2026年高考数学考前猜题卷07（全国二卷通用）

**基本信息** 2026年高考数学考前猜题卷（全国二卷）以AI质检、工业数据统计、流行病学等真实情境为载体，覆盖函数、数列、几何、概率等核心知识，通过梯度化问题设计实现基础巩固与创新应用的融合，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、数列、双曲线|基础概念与运算结合，如向量投影、数列求和| |多选|3/18|统计图表、立体几何、函数极值|工业数据众数/分位数分析，体现数据意识| |填空|3/15|二项式定理、解三角形、函数极值|解三角形面积与周长综合，强化几何直观| |解答|5/77|等比数列、立体几何翻折、抛物线、函数单调性、流行病学概率|融合翻折几何证明（逻辑推理）、抛物线三点共线论证（数学抽象）、流行病学概率模型（数学建模），呼应高考综合应用趋势|

2026年高考数学考前猜题卷07（全国二卷通用） (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知z1+i=2+4i,则三=() A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 【答案】D 【详解】·(1+i)=1+2i+i2=2i, .原等式可化为2i·z=2+4i, 2+4i1+2i-0+20(-0-i-2=2-i, 2i i i(-i) 1 .z=2+i 之已合40， B={xlog2x<1},则A∩B=() A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,+0) 【答案】A 【详解】由超意可知：来合A=红到导0-6-2派-1小0咔a1Uee) 且集合B={xlog2x<1}={x|0<x<2},所以A∩B=(0,1) 3.已知平面向量a满足日=3，=2,2a-=2W7,则a在万上的投影向量为() A C.3五 D.4b 【答案】A 【分析】通过2ā-，求得a.方=3，再由投影向量计算公式即可求解。 【详解】因为园=3，=2,2a-=2√7.所以2a-=4d-4a.五+=28，解得a6=3, ab, 所以a在b上的投影向量为 = 2 b 4.设公差不为零的等差数列{a},前n项和为S,若S4=S,且2a+am=0,则m=() A.15 B.16 C.17 D.18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解， 【详解】因为S4=Sg,所以S,-S4=0,即a+4+4+4+=0, 即根据等差数列性质得到4，+4，=2a,4+4=24, 所以5a=0,即4=0，则a+6d=0,即4=-6d, 因为2a+am=0,所以2(a+2d)+a+(m-1)d=0,即34+(m+3)d=0, 将4=-6d代入3a+(m+3)d=0得到3(-6d)+(m+3)d=0, 因为d≠0，两边除以d得到-18+(m+3)=0,m=15,故选项A正确， 5.已知sin0=-sin20,0∈ 则tan6=（) A.- 3 B.-1 C.-5 D.-2 3 【答案】C 【分析】根据二倍角公式即可求解 【详解】由题意得sin6=-sin20=-2sin8cos6,由于6∈ 所以sin0≠0，因此cos0=-}且0=2妥，则tan0=tamn2-tam5=-V5,故C正确 21 3 3 2 6.某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片），已知 芯片被标记为合格的概率为了，校标记为瑕的概率为号。被标记为合格的芯片中有品实 3 2 10 际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片.在被AI质检过的芯片中随机 10 抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为() A.月 B号 C. 3 D. 21 5 50 【答案】D 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件A,“芯片被标记为合格”为事件M,“芯片被标记为瑕 度为事作N则P()-房P)后PaM-。P4=108 1010 所以P(A=P(MP(AM)+P(NP(AN=x+2x9-1 51051050 21 即在被A虹质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 0 7.已知双曲线E: 云示1(a>0,b>0)的右焦点为P,以F为圆心，√b为半径的圆与 x2 y2 双曲线E的一条渐近线交于A,B两点，若OB=3OA,则双曲线E的离心率为() A. 2 B.3 C.5 D. 2 【答案】A 【分析】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形△MOF和向量条件求出半 弦长，最后在直角三角形△AM建立关于a,b的关系式，用离心率公式可得离心率 【详解】如图所示，设AB中点为M,连接MF, 因为F为圆心，M为中点，可得MF⊥AB,所以三角形△MOF为直角三角形 根据条件得圆心为F(C,0),设其中一条渐近线方程为y=色x→bx-y=0,则圆，心P到渐 bc 近线的距离为d= Va2+b2 =b,即MF=b,又因为OF=c,所以OM=VOF2-MF2=a, 由OB=30A可知O,A,B三点共线，且A为OB上靠近0点的三等分点，所以M=OM=a, 2 所以在直角三角形a中，+Ar=A-侣-人-牙=公→心-。 b2 所以e 5 8.已知函数f(x)=x+ax2+x+1(a>0),若x,x3分别为∫(x)的极大值点和极小值点， 且f(x)在区间(-3，-1)上单调，则点的取值范围是（) B. V5-1 2 【答案】D 【分析】通过对函数∫(x)=x+ac2+x+1(a>0)求导，讨论函数f(x)在区间(-3，-1)单调递 增与单调选减时。a的取值范国。构造1=÷，则 1+上点+占=+-任+)广-2x书-任+】2，通过韦达定理求出5的取值范围 tX X2X2 1X3 Xx2 【详解】f'(x)=3x+2ax+1(a>0),由于x1,x,分别为f(x)的极大值点和极小值点，那么 f'(x)=3x2+2+1=0有两个不相同实根x,x3且5<，那么 x+5=-2a<0 3 =片0 31<x2<0 la>3 ，当函数f(田在区间（←3-1）单调递增时， a>0 △=4a2-12>0 f()=3x+2c+1≥0在(-3，-1)上恒成立，那么2a≤-3x-,设u=-x,则ue4,3),那么 1_32-1>0, 2asw日设8o侧=+e3,由于g创)37- 所以g(w)在1,3)上单调递增，2a≤g(1)=4,故√5<a≤2： 设t=点，由于<x,<0,所以，0<t<1,则 X 2 2 t+1-玉+生=+号3+)-25化+为 3 4 -2 tx1 x2 Xx2 12 由于5<a≤2，则i+}4a-2s10 1 ≤t≤31 解得 3 三-≤t<1: 3 0<t<1 当函数f(x)在区间(-3，-1)单调递减时，∫'(x)=3x+2x+1≤0在(-3，-1)上恒成立， 那么2a≥-3x- ,设u=-x,则u∈1,3)，那么 2a≥u+品，设g=3划+2ue),由于g-3-1w21 1 P>0, 所以go)在0习上单调递增，2a≥g)-空枚a:片 设t=多，由于名<名<0，所以，0<1<1，则4+5+生+适_5-245_+-2 X t为水 X I5 {4s7或i227-0<ts27 27解得≤27 1 -2= 0<t<1 综上所述， 是的取位范面足(0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、 优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有 力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产 量的部分统计数据.则() 120 35 31294422382929474939 10 30 0 25 225 220 23222.0 225232224 233 23.3 227 -10 20 -20 0 40 0 -50 2025年5月6阴7月8月9月10明11月12月2026年 4月 1月 四日均产量万吨 +一增速9 A.十种金属增速数据的众数是2.9 B.十种金属增速数据的平均数是3.57 C.十种金属日均产量数据的极差是-1.3 D.十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 【答案】ABD 【详解】十种金属增速数据排序：2.2,2.9,2.9,2.9,3.1,3.8,3.9,4.4,4.7,4.9 出现次数：2.9出现3次，其余一次，众数是2.9，A正确： 3.1+29+4.4+22+3.8+29+29+4.7+4.9+3.9=3,57,B正确： 10 十种金属日均产量数据的极差：22.3-22.0=1.3，C错误： 数据已经按从小到大排序： 22.0,22.0,22.4,22.5,22.5,22.7,23.2,23.2,23.3,23.3 8096分位数为第8个数和第9个数的平均数：23.2+23.3=2325，D正确 2 10.己知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，ABCD和AB,C,D是两个全等的矩形， AB=AD,=1,AD=AB=2,平面ABCD/平面ABC1D,则下列结论中正确的是() B A. BD⊥AC B.若AB=AD,则CB=C1D C.若直线AC与平面AB,CD交于B,则AE=AC D.若平面ABCD与平面4B,CD的距离为1，则该六面体的体积y=13 6 【答案】ABD 【分析】取基底向量AB=a,AD=b,A4=c,用它们表示出BD,AC,证明BDAC=0即可 判断A选项：根据4B=4D即4B=4D列出向量等式，得到2（石-ā）=3，再利用它证 明CB=D:将A正用AC,AD,AA表示，根据空间四点共面的推论得到2的方程，求解 即可；首先证明平行于底面ABCD的截面的面积只与截面高度有关，根据祖暅原理可知可以 在不改变体积的前提下移动AB,CD,使得该几何体可以放进长方体中，用长方体的体积减 去多余部分的体积即是所求几何体的体积， 【详解】设AB=a,AD=万，AA=c,因为ABCD是矩形，所以ab=0, 依题意有平面BCCBO平面ABCD=BC,平面BCCB⌒平面ABC1D=BC1, 且平面ABCD1I平面AB,CD,所以BC/IBC,同理可得AB,IIAB,ADI1AD,CD/1CD, 又因为AB=4A=1AD=4,=2,所以48=2ā40=5，且同-=2， 对于A,可知BD=AD-AB=6-a,4C=A8+4D=2a+6, 则804c-6-a2a+06+a6-2-421-0, 2 所以BD LAC1,A正确：对于B,可知AB=AB-AA=a-C,AD=AD-AA=b-c, 若4B=4D,则(a-c}=(仍-c),展开得a-2ac=B-2bc, 移项得2bc-2ac-2正6-a)=b2-a2-3, 又cB=4B-4C=a-c- a+a5- D-40-4=6-c（2a+-2ab- GB-GD=(GB+GD)(CB-GD)=(-3a-26)(a-B) =(3a+2)6-a)3a6-aH玉6-a0五+30，所以CB=CD,B正确： 对于C,设AE=AC,则A正=(A4+4G=元+2a+b 2 -2a+号0+c-2+5MD+a4-(2iB+2aD)D+4 =24c-3D+4,因为B∈平面4BCD,所以22-；+2=1， 2 解得头子所拟正石：c结误 3 对于D,取该几何体平行于底面ABCD的某截面A,B,C,D, 同A中分析可知AD/AD,A,B2/1AB,B,C2/1AD,C2D/1CD,所以ABC2D也是矩形， AA =MAA.DD:=ADDA D.=-AA+AD+DD=-AA+AD+uDD =-HAA+AD+(AD-AD=-MAA+AD+A4+AD-AD D+:而-而（上5，即40，的长度只与么有关即只与我面高度有关， 同理可得AB2的长度也只与截面高度有关，所以截面ABC2D的面积只与截面高度有关， A B2 B 根据祖啦原理，可以移动AB,CD使得A的正投影刚好是A,而不影响该几何体的体积， 此时该几何体可以放进长方体ABTT-ARRD中，如图所示，依题意长方体的高为1， A R R2 因为长方体ABT,买-ARRD的体积V=S,RD×R,买=4， 直三棱柱BBR-CTR的体积为=S.A×BC=}×(2-1)x1x2=1, 1 直三棱柱CR乃-DD☑的体积为=S.xCA=2×(2-)×1x2=1, 三校锥C-CR买的体积为专S6s×CR弓(2-1x1x(2-)言 所以几何体4BCA-ABCD体积为/-K-+乃=4-1-1+石 113 ,D正确， 11.己知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx,aeR,则下列说法正确的有() A.当a=0时，曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为3x-y-4=0 B.对任意aeR,f(x)在定义域内恒有两个极值点 C.若f()在r=1处取得极值，则f()的极大值为n2 D.若f(x)在[1，e2]上的最小值为-2a,则a≤1 【答案】ACD 【分析】A选项，当α=O时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程；B选项， 求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断；C选项，由极值点得a=1,借助分析 单调性判断在x=】处取得极大值，从而求出极大值：D选项，讨论f(x)在[1，]上的符号， 2 当a≤1时，f(x)单调递增，最小值为-2a,当a>1时，不满足条件，即可进行判断. 【详解】对于A:当a=0时，f(x)=x2-x,所以f2)=2, 又因为f'(x)=2x-1,所以f'(2)=3, 所以曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y-2=3(x-2), 即3x-y-4=0,故A正确：对于B:因为 f-=2x-(2a+1+g2-2a++a_2t-X-四，x>0,令f(=0,得x或 1 X=a,当a≤0时，x=a不在定义域内，此时只有x=2一个极值点，故B错误： 对于C:因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=2-(2a+1)+a=0,即a=1, 所以x)=2x--少，令了()=0，得x=号或x=1, 当xe0,宁时，9>0，f)单调递增 当x∈)时，)<0，(y单调递减： 当x∈L,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增 所以)在x=封取到极大值，极大值为内=白-3子+n宁-子n2,故c正确 对于D:x)=2x--四，xe,e],因为2x-1>0,所以只需讨论x-a 当a≤1时，x-a≥0，所以f'(x)≥0，所以f(x)在[1，e2]上单调递增， 所以最小值为f(I)=-2a,成立： 当1<a<e2时，∫(x)在[1，a可单调递减，在[a,e2]单调递增， 所以最小值为f(a=a-(2a+1)a+ana=-a2-a+alna, 令-d2-a+aha=-2a,即a(a-1-lnad=0,因为a>0,所以需a-l-lna=0, 设8(a=a-1-lna,则g'@=1-1>0,所以8(@>g0=0,无解： 当a≥e时，x-a≤0，所以f(x)≤0，所以f(x)在[1，e2]上单调递减， 所以最小值为f(e2）=e4-(2a+1)e+2n,令e4-(2a+1)e2+2a=-2a, 则a= e4-e2 2e2-4 ,验证可知a>e2不成立，综上a≤1，故D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在2x 的展开式中，x的系数为 (用数字作答) 【答案】-40 【详解】 2r3、 1) 民开式的通现为=c(2〔 C25*1)5, 令15-4k=3,解得k=3,所以的系数为C×22×(-1)=-40 13.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a-b)(sinA+sinB)=(a-c)sinC, 三角形ABC的面积为3 b=√万，则三角形ABC的周长为 4 【答案】4+√7 【详解】由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 结合(a-b)(sinA+sinB)=(a-c)sinC,得(a-b)(a+b)=(a-c)c,即d+c2-b2=, .'cos B +c甘0<a,2 2ac 3 1 由三角形ABC的面积为S可知，S,csm8=9,得ac= 4 4 由b=√7，知a2+c2-ac=7, (a+c)}-3ac=7,∴.a+c=4, △ABC的周长为4+√万 14.已知函数f)=x+bx2+3x的定义域为R,f)的极小值大于0，则b的取值范围 为 【答案】（←2，-√3） 【分析】由函数存在极值，得到f'(x)=x+2bx+3=0有两个不同根，由极小值大于0，确 定f(x)=}+bx2+3x只有一个零点，结合判别式和韦达定理即可求解 【详解】f)=子x+bx2+3x=x 2+bx+3 f()=x2+2bx+3 因为f(x)的极小值大于0， 所以f(x)=x2+2bx+3=0存在两个不同的根x,x2,设x<x2, 当x<1或x>x时，f'(x)>0,则f(x)在(-o,),(化，+o)上单调递增， 当x<x<x时，∫"(x)<0,则f(x)在(：，)上单调递减，则∫(x)为极大值，∫(x)为极小 值，又极小值大于0，所以极大值∫(：)>0，所以∫(x)只有一个零点， 又四-+a=++ 显然x=0是f(x)的零点，所以方程)x+bx+3=0无实数根，即A=b2-4<0,即-2<b<2, 因为f(0)=0,若x3<0,因为f(x)在(x2,+∞)上单调递增， 结合f(0)=0,可得f(5)<0,与条件矛盾， 所以x2>0,又f(x=x2+2m+3=0,xx,=3,所以>0， 即f(x)的极大值点与极小值点均大于0， 「-2b>0 且方程f(x)=x+2hx+3=0的2个实数根均大于0，所以}∫'(0)>0 ,解得b<-√5， 1△2=4b2-12>0 综上可得：-2<b<-√5，故b的取值范围为（←2，-√3） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知等比数列{a}的前n项和为Sn,且G=&a凸，S,=62 (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)i记b.=10g,4,log24.4 求数列{b}的前48项和T8 【答案】(1)a=2"(n∈N) 8 【分析】(1)根据条件列方程求解等比数列的公比和首项，进而求得通项公式： (2)通过裂项求和求解 【详解】(1)设公比为q(q≠0)，由G=8a4,有(4q)-8a×4q,解得9=2. 又由3=62，有4×2-62，解得4=2 1-2 故a=2×2-1=2,即数列{a}的通项公式为a,=2”(neN) 1 111 (2)由b=1og,2*1og2m7n0n+0）nn+1' 有店)居身一（信荷1。将 148 16.(15分)如图所示，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3√3，ED=9,∠ADC=90°， ∠BAD=30,点B,R满足A征=D,亚=5.将△4BP沿EP翻折至PBR,使得 3 PC=12. (1)证明：EF⊥PD: (2)求直线CD与平面PBF所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 ②0 5 【分析】(1)根据题意先计算AE,AF,利用余弦定理可得EF=23,结合勾股定理有 EF⊥AE,根据翻折的不变关系和线面垂直的判定定理证得线面垂直，进而得到线线垂直： (2)利用空间向量法计算线面夹角： 【详解)（1)由思意可知，4B=2gD=64F=y54B=4N5,又∠BAD=30, 2 2 所以由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF.c0s30°=12，故EF=2√3. 又EF2+AE2=AF2,所以EF⊥AE,由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED, 又ED∩PE=E,ED,PEC平面PED,所以EF⊥平面PED, 又PDC平面PED,所以EF⊥PD (2)如图所示，连接CE,由题可知DE=9,CD=3V3,∠CDE=90°， 故CE=VDE2+CD2=65.又PE=AE=6,PC=12,所以PE+CE2=PC2,故PE⊥CE. 又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EFc平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD. 以E为原点，EF,ED,PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,6),D(0,9,0),F23,0,0,A06,0,d33,9,9 由-9西符44660)，则c0-(35.0).m-(506, PB=(4,4V3-6,-6) i.PF=02W3.x-6z=0 设平面PBF的法向量为i=(xy,),则 元.PB=0 即 4x+(4V5-6)y-6z=0' 令x=3,则i=(V5,-11).设直线CD与平面PBF所成角为日，0<0≤ sin0-cos(C.= CD. 33x5+0+0L 5,则cos0=d cD列元 3W3x5 5 故直线CD与平面PBF所成角的余弦值为1 5 17.(15分)已知抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,A,B是C上不同的两点（其中 4在第一象限).点M号0当1,8关于x轴对称，且4=2p时，4M=25. (1)求C的方程： (2)已知Q为x轴上一点（点Q与F不重合），D,E是C上不同的两点（其中D在第一象限）， 且Dg=Eg,若D,E,F三点共线，ME⊥DE,求证：DQ/ly轴. 【答案】(1)y=4x (2)证明见解析 【分析】(1)根据A,B关于x轴对称得到AB⊥x轴，结合AB=2p得到A点纵坐标，进 而得到直线AB过焦点，结合勾股定理求解即可 (2)设直线DE:x=y+1,Q(m,O),与抛物线联立，取DE中点P,求出ke,结合几何 关系得到PO/IME,进而得到ke=k,代入求得则=，，得到DO⊥x轴，即可得证 【详解】(1)因为A,B关于x轴对称，AB=2p,所以ABLx轴，且A点纵坐标为P 令y=卫，则p2=2px,解得x=号，于是直线AB过焦点F 在Rt△AFM中，AM=FM+AF,|FM=AF=p, 则AM=√2p=2W2,解得p=2,故C的方程为y2=4x. (2)由题意得，DE与x轴不垂直， 不妨设直线DE:x=y+1,D(5,乃)，E(:,y2),2(m,0),x1≠x2 x=ty+l 联立 =4x’ 整理得y2-4-4=0,则△=16t2+16>0,所以乃+2=4t,乃=-4. 当+2 取DB中点P,连接P0则0F+-m 2 4y+),kw=少 = (+y好)-8n +1生+1乃+4， 2 4 由PD=PE,Dg=EQ,得PQ⊥DE,又ME⊥DE,则PQ/IME,所以ke=kME, 4(4+y2)4y2 即（矿+写）产n巧+4，则5+4好++号=为+月-85，因为为=4，则=， 则m=-上=上=5，则D21x轴，即D01y轴. 4 18.(17分)已知函数f(x)=2nx-am2+x(a∈R). (L)当a=】时，讨论f(x)的单调性： 2 (2)若x∈(1，+o),(x)<-x,求a的取值范围， 【答案】(1)f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减 (2[2,+0) 【分析】(1)应用导数研究函数的单调性即可； (2)问题化为a>2血+2对x(L+∞)恒成立，应用导数求不等式右侧的最大值，即可得 x 【详解】山)当a=时，)=2nx+x,易得()的定义城为Q+, 闭子*12二《+-9 令f'(x)>0,得0<x<2,令'(x)<0,得x>2, 所以∫(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减. (2)由fe)<-x,即2hr-a2+2x<0.即a>2血x+2对x,+w)恒成立， x2 设函数g(w)=2血+2x>1),则gx)2-2x=4血x（x>1), x3 设函数h(x)=2-2x-4lnx(x>1),易知h(x)在(L,+o)上单调递减，所以h(x)<h(1)=0, 所以g'(x)<0,则g(x)在(1，+∞)上单调递减，得8(x)<8()=2, 所以a≥2，即a的取值范围为[2，+o) 19.(17分)流行病学调查表明某种疾病s是由致病菌a和致病菌B共同引起的，且至少杀 灭其中一种致病菌即可痊愈. (①)诺有某种治疗方案M,有的概率能杀灭致病菌a,若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则 它有的概率能杀灭致病菌A,若这种治疗方案不能杀灭致病菌a,则它有片的概率能杀灭 致病菌B求使用治疗方案M痊愈的概率： (2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病$有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假 定药物使用时，均按疗程服用3天)，超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍 不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈已知药物A杀灭致病菌α和致病菌B的概 车公号 ,且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物B杀灭致病 菌α和致病菌B的概率均为冫请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 101 【答案】0月 (2)先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 【分析】(1)根据条件概率公式求解即可： (2)分别求药物A,B能治愈疾病$的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求 期望，比较即可得解： 【详解】(1)设使用治疗方案M能杀灭致病菌α为事件D,使用治疗方案M能杀灭致病菌 B为事件E,使用治疗方案M痊愈为事件F 则P(D)号PsD)P(a可) 不能杀灭致病菌α的概率为P(D)=1-P(D)=1-2=} 33 不能杀灭致病商α的条件下，不能杀灭致病菌P的概率为P(aD)=1P叫Z可-1子子 因此，既不能杀灭致病菌α也不能杀灭致病菌B的概率为 PDn周=P(DP刀- 所以P(P)=D)=1-PDn=1 即使用治疗方案M整愈的概率为子 (2)设P(A)表示药物A能治愈疾病S的概率，P(B)表示药物B能治愈疾病S的概率， 则有d1-动)号1(1品） 99 00 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为X,,先用药物B再用药物A来治愈疾病 s所需的天数为X,,则P(X=3)=P(A),P(X1=6)=(1-P(4)》P(B), P(X=9)=[1-P4小[1-PB】,所以 E(X)=3P4)+61-P4]P(B)+9L1-P4]L-P(B)]=9-6P(A)-3P(B)+3P(A)P(B)= 9-6x47-3x99+ 41×9-31818, 50-×100550100 同理得P(X2=3)=P(B),P(X,=6)=(1-P(B)》P(A),P(X,=9)=[1-P(A)]1-P(B)], 则有 E(X)=3PB)+61-PB]P④+91-P4][1-PB)]=9-6P(B)-3P(A)+3P(A)P(B)= 9-6×99-3x47+3×47x9=3.0318, 100 50 50100 从而有E(X)>E(X,),因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.2026年高考数学考前猜题卷07（全国二卷通用） (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知z1+i)=2+4i,则三=() A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 2案合4=号子0，月-知cg<,剥n8-( A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2+o) 3.已知平面向量ai满足d-3,=22a-=2W7,则a在五上的投影向量为() A.万 B.6 C.3五 D.4b 4.设公差不为零的等差数列{a},前n项和为Sn,若S4=,,且2g+am=0,则m=() A.15 B.16 C.17 D.18 5.已知sin6=-sin20,0∈ 2π/， 则tam6=() A.-3 B.-1 C.-5 D.-2 3 6.某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）.已知 芯片校标记为合格的概率为？，被标记为瑕章的餐率为号 被标记为合格的芯片中有实 10 际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有二实际为合格芯片，在被AI质检过的芯片中随机 10 抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为() A.月 B号 21 D. 50 7.已知双曲线E: 云示=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心，√为半径的圆与 x2 v2 双曲线E的一条渐近线交于A,B两点，若OB=3OA,则双曲线E的离心率为（) A.⑤ B.5 C.5 3 2 D. 8.已知函数f(x)=x+ax+x+1(a>0),若x,x分别为f(x)的极大值点和极小值点， 且f(x)在区间(3，-1)上单调，则点的取值范围是（) A.0 sa5 n.制 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分！ 9.2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、 优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有 力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产 量的部分统计数据.则() 401 120 30 3↓29442382929474939 10 0 25 225 22.0 23222.0 22523224233233227 10 20 汤 30 40 5 50 2025年5月6月7月8明9明10明11月12月2026年 4月 1月 。日均产量万吨 +增速% A.十种金属增速数据的众数是2.9 B.十种金属增速数据的平均数是3.57 C.十种金属日均产量数据的极差是-1.3 D.十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 10.己知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，ABCD和AB,C1D是两个全等的矩形， AB=AD,=1,AD=AB=2,平面ABCD/平面ABC1D,则下列结论中正确的是() A D B D A.BD⊥A,C1 B.若AB=AD,则CB=C,D C.若直线4G与平面48CD交于五，则正-4G D.若平面ABCD与平面4B,CD的距离为1，则该六面体的体积r= 6 11.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+anx,aeR,则下列说法正确的有() A.当a=0时，曲线y=f(x)在点P(2f(2)处的切线方程为3x-y-4=0 B.对任意a∈R,f(x)在定义域内恒有两个极值点 C.若f(,在x=1处取得极值，则f(x)的极大值为-n2 4 D.若f(x)在[1，e]上的最小值为-2a,则a≤1 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在2x-》 的展开式中，x的系数为·（用数字作答） 13.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a-b)(sinA+sinB)=(a-c)sinC, 三角形ABC的面积为35，b=V万，则三角形ABC的周长为 4 14.已知函数f)=+bx+3x的定义域为R,)的极小值大于0，则b的取值范围 2 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知等比数列{a}的前n项和为S,且G=844,S=62 (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2i记b.=10g,4,-log24 -,求数列{b}的前48项和T」 16.(15分)如图所示，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3√5，ED=9,∠ADC=90°， ∠BAD-30,点R,F满足E=D,=5B.将△ABF沿BF翻折至PgR,使得 2 PC=12. B (1)证明：EF⊥PD; (2)求直线CD与平面PBF所成角的余弦值. 17.(15分)已知抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,A,B是C上不同的两点（其中 A在第一象限)，点M号0当A,B关于x轴对称，且M-2时，A4-25。 (1)求C的方程： (2)已知2为x轴上一点（点Q与F不重合），D,E是C上不同的两点（其中D在第一象限）， 且Dg=Eg,若D,E,F三点共线，ME⊥DB,求证：DQlly轴. 18.(17分)己知函数f(x)=2lnx-ar2+x(a∈R). (L)当a=号时，讨论f(w)的单调性： (2)若x∈(1，+o),f(x)<-x,求a的取值范围 19.(17分)流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌α和致病菌B共同引起的，且至少杀 灭其中一种致病菌即可痊愈 (1)若有某种治疗方案M,有三的概率能杀灭致病菌“.若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则 它有子的概率能杀灭致病菌P,若这种治疗方案不能杀灭致病菌α，则它有，的概率能杀灭 致病菌B求使用治疗方案M痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病$有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假 定药物使用时，均按疗程服用3天)，超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍 不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈已知药物A杀灭致病菌α和致病菌B的概 率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物8杀灭致病 菌α和致病菌P的概率均为，0请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 2026年高考数学考前猜题卷07（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．已知，则（    ） A． B．-1 C． D．-2 6．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，分别为的极大值点和极小值点，且在区间上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（    ） A．十种金属增速数据的众数是2.9 B．十种金属增速数据的平均数是3.57 C．十种金属日均产量数据的极差是 D．十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 10．已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若直线与平面交于，则 D．若平面与平面的距离为1，则该六面体的体积 11．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 13．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，三角形ABC的面积为，，则三角形ABC的周长为______． 14．已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前48项和. 16．（15分）如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足．将沿翻折至，使得． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 17．（15分）已知抛物线：的焦点为，，是上不同的两点（其中在第一象限），点.当，关于轴对称，且时，． (1)求的方程； (2)已知为轴上一点（点与不重合），，是上不同的两点（其中在第一象限），且，若，，三点共线，，求证：轴． 18．（17分）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 19．（17分）流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学考前猜题卷07（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ， ∴ 原等式可化为 ， ∴ ， ∴. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 3．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过，求得，再由投影向量计算公式即可求解. 【详解】因为．所以，解得， 所以在上的投影向量为． 4．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以，即， 将代入得到， 因为，两边除以得到，，故选项A正确. 5．已知，则（    ） A． B．-1 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，由于， 所以，因此且，则，故C正确. 6．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件.则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 7．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形和向量条件求出半弦长，最后在直角三角形建立关于的关系式，用离心率公式可得离心率. 【详解】如图所示，设中点为，连接， 因为为圆心，为中点，可得，所以三角形为直角三角形. 根据条件得圆心为，设其中一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，即，又因为，所以， 由可知三点共线，且为上靠近点的三等分点，所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 8．已知函数，若，分别为的极大值点和极小值点，且在区间上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对函数求导，讨论函数在区间单调递增与单调递减时，的取值范围，构造，则，通过韦达定理求出的取值范围. 【详解】，由于，分别为的极大值点和极小值点，那么 有两个不相同实根，且，那么 ，当函数在区间单调递增时，在上恒成立，那么，设,则，那么 ，设，由于， 所以在上单调递增，，故； 设，由于，所以，，则 ， 由于，则, 解得； 当函数在区间单调递减时，在上恒成立， 那么，设,则，那么 ，设，由于， 所以在上单调递增，，故； 设，由于，所以，，则 ，由于，则,解得； 综上所述，的取值范围是 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（    ） A．十种金属增速数据的众数是2.9 B．十种金属增速数据的平均数是3.57 C．十种金属日均产量数据的极差是 D．十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 【答案】ABD 【详解】十种金属增速数据排序：2.2, 2.9, 2.9, 2.9, 3.1, 3.8, 3.9, 4.4, 4.7,4.9 出现次数：2.9 出现 3 次，其余一次，众数是 2.9 ，A正确； ，B正确； 十种金属日均产量数据的极差： ，C错误； 数据已经按从小到大排序： 22.0, 22.0, 22.4, 22.5, 22.5, 22.7, 23.2, 23.2, 23.3, 23.3 80%分位数为第8个数和第9个数的平均数：，D正确. 10．已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若直线与平面交于，则 D．若平面与平面的距离为1，则该六面体的体积 【答案】ABD 【分析】取基底向量，用它们表示出，证明即可判断A选项；根据即列出向量等式，得到，再利用它证明；将用表示，根据空间四点共面的推论得到的方程，求解即可；首先证明平行于底面的截面的面积只与截面高度有关，根据祖暅原理可知可以在不改变体积的前提下移动，使得该几何体可以放进长方体中，用长方体的体积减去多余部分的体积即是所求几何体的体积. 【详解】设，因为是矩形，所以， 依题意有平面平面，平面平面， 且平面平面，所以，同理可得， 又因为，所以，且， 对于A，可知， 则， 所以，A正确；对于B，可知， 若，则，展开得， 移项得， 又， ， 则 ，所以，B正确； 对于C，设，则 ，因为平面，所以， 解得，所以，C错误； 对于D，取该几何体平行于底面的某截面， 同A中分析可知，，所以也是矩形， 设，则 ，即的长度只与有关即只与截面高度有关， 同理可得的长度也只与截面高度有关，所以截面的面积只与截面高度有关， 根据祖暅原理，可以移动使得的正投影刚好是，而不影响该几何体的体积， 此时该几何体可以放进长方体中，如图所示，依题意长方体的高为， 因为长方体的体积， 直三棱柱的体积为， 直三棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以几何体体积为，D正确. 11．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，当时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程；B选项，求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断；C选项，由极值点得，借助分析单调性判断在处取得极大值，从而求出极大值；D选项，讨论在上的符号，当时，单调递增，最小值为，当时，不满足条件，即可进行判断. 【详解】对于A：当时，，所以， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故A正确；对于B：因为，令，得或.当时，不在定义域内，此时只有一个极值点，故B错误； 对于C：因为在处取得极值，所以，即， 所以，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在时取到极大值，极大值为，故C正确； 对于D：，因为，所以只需讨论. 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以最小值为，成立； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以最小值为， 令，即，因为，所以需， 设，则，所以，无解； 当时，，所以，所以在上单调递减， 所以最小值为，令， 则，验证可知不成立，综上，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项为， 令，解得，所以的系数为. 13．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，三角形ABC的面积为，，则三角形ABC的周长为______． 【答案】 【详解】由正弦定理得， 结合，得，即， ，，， 由三角形ABC的面积为可知，，得， 由，知， ，， 的周长为． 14．已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由函数存在极值，得到有两个不同根，由极小值大于，确定只有一个零点，结合判别式和韦达定理即可求解. 【详解】，. 因为的极小值大于0， 所以存在两个不同的根，，设， 当或时，，则在，上单调递增， 当时，，则在上单调递减，则为极大值，为极小值，又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又， 显然是的零点，所以方程无实数根，即，即， 因为，若，因为在上单调递增， 结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0，所以，解得， 综上可得：，故b的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前48项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程求解等比数列的公比和首项，进而求得通项公式； （2）通过裂项求和求解 【详解】（1）设公比为，由，有，解得. 又由，有，解得. 故，即数列的通项公式为. （2）由， 有. 16．（15分）如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足．将沿翻折至，使得． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】  （1）根据题意先计算，利用余弦定理可得，结合勾股定理有，根据翻折的不变关系和线面垂直的判定定理证得线面垂直，进而得到线线垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角； 【详解】（1）由题意可知，，又， 所以由余弦定理得，故． 又，所以．由及翻折的性质知， 又，平面，所以平面， 又平面，所以 （2）如图所示，连接，由题可知，， 故．又，所以，故． 又平面，所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则． 由得，则，，． 设平面的法向量为，则，即, 令，则．设直线与平面所成角为， ，则． 故直线与平面所成角的余弦值为． 17．（15分）已知抛物线：的焦点为，，是上不同的两点（其中在第一象限），点.当，关于轴对称，且时，． (1)求的方程； (2)已知为轴上一点（点与不重合），，是上不同的两点（其中在第一象限），且，若，，三点共线，，求证：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，关于轴对称得到轴，结合得到点纵坐标，进而得到直线过焦点，结合勾股定理求解即可. （2）设直线，，与抛物线联立，取中点，求出，结合几何关系得到，进而得到，代入求得则，得到轴，即可得证. 【详解】（1）因为，关于轴对称，，所以轴，且点纵坐标为. 令，则，解得，于是直线过焦点． 在中，，， 则，解得，故的方程为． （2）由题意得，与轴不垂直， 不妨设直线，，，，， 联立，整理得，则，所以，． 取中点，连接，则，， 由，，得，又，则，所以， 即，则，因为，则， 则，则轴，即轴． 18．（17分）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性即可； （2）问题化为对恒成立，应用导数求不等式右侧的最大值，即可得. 【详解】（1）当时，，易得的定义域为， ， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由，即，即对恒成立， 设函数，则（）， 设函数（），易知在上单调递减，所以， 所以，则在上单调递减，得， 所以，即的取值范围为 19．（17分）流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物能治愈疾病的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； 【详解】（1）设使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案痊愈为事件 则，， 不能杀灭致病菌的概率为， 不能杀灭致病菌的条件下，不能杀灭致病菌的概率为， 因此，既不能杀灭致病菌也不能杀灭致病菌的概率为， 所以， 即使用治疗方案痊愈的概率为. （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率， 则有，， 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，则，，，所以， 同理得，，， 则有， 从而有，因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短.. 学科网（北京）股份有限公司 $