河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年下期期中考试高二数学学科试题卷 注意事项： 本试卷分为选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知，则（ ） A． B．2 C． D． 2．若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ） A． B． C． D． 4．2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评。现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示。那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A．90 B．100 C．150 D．180 5．函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A．152 B．162 C．165 D．172 7．已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．记为数列的前项和，.则（ ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9．已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A．数列为递增数列 B．的最大值为 C． D． 10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A．事件与相互独立 B． C． D． 11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在的展开式中，第项的系数是_____. 13．如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于______. 14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16．（15分）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 17．（15分）已知正项数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 18．（17分）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 19．（17分）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 2025-2026学年下期期中考试高二数学学科试题卷 《试卷学生》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A C C B D D BCD BC ACD 1．A 【详解】由求导得：，则 2．B 【详解】由题意得，解得． 3．A 【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A 4．C 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个摊位至少安排一名同学，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组，可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的活动展台，共有种不同的装法． 5．C 【详解】由图可知，函数在R上单调递增，恒成立， ，故②正确；，故④错误； 且函数在上增长越来越缓慢，即可知在单调递减， ，故①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线OA的斜率， ，即，故③正确； 综上，正确的有①②③． 6．B 【详解】设等比数列的公比为q，则， 解得，所以． 7．D 法一：由得到：； 令，由题意可以看做是与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 故答案为：D． 法二：由题意得 ①当时，单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当a>0时，先减后增，在处取到最小值．要使有两个零点，需，解得． 当时，令，则， 故f， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记 当单调递增，所以，故， 令，则，故．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 8．D 【答案】D 【详解】， ， ， ， ， …… ， 将以上2026个等式左右分别相加， 得， 则． 9．BCD 【详解】在等差数列中，，而，则， 对于A，等差数列的公差，数列为递减数列，A错误； 对于B，由选项A，知数列前7项均为正，从第8项起为负，因此的最大值为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D正确． 10．BC 【详解】对于A：因为，而， 所以事件与相互独立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． 11．ACD 【详解】因为，所以， 令，则， 令，得，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 对于A，因为，所以，即，所以，故A正确； 对于B，由A可知， 所以，C为常数，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 令，得，所以当时，，单调递增： 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由B可知，且在处取得最大值， 又因为， ， 所以，故D正确． 12．40 【详解】， 则，故展开式中第3项的系数是40． 13．【答案】50记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第n个正方形的面积为，设第n个正方形的边长为，则第n个正方形的对角线长为， 所以第个正方形的边长为， ， 即数列是首项为，公比为的等比数列， ， 数列是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50， 故答案为：50 14．【答案】 由题意，； 当时， ， 整理得， 故可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以． 故答案为：； 15．（13分） （1） （2）当时，在区间单调递增： 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【详解】（1）当时，，求导得， ， 在点处的切线方程为，化简得． 5分 （2）由，得 ， 6分 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 8分 当时：①时，， ②时，， 12分 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 13分 综上，当时，在区间单调递增； 14分 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 15分 16．（15分） （1）分布列见解析，期望为 （2）880万元 【详解】（1）由题意可知， ， 1分 ， 2分 ， 3分 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 P 5分 ； 7分 （2）设X为经过培训合格的人数，， 9分 不合格人数为，员工为公司创造的利润为万元， 11分 则（万元）， 14分 公司的年利润为万元． 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为880万元． 15分 17．（15分） （1） （2） 【详解】（1）由，可得， 1分 两式相减得． 3分 因为是正项数列，所以， 4分 所以，即． 5分 由，解得或（舍去）， 7分 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则． 8分 满足上式，因此． 9分 （2）由（1）得， 12分 所以 13分 14分 15分 18．（17分） （1）0.9545 （2）0.58 （3） 【详解】 （1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即， 1分 要计算， 根据正态分布的性质，因， 3分 故 4分 （2）设为配送延迟包裹数，则， 5分 因为， ， 6分 所以， 7分 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 9分 10分 （3）由，可得， l1分 根据泊松分布的概率公式：， 可得． 13分 设， 由，可知在上为减函数． 14分 因为， 所以 16分 所以，即， 故的取值范围为． 17分 19．（1） （2）①；②证明见解析 【详解】（1）因为，定义域为， 所以． l分 因为是上的凸函数， 所以在上恒成立， 即当时，恒成立． 2分 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 3分 当，即时，只需时，即可，所以， 4分 综上可得． 5分 （2）①因为， 所以． 5分 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立． 6分 令，则． 7分 当时，，则，单调递增； 8分． 当时，，则，单调递减． 9分 所以，所以， …10分 解得， 所以实数a的取值范围是． 11分 ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证． 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 14分 欲证，即证． 因为，所以只需证， 即证，即需证． 令，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证． 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $