14.2 三角形全等的判定 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形全等的判定”，系统涵盖SAS、ASA、AAS、SSS、HL等判定方法及尺规作图，从全等三角形概念切入，通过基本事实、书写规范、易错点辨析构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“特别解读”规范书写培养推理意识，“技巧总结”挖掘隐藏条件发展几何直观，“一题多解”和构造方法（如截长补短）提升创新意识。实例如例1用等式性质推导夹角，例7用HL证直角三角形全等，助力学生掌握判定逻辑，教师教学更具针对性与高效性。

14.2 三角形全等的判定 第十四章 全等三角形 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 知识点 三角形全等的基本事实：边角边(SAS) 1 知1－讲 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). AB=A′B′， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， 知1－讲 注意 两边和其中一边的对角分别相等的两个三 角形不一定全等.即“边边角”不能作为 判定两个三角形全等的条件.如图14.2-2， 在△ABC和△ABD中，AB=AB， AC=AD， ∠B=∠B，显然△ABC和△ABD不全等. 知1－讲 特别解读 证明三角形全等的书写规范： (1)用“｛”把需要的三组条件括起来； (2)列条件时，要按照所用的基本事实或判定定理的条件顺序排列，如: 用“SAS”时，列条件时要按照“边-角- 边”的顺序； (3)对应顶点的字母要写在对应的位置上. 知1－讲 如图14.2-3，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD. 求证：△ABC≌△AED． 例1 解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，先根据“SAS”判定两个三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等证明. 知1－练 证明：∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS). ∴∠B=∠ E. 知1－练 等式的性质 知1－练 技巧总结：证明三角形全等要善于挖掘图中隐藏的相等的边和角，其中出现相等的边的情况通常有：①公共边，②线段的中点，③等边加减等边；出现相等的角的情况通常有：①公共角，②对顶角，③角平分线，④等角加减等角，⑤平行线的性质，⑥垂直，⑦余角、补角的性质. 1-1.如图，已知∠ 1=∠ 2，AC=DB. 求证：∠ABD=∠ DCA. 知1－练 知1－练 证明：在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠ABC=∠DCB. ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2, 即∠ABD=∠DCA. 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 知识点 三角形全等的基本事实：角边角(ASA) 2 知2－讲 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， ∠ C= ∠ C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知2－讲 特别解读 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时,要按照“角→边→角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间. 知2－讲 如图14.2-5，AD=AE，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E. 求证：BD=CE. 例2 解题秘方：利用直角和公共角及它们的夹边相等证明△ABE和△ACD全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=AC，再利用等式的性质证明结论. 知2－练 证明: ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB= ∠ADC=90°. 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA). ∴AB=AC. ∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE. 知2－练 类比公共边 一定要把夹边写在中间 2-1.[期中·潍坊昌邑市]如图，AB∥FC，E是AC的中点. 知2－练 (1)求证：△ADE≌△CFE； 知2－练 (2)若AB＝15，CF＝8，求BD的长. 解：∵△ADE≌△CFE，∴CF＝AD. ∵AB＝15，CF＝8， ∴BD＝AB－AD＝AB－CF＝15－8＝7. 知2－练 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 知识点 三角形全等的判定定理：角角边(AAS) 3 知3－讲 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∠ A= ∠ A′， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 知3－讲 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS” 与“ASA” 可以相互转化 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知3－讲 特别解读 1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的. 2.三角分别相等的两个三角形形状相同、大小不一定相同，因此不一定全等. 知3－讲 [中考·内江]如图14.2-7，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB∥DE． 例3 知3－练 (1)求证：△ABC≌△DEF； 知3－练 解题秘方：先根据平行线的性质得到∠B= ∠E，再由“AAS”直接证明即可； 证明：∵AB∥DE，∴∠B= ∠E. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS). 知3－练 (2)若BF=4，FC=3，求BE的长． 知3－练 解题秘方：由△ABC≌ △DEF，得到BC=EF，再由已知条件可求得CE的长，最后由BE=BF+FC+CE即可求解． 解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，即BF+FC=CE+FC. ∵BF=4，FC=3，∴ 4+3=CE+3，解得CE=4. ∴BE=BF+FC+CE=4+3+4=11． 3-1.[中考· 淮安] 已知：如图，点D 为线段BC 上一点，BD=AC，∠ E= ∠ ABC，DE ∥AC．求证：DE=BC. 知3－练 知3－练 知识点 三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 4 知4－讲 1. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 2. 书写格式：如图14.2-8， 在△ ABC 和△ A′ B′ C′ 中， AB=A′B′， BC=B′C′， AC=A′C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SSS). 知4－讲 特别提醒 在两个三角形的六个元素( 三条边和三个角) 中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4 个：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA”(“ASS”). 知4－讲 31 如图14.2-9，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC=FE，BC=DE，AD＝FB. 求证：AC∥EF. 解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等，从而得到一对内错角相等，问题即可得证. 知4－练 例4 32 证明：∵ AD=FB， ∴ AD＋DB=FB＋DB， 即AB=FD. 在△ ABC 和△ FDE 中， ∴△ ABC ≌△ FDE(SSS). ∴∠A= ∠F. ∴AC∥EF. AC=FE， AB=FD， BC=DE， 知4－练 33 4-1. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF. 知4－练 (1)求证：△ABC≌△DEF； 知4－练 (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°， ∴∠FDE＝∠A＝55°. ∵∠E＝45°， ∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝180°－55°－45°＝80°. 知4－练 1. 基本作图：作一个角等于已知角 知识点 利用三角形全等进行尺规作图 5 知5－讲 已知 如图，已知∠ AOB 求作 用直尺和圆规作一个角与∠ AOB 相等 知5－讲 作法 作法：(1)如图①，以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)如图②，作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； O′C′=OC 知5－讲 作法 (3)以点C′为圆心，CD为半径作弧， 与第(2)步中所作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠ A′O′B′= ∠ AOB C′D′=CD O′D′=OD 依据△ O′D′C′≌△ ODC(SSS) 知识链接 目前我们已经学习了两个基本作图： (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角. 知5－讲 特别解读 作一个角等于已知角，是利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是“SSS”，然后利用全等三角形的性质——对应角相等，证明作出的角等于已知角. 知5－讲 知5－讲 2. 利用基本作图根据已知条件作三角形 已知 求作 作法 如图，已知三条线段a，b，c 求作△ ABC，使AB=c，AC=b，BC=a 如图，(1)作线段BC=a； (2)分别以点B，C 为圆心，c，b 的长为半 径画弧，两弧 相交于点A； (3)连接AB， AC.△ ABC 就 是所求作的三角 知5－讲 已知 求作 作法 如图，已知线段a，b 和∠ α 求作△ ABC，使AB=a，AC=b，∠ A= ∠ α 如图，(1)作∠ MAN= ∠ α； (2)在射线AM，AN 上分别作线段AB=a，AC=b； (3)连接BC.△ ABC 就是所求作的 三角形 也可先作一边(作一边等于已知线段)，然后作角，再截取另一边 知5－讲 已知 求作 作法 如图， 已知∠ α，∠ β 和线段a 求作△ ABC， 使AB=a，∠ A=∠ α，∠ B= ∠ β 如图，(1)作AB=a； (2)在AB 的同一侧分别作 ∠ MAB= ∠ α，∠NBA=∠β，AM，BN 相 交于点C. △ ABC 就是所 求作的三角形 也可先作一个角，然后截 取边，再作另一个角 如图14.2-10，过点C作直线DE，使DE∥AB. 解题秘方：通过作一对内错角相等来作已知直线的平行线. 知5－练 例5 也可以作一对同位角相等 解：如图14.2-11，作法如下： (1)过点C 作直线MN 与AB 相交，交点为F； (2)在直线MN 的右侧作∠ FCE，使∠FCE= ∠AFC； (3)反向延长CE，得到直线DE，直线DE即为所求. 知5－练 5-1. 如图，在四边形ABCD中，点P为边AD上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点Q，使得点P，Q到AB的距离相等. 知5－练 解：如图所示，点Q即为所求(作法不唯一). 知5－练 如图14.2-12，已知线段a和∠α. 求作△ABC，使AB＝a，AC＝2a，∠A＝∠α. 解题秘方：紧扣已知两边及夹角作三角形的方法，按步骤作图即可. 知5－练 例6 解：如图14.2-13. (1)作∠MAN＝∠α； (2)在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AC＝2a； (3)连接BC，则△ABC就是所求作的三角形. 知5－练 6-1. 如图，已知∠α和线段a， 用尺规作△ABC， 使∠ABC＝∠α，∠ACB＝2∠α，BC＝a. (保留作图痕迹，不写做法) 知5－练 解：如图所示． 1. 已知一直角边和斜边作直角三角形 知识点 直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） 6 知6－讲 已知 求作 作法 如图，已知两条线段a，c 求作△ ABC， 使∠C=90°， CB=a，AB=c 如图，(1)作∠ PCQ=90°； (2)在射线 CP 上截取CB=a； (3)以点B 为圆心，c 的长为半径作弧交射线CQ 于点A； (4)连接AB. 知6－讲 已知 求作 作法 Rt △ ABC 就是所求作的三角形. 2. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 知6－讲 3. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， AB=A′B′， BC=B′C′， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 知6－讲 特别提醒 1. 运用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”. 2. “HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. 3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用. 知6－讲 [母题 教材P43练习T2]已知：如图14.2-15，点E，F 在线段BD 上，AF ⊥ BD，CE ⊥ BD，AD= CB，DE=BF. 求证：AF=CE． 解题秘方：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件. 知6－练 例7 证明：∵ DE=BF， ∴ DE＋EF=BF＋EF，即DF=BE. 在Rt △ ADF 和Rt △ CBE 中， AD=CB， DF=BE， ∴ Rt △ ADF ≌ Rt △ CBE(HL). ∴ AF=CE. 知6－练 7-1.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F，AE=CF. 求证：∠ ACB=90°． 知6－练 知6－练 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA 或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 知7－讲 知识点 全等三角形判定方法的灵活应用 7 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 知7－讲 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 直 角 三 角 形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 知7－讲 知7－讲 技巧点拨 添加条件判定三角形全等的常见思路： (1)已知两边 (2)已知一边一角→ (3)已知两角→ 知7－练 [一题多解]如图14.2-16，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D. 点E，F分别在边AB，AC上，连接DE，DF.在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明. 例8 知7－练 思路导引： 知7－练 解: 方法一 添加AE=AF. 证明如下: ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD= ∠ FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS). 知7－练 方法二 添加∠EDA= ∠FDA. 证明如下: ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD= ∠ FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(ASA). 知7－练 方法三 添加∠DEA= ∠DFA. 证明如下: ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD= ∠ FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(AAS). 知7－练 8-1. [新视角条件选择题]中考·盐城已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF. 若____________，则AB=CD. 请从① CE ∥ DF；② CE=DF； ③ ∠ E=∠ F这3 个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由. 知7－练 解:选择①.理由如下: ∵AE∥BF,CE∥DF,∴∠A=∠FBD,∠ECA=∠D. ∵AE=BF,∴△AEC≌△BFD(AAS). ∴AC=BD.∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD. 选择③.理由如下: ∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD.∵AE=BF，∠E=∠F, ∴△AEC≌△BFD(ASA).∴AC=BD. ∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.(写出一种即可) 三角形全等的判定 三角形全等 作一个角等于已知角 SSS SAS ASA AAS HL 判定 方法 直角三角形特有 尺规 作图 已知三边作 三角形 已知两边及其夹角作三角形 已知两角及其夹边作三角形 方法 连公共边构造全等三角形 1 如图14.2-17，AB=DC，DB=AC，求证：∠B=∠C. 例9 解题秘方：紧扣“SSS”的条件巧连AD构造全等三角形. 证明：如图14.2-17，连接AD. 在△ABD和△DCA中， ∴△ABD≌△DCA(SSS). ∴∠B= ∠C. 解法提醒 公共边是相等线段的一种形式，若已知有两组边对应相等，而第三边是公共边，则连接公共边，可构造全等三角形. 方法 巧用角平分线法构造全等三角形 2 如图14.2-18，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠ 2=∠ 1+∠C. 例10 思路导引： 证明：如图14.2-18，延长AD交BC于点F. ∵ AD ⊥ BE，∴∠ ADB= ∠ FDB=90°. ∵ BE 是∠ ABF 的平分线，∴∠ ABD= ∠FBD． 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD(ASA). ∴∠DFB= ∠ 2． 又∵∠DFB= ∠ 1+ ∠C，∴∠ 2= ∠ 1+ ∠C． 技巧点拨 由三角形的角平分线可得两个角相等，若把角平分线看成一条公共边，在角平分线上找一点向两边分别找(作)等角(如本例)或在角的两边上再截取相等的线段(如例12)，那么可以依据“ASA”或“SAS”构造全等三角形. 方法 构造一个与基础三角形全等的三角形 3 如图14.2-19，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于点F．求证：EF=DF. 例11 思路导引： 证明：如图14.2-19，作EG⊥ BF，交BF的延长线于点G，则∠CGE=90°.∵∠ACE= ∠ABC=90°， ∴∠ACB+ ∠ECG=90°，∠ACB+ ∠BAC=90°. ∴∠ECG= ∠BAC. 在△ABC和△CGE中， ∴△ABC≌△CGE(AAS).∴BC=GE. ∵BC=CD，∴GE=CD. ∵∠BCD=90°，∴∠DCF=90°= ∠EGF. 在△CFD和△GFE中， ∴△CFD≌△GFE(AAS).∴EF=DF. 技巧点拨 1. 当要证明的两条线段所在的三角形明显不全等时，可借助与这两条线段相关的边和角添加辅助线构造全等三角形. 2. 基础三角形法是构造全等三角形的一种常用方法，它是以要证的边(角)关系中一边(角)所在的三角形为基础三角形，再以要证的另一边(角)为一边(角)作一个与基础三角形全等的三角形. 方法 “ 截长补短法”构造全等三角形 4 [一题多解]如图14.2-20，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上. 求证：BC=AB+CD. 例12 解题秘方：紧扣“截长补短法”作辅助线构造全等三角形. 证明：方法一(截长法)如图14.2-21，在BC上取一点F，使BF=BA，连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠ 3= ∠ 4，∠ 1= ∠ 2. 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE(SAS). ∴∠A= ∠ 5. ∵AB∥CD，∴∠A+ ∠D=180°. ∵∠ 5+ ∠ 6=180° ，∴∠ 6= ∠D. 在△EFC和△EDC中， ∴△EFC≌△EDC(AAS). ∴CF=CD. ∴BC=BF+CF=AB+CD. 方法二(补短法)如图14.2-22，延长BE交CD的延长线于点G. ∵AB∥CD，∴∠ABC+ ∠DCB=180° . ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴易得∠BCE+ ∠CBE=90° . ∴∠BEC=90°，∴∠GEC=90°= ∠BEC. ∵CE平分∠BCD，∴∠BCE= ∠GCE. 在△BCE和△GCE中， ∴△BCE≌△GCE(ASA). ∴BC=GC，BE=GE. ∵AB∥CD，∴∠ABE= ∠G. 在△ABE和△DGE中， ∴△ABE≌△DGE(ASA). ∴AB=DG. ∴BC=CG=CD+DG=CD+AB，即BC=AB+CD． 方法点拨 证明一条线段等于两条线段的和的方法： “截长法”或“补短法(延长法)”“. 截长法”的基本思路是在较长线段上截取一段，使之等于其中一条较短线段，然后证明剩下的线段与另一条较短线段相等；“补短法(延长法)”的基本思路是延长一条较短线段，使延长后的线段等于较长线段，再证明延长部分等于另一条较短线段(实质是通过延长两线构造全等三角形). 方法提示 运用“截长补短法”构造全等三角形有两个标志： 一是条件中有角平分线，截长补短在角平分线所在角的两边上进行； 二是条件或结论中出现一条线段等于另外两条线段的和或差，截长补短也是在相关的线段中进行. 方法 “ 倍长中线法”构造全等三角形 5 如图14.2-23，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC=2AE． 例13 解题秘方：将中线AE延长一倍，得AF=2AE，构造全等三角形， 证明AC=AF即可. 证明：如图14.2-23，延长AE 至点F，使EF=AE，连接DF，则AF=2AE. ∵AE是△ABD的中线，∴BE=ED. 在△ABE和△FDE中， ∴△ABE≌△FDE(SAS). ∴AB=DF，∠B= ∠EDF. 又∵AB=DC，∠BDA= ∠BAD， ∴DF=DC，∠ADC= ∠B+ ∠BAD= ∠EDF+ ∠BDA= ∠ADF. 在△ADF和△ADC 中， ∴△ADF≌△ADC(SAS). ∴AC=AF=2AE. 技巧点拨 证明一条线段等于另一条线段的2 倍的方法： “加倍法”或“折半法”“. 加倍法”的基本思路是延长短线段，使延长后的线段等于原来的2 倍，再证明它等于另一条线段；“折半法”的基本思路是取长线段的中点，证明其中一部分等于短线段. 本例采用的是“加倍法”，待学过三角形中位线定理后我们还可以用“折半法”来证明. 易错点 判定直角三角形全等时，“HL”与“SSA”混淆 1 如图14.2-24，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD.求证：∠DAC=∠DBF. 例13 错解：∵AD⊥BC，∴∠ADB= ∠ADC=90°. 在△BFD和△ACD中， ∴△BFD≌△ACD(SSA).∴∠DAC=∠DBF. 正解：∵AD⊥BC，∴∠ADB= ∠ADC=90°. 在Rt △BFD和Rt △ACD中， ∴ Rt △BFD≌ Rt △ACD(HL). ∴∠DAC= ∠DBF. 诊误区： 1. “边边角”不能判定两个三角形全等. 2. 两个直角三角形判定全等时，不能用“SSA”，可用“HL”判定全等. 考法 合理利用条件证明三角形全等 1 [中考· 镇江]如图14.2-25，已知△ABC≌ △DEF，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB=OE.求证：△MOF≌△NOC． 例15 试题评析：本题考查全等三角形的性质与判定，先根据全等三角形的性质得到相等的线段和角，再结合其他条件，选择合适的判定方法证明． 证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∠F= ∠C. ∵OB=OE，∴BC-OB=EF-OE，即OC=OF. 在△MOF和△NOC中， ∴△MOF≌△NOC(ASA)． 考法 利用全等三角形的判定和性质求线段的长 2 [中考· 重庆]如图14.2-26， 在Rt △ABC中，∠BAC= 90 °，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则 EF的长度为_______. 例16 3 试题评析：本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA= ∠AFC=90°. ∴∠BAE+ ∠ABE=90°.∵∠BAC=90°， ∴∠BAE+ ∠ FAC=90°.∴∠ FAC= ∠ABE. 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF(AAS).∴BE=AF，AE=CF. ∵ BE=4，CF=1，∴ AF=BE=4，AE=CF=1. ∴EF=AF-AE=4-1=3. 1. [母题中考· 山西教材P43习题T3]如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO. 测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A， B两点之间的距离．图中△AOB与 △COD全等的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.HL B 2. [情境题生活应用中考·扬州]如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块. 小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(　　) A. AB，BC，CA B. AB，BC，∠B C. AB，AC，∠B D. ∠A，∠B，BC C 3. 如图，已知∠ ABD= ∠ BAC，添加下列条件还不能判定△ ABC ≌ △ BAD 的是( ) A. AC=BD B. ∠DAB= ∠CBA C. ∠C= ∠D D. BC=AD D 4. [期中· 菏泽牡丹区]如图，AD⊥BC于点D，BE ⊥ AC 于点E，DC=EC=4 cm，AC=6 cm，则BD的长为( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm B 5. [新视角 条件开放题]如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件：__________________ ，使得AE=CE(写出一种情况即可). DE=EF(答案不唯一) 6. [中考·江西]如图，CA 平分∠ DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为_____. 82° 7. [宁波余姚区自主招生]如图，在△ ABC 中，AH 是高，AE ∥ BC，AB=AE， 在AB 边上取点D，连接DE，DE=AC. 若S △ ABC=5S△ADE，BH=1，则BC =______. 8. [中考· 福建]如图，点E，F 分别在AB，AD 的延长线上， ∠ CBE= ∠ CDF，∠ACB= ∠ACD．求证：AB=AD． 证明：∵∠CBE=∠CDF,∠ABC+∠CBE=180°, ∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(AAS).∴AB=AD. 9. [母题 教材P44 习题T9]尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)： 已知：如图，点D是三角形ABC的边AB上一点. 求作：点E，使DE∥BC，DE=DB (找到满足条件的一个点E即可). 解：如图所示，点E即为所求.(E点位置不唯一) 10. [母题 教材P45 习题T13]已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC= ∠DEF． (1)请选择其中的三个条件，使得 △ABC≌△DEF(写出一种情况即可)； 解：选择的三个条件是①②③(或①③④). (2)在(1)的条件下，求证： △ ABC ≌△DEF. 证明：当选择①②③时，∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS). 当选择①③④时，∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS). 11. [新考法过程辨析法中考·南通]如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC= ∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证：∠ 1= ∠ 2．小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. ∵∠DOB=∠EOC， ∴∠B=∠C．……第一步 又∵OA=OA，OB=OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠ 1=∠ 2．……第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第______步开始出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 二 证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BDC=∠CEB=90°. 在△DOB和△EOC中， ∴△DOB≌△EOC(AAS).∴OD=OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).∴∠1=∠2. 12. [新视角 类比探究题](1)阅读理解: 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围. 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕 着点D逆时针旋转180°得到△EBD)， 把AB，AC，2AD集中在△ABE中， 利用三角形的三边关系即可得出 中线AD的取值范围是___________. 2<AD<8 (2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE +CF>EF. 证明:延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图①所示. 同(1)得△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF. ∵DE⊥DF,DM=DF,∴易得△EDF≌△EDM, ∴EM=EF, 在△BME中,由三角形的三边关系得BE+BM>EM,∴BE+CF>EF. (3)问题拓展:如图③，在四边形ABCD中，∠ B+ ∠D=180 °，CB=CD， ∠ BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于点E，F，连接 EF，探索线段BE，DF，EF之间的数 量关系，并加以证明. 解:BE+DF=EF.证明如下: 延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图②所示. ∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°, ∴∠NBC=∠D.又∵NB=FD,CB=CD, ∴△NBC≌△FDC(SAS), ∴CN=CF,∠NCB=∠FCD. ∵∠BCD=140°,∠ECF=70°, ∴∠BCE+∠FCD=70°, ∴∠ECN=∠BCE+∠NCB=∠BCE+∠FCD=70°=∠ECF. 又∵EC=EC,CN=CF,∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF. ∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF. 证明：∵AB∥FC，E是AC的中点， ∴∠A＝∠ECF，AE＝CE. 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(ASA)． 证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C. 在△BDE和△ACB中， ∴△BDE≌△ACB(AAS)．∴DE＝BC. 证明：∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． 证明：在Rt△ACE和Rt△CBF中， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL)．∴∠EAC＝∠BCF. ∵易知∠EAC＋∠ACE＝90°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°. ∴∠ACB＝180°－90°＝90°. $