专题 24.5 数据的分析全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学单元复习讲义围绕“数据的分析”构建知识体系，通过知识梳理与题型精析结合的方式，将算术平均数与加权平均数、中位数和众数、离差平方和与方差、四分位数与箱线图四大知识点按逻辑顺序编排，并用表格对比呈现各统计量的概念、计算方法及适用场景，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义的亮点在于题型设计从基础到综合层层递进，如通过“计算四个班平均分”（题型1）夯实基础，“广播操比赛成绩排名”（题型2）培养数据决策能力，体现数据意识与推理意识。同步检测包含选择、填空、解答题，覆盖不同难度，基础学生可掌握计算方法，优秀学生能提升综合分析能力，教师可据此实施分层教学，助力精准复习。

专题 24.5 数据的分析全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】算术平均数与加权平均数 1 【题型 1】利用算术平均数与加权平均数求值 2 【题型 2】利用算术平均数与加权平均数作出决策 3 【知识点二】中位数和众数 5 【题型 3】求中位数与众数 5 【题型 4】利用中位数与众数作出决策 6 【知识点三】离差平方和与方差 9 【题型 5】求离差平方和与方差 9 【题型 6】利用离差平方和与方差作出决策 10 【知识点四】四分位数与箱线图 12 【题型 7】画箱线图和求四分位数 13 【题型 8】求四分位数和画箱线图 14 【题型 9】平均数、中位数、众数、方差、四分位线、箱线图综合 16 二.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 21 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】算术平均数与加权平均数 1、算术平均数：一般地，有个数，我们把叫作这个数的算术平均数，简称平均数，记作（记作“拨”）。 2、加权平均数：一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权。 一般地，对于一组数据，对应的权分别为，则称=为这组数据的加权平均数。 【特别说明】在实际问题中，我们可以根据需要赋予数据不同的权重来计算加权平均数。“权”越大，该数据对平均数的影响就越大。 【题型 1】利用算术平均数与加权平均数求值 【例题1】（2026八年级下·浙江·专题练习）下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表． 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 85 84 优秀率（不低于85分） （1）求出四个班成绩的平均分． （2）求出四个班成绩的优秀率． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·开学考试）三个同学某次测验得分情况是：小云得了分，小雨得了分，小月比小雨成绩好，但不超过分成绩均为整数．估计这三人的平均成绩（   ） A．在分以下 B．在分以上 C．可能等于分 D．无法确定 【变式2】（2026·山西阳泉·二模）某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____元． 【变式3】（2026·广东广州·一模）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 （1）请算出三人的民主评议得分； （2）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【题型 2】利用算术平均数与加权平均数作出决策 【例题2】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 （1）根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． （2）如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． （3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【变式2】（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 （1）请算出三人的得票分； （2）通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； （3）如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【知识点二】中位数和众数 1、 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数值是中位数。 2、 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 【特别强调】当数据个数为奇数时，中位数是位于最中间的一个数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的平均数。 【题型 3】求中位数与众数 【例题3】（25-26九年级下·河南安阳·期中）2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 1 a b 2    已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分．根据信息，回答下列问题： （1）依据题意，可得________，________； （2）已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； （3）若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【变式1】（2026·安徽·模拟预测）晓新同学连续20天测量体温（单位：）时得到如下数据： 温度：（） 35.8 36.0 36.3 36.4 36.5 36.7 36.8 次数 2 5 4 1 6 1 1 那么晓新同学这20天体温的中位数和众数分别是（    ） A．36.3，36.4 B．36.4，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.5 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩的统计表．若这10名同学成绩的平均数是23分，中位数是a分，众数是b分，则________． 成绩/分 30 25 20 15 人数 2 x y 1 【变式3】（2025·吉林长春·二模）在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．      （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为________人．“9本”所在扇形的圆心角度数为________； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，则m的最大值为________． 【题型 4】利用中位数与众数作出决策 【例题4】（2026·山西大同·模拟预测）为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项满分都是10分），并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a．40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．40家企业“设备数字化率”评分在的具体数据如下： 7.2  7.2  7.2  7.3  7.5  7.6  7.6  7.8  7.9 c．40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中，m的值为________，并将频数分布直方图补充完整． （2）将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项指标的排名更靠前？并说明理由． （3）若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有多少家． 【变式1】（2026·福建莆田·模拟预测）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期次数教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）某社区为提高居民反诈的意识，举办了“我是反诈达人”的知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲队10名代表的比赛成绩：76，86，88，92，92，96，96，96，98，100． 乙队10名代表的比赛成绩在D组中的所有数据为：94，96，97，98，99，100，100． 甲、乙代表队中抽取的代表比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 92 96 乙 92 96.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，_______，________； （2）该社区甲队有100名代表、乙队有120名代表参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在C组的代表共有多少名； （3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【知识点三】离差平方和与方差 1、离差平方和：样本中，各数据与平均数的差（以称离差）的平方和称为离差平方和，记为 对于一组数据，这组数据的平均数，则 2、方差：一般地，一组数据的各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为。 【特别强调】方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 【题型 5】求离差平方和与方差 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是　　　　； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； （3）如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【题型 6】利用离差平方和与方差作出决策 【例题6】（2026·江苏苏州·一模）学校对所有学生的项目化学习成果进行了评分（满分为100分，得分用表示）．按照得分情况分为四个等级：A．；B．；C．；D．．为了解开展成效，王老师从九年级甲、乙两班各随机选取20名学生，并对评分数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： （1）甲班20名学生的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． （2）乙班20名学生的得分在B等级中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． （3）乙班20名学生各得分等级人数扇形统计图如下： （4）甲、乙两个班级学生得分统计表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 87 91 111 乙班 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级的项目化学习成效更好？请说明理由； （3）该校九年级共有700名学生，请估计九年级学生中项目化学习等级达到A．的共有多少人？ 【变式1】（2026·江苏徐州·二模）跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（2026·河南周口·二模）某校篮球队对4名队员进行定点投篮测试，每人投篮20次，统计如下表： 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 2.4 3.6 1.2 1.0 若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 【变式3】（2026·河南开封·一模）为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 【知识点四】四分位数与箱线图 1、四分位数：在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有的数据分为个数相等的四个部分，这在个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 2、箱线图：是一种用统计量来表示一组数据分布特点的统计图。它通过从下至上依次展示的最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）和最大值，来直观呈现数据分布。其中，箱体（大长方形）的高度等于上四分位数与下四分位数的差，反映了中间50% 数据的离散程度：箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。 【题型 7】画箱线图和求四分位数 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： （1）计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 （2）根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）小高将初中以来数学成绩进行排序，结果是：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98．这组成绩的上四分位数是（　　） A．91 B．94 C． D．98 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． （2）小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【题型 8】求四分位数和画箱线图 【例题8】（2026·陕西商洛·二模）粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 （1）该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； （2）记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） （3）根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【变式2】（2026·山东青岛·一模）如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【变式3】（江西省赣州市2026年初中学业水平适应性考试数学试卷）某班甲、乙、丙、丁四位同学报名参加学校举办的地图拼图挑战赛，为评估实战水平（拼图越快成绩越好），对四名同学最近10次测试成绩（单位：秒，精确到0.1）的数据进行整理、描述和分析，相关信息如下： 信息1：甲、乙两位同学测试成绩的折线图 信息2：丙同学测试成绩：14.8，14.5，14.8，14.9，14.8，14.7，14.9，14.4，14.4，14.8； 信息3：四位同学测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 14.5 14.5 14.5 中位数 14.5 14.8 14.45 方差 0.056 0.034 0.056 （1）填空：_______，_______；比较大小：______0.056； （2）请你在折线图上补全丙的测试成绩； （3）按比赛规则，每班限两人参赛，请你结合以上信息，确定人选并说明理由． 【题型 9】平均数、中位数、众数、方差、四分位线、箱线图综合 【例题9】（2026·安徽合肥·二模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·月考）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示，这组数据的最小值是___________，下四分位数是___________，中位数是___________，上四分位数是___________，最大值是___________，被墨水污染的三个数据可能是___________． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： 78，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，⋯ 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 （1）心理健康课前测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图； （2）D组对应扇形的圆心角是________； （3）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数________；上四分位数________． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分按的比例计入最终成绩．选手小越三项得分分别为9分、8分、10分，则小越的最终成绩为（　　） A．9.3分 B．8.9分 C．9分 D．9.6分 3．（2026·河南鹤壁·一模）某校开展“非遗文化进校园”知识测试，抽取名学生的成绩（单位：分）如下：，，，，，，，，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 6．（2026·山东烟台·一模）嘉嘉参加五次共青团知识测试的成绩如图所示．现再测试一次，则六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（   ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 7．（2026·云南昆明·二模）某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A．投篮命中数量的平均数是4.8 B．样本为20名学生 C．投篮命中数量的中位数是3 D．投篮命中数量的众数是4 8．（2026·山西大同·模拟预测）为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（    ） A．乙组的中位数是80分 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组成绩比甲组成绩集中 10．（2023·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据，，，，的平均数是，则的值为______． 12．（24-25八年级上·江西鹰潭·期末）小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是________元．    13．（2026年云南省临沧市中考二模数学试题）昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：22，22，22，23，22，21，22，23，23，则这组数据的中位数是________． 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 16．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是______． 17．（25-26八年级上·江西抚州·期末）若一组数据6，x，10，12，24，2的平均数为10，则这组数据的上四分位数是_______． 18．（2026·河南平顶山·一模）名学生参加科普知识竞赛复赛，满分分，共道题，答对一题得分，名学生的平均成绩是分，下面是不完全统计表：则这20名学生成绩的众数是___________． 成绩/分 60 70 80 90 100 人数/人 3 4 m 4 n （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·浙江湖州·模拟预测）“湖笔”是中国传统文房四宝之一．某家毛笔工坊为提升品质，现引入智能系统对毛笔的质量进行评分（满分10分），得分在8分及以上的毛笔算作合格，并在四个生产车间中，每个车间随机抽取10支毛笔，统计合格的毛笔数量，结果如下： 车间 ① ② ③ ④ 合格数量 8 10 9 9 （1）若车间①抽取的10支毛笔的得分分别为（单位：分）：10，8，8，7，8，9，10，7，8，9，求这10支毛笔的得分的平均分． （2）已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量． 20．（本小题满分8分）（2026·安徽淮南·一模）某足球特色学校举行罚点球测试（每人罚点球10次，罚中1个点球记1分），测试结束后，随机抽取20名学生的成绩作为样本进行整理，部分信息如下： 20名学生罚点球成绩统计表 罚点球成绩/分 5 6 7 8 9 10 人数/人 2 3 6 3 2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____________； （2）样本数据的中位数是_____________分，平均数是_____________分； （3）该校2000名学生全部参加了此项测试，规定8分及以上为优秀，根据样本数据估计参加此项测试成绩为优秀的学生人数． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·广西玉林·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 22．（本小题满分10分）（吉林延边朝鲜族自治州2025-2026学年度第二学期九年级5月中考模拟数学试题）人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； （2）吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； （3）科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 23．（本小题满分10分）（2026·山东临沂·二模）学校为了加强学生的安全意识，召开了一次法制报告会，张老师为了了解9（1）和9（2）两个班级对这次会议内容的知识掌握情况，出了5道题进行调查．两班级的人数相等．统计每人做对的题目，制作了频数分布表． 正确题目数（个） 1 2 3 4 5 9（1）班频数（人） 7 a 10 12 6 9（2）班频数（人） 2 b 21 13 4 （1）求出扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图． （2）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 9（1）班 3 2 9（2）班 m n 请填写表格中的　　　，　　　，并求出的值． （3）从中位数、众数、方差中任选两个统计量，对9（1）和9（2）两班学生的学习情况进行比较，并做出评价． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 24.5 数据的分析全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】算术平均数与加权平均数 1 【题型 1】利用算术平均数与加权平均数求值 2 【题型 2】利用算术平均数与加权平均数作出决策 5 【知识点二】中位数和众数 8 【题型 3】求中位数与众数 8 【题型 4】利用中位数与众数作出决策 12 【知识点三】离差平方和与方差 17 【题型 5】求离差平方和与方差 17 【题型 6】利用离差平方和与方差作出决策 21 【知识点四】四分位数与箱线图 25 【题型 7】画箱线图和求四分位数 26 【题型 8】求四分位数和画箱线图 29 【题型 9】平均数、中位数、众数、方差、四分位线、箱线图综合 33 二.同步检测 38 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 38 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 43 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】算术平均数与加权平均数 1、算术平均数：一般地，有个数，我们把叫作这个数的算术平均数，简称平均数，记作（记作“拨”）。 2、加权平均数：一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权。 一般地，对于一组数据，对应的权分别为，则称=为这组数据的加权平均数。 【特别说明】在实际问题中，我们可以根据需要赋予数据不同的权重来计算加权平均数。“权”越大，该数据对平均数的影响就越大。 【题型 1】利用算术平均数与加权平均数求值 【例题1】（2026八年级下·浙江·专题练习）下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表． 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 85 84 优秀率（不低于85分） （1）求出四个班成绩的平均分． （2）求出四个班成绩的优秀率． 【答案】（1）分；（2） 【分析】（1）先算出四个班级分数的总和，再求出人数总和，相除得到总体的平均分； （2）先通过每个班级的优秀率求出每个班优秀的人数，再求出成绩优秀人数总和，除以总人数即可得到结果． 解：（1）解： 答：四个班成绩的平均分为分； （2）解： 答：四个班成绩的优秀率为． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·开学考试）三个同学某次测验得分情况是：小云得了分，小雨得了分，小月比小雨成绩好，但不超过分成绩均为整数．估计这三人的平均成绩（   ） A．在分以下 B．在分以上 C．可能等于分 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了求平均数；由于小月比小雨成绩好，不超过分，分别假设小月得分、分、分，再分别求出三人的平均成绩，然后结合求得的平均成绩进行分析即可得出答案． 解：假设小月得分，则平均成绩为： 分 假设小月得分，则平均成绩为： 分 假设小月得分，则平均成绩为： 分 经过以上计算可得这三人的平均成绩大于分不超过分，可能等于分． 故选：C． 【变式2】（2026·山西阳泉·二模）某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____元． 【答案】 【分析】利用扇形统计图中各简餐价格对应的销售占比作为权重，代入加权平均数公式求解即可． 解：根据加权平均数的计算公式： 平均数． 【变式3】（2026·广东广州·一模）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 （1）请算出三人的民主评议得分； （2）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为50分、80分、70分；（2）丙将被录用． 【分析】本题考查了加权平均数与扇形统计图的应用，解题的关键是利用扇形统计图计算民主评议得分，再根据给定的权重计算加权平均数进行比较． （1）根据总票数和扇形统计图中的得票率，计算三人的民主评议得分； （2）根据笔试、面试、民主评议三项得分及权重，计算三人的加权平均成绩，比较后确定录用者． 解：（1）解：甲的民主评议得分（分）， 乙的民主评议得分（分）， 丙的民主评议得分（分）． 答：甲、乙、丙的民主评议得分分别为50分、80分、70分． （2）解：甲的个人成绩 乙的个人成绩 丙的个人成绩 ∵ ， ∴ 丙的个人成绩最高． 答：丙将被录用． 【题型 2】利用算术平均数与加权平均数作出决策 【例题2】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 （1）根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． （2）如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． （3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【答案】（1）83，85，84；（2）八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名；（3）加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础 【分析】（1）按算术平均数的计算方法计算即可； （2）按加权平均数的计算方法计算再比较大小即可； （3）根据各数据给出合理建议即可，答案不唯一． 解：（1）解：八（1）班的平均分为：83（分）， 八（2）班的平均分为：85（分）， 八（3）班的平均分为：84（分）， 故答案为：83，85，84； （2）解：八（1）班的加权成绩（分）， 八（2）班的加权成绩（分）， 八（3）班的加权成绩（分）， ， ∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名； （3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 【变式2】（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的应用．根据加权平均数的计算公式分别计算A、B两种型号无人机的综合得分，再通过比较得分大小确定应选择的型号． 解：根据加权平均数的计算公式： A型无人机的综合得分：（分） B型无人机的综合得分：（分） ∵，且评分越高影响程度越小， ∴平台应选择B型无人机． 故答案为：B． 【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 （1）请算出三人的得票分； （2）通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； （3）如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【答案】（1）甲36分，乙36分，丙18分；（2）甲入选；（3）甲 【分析】（1）根据得票率计算得票数，然后分别求出三人的得票分即可； （2）分别算出甲、乙、丙三人的平均分，进行判断即可； （3）分别算出甲、乙、丙三个人的加权平均数，然后进行判断即可． 解：（1）解：三人的得票分分别为 甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）； （2）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲入选； （3）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲被选中． 【点拨】准确掌握平均数和加权平均数的公式，并能正确计算是解题的关键． 【知识点二】中位数和众数 1、 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数值是中位数。 2、 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 【特别强调】当数据个数为奇数时，中位数是位于最中间的一个数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的平均数。 【题型 3】求中位数与众数 【例题3】（25-26九年级下·河南安阳·期中）2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 1 a b 2    已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分．根据信息，回答下列问题： （1）依据题意，可得________，________； （2）已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； （3）若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）3，3；（2）条形统计图见分析，中位数为8.5；（3）优秀率高的年级平均成绩不一定高，见分析 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求出八年级得分9分和8分的人数，即可补全条形统计图，再由中位数的性质求解中位数； （3）分别计算两个班级的优秀率和平均成绩，即可判断． 解：（1）解：∵， ∴， ∵七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的平均数为8.5， ∴第5个数据为8，第6个数据为9， ∴，； （2）解：由题意得，八年级得9分的人数为， ∴八年级得8分的人数为， 补全条形统计图为： 由条形统计图可得第5个数据为8，第6个数据为9， 故中位数为； （3）解：优秀率高的年级平均成绩不一定高，理由如下： 七年级的优秀率为：，八年级的优秀率为：， 此时七年级的优秀率高； 七年级的平均成绩：；八年级的平均成绩：， 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高． 【变式1】（2026·安徽·模拟预测）晓新同学连续20天测量体温（单位：）时得到如下数据： 温度：（） 35.8 36.0 36.3 36.4 36.5 36.7 36.8 次数 2 5 4 1 6 1 1 那么晓新同学这20天体温的中位数和众数分别是（    ） A．36.3，36.4 B．36.4，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.5 【答案】D 【分析】先根据众数的定义找出出现次数最多的数得到众数，再根据中位数的定义确定20个数据的中位数位置，计算得到中位数即可． 解：∵一共有20个数据，将数据从小到大排列后，偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数，即第10个和第11个数据的平均数， 累计次数得：前两组累计次数为，前三组累计次数为 ， ∴第10个和第11个数据都是， ∴中位数为 ， 又∵这组数据中，出现的次数最多，为次， ∴众数为， 因此中位数和众数分别是和． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩的统计表．若这10名同学成绩的平均数是23分，中位数是a分，众数是b分，则________． 成绩/分 30 25 20 15 人数 2 x y 1 【答案】2.5 【分析】需依次计算、的值，再确定中位数和众数，最终求． 解：由题，总人数为， ， 平均数是23分，， 解得，， 中位数为， 众数为， 则， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平均数、中位数、众数的定义与计算，熟练掌握平均数的计算公式、中位数的排序取中方法、众数的次数判断方法是解题的关键． 【变式3】（2025·吉林长春·二模）在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．      （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为________人．“9本”所在扇形的圆心角度数为________； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，则m的最大值为________． 【答案】（1）；；（2）平均数为8.7本，中位数为9本；（3）3 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答． （1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出总人数，然后用乘以9本占总人数的百分比即可； （2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答； （3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案． 解：（1）解：（人）， ， 故答案为：；； （2）解： 读10本课外读物的人数为（人）， 由统计图可得平均数为本， 被调查同学阅读量的平均数为8.7本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本， 阅读量的中位数为（本）． （3）解：原来阅读量的众数为9本 ，解得， 为正整数， 的最大值为3． 故答案为：3． 【题型 4】利用中位数与众数作出决策 【例题4】（2026·山西大同·模拟预测）为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项满分都是10分），并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a．40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．40家企业“设备数字化率”评分在的具体数据如下： 7.2  7.2  7.2  7.3  7.5  7.6  7.6  7.8  7.9 c．40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中，m的值为________，并将频数分布直方图补充完整． （2）将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项指标的排名更靠前？并说明理由． （3）若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有多少家． 【答案】（1）7.7，理由见分析；（2）“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前，理由见分析；（3）275家 【分析】（1）40个数据按从小到大排列，中位数是第20，21个数据，在这一组的数据中第20、21个数是7.6和7.8，进而可得m的值，再求出这一组的数据数即可补全条形统计图； （2）根据两项指标的中位数进行判断； （3）用样本估计总体进行解答即可． 解：（1）解：40个数据按从小到大排列，中位数是第20，21个数据，在这一组的数据中第20、21个数是7.6和7.8， 所以，中位数是（分）， 这一组的数据的个数为：， 故补全频数分布直方图如图． （2）解：“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前． 理由如下：因为“设备数字化率”这一项指标评分的中位数为7.7分， ，所以7.5分排在后20名中．而“核心系统覆盖率”这一项指标评分的中位数为7.3分， ，所以7.5分排在前20名中，所以“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前． （3）解： （家）． 答：估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有275家． 【变式1】（2026·福建莆田·模拟预测）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【分析】本题主要考查中位数的定义及性质，首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，逐个分析各选项． 解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在3.5分钟以下，其中编号2的点位于分钟虚线上，编号为1、5的选手演讲时长在3.5分钟以上，则原来5名选手演讲时长从小到大排列，第3个数（中位数）等于3.5分钟， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为， 选项A、，，则新增一个小于m的数和一个大于的数，中位数保持为，符合题意； 选项B、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项C、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项D、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 【答案】三 【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和． 通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大． 解：星期一总次数：次；星期二总次数：次；星期三总次数：次；星期四总次数：次；星期五总次数：次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教室可能性最大； 故答案为三． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）某社区为提高居民反诈的意识，举办了“我是反诈达人”的知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲队10名代表的比赛成绩：76，86，88，92，92，96，96，96，98，100． 乙队10名代表的比赛成绩在D组中的所有数据为：94，96，97，98，99，100，100． 甲、乙代表队中抽取的代表比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 92 96 乙 92 96.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，_______，________； （2）该社区甲队有100名代表、乙队有120名代表参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在C组的代表共有多少名； （3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）94，100，10；（2）此次比赛成绩在C组的队员约有32名；（3）乙代表队的比赛成绩更好，理由为乙代表队被抽取的比赛成绩的中位数96.5大于甲代表队被抽取的比赛成绩的中位数94（答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解，求出D组的百分比，根据各部分的百分比之和为1，求出的值； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）利用中位数和众数作决策即可. 解：（1）解：甲队的数据中第5个和第6个数分别为，故中位数； 乙队数据中出现次数最多的是100，故众数为100； ， 故； （2）解：甲代表队中，成绩在C组的比例为， 则有（名）． 答：此次比赛成绩在A组的队员约有32名． （3）解：乙代表队的比赛成绩更好，理由如下： 两队的平均数相同，但乙队的中位数和众数均高于甲队，故乙代表队的比赛成绩更好． 【知识点三】离差平方和与方差 1、离差平方和：样本中，各数据与平均数的差（以称离差）的平方和称为离差平方和，记为 对于一组数据，这组数据的平均数，则 2、方差：一般地，一组数据的各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为。 【特别强调】方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 【题型 5】求离差平方和与方差 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70；第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值. 解：将数据从小到大排列得：， 当分组为， 则， 的平均数为， ， ∴， 当分组为时，同法可得：； 当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和， 第一组平均数， ， 第二组平均数， ， 总离差平方和； 当分组为时，同法可得， 当分组为时，同法可得； 组内离差平方和的最小值为. 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 估计该校学生的视力的方差是________． 【答案】/ 【分析】先计算样本的平均数，再根据方差公式计算样本方差，用样本方差估计总体方差即可． 解： ， ． ∴用样本方差估计总体方差，可得该校学生视力的方差为． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是　　　　； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； （3）如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）；（2）乙的体育成绩更好，理由见分析；（3）变小 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 解：（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 【题型 6】利用离差平方和与方差作出决策 【例题6】（2026·江苏苏州·一模）学校对所有学生的项目化学习成果进行了评分（满分为100分，得分用表示）．按照得分情况分为四个等级：A．；B．；C．；D．．为了解开展成效，王老师从九年级甲、乙两班各随机选取20名学生，并对评分数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： （1）甲班20名学生的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． （2）乙班20名学生的得分在B等级中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． （3）乙班20名学生各得分等级人数扇形统计图如下： （4）甲、乙两个班级学生得分统计表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 87 91 111 乙班 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级的项目化学习成效更好？请说明理由； （3）该校九年级共有700名学生，请估计九年级学生中项目化学习等级达到A．的共有多少人？ 【答案】（1）；；；（2）甲班级的项目化学习成效更好，理由见分析；（3）350 【分析】（1）根据众数，中位数的定义可求，先计算出乙班得分B等级的占比，再用1减去A，B，D的比例即可求； （2）根据众数、中位数及方差判断即可； （3）利用样本估计总体数量即可． 解：（1）解：甲班20名学生的得分中100出现次数最多， ； 乙班A组有（人），组有7人， 乙班中位数落在组， 又乙班等级B的学生测评成绩为：82，83，84，85，87，88，88， 中位数； 乙班20名学生的得分在B等级的有7人，占， ， ； （2）解：甲班级的项目化学习成效更好. 理由：甲、乙两班学生的得分的平均数相同，从众数，中位数来看， 甲班学生的得分比乙班学生得分高， 从方差来看，甲班学生的得分比乙班学生得分更稳定， 甲班级的项目化学习成效更好； （3）解：（人）， 答：估计九年级学生中项目化学习等级达到（）的共有350人． 【变式1】（2026·江苏徐州·二模）跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定，先比较平均数选出成绩好的对象，再比较方差确定发挥稳定的对象即可． 解：∵乙和丁的平均数为，大于甲的和丙的， ∴乙和丁的平均成绩更好， 又∵乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙的发挥比丁更稳定， ∴应选择乙参加比赛． 【变式2】（2026·河南周口·二模）某校篮球队对4名队员进行定点投篮测试，每人投篮20次，统计如下表： 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 2.4 3.6 1.2 1.0 若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 【答案】丙 【分析】要选出命中数高且发挥稳定的队员，需先比较四名队员的平均命中数，选出平均命中数较高的队员，再比较平均命中数较高的队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 解：由统计表可知，四名队员的平均命中数为，，，， 可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁， 乙的方差为，丙的方差为，， 根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 因此丙满足命中数高且发挥稳定． 故答案为：丙． 【变式3】（2026·河南开封·一模）为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 【答案】（1）85；20；（2）甲公司服务的满意度更高；（3）600 【分析】（1）根据众数确定的取值，根据扇形统计图的百分比确定的取值； （2）根据方差判断满意度； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 解：（1）解：由题可得，乙公司数据出现次数最多的数据为， 则， ∵， ∴， （2）甲公司服务的满意度更高，理由如下： 甲乙公司服务满意度评分的平均数相同， 甲公司服务满意度评分的方差为，小于乙公司服务满意度评分的方差， 所以甲公司服务的评分数据的波动比乙公司服务的评分数据的波动小， 而且中位数和众数，甲公司服务的评分数据比乙公司都要好， 所以甲公司服务的满意度更高． （3）解：乙公司评分数据中，A等级的占比为：， ∴此次调查中服务满意度为A等级的人数为：（人）． 【知识点四】四分位数与箱线图 1、四分位数：在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有的数据分为个数相等的四个部分，这在个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 2、箱线图：是一种用统计量来表示一组数据分布特点的统计图。它通过从下至上依次展示的最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）和最大值，来直观呈现数据分布。其中，箱体（大长方形）的高度等于上四分位数与下四分位数的差，反映了中间50% 数据的离散程度：箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。 【题型 7】画箱线图和求四分位数 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： （1）计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 （2）根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】（1）3.185，3.92，4.46；（2）1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 解：（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 （2）解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）小高将初中以来数学成绩进行排序，结果是：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98．这组成绩的上四分位数是（　　） A．91 B．94 C． D．98 【答案】D 【分析】对于已排序的数据，找上半部分数据的中位数．本组数据共10个，其中上半部分数据为第6至第10个：96，96，98，98，98，其中位数为第3个数据98． 解：∵数据已排序：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98，共10个数据， ∴上半部分数据为第6至第10个：96，96，98，98，98，共5个数据， ∴上四分位数即上半部分的中位数，取第3个数据98， ∴上四分位数为98． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【答案】 【分析】根据四分位数的定义计算即可． 解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，计算得，因此上四分位数为第个数与第个数的平均数，即． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． （2）小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；0.75；B；（2）7.5；9；10；（3）选择选手B参加青少年射击比赛，见分析 【分析】（1）根据平均数、方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解，然后比较大小即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 解：（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【题型 8】求四分位数和画箱线图 【例题8】（2026·陕西商洛·二模）粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 （1）该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； （2）记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） （3）根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 【答案】（1）8.5，10；（2）；（3）抗病性得分更稳定，理由见分析（答案不唯一） 【分析】本题考查方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据平均数和众数的求法求解即可； （2）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （3）开放题型（答案不唯一，合理即可）． 解：（1）解：， ∵丰产性得分中10分出现了5次，出现的次数最多， ． （2）解：从折线统计图可以看出，抗病性得分更稳定，； （3）解：该品种小麦的丰产性更优，因为丰产性得分的平均数、中位数及众数更高或该品种小麦的抗病性更优，因为抗病性得分更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 解：由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 【变式2】（2026·山东青岛·一模）如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 解： ∵ ∴ 【变式3】（江西省赣州市2026年初中学业水平适应性考试数学试卷）某班甲、乙、丙、丁四位同学报名参加学校举办的地图拼图挑战赛，为评估实战水平（拼图越快成绩越好），对四名同学最近10次测试成绩（单位：秒，精确到0.1）的数据进行整理、描述和分析，相关信息如下： 信息1：甲、乙两位同学测试成绩的折线图 信息2：丙同学测试成绩：14.8，14.5，14.8，14.9，14.8，14.7，14.9，14.4，14.4，14.8； 信息3：四位同学测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 14.5 14.5 14.5 中位数 14.5 14.8 14.45 方差 0.056 0.034 0.056 （1）填空：_______，_______；比较大小：______0.056； （2）请你在折线图上补全丙的测试成绩； （3）按比赛规则，每班限两人参赛，请你结合以上信息，确定人选并说明理由． 【答案】（1），，；（2）见分析；（3）确定人选为丁和乙，见分析 【分析】（1）由题意可知，甲、乙、丙同学的测试成绩，然后计算出甲同学测试成绩的中位数、丙同学测试成绩的平均数、乙同学测试成绩的方差； （2）依据丙同学测试成绩补全折线图； （3）先根据平均数、中位数进行选择，如果平均数、中位数一致，再根据方差选择成绩稳定者． 解：（1）解：甲同学测试成绩从小到大排列：，，，，，，，，，， 第5位和第6位均为， 所以甲同学测试成绩的中位数； 丙同学测试成绩的平均数； 乙同学测试成绩的方差， ； （2）解：如图所示 （3）解：确定人选为丁和乙． 理由如下：拼图越快成绩越好，先根据平均数，丙平均数最大，成绩最差，所以丙不入选；再依据中位数，丁的成绩最好，可以入选；最后结合方差，乙更稳定，所以乙入选． 【题型 9】平均数、中位数、众数、方差、四分位线、箱线图综合 【例题9】（2026·安徽合肥·二模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）94，40；（2）；（3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，先求出“”得分在C组中所占的比例，再求出m的值即可； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 解：（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数， “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； （2）解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； （3）解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·月考）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示，这组数据的最小值是___________，下四分位数是___________，中位数是___________，上四分位数是___________，最大值是___________，被墨水污染的三个数据可能是___________． 【答案】 3 4 15 18 3，18，13（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 解：根据箱线图可知：这组数据的最小值是3，最大数为18，下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18， ∵共有12个数，中位数为， ∴第6个数和第7个数的平均数为， ∵在这组数据中有10，11， ∴将这组数据从小到大进行排序，第6个数应该为10，第7个数应该为11， ∵已经有5个数比10小，4个数比11大， ∴第三个被墨水污染的数大于等于11， ∵上四分位数是15，这组数据中已经有3个大于15的数，分别为16，17，18，且比15小的数中有14， ∴第三个被墨水污染的数小于等于14， ∴第三个被墨水污染的数可能大于等于11，小于等于14， ∴被墨水污染的三个数据3，18，13． 故答案为：3；4；；15；18；3，18，13（答案不唯一）． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： 78，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，⋯ 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 （1）心理健康课前测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图； （2）D组对应扇形的圆心角是________； （3）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数________；上四分位数________． 【答案】（1）12，图见分析；（2）115.2；（3）80.5；89 【分析】（1）利用“总人数×优良率”求出课前、两组总人数，结合图中已知的组人数，算出组人数，再用总人数减去其他组人数，求出组人数，补全频数分布直方图； （2）先根据课后成绩记录数出组人数，再用“组人数÷总人数×”计算对应扇形的圆心角； （3）根据中位数和上四分位数的定义，分别找到第25、26个数据和第13个数据，计算得到结果． 解：（1）解：根据这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率为． 人， 组的人数为人， 则组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图， （2）根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，…， 组的人数为16人， 组对应扇形的圆心角是：． （3）心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人， 把50个数据从大到小排列，第25，26个数据分别为81，80，第13个数据为89， 心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数，上四分位数． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 解：由题意可得： 解得. 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分按的比例计入最终成绩．选手小越三项得分分别为9分、8分、10分，则小越的最终成绩为（　　） A．9.3分 B．8.9分 C．9分 D．9.6分 【答案】A 【分析】代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩. 解：∵“形象、表达、内容”三项得分的比例为， ∴总权重为 ， 根据加权平均数的计算方法，最终成绩为：（分）. 3．（2026·河南鹤壁·一模）某校开展“非遗文化进校园”知识测试，抽取名学生的成绩（单位：分）如下：，，，，，，，，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】只需先对数据排序，再根据定义分别计算三个统计量即可得到结果． 解：将这组数据从小到大排序得：，，，，，，，， 数据总和为，共有个数据， 平均数为； 在这组数据中出现次数最多（共次）， 众数为； 数据个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第个和第个数据的平均数， 中位数为； 因此这组数据的平均数，众数，中位数分别是，，． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】A 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值之差的平方和． 解：∵ 平均值 ∴ 离差平方和 = ． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【答案】A 【分析】本题考查了求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据， 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 6．（2026·山东烟台·一模）嘉嘉参加五次共青团知识测试的成绩如图所示．现再测试一次，则六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（   ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【答案】B 【分析】先根据条形统计图得出前5次的成绩，再根据众数的定义确定第6次的成绩，最后根据中位数的定义计算即可． 解：由图可知，前5次测试成绩分别为8，10，7，8，7， ∵六次测试成绩的众数为7， ∴第6次测试成绩必须为7， 六次测试成绩从小到大排列为：7，7，7，8，8，10， 中位数为． 7．（2026·云南昆明·二模）某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A．投篮命中数量的平均数是4.8 B．样本为20名学生 C．投篮命中数量的中位数是3 D．投篮命中数量的众数是4 【答案】D 【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 解：A．投篮命中数量的平均数是，选项说法错误，不符合题意； B．样本为20名学生的定点投篮命中数量，选项说法错误，不符合题意； C．共20个数据，中位数为4，选项说法错误，不符合题意； D．投篮命中数量的众数是4，选项说法正确，符合题意． 8．（2026·山西大同·模拟预测）为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用方差的意义求解即可． 解：由折线图可知：甲的投篮投中数量分别为：8，9，8，7，8， 乙的投篮投中数量分别为：6，7，10，8，9， 由于甲的投中数量波动小， 则甲的方差较小，即． 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（    ） A．乙组的中位数是80分 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组成绩比甲组成绩集中 【答案】D 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 解：A.由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 10．（2023·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来盒子中有个小球，小球号码的平均数为，则盒子中有个小球，小球号码的平均数为，根据小球上号码的数值，盒子、中平均数的变化列方程组求解． 解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为， 根据题意可得：， 由②得：， 由③得：， ， 整理得：， 解得：． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据，，，，的平均数是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 解：由题意得：， ． 12．（24-25八年级上·江西鹰潭·期末）小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是________元．    【答案】69 【分析】利用加权平均数的定义即可得. 解：这20名同学购买课外书的平均花费是元， 故答案为：69. 【点拨】本题主要考查加权平均数，从扇形统计图中得出解题所需数据并熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键. 13．（2026年云南省临沧市中考二模数学试题）昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：22，22，22，23，22，21，22，23，23，则这组数据的中位数是________． 【答案】 【分析】根据中位数的定义，先将这组数据按从小到大的顺序重新排列，再找出最中间的数，即可得到这组数据的中位数． 解：将这组数据从小到大重新排列得：21，22，22，22，22，22，23，23，23，这组数据共有个，是奇数，根据中位数的定义，中位数为排序后第5个数，又第个数为， ∴这组数据的中位数是． 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 【答案】 【分析】本题考查众数和中位数的概念．熟悉众数和中位数的概念是解题的关键．众数是，说明出现次数最多，因此的值为，将数据从小到大排列后，中位数为第三个数． 解：数据的众数是，则的值为， 将数据从小到大排列为：， 中间的数是，因此中位数是． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 16．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是______． 【答案】 【分析】根据百分位数的定义求解下四分位数即可． 解：将该组数据从小到大排列为：， 下四分位数即分位数，数据个数， 又∵，不是整数，所以该组数据的下四分位数为排序后第2个数，即． 17．（25-26八年级上·江西抚州·期末）若一组数据6，x，10，12，24，2的平均数为10，则这组数据的上四分位数是_______． 【答案】12 【分析】本题考查了上四分位数，平均数．先根据平均数为10求出x的值，再将数据从小到大排序，最后求上四分位数，即可作答． 解：∵数据6，x，10，12，24，2的平均数为10， 则， ∴． 则数据为6，6，10，12，24，2，按从小到大的排序后为2，6，6，10，12，24． 数据个数为， 依题意，， ∵不是整数， ∴向上取整数，即为5， 故这组数据的上四分位数是排序后数据中的第5个数，即12， 故答案为：12 18．（2026·河南平顶山·一模）名学生参加科普知识竞赛复赛，满分分，共道题，答对一题得分，名学生的平均成绩是分，下面是不完全统计表：则这20名学生成绩的众数是___________． 成绩/分 60 70 80 90 100 人数/人 3 4 m 4 n 【答案】 【分析】本题考查众数的定义，以及二元一次方程组的实际应用． 解：根据题意，可列方程组为 ， 得 由统计表易知，成绩为分的人数最多，是人， 这名学生成绩的众数是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·浙江湖州·模拟预测）“湖笔”是中国传统文房四宝之一．某家毛笔工坊为提升品质，现引入智能系统对毛笔的质量进行评分（满分10分），得分在8分及以上的毛笔算作合格，并在四个生产车间中，每个车间随机抽取10支毛笔，统计合格的毛笔数量，结果如下： 车间 ① ② ③ ④ 合格数量 8 10 9 9 （1）若车间①抽取的10支毛笔的得分分别为（单位：分）：10，8，8，7，8，9，10，7，8，9，求这10支毛笔的得分的平均分． （2）已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量． 【答案】（1）8.4分；（2）360支 【分析】（1）根据平均数的求法解答即可； （2）运用样本估计总体可得答案． 解：（1）解：（分）， （分）． 答：这10支毛笔的得分的平均分为8.4分； （2）解：（支）， 答：估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量为360支． 20．（本小题满分8分）（2026·安徽淮南·一模）某足球特色学校举行罚点球测试（每人罚点球10次，罚中1个点球记1分），测试结束后，随机抽取20名学生的成绩作为样本进行整理，部分信息如下： 20名学生罚点球成绩统计表 罚点球成绩/分 5 6 7 8 9 10 人数/人 2 3 6 3 2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____________； （2）样本数据的中位数是_____________分，平均数是_____________分； （3）该校2000名学生全部参加了此项测试，规定8分及以上为优秀，根据样本数据估计参加此项测试成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1）4；（2）7；7.5；（3）参加此项测试成绩为优秀的学生人数是900人 【分析】（1）用抽取的总人数减去得分为分的人数即可求解； （2）根据中位数和平均数的定义，结合统计表即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 解：（1）解：由题意可得，． （2）解：由表格可得，数据按从小到大排列后，第10个和第11个数据均为7， ∴中位数， 平均数． （3）解：（人）． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·广西玉林·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见分析 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 解：（1）解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； （3）解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 22．（本小题满分10分）（吉林延边朝鲜族自治州2025-2026学年度第二学期九年级5月中考模拟数学试题）人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； （2）吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； （3）科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 【答案】（1）C；（2）科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为650株；（3）①增大；②不变． 【分析】（1）中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数，偶数个数时取最中间两位数的平均值； （2）总体符合条件的数量总体数量样本中符合条件的频率，利用该式子即可解出答案； （3）平均数所有数之和数的个数，剔除掉数据组较小的数，平均数会增大． 解：（1）解：中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数， 共20株人参， ∴最中间的数是第10个和第11个， 从小到大，A组频数为2，B组频数为5， ∵， ∴中位数在C组； （2）解：C，D两组人参皂苷含量不小于，共（株）， ∴小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为： （株）； （3）解：A组的人参皂苷含量较少，剔除较小的数据后，整体数据的平均值会增大， 剔除A组后剩余18株人参，中位数是第9个和第10个数据， 此时B组有5株， ∵， ∴中位数仍落在C组，组别不变． 23．（本小题满分10分）（2026·山东临沂·二模）学校为了加强学生的安全意识，召开了一次法制报告会，张老师为了了解9（1）和9（2）两个班级对这次会议内容的知识掌握情况，出了5道题进行调查．两班级的人数相等．统计每人做对的题目，制作了频数分布表． 正确题目数（个） 1 2 3 4 5 9（1）班频数（人） 7 a 10 12 6 9（2）班频数（人） 2 b 21 13 4 （1）求出扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图． （2）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 9（1）班 3 2 9（2）班 m n 请填写表格中的　　　，　　　，并求出的值． （3）从中位数、众数、方差中任选两个统计量，对9（1）和9（2）两班学生的学习情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1），图见分析；（2），，，；（3）详见分析 【分析】（1）根据9（1）做对1个的人数和扇形统计图中百分比求出总人数，再利用总人数减去其余人数即可求出，求得圆心角的度数，的值，补全图形即可； （2）根据中位数和众数的定义，加权平均数公式即可得答案； （3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得评价． 解：（1）解：根据题意9（1）班学生总人数为：（人）， ∴（人）， ， ， 频数直方图如图所示： ； （2）解：， 9（2）班学生的中位数为第25和第26个数，都是3个，则， 9（2）班中3个的人数最多，则众数为； （3）解：答案不唯一 从中位数看，9（1）和9（2）成绩相同； 从众数看，9（2）成绩比9（1）成绩好； 从平均数看，9（2）成绩比9（1）成绩好； 从方差看，9（2）成绩比9（1）成绩更稳定， 从以上分析可以看出9（2）班这次的学习效果更好． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92；（2）70；96；补图见分析；（3）乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 解：（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $