专题06 高二下学期期末复习真题精选（常考150题30类题型专练）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期人教A版选择性必修第二册、第三册

**基本信息** 聚焦高二下学期核心知识，以30类常考题型为模块，每模块5题共150题，覆盖数列、导数、概率统计等专题，通过真题精选实现知识逻辑递进与解题能力专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|25题|含概念、通项、等差/等比数列及求和，选择填空与解答题结合|从定义到递推关系，再到特殊数列性质及求和，形成完整知识链| |导数应用|35题|涵盖变化率、导数定义、切线方程、单调性、极值及最值|从概念到运算，再到函数性质应用，体现工具性与逻辑性| |概率统计|40题|包括条件概率、分布列、二项/超几何分布、回归分析及独立性检验|从概率基础到随机变量，再到统计推断，实现理论到应用过渡|

专题06 高二下学期期末复习真题精选（常考150题30类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 数列的概念（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解题思路】依次求出数列前几项得出数列周期即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏盐城·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解. 【解答过程】数列中，，由，得，， ，因此数列是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南驻马店·期末）在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【解答过程】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·广东汕头·期末）在数列中，，，对所有的正整数n都有，则__________． 【答案】24 【解题思路】根据给定条件，求出数列周期，进而求出. 【解答过程】数列中，由，得，则， 因此，数列是周期数列，周期为6， 所以. 故答案为：24. 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）记数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解题思路】根据数列的周期为8，计算得解. 【解答过程】时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，， 所以数列是周期为8的周期数列， 且， 所以，. 故答案为：. 题型2 求数列的通项公式或项（共5小题） 1．（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据数列的规律性进行判断即可. 【解答过程】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【解答过程】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选：A. 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】观察前4项规律，写出通项公式，可判断B，对A，C，D举反例说明. 【解答过程】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的前项和，且满足，则__________． 【答案】 【解题思路】先令得到，再结合前项和与通项公式的关系得到，再构造等比数列求出，最后得到. 【解答过程】令，得到，解得， 因为，所以， 当时，， 则， 得到，即， 故，设， 则，即， 得到，解得，故， 而，则是公比为的等比数列，且首项为， 可得，故. 故答案为：. 5．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由题可得可得；可得当时，，与已知相减，整理后可得答案. 【解答过程】（1）当时，得， 当时，， 又满足上式， 所以的通项公式为； （2）因①， 则当时， 当时，②， ①②两式相减可得： ， 由（1）可得， 则，其中. 又当时，， 则. 题型3 等差数列及其前n项和（共5小题） 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【解题思路】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【解答过程】， ∴ ， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的定义求解即可. 【解答过程】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为_________. 【答案】 【解题思路】由等差数列的前项和性质结合基本量运算求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，所以，即， 又，所以，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 题型4 等比数列及其前n项和（共5小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 2．（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解答过程】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【解题思路】设出公比，从而根据题目条件得到方程组，求出，再利用求出答案. 【解答过程】设公比为，，，故， ， 两式相除得，故. 故选：D. 4．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）在正项等比数列中，，则_________． 【答案】10 【解题思路】由等比数列的性质可得，然后等式的用替换再结合完全平方公式可得结果. 【解答过程】因为为等比数列，则， 所以， 又为正项等比数列，即， 所以. 故答案为：10. 5．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）设是公比不为1的等比数列，已知，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)数列的前项的和为 【解题思路】（1）求出公比，再根据等比数列的通项公式即可得解； （2）求得，可得，利用并项求和法可求得数列的前项的和. 【解答过程】（1）设的公比为，且， 因为是，的等差中项，所以，即为， 所以，解得或 (舍去)， 所以； （2）由（1）知，所以， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以数列的前项的和为 ． 题型5 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二下·云南·期末）数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【解答过程】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为 . 故选：A. 2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解题思路】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可． 【解答过程】因为， 则． 故选：C. 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 【答案】A 【解题思路】由得，令，即，进而求得，利用累加法即可求，即可得，最后利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为____________． 【答案】 【解题思路】首先用已知等式求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前100项和即可. 【解答过程】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和， 故答案为：. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用与前n项和的关系可求得；根据等比数列的概念可求得数列的通项公式，从而可得； （2）利用错位相减法以及等比数列的概念计算化简即可求解. 【解答过程】（1）已知 ，当 时，； 当 时，； 验证时，，符合上式， 故数列通项公式为. 因为， 所以，等式两边同时加 可得， 即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 数列通项公式为，所以. 故数列的通项公式为. （2）由（1）可知，则， 所以， 记数列的前项和为 ， ，① 上式乘以公比2可得； ，② 由① ②可得： ， 即， ， 化简可得， 即. 题型6  变化率问题（共5小题） 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平均速度的定义求解即可. 【解答过程】由题意可得平均速度是. 故选：A. 2．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率公式计算可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A. 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式，则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据瞬时速度的定义，对求导代入计算即得. 【解答过程】由题知，当时，， 故质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 4．（24-25高二下·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·辽宁·期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min. 【答案】 【解题思路】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为. 【解答过程】，，， 即当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min. 故答案为：. 题型7 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】根据导数的定义可直接得解. 【解答过程】根据导数的定义，. 故选：D. 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用在某点处导数的定义可求答案. 【解答过程】由在某点处导数的定义可知， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数在点处导数的概念进行判断即可. 【解答过程】因为 . 故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则__________． 【答案】4 【解题思路】变形得到，从而得到，解得． 【解答过程】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4. 5．（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则__________． 【答案】2 【解题思路】由导数得定义计算即可. 【解答过程】因为，所以， 即. 故答案为：2. 题型8 曲线的切线方程（共5小题） 1．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【解答过程】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B. 2．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【解答过程】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 3．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【解答过程】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知： . 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 4．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为_________． 【答案】 【解题思路】求导，并得到时，，根据平行关系和导数几何意义得到方程，求出答案. 【解答过程】，当时，， 的斜率为，故，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解题思路】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【解答过程】（1），，，， 切线方程为，即. （2）设切点为， 则，切线斜率， 切线方程为， 切线过点，即， ， ， ， 或， 切线方程为或. 题型9 导数的运算（共5小题） 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D．15 【答案】B 【解题思路】对等式两边求导，再赋值计算即得. 【解答过程】函数，求导得，则， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【解答过程】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 3．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【解答过程】， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数为函数的导函数，且，则_________． 【答案】 【解题思路】利用导数运算法则对给定等式两边求导，再赋值得解. 【解答过程】由，求导得， ，当时，，解得， ，所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【解答过程】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 . 题型10 导数中函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 2．（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较大小. 【解答过程】设，则， 在上单调递增，则， ，即，； 设，则， 在上单调递增，则，即， ， 又，． 故选：C． 3．（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解题思路】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【解答过程】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数值为切线斜率，即可求参数； （2）利用分类讨论思想，即可判断导数正负，从而可得函数单调区间. 【解答过程】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 题型11 函数的极值（点）问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【解答过程】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【解题思路】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【解答过程】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 3．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【解答过程】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知函数在上有两个极值点，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解题思路】根据题意，将函数有两个极值点问题转化为方程有两个实根，设，求导判断其单调性，求出端点值，作出函数的图象，结合图象根据直线与有两个交点可求得参数的范围. 【解答过程】由求导得， 因函数在上有两个极值点， 则有两个变号零点， 即方程有两个实根，也即方程有两个实根. 设，则，因， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 故，又，， 作出函数在上的图象如下. 方程有两个实根，等价于直线与有两个交点， 故需使. 故答案为：. 5．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【解题思路】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 题型12 导数中函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导，得到函数单调性，故. 【解答过程】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为__________． 【答案】 【解题思路】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【解答过程】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数在处取得极值 (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）求出，再结合，则可求得，再经检验即可求解； （2）由（1）可求出在区间上的单调性，从而可求解. 【解答过程】（1）函数的导数为： 由题意，，代入得：，解得， 经检验，符合题意； 故的值为. （2）当时，，导数为： 令，解得，（舍去）， 当，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取到极小值也是最小值； 又，，从而可求最大值为， 故最大值为，最小值为. 题型13 分类加法、分步乘法计数原理（共5小题） 1．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有（    ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 【答案】C 【解题思路】利用分步计数原理即可求得结果. 【解答过程】甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，每个人都有4种选择方法， 故有种选择方案. 故选：C. 2．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由分步乘法计数原理可知：从甲地经过丙地到乙地共有种走法； 又从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走， 所以根据分类加法计数原理可得：从甲地到乙地的走法种数为. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东清远·期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（    ）    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【解题思路】利用分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，可得答案. 【解答过程】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有种. 故选：C. 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）用数字1，2，3，4组成无重复数字的两位数，其中偶数的个数为________． 【答案】6 【解题思路】由分步计数原理可得答案. 【解答过程】由题可得个位数可为2或4，当个位数选定，十位数有3种选法， 故共有种情况． 故答案为：6. 5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 【答案】 【解题思路】根据分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】解：参观路线分步完成： 第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法； 而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成， 根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 故答案为：. 题型14 排列数、组合数的计算（共5小题） 1．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解答过程】， ，, 因此. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，即可求解. 【解答过程】由排列数与组合数的计算公式，可得. 故选：D. 3．（24-25高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【答案】B 【解题思路】根据组合数的性质即可求解. 【解答过程】∵， ∴由组合数的性质可得或，则或5. 故选：B. 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）计算：________. 【答案】 【解题思路】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【解答过程】， 故答案为：. 5．（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 题型15 元素（位置）有限制的排列问题（共5小题） 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【解题思路】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步乘法计算原理即可得出. 【解答过程】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【解答过程】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 3．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【解题思路】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【解答过程】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 4．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有_________种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 【解题思路】根据题意，分为体育课排在最后一节和体育课不排在第一节和最后一节，两种情况，分别求得相应的排法数，结合分类计算原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，可分为两类： （1）若体育课排在最后一节，则有种不同的排法； （2）若体育课不排在第一节和最后一节，则有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 5．（24-25高二下·河北保定·期末）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】(1)144 (2)960 (3)4896 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 【解答过程】（1）依题意，不同排法种数是. （2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. （3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 题型16 相邻、不相邻排列问题（共5小题） 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解题思路】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【解答过程】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C. 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 3．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 【答案】D 【解题思路】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【解答过程】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 丙、丁共有排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种． 【答案】144 【解题思路】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【解答过程】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 5．（24-25高二下·上海普陀·期末）在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. (1)甲乙两人不相邻； (2)甲在排头并且乙不在末尾. 【答案】(1)3600 (2)600 【解题思路】（1）利用插空法求解即可； （2）先排甲乙，剩余5人全排列即可. 【解答过程】（1）先排其余人，有种情况， 再把甲乙插入人之间的个空中，共有种， 所以共有种排法； （2）首先排甲有种排法，再排乙有种排法，排其余人有种情况， 所以共有种排法. 题型17 分组分配问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D. 2．（24-25高二下·新疆喀什·期末）某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（　   　） A．120 B．210 C．150 D．180 【答案】C 【解题思路】根据题意，分为两类情况：按照进行分配和按照进行分配，利用排列组合数计算后，运用分类加法计数原理即得. 【解答过程】因每个展区至少安排1人，故有两类情况： ① 将5名志愿者按照进行分配，有种方法； ② 将5名志愿者按照进行分配，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故选：C. 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 【答案】D 【解题思路】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案. 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为1、1、3的三组，有种分组方法， 若分为1，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式. 故选：D. 4．（24-25高二下·河北·期末）已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 【答案】 【解题思路】分甲学校有2名师范生实习和1名师范生实习两种情况求解，结合分类加法计数原理计算即可. 【解答过程】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 5．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【解答过程】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 题型18 求二项展开式的特定项（系数）（共5小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）的展开式中，项的系数是（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【解题思路】写出二项式展开式的通项，令x的次数为3即可求解. 【解答过程】， 二项式展开式的通项为：， 令， 所以项的系数是. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【解答过程】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D. 3．（24-25高二下·福建厦门·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 【答案】D 【解题思路】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求解的系数即可. 【解答过程】二项式系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为_________． 【答案】 【解题思路】由二项式展开式通项可得答案. 【解答过程】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 5．（24-25高二下·广东·期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． (1)求的值； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解； （2）由（1），求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为的展开式中，第4项与第3项的二项式系数的比值为2， 可得，解得. （2）解：由（1）知，二项式， 可得展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中的项为. 题型19 用赋值法求系数和问题（共5小题） 1．（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【解答过程】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，.然后去绝对值，令，即可得出所求代数式的值. 【解答过程】的展开式通项为， 所以， 故当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 3．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】C 【解题思路】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【解答过程】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C. 4．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）若，则_________. 【答案】80 【解题思路】根据赋值法计算二项式系数的和，令和即可求解. 【解答过程】令，可得：， 令，可得：， 所以. 故答案为：80. 5．（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)； (2); (3). 【解题思路】（1）分别令，令求解； （2）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. （3）两边同时求导再代入即可. 【解答过程】（1）令，得， 令，得， 所以． （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得． 题型20 条件概率（共5小题） 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【解答过程】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用排列组合计算各个事件的情况数，根据古典概型以及条件概率，可得答案. 【解答过程】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”，事件为“甲与乙不在同一实验室实习”， 样本点的总数为，， 事件，同时发生的情况种数为， ，. . 故选：D. 3．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【解答过程】根据题意，设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件， 则，， 所以， 即在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为． 故选：A． 4．（24-25高二下·北京东城·期末）投掷一枚硬币，假设得到正面与反面的概率均为．现投掷这枚硬币三次，在仅有一次掷得正面的条件下，第三次掷得反面的概率为__________． 【答案】 【解题思路】设事件表示“仅有一次掷得正面”，事件表示“第三次掷得反面”，求出，根据条件概率的计算公式求解. 【解答过程】设事件表示“仅有一次掷得正面”，事件表示“第三次掷得反面”， 则，， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件和全概率公式可求得结果. （2）根据条件概率公式即可求出答案. 【解答过程】（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，． 由全概率公式得 ． （2）该元件出自甲工厂的概率为 ． 题型21 随机变量的分布列问题（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【解题思路】由题意得计算求解即可. 【解答过程】由题可得. 故选：A. 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】由概率之和为1即可列方程求解. 【解答过程】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 3．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D. 4．（24-25高二下·新疆巴州·期末）设随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.4 2a a 则__________. 【答案】 【解题思路】由分布列相关性质，建立方程，可得答案. 【解答过程】由题意可得，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二下·重庆·期末）有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【解题思路】（1）根据独立事件概率的乘法公式，求出不同情况下的概率，进而求出有学生评为“篮球达人”的概率； （2）计算出每位同学选拔失败的概率，分析出只有前一位同学选拔失败，后一位同学开始投篮，根据独立事件乘法公式求出分布列； （3）分析总共进行6次投篮之后游戏结束的具体情况，逐一求出事件的概率，进而计算出结果. 【解答过程】（1）当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为： . （2）依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则， ，其中，， 的分布列为 1 2 3 … （3）由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 题型22 均值、方差的性质（共5小题） 1．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【解答过程】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 3．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【解答过程】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【答案】D 【解题思路】 由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【解答过程】由题知： . 所以， 所以. 故选：D. 5．（24-25高二下·山东滨州·期末）随机变量X的分布列如下，则_________． X 0 1 2 P 0.3 0.3 【答案】 【解题思路】利用分布列的性质，求出值，再利用期望、方差的定义计算作答. 【解答过程】依题意： . 所以， 所以 . 所以. 故答案为：. 题型23 求离散型随机变量的均值（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】先根据分布列的性质求得，然后根据期望公式求解即可. 【解答过程】由，得， 所以． 故选：D. 2．（24-25高二下·福建龙岩·期末）一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得. 【解答过程】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D. 4．（24-25高二下·天津西青·期末）已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 【答案】 【解题思路】利用离散型随机变量的期望计算公式以及分布列中概率之和为1建立方程组，可解得的值. 【解答过程】因为，可得，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公式求解即可. 【解答过程】（1）记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． （2）X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 题型24 二项分布（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解. 【解答过程】由于，故， 则. 故选：C. 2．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【解答过程】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D. 3．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【解题思路】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解答过程】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知随机变量服从二项分布且，则__________. 【答案】 【解题思路】根据二项分布的期望公式进行求解即可. 【解答过程】由题意可知，随机变量服从二项分布， 因为，可得：，解得：. 故答案为：. 5．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【解题思路】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【解答过程】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 题型25 超几何分布（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【解题思路】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【解答过程】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【解答过程】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则___________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的概率公式即可求解. 【解答过程】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解题思路】（1）参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由结合期望的性质求得. 【解答过程】（1）依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P （2）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9， ，， ，， 有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为13分. 5．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，利用条件概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【解答过程】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队， 由条件概率公式可得. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为、、、， ，，， . 故的分布列为 故. 题型26 正态分布（共5小题） 1．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【解题思路】通过正态分布的对称性来求解的值. 【解答过程】由题干知，随机变量服从正态分布， 正态分布的图像关于对称， 又， 即，解得． 故选：D． 2．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】C 【解题思路】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【解答过程】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C. 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用正态分布曲线的对称性质，求得，进而求得的值. 【解答过程】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以． 故选：B． 4．（24-25高二下·天津·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则＝_________． 【答案】0.5 【解题思路】根据正态分布的性质和对称性进行求解即可. 【解答过程】因为随机变量服从正态分布，且， 所以. 根据正态分布的对称性，，所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)少于40件 【解题思路】 （1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求；设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得； （2）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数. 【解答过程】（1）由题设，，， 所以； 由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （2）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件少于40件. 题型27 变量的相关关系（共5小题） 1．（24-25高二下·北京丰台·期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（    ） A．某商品的销售价格与销售量 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．气温与冷饮的销售量 D．人的年龄与视力 【答案】C 【解题思路】根据相关关系的概念逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误； 对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误； 对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；     对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由散点图的特征，结合相关系数的定义即可得到答案． 【解答过程】由散点图的趋势可知，，，， 又图一的散点图比图三的散点图更为集中，则，所以， 又图二的散点图比图四的散点图更为集中，则，所以， 所以． 故选：D． 3．（24-25高二下·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据散点图的特征得到答案. 【解答过程】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 4．（24-25高二下·吉林·期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（    ） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【解题思路】根据相关关系的定义判断即可. 【解答过程】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误. 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 据此给出以下结论： ①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解题思路】根据散点图判断. 【解答过程】画出弹簧伸长长度x和相应所受外力F的散点图， 可以判断这两变量相关，且为正相关，故①②错误，③正确. 故选：C. 题型28 回归直线方程（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 a 25 28 35 已知数据的样本中心点为，经过拟合，发现基本符合回归直线方程，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．时， 【答案】C 【解题思路】根据回归直线过样本中心点即可依次求出，即可得解. 【解答过程】由题， 所以，所以回归直线方程， 所以当时，. 故ABD正确，C错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·广东梅州·期末）我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计． 科研经费（单位：百亿元） 2 4 6 12 16 市场规模（单位：百万辆） 1 1.5 2 3 3.5 如此得到y关于x的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（    ）百万辆． A．4 B．4.14 C．4.36 D．4.58 【答案】C 【解题思路】求出样本中心代入方程可得值，即可根据代入求解. 【解答过程】由表中数据可得， 故样本中心为， 故， 故当时，， 故选：C. 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．样本中心点为 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 【答案】C 【解题思路】对于A，利用表中的数据变化情况分析判断，对于B，利用计算平均数即可求出样本中心点，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【解答过程】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，，则样本中心点为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以可以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可得，得，所以D正确. 故选：C. 4．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为_________百元. 【答案】 【解题思路】求出样本中心点，代入得到值，再令即得. 【解答过程】由已知数据 因为，则，代入，则， 则， 令，则. 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. (1)根据表中的数据，求关于的经验回归方程； (2)利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】(1) (2)件 【解题思路】（1）由统计表格中的数据，利用回归系数的公式，求得和，即可得到回归方程； （2）由（1）知，当时，求得（百件），即可得到结论. 【解答过程】（1）解：由统计表格中的数据，可得，， 且，， 可得，则， 所以关于的经验回归方程是. （2）解：由（1）知回归方程是， 当时，（百件），所以估计当日广告费用为元时，日销售量为件. 题型29 刻画回归效果的方式（共5小题） 1．（24-25高二下·山东枣庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】A 【解题思路】由残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断A；x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，可判断B；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，可判断C；值越大，则模型的拟合效果越好，可判断D. 【解答过程】对于A，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确； 对于B，x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，故B错误； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D，值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【答案】C 【解题思路】根据各个变量的意义作出判断，得到答案. 【解答过程】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．相关系数的值变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】C 【解题思路】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断. 【解答过程】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 对于A：决定系数越接近1，拟合的回归方程越优， 故去掉点后变大，越趋于1，故A错误； 对于B：相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优， 由图可得与正相关，故会越接近1，即相关系数的值变大，故B错误； 对于C：残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确； 对于D：解释变量与预报变量相关性增强，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则____________．（参考公式：决定系数） 【答案】0.96 【解题思路】依据决定系数的公式计算即可. 【解答过程】因为． 故答案为：. 5．（24-25高二下·广东东莞·期末）在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去5天的订单数如下： 日期x（天） 1 2 3 4 5 订单数y（件） 13 21 45 55 66 为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究， (1)甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时y关于x的经验回归方程； (2)乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于x的经验回归方程为，并计算出决定系数， ①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好； ②用①中选择的模型预测该区域第10天的订单数（结果保留整数）． 附：，；决定系数．参考数据： 【答案】(1) (2)①甲小组的线性回归模型拟合效果更好 ；②138件 【解题思路】（1）根据公式求，可得回归方程. （2）计算甲小组模型的决定系数，比较决定系数的大小，可得结论；把代入线性回归方程，可预测该区域第10天的订单数. 【解答过程】（1）由题可知： ，， ，， 关于x的回归方程为． （2）①由（1）知，从而有． x 1 2 3 4 5 12 26 40 54 68 ， ， ， ，从来看甲小组的线性回归模型拟合效果更好． ②当时，．预测第10天的订单数为138件． 题型30 独立性检验（共5小题） 1．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解题思路】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【解答过程】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解题思路】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案. 【解答过程】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的5倍， 则 ， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解题思路】先做出零假设，再计算出，让去和，比较，然后根据独立性检验的理论判断即可. 【解答过程】零假设：我们认为爱好跳绳与性别无关， 因为，， 所以我们的假设成立，即根据小概率值α＝0.001的独立性检验， 我们认为爱好跳绳与性别无关，故A正确； 在犯错误的概率不超过0.001前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关，故B错误； 又因为，所以我们的假设不成立， 即根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C错误； 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高二下·上海·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【解题思路】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【解答过程】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 5．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 a 女生 b 25 合计 100 已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为. (1)求a，b； (2)根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？ 附：， 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)； (2)该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关. 【解题思路】（1）求出喜欢牛奶的人数即可依据喜欢牛奶的男生人数和喜欢豆浆的女生人数依次求出； （2）计算卡方值即可依据独立性检验思想得解. 【解答过程】（1）由题可知喜欢牛奶的人数有人，所以， 所以喜欢豆浆的人数为，所以. 所以. （2）由（1）可得统计表格如下： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 零假设该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别无关， 由表格数据得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 高二下学期期末复习真题精选（常考150题30类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 数列的概念（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二下·江苏盐城·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二下·河南驻马店·期末）在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 4．（24-25高二下·广东汕头·期末）在数列中，，，对所有的正整数n都有，则__________． 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）记数列的前项和为，且，则__________. 题型2 求数列的通项公式或项（共5小题） 1．（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的前项和，且满足，则__________． 5．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 题型3 等差数列及其前n项和（共5小题） 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为_________. 5．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 题型4 等比数列及其前n项和（共5小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 2．（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 4．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）在正项等比数列中，，则_________． 5．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）设是公比不为1的等比数列，已知，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 题型5 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二下·云南·期末）数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为____________． 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 题型6  变化率问题（共5小题） 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式，则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 5．（24-25高二下·辽宁·期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min. 题型7 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则__________． 5．（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则__________． 题型8 曲线的切线方程（共5小题） 1．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为_________． 5．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 题型9 导数的运算（共5小题） 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D．15 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数为函数的导函数，且，则_________． 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 题型10 导数中函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 5．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 题型11 函数的极值（点）问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 3．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知函数在上有两个极值点，则实数m的取值范围是_______． 5．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 题型12 导数中函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为__________． 5．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数在处取得极值 (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 题型13 分类加法、分步乘法计数原理（共5小题） 1．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有（    ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 2．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高二下·广东清远·期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（    ）    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）用数字1，2，3，4组成无重复数字的两位数，其中偶数的个数为________． 5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 题型14 排列数、组合数的计算（共5小题） 1．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．（24-25高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）计算：________. 5．（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 题型15 元素（位置）有限制的排列问题（共5小题） 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 3．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 4．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有_________种不同的排法.（用数字作答） 5．（24-25高二下·河北保定·期末）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 题型16 相邻、不相邻排列问题（共5小题） 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 3．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种． 5．（24-25高二下·上海普陀·期末）在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. (1)甲乙两人不相邻； (2)甲在排头并且乙不在末尾. 题型17 分组分配问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 2．（24-25高二下·新疆喀什·期末）某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（　   　） A．120 B．210 C．150 D．180 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 4．（24-25高二下·河北·期末）已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 5．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 题型18 求二项展开式的特定项（系数）（共5小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）的展开式中，项的系数是（   ） A．5 B． C．10 D． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 3．（24-25高二下·福建厦门·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为_________． 5．（24-25高二下·广东·期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． (1)求的值； (2)求展开式中含的项． 题型19 用赋值法求系数和问题（共5小题） 1．（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 4．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）若，则_________. 5．（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 题型20 条件概率（共5小题） 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京东城·期末）投掷一枚硬币，假设得到正面与反面的概率均为．现投掷这枚硬币三次，在仅有一次掷得正面的条件下，第三次掷得反面的概率为__________． 5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率． 题型21 随机变量的分布列问题（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ） A． B． C． D．以上均不正确 4．（24-25高二下·新疆巴州·期末）设随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.4 2a a 则__________. 5．（24-25高二下·重庆·期末）有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 题型22 均值、方差的性质（共5小题） 1．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 3．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 4．（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 5．（24-25高二下·山东滨州·期末）随机变量X的分布列如下，则_________． X 0 1 2 P 0.3 0.3 题型23 求离散型随机变量的均值（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 2．（24-25高二下·福建龙岩·期末）一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津西青·期末）已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 5．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 题型24 二项分布（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 2．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 4．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知随机变量服从二项分布且，则__________. 5．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 题型25 超几何分布（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则___________. 4．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 5．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 题型26 正态分布（共5小题） 1．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 2．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 4．（24-25高二下·天津·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则＝_________． 5．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 题型27 变量的相关关系（共5小题） 1．（24-25高二下·北京丰台·期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（    ） A．某商品的销售价格与销售量 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．气温与冷饮的销售量 D．人的年龄与视力 2．（24-25高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·吉林·期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（    ） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 据此给出以下结论： ①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型28 回归直线方程（共5小题） 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 a 25 28 35 已知数据的样本中心点为，经过拟合，发现基本符合回归直线方程，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．时， 2．（24-25高二下·广东梅州·期末）我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计． 科研经费（单位：百亿元） 2 4 6 12 16 市场规模（单位：百万辆） 1 1.5 2 3 3.5 如此得到y关于x的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（    ）百万辆． A．4 B．4.14 C．4.36 D．4.58 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．样本中心点为 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 4．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为_________百元. 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. (1)根据表中的数据，求关于的经验回归方程； (2)利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 题型29 刻画回归效果的方式（共5小题） 1．（24-25高二下·山东枣庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．相关系数的值变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 4．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则____________．（参考公式：决定系数） 5．（24-25高二下·广东东莞·期末）在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去5天的订单数如下： 日期x（天） 1 2 3 4 5 订单数y（件） 13 21 45 55 66 为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究， (1)甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时y关于x的经验回归方程； (2)乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于x的经验回归方程为，并计算出决定系数， ①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好； ②用①中选择的模型预测该区域第10天的订单数（结果保留整数）． 附：，；决定系数．参考数据： 题型30 独立性检验（共5小题） 1．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 4．（24-25高二下·上海·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 5．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 a 女生 b 25 合计 100 已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为. (1)求a，b； (2)根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？ 附：， 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $