15.3 等腰三角形-课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形，包含性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边）、等边三角形及含30°角直角三角形性质，衔接轴对称知识，通过表格对比文字、符号语言与图示，构建直观到抽象的学习支架。 其特色是概念辨析严谨（如“三线合一”条件）、一题多解（例3全等与三线合一证法）及中考题融入，培养推理意识与创新思维。讲练结合让学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

15.3 等腰三角形 第十五章 轴对称　 知识点 等腰三角形的性质 1 知1－讲 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中，∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 必须在同一个三角形中 知1－讲 文字语言 符号语言 图示 性 质 2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. (1)∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； (2)∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； (3)∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 知1－讲 文字语言 符号语言 图示 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 也可以说底边的垂直平分线是它的对称轴 拓展延伸：等腰三角形的其他性质 (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； (2)等腰三角形两底角的平分线相等； (3)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； (4)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； (5)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°. 知1－讲 特别解读 1. “三线合一”的适用条件： (1) 必须是等腰三角形； (2) 必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 2. “三线合一”的作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 3. 知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”. 知1－讲 如图15.3-1，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC. (1)求∠ ADB 的度数； 解：∵ AB=AC，AD 平分 ∠ BAC，∴ AD ⊥ BC. ∴∠ ADB=90°. 解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 知1－练 例1 (2)若∠ BAC=100 °，求∠ B，∠C 的度数； 解：∵ AB=AC，∠ BAC=100°， ∴∠ B= ∠ C= ×(180°－100°)=40°. 知1－练 (3)若BC=3 cm，求BD 的长. 解：∵AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ AD 是BC 边上的中线.∴ BD= BC= ×3 =1.5(cm) 知1－练 1-1.[中考·淮安] 若等腰三角形的一个底角为50 °，则它的顶角度数是________°. 知1－练 80 1-2.[期中·天津和平区]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥ BC于点D. 若AB＝6，CD＝4， 则△ABC的周长是( ) A.10 B.14 C.16 D.20 知1－练 D [中考·北京] 如图15.3-2，在△ ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥ AC 于点E.求证：∠ CBE= ∠ BAD． 解题秘方：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题. 知1－练 例2 证明：∵ AB=AC，AD 是BC 边上的中线， ∴ AD ⊥ BC，∠ BAD= ∠ CAD. 又∵ BE ⊥ AC，∴∠ BEC= ∠ ADC=90°. ∴∠ CBE=90°－∠ C，∠ CAD=90 °－∠C. ∴∠ CBE= ∠ CAD. ∴∠ CBE= ∠ BAD． 知1－练 2-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠ C=2 ∠ D． 知1－练 证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D. 知1－练 如图15.3-3，在△ ABC中，AB=AC，D，E 是BC 边上的点，且BD=CE．求证：AD=AE． 解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△ ABD 和△ ACE 全等创造条件，或者作出底边BC上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质证明其垂直平分DE. 知1－练 例3 证法一：∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 在△ ABD 和△ ACE 中， ∴△ ABD ≌△ ACE(SAS). ∴ AD=AE． AB=AC， ∠ B= ∠ C， BD=CE， 知1－练 证法二：如图15.3 - 3，过点A 作AF⊥BC 于点F. ∵ AB=AC，AF⊥BC，∴ BF=CF. ∵ BD=CE，∴ DF=EF. 即AF 垂直平分DE，∴ AD=AE． 知1－练 3-1.[期中·南京栖霞区]如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 平分∠ BAC，FE 垂直平分AC，交AD 于点F，连接BF. 求证：AF=BF. 知1－练 证明:如图，连接CF. ∵在△ABC中，AB= AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC,BD= CD. ∴AD垂直平分BC. ∴BF=CF. ∵FE垂直平分AC，∴AF=CF.∴AF=BF. 知1－练 如图15.3-4，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别在AC，AB 边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠ A 的度数. 知1－练 例4 思路导引： 知1－练 解：设∠ A=x°. ∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°. ∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°. ∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°. ∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°. ∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°. 在△ABC中，∠A+ ∠ABC+ ∠C=180°， ∴ x＋ x＋ x =180，解得x =45 .∴∠ A=45°. 知1－练 知1－练 解题策略：利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质表示相关角，再利用三角形内角和定理构造方程求解. 4 -1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，求∠A的度数. 知1－练 知1－练 知识点 等腰三角形的判定 2 知2－讲 1. 等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 知2－讲 文字语言 符号语言 图示 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC，即△ ABC是等腰三角形 知2－讲 辨析：等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 特别提醒 “等角对等边”不能叙述为如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等. 原因是在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”这两个概念. 知2－讲 如图15.3-5， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC 是等腰三角形． 解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 知2－练 例5 证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=90°. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC. 在Rt △ ADE 和Rt △ CDF 中， ∴ Rt △ ADE ≌ Rt △ CDF(HL). ∴∠ A= ∠ C. ∴ BA=BC，即△ ABC 是等腰三角形． AD=DC， DE=DF， 知2－练 5-1. 如图，在△ ABC 中，∠ C=36 °，∠ B=72 °，AD 平分∠CAB 交BC 于点D. 请写出图中的等腰三角形，并加以证明. 知2－练 知2－练 解:图中有3个等腰三角形，分别为△ABC，△ADC，△ABD. ∵∠C=36°，∠B=72°，∴∠BAC=180°-36°-72°=72°. ∴∠B=∠BAC=72°.∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形. ∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠BAC=36°=∠C. ∴AD=CD,∴△ADC是等腰三角形. ∵∠BDA=∠C+∠DAC=72°=∠B， ∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形. 知3－讲 知识点 尺规作等腰三角形 3 已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：一个等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h(如图15.3-6). 求作这个等腰三角形.作法：如图15.3-7 所示. 知3－讲 (1)作线段AB=a； (2)作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D； (3)在MN上取一点C，使DC=h； (4)连接AC，BC，则△ABC就是求作的等腰三角形． 知3－讲 特别解读 解决复杂作图题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作. 尺规作图：已知线段a(如图15.3-8)，画一个底边长为a，底边上的高也为a 的等腰三角形. 知3－练 例6 解题秘方：用尺规作等腰三角形的关键是作一条线段的垂直平分线和作一条线段等于已知线段. 解：(1)作线段BC=a； (2)作线段BC 的垂直平分线MN，与BC 相 交于点D； (3)在MN 上取一点A，使DA=a； (4)连接AB，AC，则△ ABC 就 是所求作的等腰三角形. 如图15.3 -9所示. 知3－练 6-1.[中考·陕西]如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法). 知3－练 解：如图，△ABC是所求作的等腰直角三角形． (作法不唯一) 知3－练 知识点 等边三角形的性质和判定 4 知4－讲 文字语言 符号语言 图示 性 质 1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中，∵ AB=AC= BC，∴∠A= ∠B= ∠C=60° 知4－讲 文字语言 符号语言 图示 性 质 2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 知4－讲 文字语言 符号语言 图示 轴对 称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 特别解读 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质： (1)任意两边都可以作为腰； (2)任意一个角都可以作为顶角； (3)任意一边上的“三线合一”. 知4－讲 45 2. 等边三角形的判定 知3－讲 方法 文字语言 符号语言 图示 定义 法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 知3－讲 方法 文字语言 符号语言 图示 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 可以是顶角，也可以是底角 3. 判定等边三角形的思维导图(如图15.3-10) 知3－讲 特别解读 等边三角形的判定思路： 知3－讲 如图15.3-11，等边三角形ABC的边长为3，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE 的长. 例7 解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化. 知4－练 解：∵△ ABC 是等边三角形，D 是AC的中点， ∴ ∠ ABC= ∠ ACB= 60 °，∠ DBE= ∠ ABC，CD=AC=. ∴∠ DBE=30°.∵ DE=DB，∴∠ E= ∠ DBE=30°. ∵∠ ACB= ∠ CDE＋∠ E，∴∠ CDE= ∠ ACB－∠ E=30°. ∴∠ CDE= ∠ E.∴ CE=CD= . 知4－练 7-1. 如图，△ ABC 为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE= _______. 75° 知4－练 [母题 教材P83习题T11]如图15.3-12，△ ABC 和△ ADE 是等边三角形．求证：BD=CE． 例8 解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等证明△ BAD ≌△ CAE. 知4－练 证明：∵△ ABC 和△ ADE 是等边三角形， ∴ AB=AC，AD=AE，∠ BAC= ∠ DAE=60 °． ∴∠BAC－∠DAC= ∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE． 在△ BAD 与△ CAE 中， ∴△ BAD ≌△ CAE(SAS)．∴ BD=CE． AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAE AD=AE， 知4－练 8-1. 如图，△ ABC 为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD，以CD 为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由. 知4－练 解：AE∥BC.理由如下： ∵△ABC与△CDE都为等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)． ∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC. 知4－练 [一题多解]如图15.3-13，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60 °，求证：△ABD是等边三角形. 例9 知4－练 解题秘方：结合已知条件，可以用判定定理1，也可以用判定定理2. 知4－练 证明：方法一 ∵AB∥DC，∠A=60°，∴∠ADC=120°. ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠ADC=60°. ∴∠ABD=180°- ∠A- ∠ADB=60°. ∴∠ABD= ∠ADB= ∠A. ∴△ABD是等边三角形. 知4－练 方法二 ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB= ∠CDB. ∵AB∥DC，∴∠ABD= ∠CDB. ∴∠ABD= ∠ADB. ∴AB=AD. 又∠A=60°，∴△ABD是等边三角形. 知4－练 9-1.[一题多解] 如图， 在△ ABC 中，∠ A=120 °，AB=AC，D 是BC 的中点，DE ⊥ AB，DF⊥ AC，点E，F 为垂足. 求证：△ DEF 是等边三角形. 知4－练 证明：方法一∵∠A=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED =∠CFD=90°. ∴易得∠BDE=∠CDF=60°.∴∠EDF=60°. ∵D是BC的中点,∴BD=CD. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF. ∴△DEF是等边三角形. 知4－练 方法二 在方法一的基础上可得△BDE≌△CDF,∴BE=CF.又∵AB=AC,∴AE=AF. ∵∠BAC=120°,∴∠AEF=∠AFE=30°. ∵∠BED=∠CFD=90°,∴∠DEF=∠DFE=60°. ∴∠DEF=∠DFE=∠EDF.∴△DEF是等边三角形. 知4－练 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图15.3-14，在Rt△ABC 中， ∵∠ C=90 °，∠ A=30 °， ∴ BC= AB. 知识点 含30°角的直角三角形的性质 5 知5－讲 2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 知5－讲 特别解读 应用此性质，必须满足两个条件： 1.在直角三角形中； 2.有一个锐角为30°.二者缺一不可. 知5－讲 如图15.3-15，在Rt △ ABC 中 ，∠ C=90° ，AB 边的垂直平分线MN 交AB 于点M，交BC 于点N，且∠B=15° ，AC=4 cm，求BN 的长. 解题秘方：求某直角三角形的边 长时，考虑构造含3 0 °角的直角三角形；若给出的是1 5°角，则构造以1 5°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为3 0°角. 例6 知5－练 解：如图15.3 -15，连接AN. ∵ MN 为AB 边的垂直平分线，∴ AN=BN. ∴∠ NAB= ∠ B=15°. ∴∠ ANC= ∠ B＋∠ NAB=30 °. ∵∠ C=90 °，∠ ANC=30 °， ∴ AN=2AC=2×4 =8(cm).∴ BN=8 cm. 知5－练 10-1.[期中·北京海淀区]如图，△ ABC 中，AB=AC，∠BAC= 120 °，AC 边的垂直平分线DE与BC 边交于点D，垂足为E，若DE=1，求线段CD 和BC 的长． 知5－练 知5－练 ∴CD＝2DE＝2，∠C＝∠DAC＝30°. ∴AD＝2，∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝90°. ∴BD＝2AD＝4. ∴BC＝BD＋CD＝6. 知5－练 如图15.3-16，在等边三角形ABC 中，AE=CD，AD， BE 相交于点P，BQ⊥ AD 于Q. 求证：BP=2PQ. 例11 知5－练 思路导引： 知5－练 证明：∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AB=AC，∠BAE= ∠C= 60°. ∵ AE=CD，∴△ ABE ≌△ CAD(SAS). ∴∠ ABE= ∠ CAD.∴∠ BPQ=∠ ABE＋∠ BAP=∠ CAD＋∠ BAP=∠ BAE=60°. ∵ BQ⊥ AD，∴∠ BQP=90°. ∴∠ PBQ=90°－∠ BPQ=30°.∴ BP=2PQ. 知5－练 11-1.如图，CD⊥ AB，垂足为D，∠ACB=90°，∠A=30°，求证：BD=AB． 知5－练 知5－练 等腰三角形 等腰 三角形 性质 特例 判定 等边对等角 性质 判定 三线合一 有两边相等 等角对等边 互逆 应用 作平行线构造等腰三角形 1 如图15.3-17，在△ABC中，AB=AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE=CF. 求证：DE=DF. 例12 解题秘方：过等腰三角形一边上的一点作另一边的平行线，截得的三角形仍然是等腰三角形. 证明：如图15.3-17，过点E作EG∥AC交BC 于点G，则∠ACB= ∠BGE，∠F= ∠DEG. ∵AB=AC，∴∠B= ∠ACB. ∴∠B= ∠BGE. ∴BE=GE. ∵BE=CF，∴GE=CF. 在△GDE和△CDF中， ∴△GDE≌△CDF(AAS). ∴DE=DF. 方法点拨 ★等腰三角形构造法： 等腰三角形任意一边的平行线与另两边相交所构成的三角形是等腰三角形. ★证明线段相等的方法： 把要证的两条线段放到一个三角形中，证其为等腰三角形，或把要证的两条线段放到两个三角形中，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明. 应用 连线构造等腰三角形 2 如图15.3-18，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为M. 求证：CM=MD. 例13 思路导引： 证明：如图15.3-18，连接AC，AD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS). ∴AC=AD. 又∵AM⊥CD，∴CM=MD. 技巧总结 等腰三角形中几种常见的作辅助线的方法： (见图15.3-19) 应用 连线构造“三线合一” 3 [中考· 广州] 如图15.3-20，在△ABC中，∠BAC=90 °， AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( ) A.18 B.9 C.9 D.6 例14 解题秘方：连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为△ADC的面积再进行求解． 解：如图15.3-20，连接AD. ∵∠BAC=90°，AB=AC，D为边BC的中点， ∴易得∠BAD= ∠B= ∠C=45°，∴AD=BD=DC. 又∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS). ∴ S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC. 又∵ S△ABC=6×6×=18，∴ S四边形AEDF=S△ ABC=9. 答案：C 方法点拨 本题利用了等积转化法，将四边形的面积转化为三角形的面积，可以看成将△ ADE 绕点D 顺时针旋转90°得到△ CDF. 应用 作垂线构造“三线合一” 4 [一题多解]如图15.3-21，在△ABC中，AB=AC，点E在AC上，点D在BA的延长线上，且AD=AE，连接DE. 求证：DE⊥BC. 例15 思路导引： 证明：如图15.3-21，过点A作AM⊥BC于点M. ∵AB=AC，∴∠BAC=2 ∠BAM. ∵AD=AE，∴∠D= ∠AED. ∴∠BAC= ∠D+ ∠AED=2 ∠D. ∴∠BAM= ∠D. ∴DE∥AM. ∵AM⊥BC， ∴DE⊥BC. 另解 如图15.3-22，延长DE 交BC 于点F. ∵ AB=AC，∴ ∠ B=∠C. ∴∠ DAE=2 ∠ B. ∵AD=AE，∴∠ D=∠ AED. ∵∠ DAE+∠ D+∠ AED=180 °，∴ 2 ∠ B+2 ∠D=180° .∴∠B+∠D=90° . ∴∠ DFB=90° . ∴ DE ⊥ BC. 应用 补形构造“三线合一” 5 如图15.3-23，AB=AC，∠BAC=90°，∠ 1= ∠ 2，CE⊥BE.求证：BD=2CE. 例16 思路导引： 证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图15.3-23 所示. ∵CE⊥BE，∴∠BEC= ∠BEF=90°. ∵∠ 1= ∠ 2，∴∠F= ∠BCE. ∴BC=BF. ∴CE=FE=CF，即CF=2CE. 方法点拨 1. 等腰三角形构造法： 等腰三角形是轴对称图形，“三线”所在的直线是对称轴，它将等腰三角形一分为二，若在图中出现其中一半，则可通过补形，构造出“三线合一”的基本图形. 2. 倍长线段法： 证明一条线段等于另外一条线段的两倍，可以延长较短线段并使其等于较短线段的两倍，然后证明两条长线段相等. ∵∠BAC=90°，∴∠BAD= ∠CAF=90°， ∴∠F+ ∠ ACF=90°， 又∵∠ F+ ∠ 2=90°，∴∠ 2= ∠ ACF. 又∵AB=AC，∴△BDA≌△CFA(ASA). ∴BD=CF. ∴BD=2CE. 应用 补形构造等边三角形 6 如图15.3-24，△ABD是等边三角形，∠BCA=60°. 求证：AC=BC+CD． 例17 解题秘方：利用有一个角为60°及两边相等构造等边三角形，为三角形全等创造条件. 证明：如图15.3-24，延长CB至点E，使CE=CA，连接AE. ∵∠ACB=60°，CE=CA， ∴△AEC是等边三角形. ∴∠EAC=60°，AE=EC=AC. ∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=60°，AB=AD.∴∠BAD= ∠EAC=60°. ∴∠ 2+ ∠ 1= ∠ 2+ ∠ 3，即∠ 1= ∠ 3. 在△ABE和△ADC中， ∴△ABE≌△ADC(SAS).∴BE=CD. ∴BC+CD=BC+BE=EC=AC，即AC=BC+CD． 方法指导 证明一条线段等于两条线段的和或差，一般采用截长补短法. 本题采用了补短法.下面再介绍两种方法. 方法一(截长法)：如图15.3-25 ①，在AC上取一点E，使AE=BC，连接DE. 方法二(补短法)：如图15.3-25 ②，延长BC至点E，使BE=AC，连接DE. 易错点 忽视等腰三角形的类型而出错 1 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为( ) A. 45°或135° B. 45° C. 135° D. 90° 例18 错解：B 正解：(1)如图15.3-26 ①，若顶角为锐角，则一腰上的高在等腰三角形的内部. ∵ BD ⊥ AC，∠ ABD=45°， ∴∠ A=45°，即顶角的度数为45°. (2)如图15.3-26 ②，若顶角为钝角，则一腰上的高在等腰三角形的外部. ∵ BD ⊥ AC，∠ DBA=45°， ∴∠ BAD=45° . ∴∠ BAC=180° -45° =135°，即顶角的度数为135° . (3)如图15.3-26 ③，若顶角为直角，两腰互相垂 直，则一腰上的高与另一腰重合，因此它们的夹角为0°，与已知矛盾，舍去. 综上可知，此等腰三角形的 顶角为45°或135° . 答案：A 诊误区： 等腰三角形腰上的高的位置是由顶角的大小决定的. (1)当顶角为锐角时，等腰三角形腰上的高在三角形的内部； (2)当顶角为钝角时，等腰三角形腰上的高在三角形的外部； (3)当顶角为直角时，等腰三角形腰上的高为另一条腰. 归纳：涉及等腰三角形腰上的高的问题时，要注意分类讨论. 考法 利用等腰三角形“等边对等角”求角的度数 1 [新考向传统文化中考·盐城]七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成.小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图15.3-27所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°， 则∠2的度数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 例19 试题评析：此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACD= ∠CDE是解题的关键． 解：如图15.3-27 所示. ∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F=∠DHC=90°，∴DF=EF，DH=CH. ∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°. ∵AB∥DE，∴∠ACD= ∠CDE. ∴∠ 1+ ∠HCD= ∠ 2+ ∠FDE. ∵∠ 1=20°，∴ 20°+45°= ∠ 2+45°.∴∠ 2=20°. 答案：B 考法 利用“等角对等边”求三角形的周长 2 [中考· 陕西] 如图15.3-28，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2 ∠C. 若AB=5，BC=6，则△ABD的周长为( ) A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 例20 试题评析：本题考查等角对等边和三角形外角的性 质，将△ABD的周长转化为两条线段的和是解题关键. 解：∵∠ADB=2 ∠C= ∠C+ ∠CAD， ∴∠C= ∠CAD. ∴AD=CD. ∴ C △ ABD=AB+BD+AD=AB+BD+CD= AB+BC. ∵AB=5，BC=6， ∴C△ABD=AB+BC=5+6=11. 答案：C 考法 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长 3 [母题中考· 南通教材P85 习题T7]南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图15.3-29是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC. 若AC=4.8 m，∠C=30°， 则EF的长为______ m． 例21 1.2 试题评析：本题考查了含30°角的直角三角形的性 质，解题关键是找到含30°角的直角三角形. 解：∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8 m， ∴CE= AC=2.4 m. ∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°. ∵∠C=30°，∴EF= CE=1.2 m. 考法 等边三角形的性质和判定的综合应用 4 [中考·福建]如图15.3-30，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G． 例22 试题评析：本题考查等边三角形的判定和性质、平移的性质、线段垂直平分线的判定等基础知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． (1)求∠DCE的大小； 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°． ∵D是AB的中点，∴∠DCB= ∠DCA=∠ACB=30°． 又CE⊥BC，∴∠BCE=90°. ∴∠DCE= ∠BCE- ∠DCB=60°． (2)求证：△CEG是等边三角形． 证明：由平移的性质可得CD∥EF， ∴∠EAC= ∠DCA=30°.∵∠ECA= ∠BCE- ∠ACB=30°， ∴∠EAC= ∠ECA，∠AEC=120°.∴AE=CE. ∵在等边三角形ABC中，AB=CB， ∴BE垂直平分AC.∴∠GEC= ∠AEC=60°. 由(1)知∠GCE=60°，∴∠EGC=60°. ∴∠GEC= ∠GCE= ∠EGC.∴△CEG是等边三角形． 1. [中考·扬州] 在如图所示的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( ) A. ∠ADB= ∠ADC B. ∠B= ∠C C. BD=CD D. AD平分∠BAC B 2. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° A 3. [情境题实物模型中考·山西]如图①是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量. 图②是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD，BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC. 若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为( ) A. 127° B. 106° C. 76° D. 74° D 4. [新趋势 学科内综合]如图，在平面直角坐标系中，点A(2，2)在第一象限，点P在x 轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 C 5. [中考·福建] 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案. 如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF. 下列推断错误的是(　　) A.OB⊥OD B. ∠BOC= ∠AOB C.OE=OF D. ∠BOC+ ∠AOD=180° B 6. [期末·北京门头沟区] 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D，若ED=5，则CE的长为________. 10 7. [新考向知识情境化中考·江西]将含30 ° 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α =60 °，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm， 则线段AB的长为______cm. 2 8.[广州海珠区自主招生]如图是一个钢架，设∠AOB=α，为了使钢架更加稳固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管5 根，则α 的取值范围是_________. 15°≤α＜18° 9. [新考法 补形法]如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，则∠ DBC 的度数为_______. 16° 10.已知：如图，∠ ABC，射线BC 上一点D. (1)求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD 的底边，点P 在∠ ABC 内部，且点P 到∠ ABC 两边的距离相等； 解:如图,点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，△PBD即为所求. (2)在(1)的条件下，若DP ⊥ AB 于点F，求∠ ABC 的度数. 解：如图，由题可知DF⊥AB,∴∠ABC+∠BDP=90°. ∴∠ABP+∠DBP+∠BDP=90°. ∵点P在线段BD的垂直平分线上，∴PB=PD， ∴∠DBP=∠BDP.又∵点P在∠ABC的平分线上， ∴∠ABP=∠DBP,∴∠ABP=∠DBP=∠BDP, ∴∠ABP=∠DBP=∠BDP=30°,∴∠ABC=60°. 11.[中考·苏州] 如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 为△ ABC 的角平分线．以点A为圆心，AD 长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF. (1)求证：△ADE≌△ADF； 证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD. 由作图知AE=AF. 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF(SAS). (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数． 解：∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠BAC=40°.由作图知AE=AD，∴∠AED=∠ADE=12×(180°-40°)=70°. ∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=20°. 12.[期末·西安莲湖区]如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD=BC. 以AD为一边作等边三角形ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2 ∠BAC. (1)求∠BDE的度数； 解:在等边三角形ADE中，∠EAC=∠ADE=60°. ∵∠EAB=2∠BAC，∴∠BAC=20°. 又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80°. ∵BD=BC,∴∠BDC=∠ACB=80°. ∴∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=180°-80°-60°=40°. (2)点F在AB上，连接DF，DF=BD，请判断△BDF是不是等边三角形，并说明理由. 解:△BDF是等边三角形.理由如下: ∵∠BDC=∠ACB=80°， ∴∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=180°-80°-80°=20°. ∵∠ABC=80°，∴∠FBD=∠ABC-∠CBD=80°-20°=60°. 又∵DF=BD，∴△BDF是等边三角形. 13. [新考法 类比法]已知∠ABC=60 °，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D. 请解答问题： (1)如图①，求证：AB+BF=2BD. 证明：如图，连接BE，在射线BC上截取BT，使得 BT＝BA，连接AT． ∵BA＝BT，∠ABT＝60°， ∴△ABT是等边三角形. ∵△ABT，△AEF是等边三角形,∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝∠ATB＝60°.∴∠TAF＝∠BAE. 在△ATF和△ABE中， ∴△ATF≌△ABE(SAS).∴TF=BE，∠ATB=∠ABE=60°. ∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°. ∴∠DEB＝30°.∴BD=BE.∴TF＝2BD. 又∵BT＝AB，∴AB+BF＝BT+BF=TF=2BD. (2)如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 解：题图②中的结论：AB-BF=2BD； 题图③中的结论：BF-AB＝2BD． 14. [新视角 动点探究题]如图，△ABC是边长为9 的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动 (Q不与B重合)，过点P作PE⊥AB 于点E，连接PQ交AB于点D． (1)当∠BQD=30°时，求AP的长. 解：设AP=x,则BQ=x. ∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°. 又∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°. ∴QC=2PC，即x+9=2(9-x). 解得x=3，即AP=3. 解：设AP=x,则BQ=x. ∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°. 又∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°. ∴QC=2PC，即x+9=2(9-x). 解得x=3，即AP=3. (2)求证：在运动过程中，点D是线段PQ的中点． 证明：过点P作PF∥BC，交AB于点F. ∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°. ∵PF∥BC，∴∠PFA=∠ABC=60°，∠FPA=∠ACB=60°.∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°. ∴△APF是等边三角形.∴PF=AP. ∵AP=BQ,∴PF=BQ.∵PF∥BC，∴∠DBQ=∠DFP. 又∵∠BDQ=∠FDP，∴△DQB≌△DPF(AAS). ∴DQ=DP.∴在运动过程中，点D是线段PQ的中点. (3)在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由． 解：在运动过程中，线段ED的长不发生变化. ∵△APF是等边三角形，PE⊥AF，∴EF=AE. 又∵△DQB≌△DPF，∴DF=DB. ∴ED=EF+DF= (AF+BF)=AB=4.5. 解：设∠A＝x. ∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x. ∴∠CDB＝∠A＋∠ABD＝2x. ∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB ＝2x. ∴∠ABC ＝∠ABD＋∠CBD＝3x. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋3x＋3x＝180°，解得x＝°. ∴∠A＝°. 解：如图，连接AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝＝30°. ∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，∠DEC＝90°. 证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝AB，∠A＋∠B＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°. ∴∠BCD＝∠A＝30°. ∴BD＝BC＝×AB＝AB. $