概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦古典概型与独立事件两大核心考点，以江苏多地期末/模拟真题为载体，构建“统计图表-抽样方法-概率计算”的完整逻辑链，强化数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型求概率|3例+3变式（含频率分布直方图5题）|结合统计图表（频率分布直方图）与分层抽样，考查“至少/恰有”等情境概率|数据处理（直方图分析）→样本抽取（分层抽样）→古典概型计算（列举/组合数）| |独立事件的乘法公式|3例+3变式（含比赛/竞赛情境4题）|多主体（甲、乙、丙）多轮次（投篮/答题）情境，涉及“不少于2个”“甲获胜”等复杂事件|独立事件判断→乘法公式应用→复杂情境分步计算（分类讨论）|

概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式 考点一 古典概型求概率 例1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时），收集到的数据分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图： (1)若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值； (2)规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为200的样本． ①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数； ②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在，的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率． 例3．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． (1)分别求事件、、发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 变式1．（24-25高二上·江苏南京·月考）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 变式2．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 变式3．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 例2．（24-25高一下·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 例3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 变式1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 变式2．（24-25高一下·江苏徐州·月考）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. (1)若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； (2)求乙最终获胜的概率. 变式3．（24-25高一下·江苏镇江·月考）遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． (3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式 考点一 古典概型求概率 例1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时），收集到的数据分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图： (1)若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值； (2)规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为200的样本． ①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数； ②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在，的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率． 【答案】(1)1 (2)①90；② 【分析】（1）根据频率分布直方图平均数公式求解；（2）①“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，计算频率，然后求人数；②先用分层抽样抽取样本，然后由古典概型计算概率. 【详解】（1）； （2）①“每日体育活动时长不少于1小时”的频率为， 则容量为200的样本中，学生达标人数为人； ②时长在，的学生的频率比为3∶1， 所以采用分层抽样的方法随机抽取4人中， 有3人在组中，设这3人为，，， 有1人在组中，设这一人为， 从这4人中抽取2人的事件共有6种， 其中恰有1人活动时长在的事件有3种， 所以被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率为． 例3．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． (1)分别求事件、、发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 【答案】(1)， ， ； (2). 【分析】（1）列出样本空间和所有满足事件的情况，根据古典概型概率计算公式计算即可； （2）列出满足题意的所有情况，根据古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】（1）样本空间，共有12个基本事件； 事件，共有6个样本点， 所以， 事件，共有3个样本点，所以， 事件，共有4个样本点，所以． （2）事件中至多有一个发生的情况有，共有8种， 所以． 变式1．（24-25高二上·江苏南京·月考）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】(1) ，平均年龄为 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数的公式即可求解； （2）根据古典概型公式可得. 【详解】（1）由题意有：， 解得， 设这n人的平均年龄为， 则； （2）（2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点 所以. 答：甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 变式2．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【详解】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 变式3．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1)75，180 (2)71 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和方差的计算公式即可依次计算求解； （2）由样本总平均成绩即可估计所有学生的平均成绩； （3）一一列举样本点，再由古典概型计算即可. 【详解】（1）由题估计所有男生的平均成绩为， 估计所有男生的方差为 所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180； （2）全体学生的平均数； （3）抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为， 事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生， 则样本空间， ， 所以，所以. 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 例2．（24-25高一下·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 例3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 变式1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【详解】（1）记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. （2）记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 变式2．（24-25高一下·江苏徐州·月考）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. (1)若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； (2)求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）甲最终获胜包含：第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，求出各种情况的概率可得答案； （2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况；②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况；③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况，求出以上各种情况概率可得答案. 【详解】（1）甲最终获胜包含以下情况： 第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，其概率为； 第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，其概率为； 第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，其概率是. 故甲、乙首先比赛，甲最终获胜的概率； （2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为； 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为. 故甲、乙首先比赛，乙最终获胜的概率. ②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况： 甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为. 故甲、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. ③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为； 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为； 乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为. 故乙、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. 故乙最终获胜的概率. 变式3．（24-25高一下·江苏镇江·月考）遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． (3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 【答案】(1)，众数为，平均成绩为77.5. (2) (3)首场由比赛才能使获胜的概率最大． 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式和众数的定义求解即可； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）需要分别计算与、与、与参加首场比赛时获胜的概率，再进行比较. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 初赛成绩的众数为， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为，平均成绩为77.5. （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． （3）若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜，概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为 ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为； 所以最终获胜的概率为； 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 若首场比赛，则获胜有两种情况： ①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 因为， 所以首场由比赛才能使获胜的概率最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $