13.1 三角形的概念 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕三角形的概念展开，涵盖定义、基本元素、表示方法、分类及计数方法，通过图形辨析导入，明确“不在同一直线、首尾顺次相接”前提，逐步展开元素、表示与分类，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于结合几何直观与抽象能力，利用分类示意图和按顺序/基本图形计数法培养空间观念和推理意识，例题融合教材母题与中考题，助力学生系统掌握知识，教师可依托清晰流程与丰富练习提升教学效率。

13.1 三角形的概念 第十三章 三角形 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 前提条件 特别提醒 一定要满足首尾顺次相接，如下面两个图形都不是三角形(图13.1-1). 知识点 三角形的有关概念及表示方法 1 知1－讲 2.三角形的基本元素 知1－讲 基本元素 边 顶点 内角(角) 定义 组成三角形的线段 相邻两边的公共端点 相邻两边所组成的角 表示方法 方法一: 线段 AB，BC，AC 点A，B，C(必须用大写字母) ∠ A，∠ B，∠ C 方法二:a，b，c( 顶点A所对的边BC 用a 表示，顶点B所对的边AC用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c表示) 知1－讲 图示 3. 三角形的表示方法：顶点是A，B，C 的三角形，记作“△ ABC”，读作“三角形ABC”. 知1－讲 注意 用符号“△”时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，字母顺序可以自由排列. 例 1 [母题 教材P3 例(1)(2)]如图13.1-2，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F. 知1－练 解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答. 知1－练 (1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来. (2)请写出△ BDF 的三个顶点、三条边及三个内角. 解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△BDF，△ABE，△ABD，△ACD，△BCE，△ABC. △BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD, ∠FDB，∠BFD. 知1－练 (3)以AB为边的三角形有哪些？ (4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 解：以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知1－练 1-1. 如图，在△ ABC中，点D，E在边BC上. (1)图中共有多少个三角形？请把它们写出来. (2)线段AE是哪些三角形的边？ (3)∠B是哪些三角形的角？ 解：题图中共有6个三角形，它们分别是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC. 知1－练 线段AE是△ABE,△ADE和△AEC的边. ∠B是△ABD，△ABE和△ABC的角. 1. 等腰三角形、等边三角形 知识点 三角形的分类 2 知2－讲 三角形类型 概念 图示 等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形 知2－讲 2. 三角形的分类 (1)按内角的大小分类 分类示意图如图13.1-3 所示. 锐角三角形(最大内角为锐角) 直角三角形(最大内角为直角) 钝角三角形(最大内角为钝角) 三角形 知2－讲 (2)按边的相等关系分类 分类示意图如图13.1-4 所示. 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等 的等腰三角形 等边三角形 知2－讲 特别提醒 三角形按边、角分类各自独立，如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，按角分类属于直角三角形. 知2－讲 [母题教材P3练习T2]找出图13.1-5(∠ACD=90°，∠E<90°)中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 例2 解题秘方：按照三角形按内角大小的分类标准进行分类，寻找各种三角形. 知2－练 解：锐角三角形有△ AED； 直角三角形有△ ACD； 钝角三角形有△ ABC，△ BDC. 知2－练 2-1. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断出三角形类型的是( ) C 知2－练 如图13.1-6，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC 上，BD＝AD＝CE＝AE＝DE，找出图中的等腰三角形和等边三角形. 知2－练 例 3 解：等腰三角形有△ ABC，△ ABD，△ ACE，△ ADE；等边三角形有△ ADE. 知2－练 解题秘方：按照三角形按边的相等关系分类标准进行分类，寻找各种三角形. 3-1. 如图，若AB＝AC＝BC＝CE＝CD，BD＝DE，且B，C，E在一条直线上，则等腰三角形有__________________ _____________，等边三角形有________. △ABC，△BCD， 知2－练 △CDE，△BDE △ABC 下列说法正确的是( ) A. 直角三角形一定不是等腰三角形 B. 等腰三角形一定不是锐角三角形 C. 钝角三角形一定不是等腰三角形 D. 等边三角形一定不是钝角三角形 知2－练 例 4 解题秘方: 看能否找出符合各选项的三角形，若能，则选项说法正确，若不能，则选项说法错误. 答案：D 知2－练 解： 选项 理由 对错 A 直角三角形中可能有相等的边，所以有可能是等腰三角形，如等腰直角三角形 × B 等腰三角形中最大的内角可能是锐角，所以有可能是锐角三角形，如等边三角形 × C 钝角三角形中可能有相等的边，所以有可能是等腰三角形，如顶角是钝角的等腰三角形 × D 等边三角形的三个内角都是锐角，故一定不是钝角三角形 √ 4-1.有下列说法: ①等边三角形是等腰三角形； ②等腰三角形有可能是直角三角形； ③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 其中正确的有___________(填序号). ①②④ 知2－练 三角形的概念 三角形 分类 按边分类 按角分类 定义 表示方法 方法 利用按顺序计数法数三角形的个数 1 如图13.1-7，过A，B，C，D，E五个点中的任意三个点画三角形. 例 5 (1)以点A，B的连线为一边可以画出______个三角形； 思路导引： 解：以点A，B 的连线为一边的三角形有△ABC， △ABD，△ABE，共3 个. 3 (2)以C为顶点可以画出______个三角形. 思路导引： 解：以C为顶点的三角形有△ABC，△ADC，△AEC，△BDC，△BEC，△DEC，共6 个. 6 方法点拨 利用按顺序计数法数三角形的个数： (1)先固定两个顶点，再变换第三个顶点，找出不共线的三点共有多少组即可. (2)先固定一个顶点，再变换另外两个顶点,找出不共线的三点共有多少组即可. 方法 利用按基本图形计数法数三角形的个数 2 如图13.1-8，在△ABC中，M，N，P，Q，E为BC边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE. 数一数，图中共有多少个三角形？并说明你是怎样数的. 例 6 思路导引： 解：图中共有 21 个三角形. 我们可以按基本图形计 数：单个三角形有6 个；2 个三角形组成的三角形有5 个；3 个三角形组成的三角形有4 个；4 个三角形组成的三角形有3 个；5 个三角形组成的三角形有2个；6 个三角形组成的三角形有1 个. 故图中共有6+5+4+3+2+1=21(个)三角形. 解题策略 按三角形中包含的单个三角形的个数来数(如单个三角形，由两个三角形组成的三角形，…，最后求和). 易错点 数三角形的个数时因重复而出错 2 [母题 教材P4习题T5]如图13.1-9，已知线段CD⊥ AB，垂足为E，F是线段CD上的点， 以点A，B，C，D，E，F中的任意 三点作为三角形的顶点，一共 可以画多少个三角形？ 例 7 错解：在线段AB上，共有3 条线段AE，AB，EB，这3 条线段分别与点C，D，F组合，能画9 个三角形；在线段CD上，共有6 条线段CF，CE，CD，FE， FD，ED，这6 条线段分别与点A，B组合，能画12 个三角形. 所以一共可以画9+12=21(个)三角形. 正解：在线段AB上，共有3 条线段AE，AB，EB，这3 条线段分别与点C，D，F组合，能画9 个三角形；在线段CD上，共有6 条线段CF，CE，CD，FE， FD，ED，其中线段CE，FE，ED已经与点A，B组合过了，只剩下线段CF，CD，FD这3 条线段分别与点A，B组合，能画6 个三角形. 所以一共可以画9+6=15(个)三角形. 诊误区： 按照数线段的方法确定三角形的个数时，先确定三角形的一边，再确定第三个顶点，但是要排除重复计数的三角形. 考法 三角形的分类和计数 1 [中考·陕西]如图13.1-10，在△ABC中，∠BAC=90 °，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 例 8 试题评析：本题主要考查三角形的分类和计数，根据直角三角形的概念及三角形计数方法即可求解． 解：∵∠ BAC=90°，∴△ ABC 是直角三角形.∵ AD ⊥ BC，∴∠ ADB= ∠ ADC=90°.∴△ ABD，△ AED，△ ACD 是直角三角形. ∴图中的直角三角形有4 个. 答案：C 1. [新考法 定义辨析法]下列选项中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是( ) C 2. [期中·南昌东湖区]如图，下列说法错误的是( ) A. DF是△BDF的边 B. ∠FBC是△FBC的内角 C. 以∠A为内角的三角形有3 个 D. 以BC为边的三角形有3 个 D 3. [新考法 动态分析法]如图，∠ABM是锐角， 点C从点B出发沿BM方向运动，连接AC. 关 于△ABC的形状变化情况，下列说法正确的是( ) A. 钝角三角形→ 锐角三角形→ 钝角三角形 B.钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D. 以上说法都不对 D 4. 如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在BC边上，AB=BD，AD=CD，则直角三角形有____________，等腰三角形有_____________. △ABD，△ABC △ABD，△ACD 5. [母题 教材P4 习题T1]如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE. (1)图中共有多少个以线段AB为边的三角形？用符号表示这些三角形. (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形. 解：共有2个以线段AB为边的三角形，分别为△ABD，△ABC. 共有2个以点E为顶点的三角形，分别为△ADE，△EDC. 6. [新考法 归纳法]如图，在△ ABC 中，A1，A2，A3，…，An (n 为正整数)为AC边上n 个不同的点，首先连接 BA1，图中出现了3 个不同的三角形，再连接 BA2，图中便有6 个不同的三角形，… . (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 (2)若出现了45 个三角形，则共连接了多少个点？ 解：由(1)中表格易知：连接7个点时，出现三角形的个数为28+8=36；连接8个点时，出现三角形的个数为36+9=45.所以若出现了45个三角形，则共连接了8个点. (3)若一直连接到An，则图中共有多少个三角形？ 解：设连接到An时，图中有an个三角形(n为正整数). 由题图和(1)中表格，可知：a1=2+1=3，a2=3+2+1=6，a3=4+3+2+1=10，…，则an=(n+1)+n+(n-1)+…+1=［(n+1)+n+(n-1)+…+1+1+2+3+…+(n-1)+n+(n+1)］=(n+1) (n+2).所以若一直连接到An，则图中共有(n+1)(n+2)个三角形. $