精品解析：湖南岳阳市第十中学2025-2026学年下学期八年级期中考试 数学

岳阳市第十中学2026年上学期八年级期中考试 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线相交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时，该港口水深最浅 B. 当时，t的值是1或5 C. 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨 D. 某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 6. 下列语句中，正确的是（ ） A. 各角相等的多边形叫做正多边形 B. 平行四边形的内角和与外角和相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 菱形不是轴对称图形 7. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（ ） A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° 8. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，关于结论1和2，下列判断正确的是（ ） 结论1：四边形是矩形； 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12． A. 只有结论1正确 B. 只有结论2正确 C. 结论1和2都正确 D. 结论1和2都不正确 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，以的长为半径画弧，交轴负半轴于点，连接．分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接．若，则我们把叫做点P的“角坐标”．则点的“角坐标”为____________． 14. 如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点的对应点为，交轴于点．已知，，则点的坐标为______． 16. 如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，过点作于点，且． （1）______； （2）连接，分别交，于点，，已知，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点在第三象限，且为整数． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示． （1）在图中作出关于轴对称的图形（请先用铅笔绘图，确认无误后，再用黑色水性笔描绘一遍）；并直接写出点的坐标_____； （2）直接写出的面积：_____； （3）已知点在轴上，且的面积等于4，求点的坐标． 19. 如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． （1）请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． （2）若平分，且，求平行四边形的周长． 20. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 21. 如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求矩形的面积． 22. 如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． （1）直接写出点的坐标_____； （2）求证：； （3）如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； （4）如图3，连接交于点，连接，求证：． 24. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”这是《岳阳楼记》中的一句千古名言，也是岳阳精神的真实写照，这句话具有鲜明的对称美．如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______________（填序号） ①平行四边形；②长方形；③正方形；④菱形；⑤梯形 （2）在四边形中，点E是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点F在四边形内部），连接并延长交于点G． ①如图2，若四边形是矩形，求证：四边形是“忧乐四边形”． ②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）如图4，四边形是正方形，且点E为线段上的动点（不与B、C重合），四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点F在正方形内部），连接并延长，与的延长线交于点H，连接，请直接写出三条线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳市第十中学2026年上学期八年级期中考试 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断点的坐标符号特征（-，+），根据点坐标与象限的特征解题，点的符号（+，+），则点在第一象限，点的符号（-，+），则点在第二象限，点的符号（-，-），则点在第三象限，点的符号（+，-），则点在第四象限，据此解题. 【详解】解： 点的横坐标，点的纵坐标， 在第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查点坐标与象限的特征，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确． 3. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正n边形的内角和公式为，且正n边形的每个内角都相等，据此计算即可． 【详解】解：∵正八边形的边数， ∴正八边形的内角和为， 又∵正八边形的各个内角相等， ∴正八边形的一个内角的度数为 ． 4. 如图，在中，对角线相交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时，该港口水深最浅 B. 当时，t的值是1或5 C. 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨 D. 某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，根据图1和图2分别分析判断即可． 【详解】解：当时，纵坐标植最小，该港口水深最浅，故A正确，不符合题意． 当时，t的值是1或5，故B正确，不符合题意． 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨，故C正确，不符合题意． 该货船吃水深度为，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时底与港口水底间的距离最少，故该货船进出港口时要求水深最少为． 而当时，，故此时它不可以进出港口． 故D错误，符合题意． 故选：D 6. 下列语句中，正确的是（ ） A. 各角相等的多边形叫做正多边形 B. 平行四边形的内角和与外角和相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 菱形不是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形概念，多边形内角和与外角和性质，矩形判定，菱形的对称性，逐一判断各选项正误即可得到结果． 【详解】A．正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个条件，仅各角相等的多边形不是正多边形，例如矩形各角相等但不是正四边形，故本选项错误，不符合题意； B．任意边形内角和为，任意多边形外角和都为，平行四边形是四边形，内角和为，与外角和相等，故本选项正确，符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故本选项错误，不符合题意； D．菱形的对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意； 7. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（ ） A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 8. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，关于结论1和2，下列判断正确的是（ ） 结论1：四边形是矩形； 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12． A. 只有结论1正确 B. 只有结论2正确 C. 结论1和2都正确 D. 结论1和2都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，连接与交于点O，连接，由正方形的边长为8，可得再结合，即可证明四边形是矩形，则，当O与M重合时的长最小，此时，，求出，可得四边形的面积为． 【详解】解：正方形的边长为8，如图，连接与交于点O，连接， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故结论1正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴当O与M重合时的长最小，此时，， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∴结论2错误， 综上所述，只有结论1正确， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，以的长为半径画弧，交轴负半轴于点，连接．分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作轴于H，根据三角函数的定义得到，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作轴于H， ∵， ∴，， ∴， 由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴第一次旋转得到C点的对应点在第三象限，坐标为， 第二次旋转得到C点的对应点在第四象限，坐标为， 第三次旋转得到C点的对应点在第一象限，坐标为， ∴第四次旋转得到C点的对应点在第二象限，坐标为，与起点重合， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点C的坐标为． 10. 如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，证明，所以，进而可以判断①；根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，进而可以判断②；由，进而可以判断③；根据勾股定理，进而可以判断④；证明四边形是平行四边形，所以，进而可以判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：结论正确的有①②③⑤． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-1且x≠3 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分母不等于零，列出不等式组，进而即可求解． 【详解】由题意得：x+1≥0且3-x≠0， 解得：x≥-1且x≠3， 故答案是：x≥-1且x≠3． 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分母不等于零，是解题的关键． 12. 彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5， ． ∵点，分别为边，的中点， ∴． ∵，点为的中点， ． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接．若，则我们把叫做点P的“角坐标”．则点的“角坐标”为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，理解题中“角坐标”的定义是解题的关键．根据题中对“角坐标”的定义即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，连接，， 则， 所以，． 即点的“角坐标”为． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可根据，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点的对应点为，交轴于点．已知，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用．解题的关键是利用折叠的性质得到平分，结合得到,从而推出是等腰三角形，设未知数利用勾股定理求解．先由折叠和平行线性质得，再设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠性质，平分, , 四边形是矩形， , , ，即, 是等腰三角形，, 设,则. 在中，， 由勾股定理：， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，过点作于点，且． （1）______； （2）连接，分别交，于点，，已知，，则的长为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明得，证明得，推出，可得答案； （2）如图，连接，，根据正方形的性质及垂直的定义得，，证明得，，证明得，，推出，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵在正方形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，， ∵正方形中，，，， ∴，， 由（1）知：，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即的长为． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点在第三象限，且为整数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据x轴上的点的坐标特点为纵坐标都为0，求出a的值，再代入计算即可； （2）根据第三象限的点的特征列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：点在x轴上， ， ， ， 点M的坐标为； 【小问2详解】 解： 点M在第三象限， ， ， 又a为整数， ， ， 点M的坐标为． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示． （1）在图中作出关于轴对称的图形（请先用铅笔绘图，确认无误后，再用黑色水性笔描绘一遍）；并直接写出点的坐标_____； （2）直接写出的面积：_____； （3）已知点在轴上，且的面积等于4，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可，进而写出的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）设，由，求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求： 则； 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：设，则， ∵的面积等于4，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 19. 如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． （1）请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． （2）若平分，且，求平行四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的判定与性质可得结论； （）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，然后通过周长公式即可求解． 【小问1详解】 当选择时， 证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； 当选择时， 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的周长． 20. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直平分线 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的作法、菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由作法可知点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， （2）由作图可知垂直平分，得，，,再证明，进而可得四边形四边都相等，由此得出四边形是菱形. 【小问1详解】 解：点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， 【小问2详解】 由作图可知：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. 21. 如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得：， ，是的中位线， ， ， ． 22. 如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，利用即可证明； （2）根据正方形的性质结合角平分线的定义可得 ，由（1）知，得到 ，进而求出 ；证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， 在和中，， ； 【小问2详解】 解：平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， ， ， ； 在和中，， ， ， ， ，． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． （1）直接写出点的坐标_____； （2）求证：； （3）如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； （4）如图3，连接交于点，连接，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质求得点C的坐标； （2）在上取，连接，只要证明即可． （3）如图，作于F，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标． （4）将绕点D顺时针方向旋转得，得，证明，得，进一步得出，得平分，由平分可得结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，作于F， ∵ ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点N坐标， 四边形是平行四边形，，，由平移知识可知： ； 【小问4详解】 证明：将绕点D顺时针方向旋转得， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 即平分． 又平分， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ． 24. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”这是《岳阳楼记》中的一句千古名言，也是岳阳精神的真实写照，这句话具有鲜明的对称美．如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______________（填序号） ①平行四边形；②长方形；③正方形；④菱形；⑤梯形 （2）在四边形中，点E是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点F在四边形内部），连接并延长交于点G． ①如图2，若四边形是矩形，求证：四边形是“忧乐四边形”． ②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）如图4，四边形是正方形，且点E为线段上的动点（不与B、C重合），四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点F在正方形内部），连接并延长，与的延长线交于点H，连接，请直接写出三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）③④ （2）①见解析；②成立，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义即可解答； （2）①如图：连接，根据矩形的性质、折叠的性质证明即可证明结论；②如图：连接，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明即可解答； （3）如图：过点A作过点C作连接交于P，然后证明得到，然后再根据勾股定理可得、，最后代入整理即可解答． 【小问1详解】 解：由“忧乐四边形”的定义可知：正方形、菱形是“忧乐四边形”． 故答案为③④． 【小问2详解】 解：①如图：连接 ∵四边形是矩形， ∴． ∵E是的中点，， ∵将沿折叠后得到， ∴， ∴，, 在和中 ∴， ∴四边形沿折叠完全重合 ∴四边形是“忧乐四边形”； ②：①中结论仍然成立，理由如下: 如图：连接， ∵E是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴， ∴， ， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴，且 ∴， ∴， ∴∠， ∴， 在和中， ∴， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“忧乐四边形”． 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点A作，过点C作，连接交于P， ∵四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”， ∴, ∴，, ∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∵ ∴, ∴, ∴， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴， ∵, ∴, ∴， 在中，,, ∴,则,即 在中，,, ∴,则,即 ∴,即， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $