14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展探究，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数据意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|单一概念（平均数、中位数、众数）|第1题直接计算三者比较，夯实基础运算| |B级|综合应用（方差、分层抽样、图表分析）|第10题折线图数据分析，提升数据解读能力| |C级|拓展探究（方差与平均数关系推导）|第17题逻辑推理，发展创新意识|

14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 A级 基础达标练 1.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表: 次品数 0 1 2 3 4 频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05 则次品数的平均数为(　　) A.1.1 B.3 C.1.5 D.2 3.在某次演讲比赛中,五位评委给选手圆圆打分,得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分,平均分为x;去掉一个最低分,平均分为y;同时去掉一个最高分和一个最低分,平均分为z,则(　　) A.y>z>x B.x>z>y C.y>x>z D.z>y>x 4.小明在体育考试时选择了投掷实心球,如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图.这6次成绩的中位数是　　　　.  5.已知样本数据x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,x4,x5,x6,…,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为　　　　.  6.某公司销售部有销售人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下: 销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数. (2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件,你认为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较为合理的销售定额. B级 能力提升练 7.(2025苏州月考)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据,一定符合该标志的是(　　) A.甲地:总体均值为2,总体方差为3 B.乙地:总体均值为3,中位数为4 C.丙地:总体均值为1,总体方差大于0 D.丁地:中位数为2,总体方差为3 8.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差为(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 9.已知角α,β,γ满足0<α<β<γ<π,若sin α,sin β,sin γ这三个数中的某个数是其他两个数的平均数,则这个数(　　) A.不可能等于sin α B.不可能等于sin β C.不可能等于sin γ D.可能等于sin α,sin β或sin γ 10.(多选题)(2025启东调研)中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图: 则下列结论中正确的是(　　) A.这一星期内甲的日步数的中位数为11 600 B.乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上 C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙 11.(2025海门月考)已知某班男女同学人数之比为5∶4,该班所有同学进行毽球(踢毽子)比赛,比赛规则如下:每个同学用脚踢起毽球,在毽球落地前用脚接住并踢起,脚没有接到毽球则比赛结束.现记录了每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地,脚踢到毽球的次数,已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为21,方差为17,女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12,方差为17,那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为(　　) A.16,38 B.16,37 C.17,38 D.17,37 12.某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人(假设每人只选修一种类别的课程),按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测.已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分,其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分,选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分,则该校选修政史类课程的学生人数为　　　　.  13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、第二、第三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、第二、第三分厂取出的产品的使用寿命的平均数分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均数为　　　　 h.  14.东汉·王充的《论衡·宜汉篇》中记载:“且孔子所谓一世,三十年也.”清代·段玉裁《说文解字注》中记载:“三十年为一世,按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”,当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示,全球范围内家族企业的平均寿命其实只有24年,其中只有约30%的家族企业可以传到第二代,能够传到第三代的家族企业数量为总量的13%,只有5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料,可以推断美国学者认为“一代”应为　　　　年.(结果保留整数)  15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现用分层抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为　　　　;测试结果为第一、第二、第三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为　　　　小时.  16.小王到一家公司参加应聘,公司的经理告诉他说:“我们公司的收入水平很高,去年在50名员工中,最高年收入达到了110万元,他们年收入的平均数是3.8万元.”小王希望获得年薪2.5万元. (1)请问小王可能成为此公司的一名高收入者吗? (2)如果经理继续告诉小王:“员工年收入的变化范围是0.5万元到100万元.”这个信息是否足以使小王做出是否受聘的决定? (3)如果经理继续给小王提供如下信息,员工年收入的中间60%(即去掉最少的20%和最多的20%后所剩下的)变化范围是1万元到3万元.小王应如何使用这条信息做出是否受聘的决定? (4)你能估计出年收入的中位数是多少吗?为什么均值比估计出的中位数高很多? C级 拓展探究练 17.已知一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,方差为s2.若3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数比方差大4,求s2-的最大值. 参考答案 1.D　由已知得a=×(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,b=×(15+15)=15,c=17,∴c>b>a. 2.A　设数据xi出现的频率为pi(i=1,2,…,n),则x1,x2,…,xn的平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn=0×0.5+1×0.2+2×0.05+3×0.2+4×0.05=1.1. 3.A　由题意得,若去掉一个最高分,平均分为x,则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z;去掉一个最低分,平均分为y,则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z,所以y>z>x,故选A. 4.9.75　由6次成绩的折线统计图可知,这6次成绩从小到大排列为9.5,9.6,9.7,9.8,10,10.2,所以这6次成绩的中位数是=9.75. 5.　前3个数据的和为3a,后7个数据的和为7b,样本平均数为10个数据的和除以10,即. 6.解 (1)平均数是 =320(件). 表中的数据是按从大到小的顺序排列的,处于中间位置的是210,所以中位数是210.210出现了5次,最多,所以众数是210. (2)不合理. 因为15人中有13人的销售额不到320件,虽然320是这组数据的平均数,但它却不能很好地反映全体销售人员的销售水平.销售额定为210件是合适些.因为210件既是中位数,又是众数,且是大部分人能达到的定额. 7.A　对于A,假设至少有一天的疑似病例超过7人,此时方差s2>(8-2)2=3.6>3,这与题设矛盾,所以假设不成立,故A正确;对于B,平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7人,故B错误;对于C,当总体方差大于0时,不知道总体方差的具体数值,因此不能确定数据的波动大小,故C错误;对于D,中位数为2,总体方差为3,如2,2,2,2,2,3,3,3,3,8, 平均数为(2+2+2+2+2+3+3+3+3+8)=3, 方差s2=[5×(2-3)2+4×(3-3)2+(8-3)2]=3,满足题意,但是存在大于7的数,故D错误.故选A. 8.C　少输入90,=3,平均数少3,求出的平均数减去实际的平均数等于-3. 9.D　设0<t<,当0<α<β<γ<π时,因为sin α,sin β,sin γ 这三个数中的某个数是其他两个数的平均数,如图①,2sin α=sin β+sin γ;如图②,2sin β=sin α+sin γ;如图③,2sin γ=sin α+sin β,所以这个数可能等于sin α,sin β或sin γ. ① ② ③ 10.ACD　对于A,甲的步数:16 000,7 965,12 700,2 435,16 800,9 500,11 600,从小到大排列为2 435,7 965,9 500,11 600,12 700,16 000,16 800,中位数是11 600,故A正确;对于B,乙星期三的步数为7 030,星期四的步数为12 970,因为≈1.84<2,所以没有增加1倍以上,故B不正确;对于C:(16 000+7 965+12 700+2 435+16 800+9 500+11 600)=11 000,(14 200+12 300+7 030+12 970+5 340+11 600+10 060)=10 500,所以,故C正确;对于D,[(16 000-11 000)2+(7 965-11 000)2+(12 700-11 000)2+(2 435-11 000)2+(16 800-11 000)2+(9 500-11 000)2+(11 600-11 000)2]≈20 958 636,[(14 200-10 500)2+(12 300-10 500)2+(7 030-10 500)2+(12 970-10 500)2+(5 340-10 500)2+(11 600-10 500)2+(10 060-10 500)2]≈9 014 429,所以.故D正确. 11.D　设该班有男生5人,且用脚踢到毽球次数分别记为x1,x2,x3,x4,x5,设女生4人,且用脚踢到毽球次数分别记为y1,y2,y3,y4,则男生踢到毽球次数的平均数=21,方差=17,即=5×17+5×212,女生踢到毽球次数的平均数=12,方差=17,即=4×17+4×122.故全班同学踢到毽球次数的平均数为=17,方差为= -172=37.故选D. 12.180　设这20人中选修政史类课程的学生人数为x,则115x+120×(20-x)=20×119,解得x=4,由分层抽样可知,该校选修政史类课程的学生人数为×900=180.故答案为180. 13.1 013　依题意可知平均数 =1 013(h). 14.20　设美国学者认为的一代为x年,然后可得出寿命在[0,x),[x,2x),[2x,3x),[3x,4x]之间的家族企业的频率分别为0.52,0.3,0.13,0.05,则家族企业的平均寿命为0.5x×0.52+1.5x×0.3+2.5x×0.13+3.5x×0.05=24,解得x≈20,所以美国学者认为“一代”应为20年,故答案为20. 15.50　1 015　由分层抽样可知, 第一分厂应抽取100×50%=50(件). 由样本的平均数估计总体的平均数,可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%+980×20%+1 030×30%=1 015(小时). 16.解 (1)不能,因为平均收入和最高收入差别很大,说明高收入的职工只占极少数,现在已经知道至少有一个人的年收入为110万元,则其他员工的年收入和为3.8×50-110=80(万元).其余49人每人平均年收入约只有1.63万元,如果再有几个收入特别高的,那么初进公司的员工收入会很低. (2)不能,要看中位数是多少. (3)可以确定80%的员工的年收入在1万元以上,20%的员工年收入在3万元以上,可以考虑进入此公司. (4)员工年收入的中位数大约在2万元,因为有年收入110万元这个极端值的影响,使得年平均收入比中位数高许多. 17.解 设新数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为,方差为,可得=3+1,=9s2. 由新数据平均数比方差大4,可得3+1=9s2+4,可得s2=, 所以s2-=-. 由s2=≥0,可得≥1, 所以当=1时,s2-的最大值为-=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $