专题06 点线面位置关系（6大考点期末真题汇编，辽宁专用）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 专题06点线面位置关系汇编，涵盖6大高频考点，精选辽宁省多地高一下期末真题，题型多样，注重空间几何概念理解与逻辑推理，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|13题|点线面概念、线线角计算|结合生活情境（如椅子检测用相交直线确定平面）| |多选|3题|平面平行判定、点面距离|多选项辨析空间关系（如线面角与平行关系）| |填空|3题|二面角正切值、异面直线夹角|聚焦关键几何量计算（如正方体中直线夹角）| |解答题|20题|平行垂直证明、探索类问题|综合考查逻辑推理与空间想象，源自各地期末真题（如四棱锥中面面垂直证明）|

专题06 点线面位置关系 6大高频考点概览 考点01点线面位置关系概念 考点02平行与垂直 考点03线线角/线面角 考点04二面角 考点05点到面距离 考点06探索类问题 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列四个命题正确的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一分析四个选项即可. 【详解】若，，，则直线与的位置关系可以平行和异面，故A错误； 若，，，则直线与的位置关系可以平行、相交和异面，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 4．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】当内可对A、C判断；当时可对B判断，由面面平行可对D判断. 【详解】A：若，，当时，与不平行，故A错误； B：若，，当时，不能得到，故B错误； C：若，，当时，与不平行，故C错误； D：若，，可得，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，且满足，则 【答案】D 【分析】对于ABC，由特例法即可判断；对于D，由线面平行的判定定理、性质定理即可得证. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或，又，则或相交，故C错误； 对于D，因为l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，，， 所以， 所以，同理可证， 又，， 所以， 又因为，所以，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 7．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（    ） A．，，则 B．m，n与所成角均为30°，则 C．，，，则直线m，n到的距离相等 D．，，则m，n可以是异面直线 【答案】D 【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断. 【详解】对于A，，，则有可能，A错误； 对于B，m，n与所成角均为30°，则可能相交或平行或异面，B错误；    对于C，，，，直线m，n到的距离可以不相等，C选项错误；    对于D，，，则m，n可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D选项正确. 故选：D. 8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ） A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”. 故选：A 9．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 二、多选题 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）（多选）下列命题是真命题的是（   ） A．直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线 B．两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件 C．平面、，，，过内的任意一点作直线，则 D．空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补 【答案】AB 【分析】依据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系以及线面角、空间角的相关知识，结合举例，来对每个命题逐一进行分析判断. 【详解】对于A，已知直线不平行于平面，，那么直线与平面相交. 假设平面内存在与平行的直线，根据直线与平面平行的判定定理可得， 这与已知条件矛盾，所以平面内不存在与平行的直线，故A正确； 对于B，若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等， 所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等； 但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面， 因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理，此垂线必须在平面内才垂直于平面，而题中的垂线不一定在平面内，故C错误； 对于D，如图，，，过平面内一点作于点，点，连接， 过平面内一点作于点，点，连接， 则，，又，故， 但是和大小关系不确定，故D错误. 故选：AB. 地 城 考点02 平行与垂直 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，根据外接球半径求出正三棱柱的高，取的中点，连接，证明出面面平行，从而当在线段上时，平面，故 平面，故点Q运动轨迹的长度为的长，求出. 【详解】设正三棱柱的外接球半径为， 则，解得， 设的中点分别为，连接， 在上分别取，使得， 故分别为等边三角形和等边三角形的中心， 连接，则的中点即为正三棱柱的外接球球心， 即，设正三棱柱的高为，则，， 因为，所以，， 则，解得， 因为P为的中点，所以，又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 取的中点，连接，则，同理可证平面， 因为，平面，所以平面 平面， 故当在线段上时，平面，故 平面， 故点Q运动轨迹的长度为的长，.    故选：A 二、解答题 2．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到 .结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【详解】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴ . ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴ . ∵，∴ . ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 3．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）如图，在多面体中，平面，，四边形为梯形，，，.    (1)若是的重心，证明：四点共面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接，根据几何体的性质可得四边形、是平行四边形，进而可得，即证； （2）先确定为直线与平面所成角，进而可得，由，得，进而可得平面，进而可证. 【详解】（1）如图，连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接， 则， 又是的重心，所以， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面.    （2）因为， 所以确定一个平面， 如图，连接，因为平面， 所以为直线与平面所成角， 则， 所以 所以，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. 4．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定即可证明； （2）取的中点，连接，，易证面，得到，利用余弦定理可得，接着可证四边形是正方形，得到，根据线面垂直的判定可证面，得到. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且． 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，所以，所以， 因为面，面，所以 因为，面，面，所以面， 因为面，所以， 因为，，所以，， 所以四边形是正方形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为面，所以． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据中位线性质证明，结合直棱柱性质和线面平行判定定理可证； （2）先证，然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证. 【详解】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 6．（24-25高一下·辽宁省辽西重点高中·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，底面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设，交于点，证明即可得线面平行； （2）证明平面，即可得． 【详解】证明：（1）设，交于点. ∵四边形为菱形，∴是的中点， ∵是的中点，连接，∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）∵四边形为菱形，∴， ∵底面，平面，∴， ∵平面，平面， ，∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 7．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解. （2）连接，则，利用线面平行的判定定理得到平面，同理平面，利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，，，. 根据棱台的体积公式，可得. （2）如图所示: 连接，则. 又平面， 平面 所以平面 连接，则. 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面 因为， 所以平面平面. 8．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）设为的中点，连接、，根据中位线定理与平行公理得∥，进而得平面； （2）先证平面，再根据（1）得平面，进而得平面平面； （3）由（2）得为四面体的高，再根据几何关系计算体积即可. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接、， ∵为的中点，为的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴∥， ∵平面，平面 ∴平面； （2）证明：∵，是的中点 ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴平面， ∵， ∴， ∵， ∴平面， ∴平面，平面， ∴平面平面； （3）由（2）知，平面， ∴为四面体的高， 又， ∴，，， ∴， ∴ 四面体的体积. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以， 故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的定义，取中点，中点，连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案. 【详解】如图，取中点，中点，连接    在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，则 因为分别为中点，所以 又可得，则四边形为平行四边形 所以，则为异面直线与所成的角或其补角 由平面，平面，可得，所以， 在中，，，由余弦定理得， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以异面直线与所成的角的余弦值. 故选：B. 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解. 【详解】如图所示，作于点， 则，即， ， 则， 由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角， 设其为，则，即. 故答案为：. 故选：D. 4．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，因为且，    所以四边形为平行四边形， 则可得，所以直线AC与所成的角为或其补角. 在正方体中可知，所以可知. 故选：C 二、填空题 5．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】/ 【分析】由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期末）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.    (1)求证：； (2)若，求异面直线与所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角. 【详解】（1）在三棱锥中，由为的中点，得， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）分别取的中点，连接，于是， 则是异面直线与所成的角或其补角，    由（1）知，，又，， 则，于是， 令，则，又， 则有， ，又平面，平面， 则，，， 由分别为的中点，得， 显然，即有，，则， 所以异面直线与所成的角的大小. 7．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，平面，来证明面面平行； （2）先证明异面直线与所成角为（或其补角），再在中计算即可. 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 8．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，直三棱柱中，，若G，F分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设M是中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：取中点H，连接，，利用线面平行的判定定理证得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理得平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明即可； 法二：连接，根据中位线的性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用棱柱性质得，根据勾股定理得，进而利用线面垂直的性质定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）连接，，利用线面角的定义得即为所求的线面角，在直角三角形中求解正弦值即可； 【详解】（1）法一：取中点H，连接，， ，H，F分别为，和中点． ，，，从而， 平面，平面，平面，平面， 平面，平面，平面，平面， 与在平面内且相交，平面平面， 平面．平. 法二：连接， 为中点为中点，为中  ， 平面，平面，平面. （2）在直棱柱中，平面， 平面，， 不妨设，，，， ，， 又与在平面内且相交，平面， 平面，平面平面. （3）连接，， 平面，直线为直线在平面内的射影， 是与平面所成的角， 在中，， ， 故. 地 城 考点04 二面角 一、填空题 1．（24-25高一下·辽宁重点高中联考·期末）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______．    【答案】2 【分析】过点P作，垂足为E，根据面面垂直，线面垂直及线线垂直的性质得到为二面角的平面角，再结合锥体的体积公式及勾股定理即可求解． 【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E， 因为平面平面ABC， 又平面平面，平面PAD， 所以平面ABC， 又因为平面ABC， 所以， 因为，即， 又，PD，平面PAD， 所以平面PAD， 又因为平面PAD， 所以， 又因为， 所以为二面角的平面角， 因为三棱锥的体积，解得， 由勾股定理可得， 所以二面角的正切值为． 故答案为：．    二、解答题 2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. (1)求证：； (2)是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）做出二面角的平面角，解三角形，求二面角的平面角的余弦. 【详解】（1）平面圆，又平面圆，. 是圆的直径，. ，又平面，平面. 平面. 又平面，. （2）如图： 过点作，垂足为，连接， ，，. ，，， 在中，由余弦定理得， . 垂直圆所在的平面，又圆所在的平面， ，，. ，，， ，，且， 二面角的平面角为. 由三角形面积公式可得，. 在中由余弦定理可得， ∴二面角的余弦值为. 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）在上取一点，使得，得到四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理即可证平面； （2）取的中点，的中点，由面面垂直得到⊥平面，⊥，⊥，设，由余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥平面，即为二面角的平面角，解三角形即可求出. 【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．    (1)证明：平面ABC； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、．    因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，    因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 5．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． 6．（24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． (1)求证：平面 (2)设平面与平面的交线为直线．求证： (3)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及直三棱柱的性质，利用线面垂直的性质与判定，可得答案； （2）根据线面平行的性质与判定，可得答案； （3）由题意将三棱柱补形为四棱柱，根据线面垂直的性质以及二面角平面角的定义，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案. 【详解】（1）由为的中点，，则，易知， 在三棱柱中，易知，， 则，故， 在三棱柱中，由，则， 由平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. （2）在三棱柱中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以. （3）由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图： 其中底面为正方形，为的中点， 由（1）可知平面，且，则平面， 在四棱柱中，易知，则平面， 因为平面，所以， 由（1）可知平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 易知，， 所以，则二面角的正弦值为. 7．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且.    (1)证明：平面ABC； (2)求二面角的余弦值； (3)若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由是等边三角形得出，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，最后由线面垂直的判定定理即可证明 （2）过点作,垂足为,连接,利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解； （3）首先根据几何关系，确定平面⊥平面，并说明（或其补角）是是 与平面所成的角，根据余弦定理求角 【详解】（1）因为为中点，是等边三角形，所以, 又,,平面, 所以平面,则，已知,则 又,,在等边中，，所以， 由勾股定理逆定理，所以，因为,平面, 所以平面 （2）过点作,垂足为,连接,    由(1)知平面,平面，所以, 因为, , 平面,所以平面, 平面,所以, 所以为二面角的平面角. 因为, ,所以, , 所以二面角的余弦值为. （3）连接，由（1）知平面,平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小， 在 中，若最小，则， 此时， ， 因为，，，所以 平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为，    因为平面平面，所以平面， 所以（或其补角）是与平面所成的角。 在中，由余弦定理可得 ， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面，，点E，F分别为棱DC，DP的中点． (1)求证：平面PBD； (2)求二面角的正切值； (3)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直性质可得平面，由，进而可得平面，结合线面垂直的判定和性质定理即可证明结果； （2）过点作直线的垂线，垂足为推理可得为二面角的平面角，进一步计算即可推出结果. （3）取的中点，连接，可证得平面，则有点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积计算可得距离为，设直线与平面所成角为，由计算即可. 【详解】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得. 即，所以，所以. 因为四边形是矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，点是的中点，所以， 又平面， 所以平面. （2）过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示. 由(1)知平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面平面，所以，又， 所以，所以，解得 在中，， 所以，即二面角的正切值为. （3）取的中点，连接，如图所示， 易得，又平面平面， 所以平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为平面平面， 所以，所以，所以. 设点到平面的距离为，又， 所以，解得， 设直线与平面所成角为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 9．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的正切值； (3)若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由图翻折可知，，再利用面面垂直的判定证明即可； （2）过点作交于，通过证明平面，得到为二面角的平面角，再求正切值即可； （3）设和的外心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，可知四边形为矩形，设，通过计算可得外接球半径，当时，球的半径最小，此时点与点重合即可证明. 【详解】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． （3）由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（）， 由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，， 由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以， 即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 地 城 考点05 点到面距离 一、多选题 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）（多选）如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，EF∥AB，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且，则下述正确的是（    ） A．OF∥平面BCE B．BF⊥平面ADF C．点A到平面CDFE的距离为 D．三棱锥C—BEF外接球的体积为 【答案】ABC 【分析】利用直线与平面平行判定判断A；证明直线与平面垂直判断B；利用等体积法求到平面的距离，可得点到平面的距离判断C；找出三棱锥外接球的球心，求出半径，进一步求得外接球的体积判断D． 【详解】对于A：因为，所以，又，所以，则四边形为平行四边形， 得，而平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为，平面平面，且平面平面，在面内， 所以平面，平面，则， 由，，平面，所以平面，故B正确； 对于C：由，平面，平面，可得平面． 则点到平面的距离等于到平面的距离． 在中，由已知可得，则为等边三角形， 由对称性可知，而， 则与也是等边三角形，且边长均为1，知，，， 由已知结合勾股定理求得， 则，所以． 所以，． 设到平面的距离为， 由，得，解得，故C正确； 外接圆的圆心为，则矩形对角线长的一半为三棱锥外接球的半径，等于， 则三棱锥外接球的体积为，故D错误． 故选：ABC． 2．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．平面ABCD C．异面直线与所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据，但AC与不垂直，即可判断A，根据线面平行的判定即可求解B，根据线线平行可得就是异面直线与所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C，根据线面平行，结合等体积法即可求解D. 【详解】对A：连接，，则交于， 又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误； 对B：由，平面，平面，故平面；故B正确. 对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角， 由正方体可知，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成的角为，故C正确； 对D：由于，平面，平面，故平面， 所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d， 由体积法可知，，故D正确. 故选：BCD. 二、解答题 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （3）利用体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （3）如图： 设点到平面的距离为. 则. 又 . 在中，，，,所以. 所以 . 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，根据三线合一性质得到，，从而证明出线面垂直； （2）解法1：设点到平面的距离为，先求出点到的距离，由（1）知，平面，先计算出，并求出，由等体积法求出； 解法2：过C作，垂足为E，由（1）得面面垂直，推出平面，则即为点到平面的距离，求出点到的距离，根据三角形面积得到方程，求出，点C到平面的距离为； （3）求出，由余弦定理得，由勾股定理逆定理得，，连接，即为二面角的平面角，由勾股定理逆定理得，求出，得到答案. 【详解】（1）证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以，， 又因为为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面. （2）解法1：设点到平面的距离为， 在中，，， 可得点到的距离为， 由（1）知，平面， 所以， 又因为，所以. 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过C作，垂足为E，所以平面， 则即为点到平面的距离， 在中，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点C到平面的距离为；    （3）由（2）知，，， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 解得， 又，则，所以， 故四边形为矩形，， 又为等边三角形，故，又， 则，所以， 设，连接，，所以， 又，所以即为二面角的平面角， 因为，，，所以， 由勾股定理逆定理得， 所以，所以二面角的正弦值为. 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知梯形，，，将梯形绕直线旋转角至梯形，为的中点，连接，，． (1)证明：平面； (2)当面积最大时，求二面角的余弦值； (3)当二面角为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定、性质，再根据线面平行的判断即可证明结论； （2）取的中点，连接，，先根据二面角的定义，得到为二面角的平面角，再结合余弦定理，三角形的面积公式即可求解； （3）连接，先结合（2）求出，，设点到平面的距离为，再利用等体积法即可求出点到平面的距离． 【详解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，， 由（1）知， 又，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以，， 所以，， 又，则平面， 所以为二面角的平面角， 所以， 又， 所以， 因为，所以平面， 又平面，所以， 所以， 在中， 由余弦定理， 所以，整理得（*） 又， 则当时，面积最大， 所以此时，代入（*）得． （3）连接， 结合（2）可得，， 当二面角为时，则平面， 又平面，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 又，即，解得， 故点到平面的距离为． 地 城 考点06 探索类问题 一、解答题 1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点． (1)若平面与直线交于R点，求的值； (2)若为棱上一点且，若平面，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设平面PQC与直线AA1交于R点，连接RQ，RP，可证，则，求得，可求的值； （2）取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，设平面，连接， 证明，可求的值． 【详解】（1）如图所示： 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，根据空间等角定理可知，，则， 又，，，则，即，，所以. （2）取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则， 又平面， 平面，则平面． 又平面，平面且，所以平面平面， 设平面，连接， 由平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，则四边形为平行四边形，同理四边形也是平行四边形， 所以，所以． 2．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）如图，四棱锥 的底面为平行四边形，点 分别为 的中点. (1)求证: 平面 平面 ; (2)在棱 上确定一点，使 平面，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为棱中点，理由见解析 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面平行的判定定理，证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）当为棱中点时，平面， 取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 3．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 5．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】(1)截面见解析； (2)存在，，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据面面平行得到线线平行，从而得到截面图形； （2）当时，，所以Rt∽Rt，从而得到⊥，结合⊥，得到⊥平面，所以⊥，同理可证⊥，所以⊥平面； （3）设与平面的斜足为，等体积法求出，大减小得到，所以，故，又，则为的中点，即，所以. 【详解】（1）如图所示，平行四边形即为过三点作出长方体的截面，理由如下： 因为平面与平面平行， 所以平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 故只有取的中点，连接，可以保证上述条件， 所以平行四边形即为过三点作出长方体的截面； （2）存在实数，使得直线与平面垂直，理由如下： 当时，， 因为，所以，所以Rt∽Rt， 则，所以，即⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 同理可证⊥，又，平面， 所以⊥平面； （3）设与平面的斜足为， 因为， 又， 其中， ，故， 所以，故， 若，则，故， 所以在线段上取一点P，使得三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即，所以. 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由已知可得 ， ，然后由线面平行的判定定理可得结论； （2）由已知面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （3）当为中点时，满足条件，连接，设，可得 ，，再结合面面垂直可得平面，然后由面面垂直的判定得平面平面，利用等体积法可求得三棱锥体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以， ， ， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以 ， ， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以 . 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 点线面位置关系 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．D. 2．D 3．C 4．D. 5．D 6．A. 7．D 8．A 9．D 二、多选题 10．AB 地 城 考点02 平行与垂直 一、单选题 1．A 二、解答题 2．【详解】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴ . ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴ . ∵，∴ . ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 3．【详解】（1）如图，连接并延长交于点，在棱上取点，使，连接， 则， 又是的重心，所以， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面.    （2）因为， 所以确定一个平面， 如图，连接，因为平面， 所以为直线与平面所成角， 则， 所以 所以，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. 4．【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且． 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，所以，所以， 因为面，面，所以 因为，面，面，所以面， 因为面，所以， 因为，，所以，， 所以四边形是正方形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为面，所以． 5．【详解】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 6．【详解】证明：（1）设，交于点. ∵四边形为菱形，∴是的中点， ∵是的中点，连接，∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）∵四边形为菱形，∴， ∵底面，平面，∴， ∵平面，平面， ，∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 7．【详解】（1）由题可知，，，. 根据棱台的体积公式，可得. （2）如图所示: 连接，则. 又平面， 平面 所以平面 连接，则. 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面 因为， 所以平面平面. 8．【详解】（1）证明：设为的中点，连接、， ∵为的中点，为的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴∥， ∵平面，平面 ∴平面； （2）证明：∵，是的中点 ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∵，，∴平面， ∵，∴， ∵，∴平面， ∴平面，平面， ∴平面平面； （3）由（2）知，平面， ∴为四面体的高， 又， ∴，，， ∴， ∴ 四面体的体积. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．C 二、填空题 5．/ 三、解答题 6．【详解】（1）在三棱锥中，由为的中点，得， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）分别取的中点，连接，于是， 则是异面直线与所成的角或其补角，    由（1）知，，又，， 则，于是， 令，则，又， 则有， ，又平面，平面， 则，，， 由分别为的中点，得， 显然，即有，，则， 所以异面直线与所成的角的大小. 7．【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 8．【详解】（1）法一：取中点H，连接，， ，H，F分别为，和中点． ，，，从而， 平面，平面，平面，平面， 平面，平面，平面，平面， 与在平面内且相交，平面平面， 平面．平. 法二：连接， 为中点为中点，为中  ， 平面，平面，平面. （2）在直棱柱中，平面， 平面，， 不妨设，，，， ，， 又与在平面内且相交，平面， 平面，平面平面. （3）连接，， 平面，直线为直线在平面内的射影， 是与平面所成的角， 在中，， ， 故. 地 城 考点04 二面角 一、填空题 1．2 二、解答题 2．【详解】（1）平面圆，又平面圆，. 是圆的直径，. ，又平面，平面. 平面. 又平面，. （2）如图： 过点作，垂足为，连接， ，，. ，，， 在中，由余弦定理得， . 垂直圆所在的平面，又圆所在的平面， ，，. ，，， ，，且， 二面角的平面角为. 由三角形面积公式可得，. 在中由余弦定理可得， ∴二面角的余弦值为. 3．【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 4．【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、．    因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，    因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 5．【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． 6．【详解】（1）由为的中点，，则，易知， 在三棱柱中，易知，， 则，故， 在三棱柱中，由，则， 由平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. （2）在三棱柱中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以. （3）由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图： 其中底面为正方形，为的中点， 由（1）可知平面，且，则平面， 在四棱柱中，易知，则平面， 因为平面，所以， 由（1）可知平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 易知，， 所以，则二面角的正弦值为. 7．【详解】（1）因为为中点，是等边三角形，所以, 又,,平面, 所以平面,则，已知,则 又,,在等边中，，所以， 由勾股定理逆定理，所以，因为,平面, 所以平面 （2）过点作,垂足为,连接,    由(1)知平面,平面，所以, 因为, , 平面,所以平面, 平面,所以, 所以为二面角的平面角. 因为, ,所以, , 所以二面角的余弦值为. （3）连接，由（1）知平面,平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小， 在 中，若最小，则， 此时， ， 因为，，，所以 平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为，    因为平面平面，所以平面， 所以（或其补角）是与平面所成的角。 在中，由余弦定理可得 ， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 8．【详解】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得. 即，所以，所以. 因为四边形是矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，点是的中点，所以， 又平面， 所以平面. （2）过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示. 由(1)知平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面平面，所以，又， 所以，所以，解得 在中，， 所以，即二面角的正切值为. （3）取的中点，连接，如图所示， 易得，又平面平面， 所以平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为平面平面， 所以，所以，所以. 设点到平面的距离为，又， 所以，解得， 设直线与平面所成角为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 9．【详解】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． （3）由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（）， 由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，， 由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以， 即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 地 城 考点05 点到面距离 一、多选题 1．ABC 2．BCD 二、解答题 3．【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （3）如图： 设点到平面的距离为. 则. 又 . 在中，，，,所以. 所以 . 4．【详解】（1）证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以，， 又因为为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面. （2）解法1：设点到平面的距离为， 在中，，， 可得点到的距离为， 由（1）知，平面， 所以， 又因为，所以. 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过C作，垂足为E，所以平面， 则即为点到平面的距离， 在中，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点C到平面的距离为；    （3）由（2）知，，， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 解得， 又，则，所以， 故四边形为矩形，， 又为等边三角形，故，又， 则，所以， 设，连接，，所以， 又，所以即为二面角的平面角， 因为，，，所以， 由勾股定理逆定理得， 所以，所以二面角的正弦值为. 5．【详解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，， 由（1）知， 又，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以，， 所以，， 又，则平面， 所以为二面角的平面角， 所以， 又， 所以， 因为，所以平面， 又平面，所以， 所以， 在中， 由余弦定理， 所以，整理得（*） 又， 则当时，面积最大， 所以此时，代入（*）得． （3）连接， 结合（2）可得，， 当二面角为时，则平面， 又平面，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 又，即，解得， 故点到平面的距离为． 地 城 考点06 探索类问题 一、解答题 1．【详解】（1）如图所示： 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，根据空间等角定理可知，，则， 又，，，则，即，，所以. （2）取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则， 又平面， 平面，则平面． 又平面，平面且，所以平面平面， 设平面，连接， 由平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，则四边形为平行四边形，同理四边形也是平行四边形， 所以，所以． 2．【详解】（1）在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）当为棱中点时，平面， 取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 3．【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 4．【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 5．【详解】（1）如图所示，平行四边形即为过三点作出长方体的截面，理由如下： 因为平面与平面平行， 所以平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 故只有取的中点，连接，可以保证上述条件， 所以平行四边形即为过三点作出长方体的截面； （2）存在实数，使得直线与平面垂直，理由如下： 当时，， 因为，所以，所以Rt∽Rt， 则，所以，即⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 同理可证⊥，又，平面， 所以⊥平面； （3）设与平面的斜足为， 因为， 又， 其中， ，故， 所以，故， 若，则，故， 所以在线段上取一点P，使得三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即，所以. 6．【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以， ， ， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以 ， ， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以 . 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 点线面位置关系 6大高频考点概览 考点01点线面位置关系概念 考点02平行与垂直 考点03线线角/线面角 考点04二面角 考点05点到面距离 考点06探索类问题 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列四个命题正确的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，且满足，则 6．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（    ） A．，，则 B．m，n与所成角均为30°，则 C．，，，则直线m，n到的距离相等 D．，，则m，n可以是异面直线 8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ） A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 9．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 二、多选题 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）（多选）下列命题是真命题的是（   ） A．直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线 B．两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件 C．平面、，，，过内的任意一点作直线，则 D．空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补 地 城 考点02 平行与垂直 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 二、解答题 2．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 3．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）如图，在多面体中，平面，，四边形为梯形，，，.    (1)若是的重心，证明：四点共面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，证明：. 4．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 6．（24-25高一下·辽宁省辽西重点高中·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，底面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 7．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 8．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 二、填空题 5．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 三、解答题 6．（24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期末）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.    (1)求证：； (2)若，求异面直线与所成的角的大小. 7．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 8．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，直三棱柱中，，若G，F分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设M是中点，求直线与平面所成角的正弦值． 地 城 考点04 二面角 一、填空题 1．（24-25高一下·辽宁重点高中联考·期末）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______．    二、解答题 2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. (1)求证：； (2)是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．    (1)证明：平面ABC； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 6．（24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． (1)求证：平面 (2)设平面与平面的交线为直线．求证： (3)若，求二面角的正弦值． 7．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且.    (1)证明：平面ABC； (2)求二面角的余弦值； (3)若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值. 8．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面，，点E，F分别为棱DC，DP的中点． (1)求证：平面PBD； (2)求二面角的正切值； (3)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值． 9．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的正切值； (3)若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 地 城 考点05 点到面距离 一、多选题 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）（多选）如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，EF∥AB，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且，则下述正确的是（    ） A．OF∥平面BCE B．BF⊥平面ADF C．点A到平面CDFE的距离为 D．三棱锥C—BEF外接球的体积为 2．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．平面ABCD C．异面直线与所成的角为 D．点到平面的距离为 二、解答题 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知梯形，，，将梯形绕直线旋转角至梯形，为的中点，连接，，． (1)证明：平面； (2)当面积最大时，求二面角的余弦值； (3)当二面角为时，求点到平面的距离． 地 城 考点06 探索类问题 一、解答题 1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点． (1)若平面与直线交于R点，求的值； (2)若为棱上一点且，若平面，求的值． 2．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）如图，四棱锥 的底面为平行四边形，点 分别为 的中点. (1)求证: 平面 平面 ; (2)在棱 上确定一点，使 平面，并说明理由. 3．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 5．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $