精品解析：湖南湘潭电机子弟中学2025-2026学年高一下学期五月摸底考试数学试题

湘机中学高一数学下学期摸底考试试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 11. 已知中，其内角，，的对边分别为，，．下列命题正确的有（ ） A. 若，，，则的面积为 B. 若，，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数是纯虚数，则实数____． 13. 已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 14. 设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是______． 四、解答题（77分） 15. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 16. 已知函数 （1）求的定义域; （2）若，求的值; （3），成立， 求实数的取值范围． 17. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足． （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点，使得线段，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘机中学高一数学下学期摸底考试试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得. 【详解】因为复数，是的共轭复数，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，. 3. 已知，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：，， ，故. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求，注意根据的范围判断符号. 【详解】由，而， ∴， ∴. 故选：C. 6. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得. 【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 8. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底表示向量和，再根据数量积公式和运算律，即可求解. 【详解】， ， 所以， . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，可求直线与所成的角判断A；连接交于点，连接，可得直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角，求解可判断B；易求得二面角的大小判断C；接，平面截正方体所得的截面为梯形，求解可判断D. 【详解】对于A，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故A正确； 对于B，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角， 连接交于点，连接， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面，则， 又，所以为二面角的平面角， 所以二面角的平面角是，故C错误； 对于D，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且， 所以梯形的高为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知中，其内角，，的对边分别为，，．下列命题正确的有（ ） A. 若，，，则的面积为 B. 若，，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由三角形面积公式可判断A，利用正弦定理可判断B，由正弦定理及余弦定理可判断CD. 【详解】选项A，的面积，即选项A正确； 选项B，由正弦定理知，，所以，解得，即选项B正确； 选项C，因为，所以， 结合正弦定理，得， 由余弦定理知，，所以为锐角，但无法确定和的大小，即选项C错误； 选项D，由余弦定理知，， 所以，即选项D错误． 故选：AB． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数是纯虚数，则实数____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，且，则，解得. 13. 已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台上、下底面半径分别为，母线长， 可得圆台的高， 所以． 14. 设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 四、解答题（77分） 15. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得； （2）借助向量平行的性质计算计算可得，再利用坐标形式的模长公式计算即可得. 【小问1详解】 若，则，故或； 【小问2详解】 若，则，即， 则或， 若，则，，则， 若，则，，则， 即或. 16. 已知函数 （1）求的定义域; （2）若，求的值; （3），成立， 求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零即可求解； （2）根据对数函数的函数值确定，解方程即可求解； （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以，函数的定义域为． 【小问2详解】 由，得，所以，即． 经检验知符合题意． 【小问3详解】 由题意知：对成立，即． 在定义域上单调递增，所以，当时，． 所以，，所以 . 17. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设AC交BD于M，连接ME，则利用三角形的中位线定理得，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知得，，则由线面垂直的判定定理可得平面PAC，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）找到线面角即为，再根据三角函数定义即可得到答案. 【小问1详解】 设AC交BD于M，连接ME. ∵ABCD为正方形， ∴M为AC中点，又E为PA的中点， ∴ME为的中位线，则， 又平面，平面BDE， ∴平面. 【小问2详解】 ∵ABCD为正方形， ∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又，平面， ∴平面. ∵平面BDE， ∴平面平面. 【小问3详解】 连接， ∵平面， ∴PM是PB在平面PAC上的射影， 为直线与平面所成的角， ∵，易知， ∴，， ∴. 19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足． （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点，使得线段，，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式、余弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据辅助角公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据正弦定理、余弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 中，面积为， 又，, 所以， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，，又是锐角三角形，得， 所以 ， 由，所以，所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 当取得最大值时，，解得； 令，，， 则，∴； 又， ∴， ∴．∴， 当时等号成立； ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $