精品解析：湖南岳阳市湘一南湖学校2025-2026学年下学期八年级期中考试 数学

湘一南湖学校2026年上学期八年级期中考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. 如图，“云形”盖住的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据题意，判断出“云形”盖住的点在第二象限，由第二象限点的坐标特征求解即可得到答案，熟记平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：“云形”盖住的点在第二象限， 第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正， “云形”盖住的点的坐标可以是， 故选：B． 3. 龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为． 4. 已知，，则（ ） A. 轴 B. 轴 C. 经过原点 D. 轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据、两点的坐标特征，结合平面直角坐标系中直线与坐标轴的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵，，横坐标相同， ∴轴，且不经过原点． 5. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 6. 如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， 故选：A． 7. 检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 测量门框的一组邻边是否相等 C. 测量两条对角线是否互相平分 D. 用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】已知门框四边形两组对边分别相等，可先判定该四边形是平行四边形，再结合平行四边形判定矩形的判定定理判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形两组对边分别相等， ∴该四边形是平行四边形． 对各选项逐一判断 A、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； C、平行四边形的对角线本来就互相平分，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意． 8. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图像性质，理解参数符号对图像的影响是解题关键． 先判断出两个函数的一次项系数相同、图像平行，再通过分类讨论参数的符号，确定直线的升降趋势与坐标轴交点位置，最后结合选项验证得出答案． 【详解】解：正比例函数与一次函数的一次项系数都是，则两条直线互相平行， 选项：据图可知，则一次函数与轴的交点应在负半轴，而不是正半轴，错误； 选项：据图可知，两条直线的函数值均随着值增加而增大，且一次函数与轴的交点在正半轴，正确； 选项：两条直线不平行，错误； 选项：两条直线不平行，错误． 故选：． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　） A. 12 B. 20 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】延长DM交AC于E，利用ASA证明△ADM≌△AEM可得AE=AD=12，DM=EM，即可证明MN是△CDE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可求解． 【详解】解：延长DM交AC于E， ∵AM平分∠CAD，AM⊥DM， ∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°， 在△ADM和△AEM中， ， ∴△ADM≌△AEM（ASA）， ∴DM=EM，AE=AD=12， ∴M点是DE的中点， ∵N是CD的中点， ∴MN是△CDE的中位线， ∵MN=2， ∴CE=2MN=4， ∴AC=AE+CE=12+4=16， 在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC， ∴AC⊥AD， ∴∠CAD=90°， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解AC的长是解题的关键． 10. 某容器由、、三段圆柱体组成（如图①），其中、、的底面积分别为，，（单位：），段的容积是容器总容积的．现以速度（单位：）匀速向容器注水，直至注满为止．图②是注水全过程中容器的水面高度（单位：）与注水时间（单位：）的函数图像．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得出注满、容器的时间，再根据容器的容积是容器总容积的可求出注满容器的时间为；然后根据图像分别用代数式表示出注满容器，容器，容器的用时和容器，容器，容器的高度，根据容器容积＝注水速度×注满容器的时间建立等量关系式，，，然后求解即可作出判断． 【详解】解：由图可知，注满容器用时，注满容器用时，注满容器用时，注满、容器用时， ∵容器的容积是容器总容积的， ∴、容器的容积是容器总容积的， ∴注满容器用时：， ∴， ∴，故选项B不符合题意， 设注水速度为，由图可知，、、容器的高度分别为、、， ∵、、容器的底面积分别为、、， ∴， ， ， 由题意可知：，， ①÷②，得：， ∴， ①÷③，得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验：，都是原方程的解， 故选项A不符合题意，选项C符合题意， 把代入①，得： ， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图像的应用，观察图像提供的信息，得到注满、容器用时，再根据、两容器容积是容器容积的倍是解题的关键，也是本题的突破口；根据容器容积＝注水速度×注满容器的时间建立等量关系式并求解是解题的难点． 二．填空题（共8小题，每小题3分） 11. 已知函数是正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 12. 已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查离差平方和，方差是离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可求离差平方和． 【详解】由方差公式 ，其中 ，，则离差平方和 ． 故答案为： 120． 13. 2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，用坐标确定位置，掌握好相关知识是关键． 根据，两点的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图是跷跷板板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，跷跷板的一端着地时，过作垂直于地面， ∵是的中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端离地面的高度为， 故答案为：． 15. 一次函数的图象如图所示，若函数值，则自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象即可得出结论． 【详解】由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方，即当时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，从图象中获取正确信息是解题的关键． 16. 如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 又∵， ∴的对边为，即， ∴， ∴， 解得或． 17. 如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点四边形为平行四边形（特殊的平行四边形），以及中点四边形的面积为原四边形的面积的一半，推出的面积为，进行求解即可. 【详解】解：∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴，，， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形； ∴矩形的面积， 同理，是菱形； 则的面积， 的面积， 的面积， 故的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 即， 解得. 18. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作．特别地，当图形M，N有公共点时，记作．一次函数的图象为L，L与y轴的交点为D，在中，，，． （1）_________， （2）将函数的图象记为W，若，则b的取值范围为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）求出L与y轴的交点为D的坐标，结合图象，即可求解； （2）由与平行，结合图象分别求出时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：（1）将代入得， ， 点到点的距离， 即． （2）将代入得， 直线与y轴的交点， 当时，如下图所示，直线与y轴的交点，与x轴交于点N，过点A作，交于点G， ，， ， ， ， 当时，， 点，即； 当时，如下图所示，直线与y轴的交点，与x轴交于点P，过点C作，交于点H， 同理，当时，， ， ， ． 三．解答题（共8小题） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，立方根等知识点，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，乘方，立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 20. 法定节日为大家带来了很多快乐．在2026年中的一些节日我们可以用坐标来表示：例如：元旦用表示（即1月1日），清明节用表示（即4月5日）． （1）请你写出劳动节的坐标_________； （2）画出； （3）把先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到，则的面积为_________． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据题干给定的表示方法进行表示即可； （2）描点，连线，画出三角形即可； （3）画出平移后的图形，根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：劳动节的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：如图， 面积． 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可. 【小问1详解】 解：设，代入 和得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，. 22. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，选错、多选、不选都算错．竞赛结束后，学校抽取了名同学的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）：2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13将以上数据分五个等次（A：，B：，C：，D：，E：），绘制了如图所示的尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图． （1）_________，_________； （2）补出频数分布直方图中的等次部分； （3）这些答对题数的中位数为_________． 【答案】（1）20，6 （2）见解析 （3）11.5 【解析】 【分析】（1）结合两个统计图确定等级E的人数和占比，相除得到抽取的人数，再抽取的人数乘以等级C的占比求出； （2）先求出等级D的人数，再求出等级B的人数，即可补全频数分布直方图； （3）先将剩下的数据从小到大排列，结合统计图确定被污染的数据所在的等级，再根据中位数的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由两个统计图可知，等级E的人数为人，占比， ∴抽取人数为（人），即， ∵等级C的占比为， ∴等级C的人数为（人），即； 【小问2详解】 解：∵， ∴等级D的人数也是人， ∴等级B的人数为（人）， 频数分布直方图补全如下： 【小问3详解】 解：将剩下的个数据从小到大排列得： 2，4，5，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，18，20， 其中等级A的数据有2个，等级B的数据有2个，等级C的数据有6个，等级D的数据有6个，等级E的数据有2个， ∴被污染的数据一个在等级B，一个在等级E， ∵A、B两组共个数， ∴这个数据的第个数为C组的第个数，即，第个数为C组第个数，即， ∴中位数为（道）． 23. 如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 24. 随着某地区复工复产有序推进，某企业为保障员工健康，计划购买、两种型号的额温枪．经市场调查发现：购买个种额温枪和个种额温枪共需元，购买个种额温枪和个种额温枪共需元． （1）求每个种额温枪和种额温枪各多少元； （2）该企业准备购买、两种型号的额温枪共个，其中购买种额温枪不少于个．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用． 【答案】（1）每个种额温枪元，每个种额温枪元； （2）最省钱的购买方案为购买种额温枪个，购买种额温枪个，最低费用为元． 【解析】 【分析】（1）设每个种额温枪元，每个种额温枪元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购买种额温枪个，则购买种额温枪个，总费用为元，根据题意可得关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每个种额温枪元，每个种额温枪元， 根据题意可得， 解得， ∴每个种额温枪元，每个种额温枪元． 【小问2详解】 解：设购买种额温枪个，则购买种额温枪个，总费用为元， 根据题意可得总费用为， ∵购买种额温枪不少于个， ∴， ∵， ∴总费用随的增大而增大， ∴当时，总费用取得最小值， 总费用的最小值为（元）， 此时，（个）， ∴最省钱的购买方案为购买种额温枪个，购买种额温枪个，最低费用为元． 25. 定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． （1）一次函数图象的“星光点”为_________； （2）关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值； （3）在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 【答案】（1） （2）， （3）“星光点”为 或 【解析】 【分析】（1）直接联立一次函数与，解方程组得到交点坐标； （2）根据“星光点”在上，得，求出，再将星光点坐标代入一次函数求； （3）由“没有星光点”推出，得到函数解析式，进而求出与坐标轴的交点、；利用三角形面积关系​，设点坐标，通过面积公式列方程求解；最后用待定系数法求直线的解析式，联立求星光点． 【小问1详解】 解：根据“星光点”的定义得， 解得； ∴一次函数图象的“星光点”为； 【小问2详解】 解：一次函数图象的“星光点”为， 根据“星光点”的定义得， 解得； 【小问3详解】 解：如图， ∵若一次函数没有“星光点”， 即与没有交点， 联立，得， 整理得， 由于无解， ∴； 一次函数的图象分别与轴，轴交于点，， 令，，则点， 令，，则点， ∴， ∴， 设点，， ∵， ∴， ∴或， ∴点，； ①当点，， 设， 将点，代入得； 解得， 则， 联立； 解得， ∴的“星光点”是． ②当点，， 设， 将点，代入得； 解得， 则， 联立； 解得， ∴的“星光点”是． 综上，直线的“星光点”为或． 26. 学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由； 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：证明见解析；[探究提升]：能，四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【解析】 【分析】[探究发现]由将沿翻折得到，即知，，而，故，根据四边相等的四边形是菱形即可证明； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]： 解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]： 证明：如图： 将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]： 解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∴， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形，角直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2026年上学期八年级期中考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，“云形”盖住的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 轴 B. 轴 C. 经过原点 D. 轴 5. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 6. 如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 测量门框的一组邻边是否相等 C. 测量两条对角线是否互相平分 D. 用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 8. 正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　） A. 12 B. 20 C. 24 D. 30 10. 某容器由、、三段圆柱体组成（如图①），其中、、的底面积分别为，，（单位：），段的容积是容器总容积的．现以速度（单位：）匀速向容器注水，直至注满为止．图②是注水全过程中容器的水面高度（单位：）与注水时间（单位：）的函数图像．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每小题3分） 11. 已知函数是正比例函数，则k的值为______． 12. 已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______． 13. 2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 14. 如图是跷跷板板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 15. 一次函数的图象如图所示，若函数值，则自变量x的取值范围是___． 16. 如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 17. 如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 18. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作．特别地，当图形M，N有公共点时，记作．一次函数的图象为L，L与y轴的交点为D，在中，，，． （1）_________， （2）将函数的图象记为W，若，则b的取值范围为_________． 三．解答题（共8小题） 19. 计算：． 20. 法定节日为大家带来了很多快乐．在2026年中的一些节日我们可以用坐标来表示：例如：元旦用表示（即1月1日），清明节用表示（即4月5日）． （1）请你写出劳动节的坐标_________； （2）画出； （3）把先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到，则的面积为_________． 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 22. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，选错、多选、不选都算错．竞赛结束后，学校抽取了名同学的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）：2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13将以上数据分五个等次（A：，B：，C：，D：，E：），绘制了如图所示的尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图． （1）_________，_________； （2）补出频数分布直方图中的等次部分； （3）这些答对题数的中位数为_________． 23. 如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 24. 随着某地区复工复产有序推进，某企业为保障员工健康，计划购买、两种型号的额温枪．经市场调查发现：购买个种额温枪和个种额温枪共需元，购买个种额温枪和个种额温枪共需元． （1）求每个种额温枪和种额温枪各多少元； （2）该企业准备购买、两种型号的额温枪共个，其中购买种额温枪不少于个．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用． 25. 定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． （1）一次函数图象的“星光点”为_________； （2）关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值； （3）在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 26. 学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由； 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $