精品解析：2026年安徽合肥锦绣中学中考数学押题卷

2026中考押题卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要作用．根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达1.73万亿千瓦时，同比增长28.3%，在全社会用电量中占比达到22%．数据“1.73万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是( ) A. 图中有3个角 B. C. 是等腰三角形 D. 7. 如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则（ ）. A. 有最小值 B. 有最大值1 C. 有最大值2 D. 有最小值 9. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，点，分别为，中点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 当______时，分式有意义． 12. 比较实数大小：_____4．（选填“”“”或“”） 13. 小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是________． 14. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点、，如果满足，那么称两点互为“等差点”． （）在点、、中，与点互为“等差点”的是______点； （）已知点在直线上，点在第一象限且在双曲线（为常数，且）上，两点互为“等差点”，那么点的坐标是______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本题共9小题，共90分．其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15. 解方程． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）将向上平移5个单位长度得到，请画出； （2）如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 17. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 18. 某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； （2）上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 19. 如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E． （1）求证：； （2）若半圆O的半径长为4，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数位于第二象限的图像上，点在轴的负半轴上，四边形为菱形． （1）求点的坐标和的值； （2）将菱形沿过原点的某条直线翻折，记点的对称点为，点的对称点为，当点落在函数位于第四象限的图像上时，点的坐标为___________． 21. 2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科技与人文的璀璨火花． 一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果．兴趣小组将不小于米且不超过2米的距离叫做“表演距离”．为方便分析，无人机大小忽略不计． 【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”．为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让多架无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图（1），每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同一条直线上，两端的无人机表示线段的两个端点． 若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决方法如下： 设需要n架无人机，可列出不等式组，解得，所以最多需要7架无人机，最少需要6架无人机． 【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机，每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图（2），每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． （1）若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要_______架无人机，最少需要_______架无人机． 兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图（3）的图案．该图案由多个全等的正方形组成，并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． （2）若正方形的边长为15米．当正方形的个数为4时，最少需要_______架无人机；当正方形的个数为m时（m为正整数），最少需要_______架无人机． 【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图（4），由三个全等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． （3）若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图（4）中的图案，那么等边三角形每条边上有_______架无人机，整个图案的面积最大是_______平方米． 22. 如图1，在矩形中，点E是线段上的一动点，连接．作点C关于的对称点F．连接并延长，射线交矩形的边于点G，过点A作，交的延长线于点H． （1）若的延长线交于点G时，求证：； （2）连接交于点I，且，． ①若的延长线交于点G时，如图2，若，求的长； ②在E点的运动过程中，当时，请直接写出的面积． 23. 2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． （1）请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． （2）如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网组卷网 2026中考押题卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.-2026的绝对值是（) 1 A.2026 B.-2026 C. D.- 2026 2026 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可. 【详解】解：：负数的绝对值等于它的相反数，且-2026<0， -2026=2026 2.为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要 作用.根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达 1.73万亿千瓦时，同比增长283%，在全社会用电量中占比达到22%.数据“1.73万亿”用科学记数法表 示为( A.1.73×104 B.17.3×10 C.1.73×102 D.1.73×103 【答案】C 【解析】 【详解】：1万亿=1x102,将原数转化为a×10"形式时，可得a=1.73, 第1页/共30页 学科网丽组卷网 ∴.n=12,即1.73万亿=1.73×102 3.下列计算正确的是() A.x2.x3=x6 B.x3÷x=x2 C.(2xy)2=2x2y2 D.2x2+3x3=5x 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项逐项判断即可. 【详解】解A.根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 x2.x3=x2+3=x5≠x6,故A错误； B.根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得x3÷x=x31=x2，故B正确： C.根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，可得(2xy)2=22·x2y2=42y2≠2x2y2,故C错 误： D.2x2与3x3不是同类项，不能合并，故D错误. 4.如图所示的几何体的俯视图是() 正面 A B D 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的俯视图如图所示 5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P,点F为 焦点.若∠1=159°，∠2=22°，则∠3的度数为() 第2页/共30页 可学科网可组卷网 3 A.43° B.45° c.51° D.53° 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得∠PFO=21°，由对顶角相等，可得∠POF=22°，根据三角形外角的性 质，即可得∠3的度数： 【详解】解：：AB‖OF, .∠1+∠PFO=180°， .∠PF0=180°-∠1=180°-159°=21°， :∠2=22°， .∠POF=22°， ∠3=21°+22°=43° B 6.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是() A.图中有3个30°角 B.DH=√2BH C.△CIH是等腰三角形 D.∠EGI+∠GIH+∠BHI=360° 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行线的性质得到 ∠AGE=∠C=30°，∠FGC=∠C=30°，判断A选项；根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算，判 第3页/共30页 学科网丽组卷网 断B选项；根据等腰三角形的概念判断C选项；根据五边形内角和计算，判断D选项. 【分析】解：由题意可知：∠C=30°，∠ABC=∠AEG=90°， .EG∥BC, .∠AGE=∠C=30°，∠FGC=∠C=30°， 则图中有3个30°角，故选项A正确，不符合题意； 在RtADBH中，∠D=45°， 则BD=BH, 由勾股定理得：DH=√2BH,故选项B正确，不符合题意； :∠DEF=∠ABC=90°， .EG∥BC, .∴.∠IHC=∠F=45°， :∠C=30°， .∠HIC=105°， .△CH三个内角各不相等，不是等腰三角形，故选项C错误，符合题意； D、:五边形BHIGE的内角和为：（5-2)×180°=540°，∠ABC=∠DEG=90°， ∴.∠EGI+∠GH+∠BHI=360°，故选项D正确，不符合题意； 故选：C. 7.如图，在正方形网格里，点O,B,D在格点上，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，观察图形， ∠BCD的度数是() A.100° B.120° C.130° D.135 【答案】D 【解析】 【分析】先连接BO,DO,根据勾股定理及其逆定理说明△BOD是直角三角形，可得∠BOD=90°，再根 第4页/共30页 可学科网可组卷网 据圆周角定理得出∠BAD=45°，然后根据圆内接四边形的对角互补得出答案. 【详解】解：如图所示，连接BO,DO, B 根据勾股定理，得B0=V22+22=2√2，D0=V22+22=22,BD=4, 则B02+D02=BD2=16, ∴.△BOD是直角三角形， 则∠BOD=90°， :.∠BAD=∠B0D=45°. 2 ,·四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， .∠BCD=180°-45°=135°. 8.若a+b=-2,且a≥2b,则() A白有最小值 Bb有最大值1 a a 有最大植2 c D. 有最小值 8 0 【答案】C 【解析】 【详解】由己知条件，根据不等式的性质求得b- <0和肥 4:然后根据不等式的基本性质求得62和 当a>0时， <0当-4 b、1 a a<0时，a 3 所以A、当a>0时，b<0,即的最小值不是；，故本选项错误 a a 4 B、当- a<0时， 3 C6≥？，白有最小值是，无最大值；故本选项错误， a C、 6有最大值2：故本达项正确， D、 无最小值；故本选项错误。 第5页/共30页 可学科网 组卷网 故选C. 考点：不等式的性质. 9.如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线A-D-C向点C匀速运动，过点P作对角线AC 的垂线，交矩形ABCD的边于点Q,设点P运动的路程为x,AQ的长为y,其中y关于x的函数图象大致 如图2所示，则m的值为() VA 4/5 12 图1 图2 A.4 B.215 C.8 D.2W13 【答案】D 【解析】 【分析】点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为 8,证明ADC∽CDQ,求出CQ、BQ,在Rt△ABQ中利用勾股定理求出AQ即可. 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为8， D(P) 图1 AC⊥PQ, .ADC∽CDQ, .AD:CD=CD:CQ,即8：4=4：CQ, ∴.CQ=2, .BQ=6, 在RtAAB0中，AQ=VAB2+BQ2=V42+62=2V3, 第6页/共30页 耐学科网 丽组卷网 ∴.m=2√13 故选：D 1O.如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM,CN,点P,Q分 别为CN,DM中点，若N2CMBN,BC=3,则的值为C) AB O P B M A B. √5 c 5 D. 5 2 6 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用三角形中位线定理结合正 方形的性质构造辅助线，是解题的关键.先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定 理得到线段的平行关系与长度，结合正方形对角线的45°特殊角构造直角三角形，最后用勾股定理求出PQ 的长度，进而得 P卫的值 AB 【详解】解：如图，取DC中点为E,连接PE、QE, D E B M 设CM=1, CM BN, CM 1 BC-31 ∴AB=AD=DC=BC=3,BN=√2， .BD=BC2+CD2=32, 第7页/共30页 可学科网 可组卷网 .DN=2√2， “Q、E分别是DM、DC的中点， EC EC .∠DEQ=90°， 又·P、E分别是CN、DC的中点， :PE∥BD且PE=DN=V2, .∠PEC=45°， ∴.∠PE0=45°， 过点P作PH⊥EQ交EQ延长线于点H, “△PHE为等腰直角三角形， ∴.PH=HE=PE·sin45°=1， H0=HE-QE=1-1=1, 22 在Rt△PHQ中， P№=VPH+HO= 2 PO 2 AB 3 6 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 2x 11.当x时，分式 有意义 2x-7 【答案】≠2 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件：分母不为零，由题意可得2x-7≠0，求解即可得到答案，熟记分式 有意义的条件是解决问题的关键。 第8页/共30页 可学科网 命组卷网 【详解】解：分式，2x 有意义， 2x-7 7 .2x-7≠0，解得x≠ 故答案为：≠2 .7 12.比较实数大小：√54.（选填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法判断大小即可. 【详解】解：15<16， .15<4; 故答案为：< 13.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游.在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图).若此时C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是 动车二等座某排座位 AB⊙DE 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键， 根据题意，根据列表法求概率即可求解. 【详解】解：列表如下， A B 0 F A A,B A,D A,F B B,A B,D B,F D D,A D,B D,F F F,A F,B F,D 共有12种等可能结果，其中小芳和爷爷相邻而坐的有4种， 第9页/共30页 学科网丽组卷网 w.com 小芳和爷爷相邻而坐的概率是4=」 123 14.我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P(x,y)、Q(x2,y2),如果满足片-x=y2一x2, 那么称P、Q两点互为“等差点”· (1)在点A2,-1)、B(1,4)、C(-2,-1)中，与点D(-1,2)互为“等差点”的是点： (2)已知点E在直线y=x-2上，点F在第一象限且在双曲线y=-1（k为常数，且K>1D上， E、F两点互为“等差点”，那么F点的坐标是 (用含k的代数式表示). 【答案】 ①.B②.(1+k,k-1 【解析】 【分析】(1)根据“等差点”的定义判断即可求解： 2)设x比-2，F, 根据“等差点”的定义得大一2--公-5，即得 X2 (x2-1=k2,解得x2=1+k或x2=1-k,再根据点F在第一象限解答即可求解： 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，新定义坐标，理解新定义是解题的关键 【详解】解：(1)点A与点D:-1-2≠2-(-1)；点B与点D:4-1=2--1);点C与点D: -1-（-2)≠2--1)， 点B与点D互为“等差点”， 故答案为：B; (2)·点E在直线y=-2上，点F在双曲线y=《-上， 可设E(-2,F, k2-1 ,E、F两点互为“等差点”， .x-2-x= k2-1 一X2 整理得，x2-2x2+1=k2,即(x2-12=k2, 第10页/共30页 学科网丽组卷网 解得x2=1+k或x2=1-k, :点F在第一象限， x2>0, k>1, x2=1-k<0不合，舍去， x2=1+k, ∴.F(1+k,k-1 故答案为：1+k,k-1) 三、解答题（本题共9小题，共90分.其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题 每题12分，23题14分) 15.解方程2x2-5x+3=0. 3 【答案】=2，=1 【解析】 【分析】直接运用因式分解法求解即可. 【详解】解：2x2-5x+3=0, (2x-3)(x-1=0, 2x-3=0,x-1=0, 3 6=2水=1. 16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点均在格点上. A B (1)将ABC向上平移5个单位长度得到△A,B,C1,请画出△A,B,C1; 第11页/共30页 学科网丽组卷网 (2)如图， ABC可绕某一点逆时针旋转a(0°<o≤180°)得到△A,B,C2,请在图中画出旋转中心点 0,且a的度数为 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，90 【解析】 【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案. (2)根据网格的特点作BB2,CC,的垂直平分线的交点即为0，旋转角∠AOA,=90°，即可得出答案. 【小问1详解】 解：如图，△ABC,即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点0即为所求，旋转角∠A0A,=90°，即a的度数为90° A 17.综合与实践 2026年央视春晚节目《武B0T》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及 科技文化，计划采购宇树科技G02四足机器人与G引人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 购买6台Go2四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元； 素材1 5台G1人形机器人的售价比11台Go2四足机器人贵23万元 第12页/共30页 可学科网 丽组卷网 每台Go2四足机器人每日可服务观众150人次： 素材2 每台G1人形机器人每日可服务观众280人次， 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元， 问题解决 (1)求每台G02四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购Go2四足机器人和G引人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台Go2四足机器人售价为2万元，每台G1人形机器人售价为9万元 (2)采购Go2四足机器人5台、G1人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【解析】 【分析】(1)设每台G02四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，根据题意列出方程 6x+5y=57 组 5y-11x=23'然后解方程组即可； (2)设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人12-a)台，根据题意得2a+9(12-a≤73， 求得5≤a≤12，设每日总服务人次为w,则有w=-130a+3360,然后通过一次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 解：设每台G02四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元， 6x+5y=57 根据题意得： 5y-11x=23 x=2 解得： y=9 答：每台G02四足机器人售价为2万元，每台G1人形机器人售价为9万元； 【小问2详解】 解：设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人12-a台， 根据题意得：2a+912-a≤73， 解得：a≥5， .12-a≥0，即a≤12， ∴.5≤a≤12， 第13页/共30页 可学科网列组卷网 设每日总服务人次为w, ∴.w=150a+28012-a=-130a+3360, -130<0, ∴.w随a增大而减小， ∴.当a取最小值5时，w有最大值-130×5+3360=2710，此时12-a=7, 答：采购G02四足机器人5台、G1人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次， 18.某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30方向骑行6k到达鸟类观测点B,观测50 分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时 为上午10：30，如图所示 B →东 (1)求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； (2)上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A, 4 他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53≈c0s53°≈ 4 3tan53*) 【答案】(1)3km (2)能在上午11：20前到达 【解析】 【分析】(I)过点A作AD⊥BC于点D,利用AB=6及方向角求出AD的长，即为最短距离. (2)在RtAADC中，利用∠ACD=53°和AD=3求出AC的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可. 【小问1详解】 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, 第14页/共30页 可学科网可组卷网 北 →东 .监测员从B处沿正南方向骑行到C处， .BC为正南方向，AD为东西方向， ,从A到B沿北偏西30°方向，AB=6km, .∠ABD=30°， 在Rt△ABD中，AD=AB·Sin30°， .AD=6×二=3km, 2 ∴.他与湿地监测站A之间的最短距离为3km. 【小问2详解】 解：在RtAADC中，AD=3km,∠ADC=90°， ,点C位于A的南偏西53°方向， .∠ACD=53°， .AC= AD315 sin53o=4=4 =3.75km, 5 .骑行速度为20km/h, 所需时间1=3.75=0.1875h, 20 0.1875h=0.1875×60=11.25分钟， .从C骑行回A需要11.25分钟， ,11:00出发，经过11.25分钟后为11：11：15， .能在上午11：20前到达。 19.如图，AB为半圆O的直径，点P在AB的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C, 过点O作AB的垂线与PC的延长线相交于点D,与半圆O相交于点F,连接AC,OD与AC相交于点E 第15页/共30页 学科网丽组卷网 B D (1)求证：DC=DE: (2)若半圆O的半径长为4，tan∠BAC=】,求OD的长. 【答案】(1)见解析 (2)5 【解析】 【分析】(1)连接OC,则OC=OA,由等边对等角可得∠OAC=∠OCA,由切线的性质可得 PC⊥OC,∠DCE+∠OCA=∠OCD=90°，利用垂直得出∠BOD=∠OEA+∠OAC=90°，再由等 量代换确定∠OEA=∠DCE,结合等角对等边即可证明； (2)根据正切函数得出OA=2OE=4,确定FE=OF-OE=4-2=2,DC=DE=DF+2,再由勾 股定理建立方程求解即可， 【小问1详解】 证明：连接OC,则OC=OA, D F B .∠OAC=∠OCA, :PC与⊙O相切于点C,与OF的延长线相交于点D, .PC⊥OC, ∴.∠DCE+∠OCA=∠OCD=90°， :OD⊥AB, ∴∠BOD=∠OEA+∠OAC=90°， .∠OEA=∠DCE, '∠OEA=∠DEC, ∴∠OEA=∠DEC=∠DCE 第16页/共30页 耐学科网 丽组卷网 :DC=DE. 【小问2详解】 解：：⊙O的半径为4. .OA=OF=OC=4. 1 .tan∠BAC= 21 .OA=2OE=4. .0E=2, ∴FE=OF-OE=4-2=2, :DC=DE=DF+2. OC2+DC2=OD2,OD=DF+4, .42+(DF+22=(DF+42, 解得DF=1, .0D=4+1=5. 20.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 点B在反比例函数y=位于第二象限的图像上， 点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形. (1)求点B的坐标和k的值； (2)将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B',点C的对称点为C,当B'点落在 函数y=本位于第四象限的图像上时，C点的坐标为 【答案】(1)B(-4,2),k=-8 2(-20-到 第17页/共30页 耐学科网 可组卷网 【解析】 【分析】(1)先根据点A的坐标，用勾股定理求出菱形边长OA,利用菱形的性质，确定B的纵坐标与A 相同，再结合边长算出B的横坐标，得到B点坐标.将B点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值. (2)利用翻折前后点到原点距离相等，得OB'=OB.设第四象限点B'(x,y),结合反比例函数y=-8和 x2+y2=OB,解出两个符合题意的B'坐标.利用线段垂直平分线性质，列等式化简，求出翻折对称轴 直线解析式.设C的对称点C'(m,),利用中点在对称轴上和到原点距离相等列二元方程组.联立求解，舍 去和原点重合的解，得到坐标。 【小问1详解】 解：四边形ABCO是菱形， ∴.OA=AB=BC=CO,且AB∥OC. 由勾股定理得： .AB=5 2 :AB∥OC,即AB∥x轴， 35 .点B的纵坐标与点A相同，点B的横坐标为- =-4, 22 ∴.B-4,2）. :点B在反比例函数y=的图像上， 2 解得k=-8. 【小问2详解】 解：由D知0C=0A=,且C在x轴负半轴 c .菱形绕原点O翻折 ∴.翻折前后对应点到原点距离相等，OB′=OB,OC'=OC 第18页/共30页 学科网丽组卷网 0B=V(-4)2+22=2V5 设B'(x,y),由题意得 xy=-8 x2+y2=20 解得第四象限符合题意的点为B'(4,-2),B'(2,-4), 当B'(4,-2)时， ,翻折对称轴是线段BB的垂直平分线， 设对称轴上任意一点P(a,b), ,垂直平分线上的点到线段两端距离相等 V(a+4)2+(b-2)2=V(a-4)2+(b+2)2 两边平方化简，得b=2a .翻折对称轴为直线y=2x. 股C)0关于直线y=2x的对称点为Cm .线段CC'的中点在对称轴上， 5 m =2 2 2 2 化简得n=2m-5, 又.OC=OC, .m2+n2 3 联立解得m=21=-2,舍去与C重合的解， c32 当B'(2,-4)时 ·翻折对称轴是线段BB的垂直平分线 设对称轴上任意一点P(a,b), 第19页/共30页 学科网组卷网 垂直平分线上的点到线段两端距离相等 .V(a+4)2+(b-2)2=V(a-2)2+(b+4)2 两边平方化简，得a=b .翻折对称轴为直线y=x. 关于直线y=x的对称点为C(m,n), .线段CC的中点在对称轴上， 5 m- n 2 2 化简得n=m一 5 又.：OC=OC m2+n2= 联立解得m=0,n= 5 ,舍去与C重合的解 c0 综上，点C的坐标为 21.2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科技与人文的璀璨火花. 一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为 了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于1.5米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距 离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果.兴趣小组将不小于1.5米且不超过2米的距离叫做“表演 距离”，为方便分析，无人机大小忽略不计 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”.为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让 第20页/共30页 可学科网组卷网 多架无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图(1)，每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同 一 条直线上，两端的无人机表示线段的两个端点. 若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等， 并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决 方法如下： 1.5n-1)≤10 23 设需要n架无人机，可列出不等式组 ，解得6≤n ，所以最多需要7架无人机，最少 2(n-1)≥10 3 需要6架无人机. 【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机， 每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图(2)，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之 间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求 (1)若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要」 架无人机，最少需要 架 无人机， 兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图(3)的图案.该图案由多个全等的正方形组成， 并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并 且都满足“表演距离”的要求， (2)若正方形的边长为15米.当正方形的个数为4时，最少需要 架无人机；当正方形的个数为m 时(m为正整数)，最少需要 架无人机. 【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图(4)，由三个全 等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间 的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求。 (3)若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图(4)中的图案，那么等边三 角形每条边上有 架无人机，整个图案的面积最大是 平方米. 【答案】(1)24,20 (2)101,23m+9 (3)15,588√5 【解析】 【分析】(1)根据n架无人机组成正方形，则正方形的每条边都有 架无人机，则有”个间隔，根据 第21页/共30页 可学科网组卷网 一条正方形的边长10米，列出不等式组，解不等式组，即可求解； (2)根据题意，找到规律：m个正方形的顶点数为2m+2,边数为3m+1,设无人机的间隔个数为t,无 人机的数量为n,则正方形的每条边上有(t+1架无人机，每边内部（除顶点外）的无人机数为t-1),得 出n=2m+2+3m+1)(t-1,根据题意得出t取最小值8，得出n=23m+9,将m=4代入，即可求解： (3)设每条边上有x架无人机，根据题意求得总无人机数为9x-11)架，解方程9x-11=124,求得等边 三角形每条边上有15架无人机；进而求得最大间隔距离时的边长，进而根据等边三角形的性质，求得面积， 即可求解， 【小问1详解】 1.5x”≤10 4 解：设需要n架无人机，依题意，可列出不等式组 1210 2× 4 80 解得20≤n≤ 3, 又n是4的倍数， 所以最多需要24架无人机，最少需要20架无人机. 【小问2详解】 解：1个正方形的顶点数为4，边数为4， 2个正方形的顶点数为4+2=6，边数为4+3=7， 3个正方形的定点数为6+2=8，边数为4+3+3=10， m个正方形的顶点数为2m+2,边数为3m+1, 设无人机的间隔个数为t,无人机的数量为n,则正方形的每条边上有(t+1)架无人机，每边内部（除顶点 外)的无人机数为t-1), .n=2m+2+3m+1t-1) ,正方形的边长为15米 1.5s15 ≤2，且t为正整数， .7.5≤1≤10，则t=8,9,10 第22页/共30页 可学科网可组卷网 ,要求最少无人机数，则t取最小值8 .n=2m+2+3m+18-1=23m+9 当m=4时，n=23×4+9=101: 【小问3详解】 解：如图，设三个等边三角形的公共顶点为O, 图(4) 设每条边上有x架无人机（即图中的点的数），图中共有1+2×3=7个顶点，则每条边内部有(x-2)个非 顶点，三个等边三角形的边长相等，共有S条边， .总无人机数为：7+9x-2)=9x-11 当9x-11=124时， 解得：x=15, :.等边三角形每条边上有15架无人机 设等边三角形的边长为a, 如图，过点C作CD⊥AB于点D, δ .△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=Q, 0号 .在RtAADC中， CD-JAC-AD= 2, .S.4Bc=7×ax -4= 2 2 4 第23页/共30页 学科网组卷网 :每条边上有15架无人机，则有14个间隔，间距为 14 ,满足“表演距离”的要求，则最大间隔为2米 14 解得：a≤28 .a的最大值为28 :三个等边三角形的面积的最值为3×V ×282=588√5（平方米） 4 22.如图1，在矩形ABCD中AB>AD,点E是线段CD上的一动点，连接BE,作点C关于BE的对 称点F.连接CF并延长，射线CF交矩形的边于点G,过点A作AH⊥CG,交CG的延长线于点H. 图1 图2 备用图 (I)若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH=∠BAH; (2)连接BD交CH于点I,且AB=4,AD=3 ①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE=CD,求C的长， ②在E点的运动过程中，当GH:CG=1:8时，请直接写出△HCD的面积. (2)01210 ②3或 27 【答案】(1)见解析 13 【解析】 【分析】(1)根据轴对称可得∠BCF=∠BFC,根据矩形的性质和四边形的内角和定理即可解答； (2)①如图2，设BE,CF交于点O,证明△BCE∽△CDG,△BIC∽△DIG,列比例式即可解答； ②分两种情况：若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AD于点Q,证明△QHG∽△DCG,求出 QG的长，再根据三角形的面积公式求解即可；若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB于点Q ,证明△HQG∽△CBG求出QH的长，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 证明：：四边形ABCD为矩形， 第24页/共30页 可学科网可组卷网 O .∠ABC=90°， :点C关于BE的对称点为F, .BC=BF, .∠BCF=∠BFC, :AH⊥CG, ∠H=90°， .∠BCF+∠BAH=360°-∠ABC-∠H=180°， .∠BFC+∠BFH=180°， ·∠BAH=∠BFH; 【小问2详解】 解：①如图2，设BE,CF交于点O, E 图2 :四边形ABCD为矩形， ∠BCE=∠CDG=90°，BC∥DG,CD=AB=4,BC=AD=3, 由轴对称的性质可得BE⊥CF, .∠CBO+∠BCO=90°， :∠BCO+∠OCE=90°， .∠CBO=∠OCE, △BCE∽△CDG, CE BC DG CD CE=ICD, 4 .CE=1, 13 DG4 :BC∥DG, 第25页/共30页 可学科网可组卷网 .△BIC∽aDIG, “Gl=DG=3=4, CI BC 3 9 在R1△CDG中，由勾股定理得CG-NCD2+DG=4+) /44V10 Γ3 C1=9CG=9×4i0_1210 9+4 13313 ②若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AD于点Q, 图3 :四边形ABCD为矩形， .AD⊥CD, QH∥CD, △QHGn△DCG, OG GH ”DGCG ,GH:CG=1:8, .2G 1 DG 8 *0G-DG-! 81 DO=DG+0G-3 Saw=C0D0-x4×2-3: 3 2 若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB于点Q, 第26页/共30页 可学科网可组卷网 B D E 图4 同理可证明QH∥BC, :△HQG∽△CBG, HOGH BC CG ,GH:CG=1:8, .Ho 1 BC 8 0H=8 点H到CD的距离为3+3_27 88 1 2727 ∴.SAHCD= ×4× 2 84 综上所述，△HCD的面积为3或2 4 23.2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一 条抛物线y=-x2+10x-21,第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运 动轨迹关于直线x=3对称. B E B 图① 图② (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标. (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为等腰三角形，若存在，请求 出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 (3)如图②，在平面内有一点P,使得∠APB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求 第27页/共30页 可学科网可组卷网 出CP+一EP的最小值 【答案】(1)y=-x2+2x+3,A-1,0),B(3,0,C0,3) (2)存在，Q的坐标为(1，V6或1，-V6或(1,0)或(1,1刂 (3)3 【解析】 【分析】(1)求出y=-x2+10x-21的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式， 再求出x=0时的函数值和y=0时的自变量的值，即可求出三点的坐标： (2)分AC=AQ,AC=CQ,AQ=CQ三种情况进行讨论求解即可； (3)易得点P在以AB为直径的⊙M上，且不与A,B重合，连接PM,OP,证明△OMP∽△PME,得到 OP)PE,进而得到CP土EP=CP+OP,得到点C、P、O写点线，CP+OP取得最小值为 OC的长，即可. 【小问1详解】 解：：y=-x2+10x-21=-(x-5)2+4, ∴.顶点坐标为(5,4) ,第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线y=-x2+10x-21关于直线x=3对称 ∴.第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为(1,4 .y=-x-1+4=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3,当y=0时，-x2+2x+3=0.则x=-1,x2=3, ∴.A-1,0),B(3,0),C0,3； 【小问2详解】 解：y=(x-1)2+4 ∴对称轴是直线x=1,设Q1,n), .A-1,0),C(0,3 AC2=(0+1)+(3-0)2=10 A02=(1+12+(n-02=4+n2, 第28页/共30页 命学科网组卷网 C02=(1-0)2+(m-32=1+(n-3)2 当AC=AQ时，4+n2=10, 解得n=±√后 ∴0的坐标为1，V6)或1，-V6): 当AC=CQ时，1+(n-32=10, 解得n=0,n2=6, 若点Q坐标为1,6)时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； .91,0: 当A0=C0时，1+(n-3)2=4+n2, 解得n=1, 9(1,1 综上所述，Q的坐标为1，V6)或1，-√6或(1,0)或(1,1)： 【小问3详解】 解：A-1,0),B(3,0), .0A=1,OB=3,AB=4, 又，∠APB=90° 点P在以AB为直径的⊙M上，且不与A,B重合， 如图，连接PM,OP, 侧PM=2,0M)AB-0A=5 M B: 图② 第29页/共30页 耐学科网 多组卷网 又：E(-3,0 .EM=4, .OM PM 1 …PM=EM=2, 又.'∠OMP=∠PME, .△OMP∽△PME, .OP_PM 1 PE EM 2 :.OP=IPE, 2 :.CP+EP=CP+OP. .当点C、P、O三点共线时，CP+OP取得最小值为OC的长， C0,3, .OC=3 :CP+EP的最小值为3. 第30页/共30页