河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 注意事项： 本试卷分为选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 5. 函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知为等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 152 B. 162 C. 165 D. 172 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记为数列的前项和，.则 （ ） A. 2024 B. 2025 C. 1012 D. 1013 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最大值为 C. D. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. D. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，第项的系数是_____ 13. 如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___？ 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 17. 已知正项数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 18. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 注意事项： 本试卷分为选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】50 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【16题答案】 【答案】（1）分布列见解析，期望为 （2）万元 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $