时，恒成立，故在和上单调递增； 当时，，此时，为常函数，无单调性； 当时，恒成立，故在和上单调递减； 【小问2详解】 (i)令，则题意等价于对恒成立， ， ， 分母，故的符号由分子决定， 分情况讨论： 当时： 对，，故在上单调递减； 当时，，因此，与恒成立矛盾，舍去； 当时： 令，得，，符合定义域， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故在处取得最大值，需满足， 代入计算最大值：， 令，则上式变为， 对求导：， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故在处取得最小值，即对成立，当且仅当时取等号， 因此，的唯一解为，即， 综上，取值的集合为； (ii) 由(i)知，， 在点处的切线方程为：， 切线交轴于，代入解得：， 整理得：， 令，则：， 已知，故， 由递推式得， 当： 左边：； 右边：； 左右相等； 假设当时，结论成立，即：， 根据递推公式：， 将归纳假设代入：，， 即：，故时结论也成立； 故对任意自然数，恒有， 由，得，且， 由，得：， 求和得：, 代入，得： 因，故，因此：得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届南开中学终极模拟数学 一、单选题 1. 已知全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. “都是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（    ） A. 设且，则 B. 残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C. 若，，三个事件两两独立，则 D. 一组数据，，，，，，，的第百分位数为 4. 已知是等差数列，是等比数列，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 函数的部分图象大致是 A. B. C. D. 6. 已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（ ） A. ，且 B. ，且 C. 与相交，且交线与垂直 D. 与相交，且交线与平行 7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. b＞a＞c 8. 已知函数 ，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为（    ） A. B. 2 C. D. 二、填空题 10. 设i是虚数单位，计算：______． 11. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 12. 若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 13. 2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________． 14. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 15. 设，满足：关于x的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为_____． 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.满足 （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 18. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 20. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2），都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $