15.1&15.2随机事件和样本空间 随机事件的概率（6大题型）-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

15.1&15.2随机事件和样本空间 随机事件的概率 【考点梳理】 考点一：总体和样本 考点二：随机事件的概念 考点三：确定事件和随机事件的概率 考点四：频率和概率 考点五：用频率估计概率 考点六：古典概型经典类型问题 【知识梳理】 知识点一　随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二　样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 知识点三　随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 知识点四　随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 知识点五　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 知识点六　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 考点七　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【题型归纳】 题型一：总体和样本 1．（22-23高一·全国）某次考试有50000名学生参加，为了解学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行分析．在这个问题中，以下说法正确的个数是（ ） （1）抽取的1000名考生的总体是一个样本； （2）抽取的1000名考生的数学成绩的平均数等于总体平均数； （3）样本容量是1000； （4）这50000名考生的数学成绩是总体． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（21-22高二上·陕西榆林）从某年级300名学生中抽取50名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ） A．300名学生是总体 B．每个被抽取的学生是个体 C．样本容量是50 D．样本容量是300 3．（21-22高一下·天津西青·期末）杨柳青一中期末考试后，为了分析高一年级520名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ） A．520名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 题型二：随机事件的概念 4．（20-21高一·全国）下列事件中是随机事件的是（ ） A．所有四边形的内角和为180° B．通常加热到100℃，水沸腾 C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球 D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 5．（21-22高二下·河南信阳·期末）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 6．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）下面的事件： ①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球； ②某人买彩票中奖； ③非零实系数一次方程必有一实根； ④明天会下雨． 其中是必然事件的有（ ） A．① B．④ C．① ③ D．① ④ 题型三：确定事件和随机事件的概率 7．（21-22高一下·山东临沂·期末）考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4 C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5 8．（20-21高二下·宁夏·期中）下列说法正确的是（ ） A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76% 9．（2023高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（ ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．随机事件发生的概率与试验次数无关 题型四：频率和概率 10．（23-24高二上·新疆和田·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．抛掷硬币次，事件必发生次 B．抛掷硬币次，事件不可能发生次 C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于 D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近 11．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（ ） A．① B．② C．③ D．④ 12．（22-23高一下·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 题型五：用频率估计概率 13．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·海南·期末）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 15．（22-23高一下·重庆渝中·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ） A． B． C． D． 题型六：古典概型经典类型问题 16．（2024高一下·全国·专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有的样本点； (2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 17．（2024·四川成都·三模）成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率. 18．（2024高一下·全国·专题练习）北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【双基达标】 一、单选题 19．（23-24高二上·上海·期末）某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（ ）. A．总体是1000 B．个体是每一名学生 C．样本是1000名学生 D．样本容量是1000 20．（22-23高一下·河南安阳·期末）一只口袋中装有很多黑色围棋子（不便倒出来数），为了估计口袋中黑色围棋子的个数，聪明的小红采用以下方法：在口袋中放入10枚（质地、大小相同，只有颜色不同）白色的围棋子，混合均匀后随机摸出1枚，记下颜色后放回口袋．不断重复上述过程，小红一共摸了260次，其中摸到白色棋子共8次，则估计口袋中黑色围棋子大约有（ ） A．500枚 B．585枚 C．325枚 D．285枚 21．（2024高一下·全国·专题练习）从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件用样本点表示为 . 22．（23-24高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 【高分突破】 一、单选题 23．（21-22高一·全国·课后作业）某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下面说法正确的是（ ） A．调查方式是普查 B．样本是200个球根 C．这批花只有196个球根发芽 D．这批花约有2%的球根不发芽 24．（2024·全国·模拟预测）某医院呼吸科有3名医生和2名护士．现需要从这5名医护人员中随机抽取2名成立一个临时甲流诊治小组，则抽到的2人中至少有1名医生的概率为（ ） A． B． C． D． 25．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（ ） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 26．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ） A． B． C． D． 28．（2024高三·全国·专题练习）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示 所用时间天数 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车A只能在约定日期某月某日的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发将频率视为概率，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（ ） A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1 29．（2024·全国·模拟预测）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件是随机事件的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 32．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 33．（2024高一下·全国·专题练习）下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是（ ） A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个样本容量为100的样本 C．某学校有男、女学生各500名，为了解学生的身高情况从全体学生中抽取100名学生进行调查 D．青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 34．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ） A．满意度调查中抽取的样本容量为5000 B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 35．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 三、填空题 36．（2024高一下·全国·专题练习）同时掷两枚相同的质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为 . 37．（2024高一下·全国）单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是 . 38．（23-24高二下·浙江·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 四、解答题 39．（2024·全国·模拟预测）随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分（满分10分），结果如下： 消费者编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5 乙 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8 (1)求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差； (2)该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率． 40．（23-24高二下·云南昭通·阶段练习）Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数） (2)用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率． 41．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． (1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1&15.2随机事件和样本空间 随机事件的概率 【考点梳理】 考点一：总体和样本 考点二：随机事件的概念 考点三：确定事件和随机事件的概率 考点四：频率和概率 考点五：用频率估计概率 考点六：古典概型经典类型问题 【知识梳理】 知识点一　随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二　样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 知识点三　随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 知识点四　随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 知识点五　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 知识点六　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 考点七　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【题型归纳】 题型一：总体和样本 1．（22-23高一·全国）某次考试有50000名学生参加，为了解学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行分析．在这个问题中，以下说法正确的个数是（ ） （1）抽取的1000名考生的总体是一个样本； （2）抽取的1000名考生的数学成绩的平均数等于总体平均数； （3）样本容量是1000； （4）这50000名考生的数学成绩是总体． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】判断每一个说法的正误即得解. 【详解】解：（1）抽取的1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，该说法错误； （2）抽取的1000名考生的数学成绩的平均数不一定等于总体平均数，该说法错误； （3）样本容量是1000，该说法正确； （4）这50000名考生的数学成绩是总体，该说法正确. 所以正确的个数为2. 故选：B 2．（21-22高二上·陕西榆林）从某年级300名学生中抽取50名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ） A．300名学生是总体 B．每个被抽取的学生是个体 C．样本容量是50 D．样本容量是300 【答案】C 【分析】由总体，个体，样本容量概念可得答案. 【详解】对于A选项，300名学生的体重数据是总体，故A错误. 对于B选项，每个被抽取学生的体重数据是个体，故B错误. 对于C选项，因要分析50名学生的体重，故样本是抽取的50名同学的体重，样本容量是50.故C正确. 对于D选项，由C选项分析可知D错误. 故选：C 3．（21-22高一下·天津西青·期末）杨柳青一中期末考试后，为了分析高一年级520名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ） A．520名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 【答案】D 【分析】根据有关的概念可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案． 【详解】此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据答案可得：选项A、B表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B都错误； 每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体，故C错误； 样本的容量是100 ，故D正确． 故选：D． 题型二：随机事件的概念 4．（20-21高一·全国）下列事件中是随机事件的是（ ） A．所有四边形的内角和为180° B．通常加热到100℃，水沸腾 C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球 D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 【答案】D 【分析】A、C为不可能事件，B在一定条件下为必然事件，D是随机事件. 【详解】A. 所有四边形的内角和为360°，所以该事件是不可能事件； B. 通常加热到100℃，水沸腾，在一定条件下，是必然事件； C. 袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球，是不可能事件； D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，是随机事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件. 故选：D 5．（21-22高二下·河南信阳·期末）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【答案】C 【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可． 【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况. 故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确； 事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确； 事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误； 事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确． 故选：C 6．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）下面的事件： ①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球； ②某人买彩票中奖； ③非零实系数一次方程必有一实根； ④明天会下雨． 其中是必然事件的有（ ） A．① B．④ C．① ③ D．① ④ 【答案】C 【分析】根据必然事件的知识确定正确选项. 【详解】①，因为红球只有个，所以从中任取3个球，至少取到1个白球，是必然事件. ②，中奖不是必然事件. ③，非零实系数一次方程必有一实根，是必然事件. ④，明天会下雨，不是必然事件. 所以必然事件的是① ③. 故选：C 题型三：确定事件和随机事件的概率 7．（21-22高一下·山东临沂·期末）考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4 C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【分析】根据随机事件的性质可判断A，B；根据频率与概率的关系可判断C，D. 【详解】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率，A错误； 掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误； 重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误； 当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确. 故选：D 8．（20-21高二下·宁夏·期中）下列说法正确的是（ ） A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76% 【答案】D 【分析】结合概率和频率的定义、概率的计算公式依次判断选项即可. 【详解】A：概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性. 虽然甲获胜的概率为，但是比赛5场，甲获胜3场的说法不符合定义，故A错误； B：前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，这种说法不符合概念的定义，故B错误； C：频率和概率是两个不同概念，故C错误； D：，故D正确. 故选：D 9．（2023高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（ ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．随机事件发生的概率与试验次数无关 【答案】D 【分析】根据随机事件的相关概念一一判定即可. 【详解】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误； “”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误； 买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误； 随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确. 故选：D 题型四：频率和概率 10．（23-24高二上·新疆和田·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．抛掷硬币次，事件必发生次 B．抛掷硬币次，事件不可能发生次 C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于 D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系可得答案. 【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误； 随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小； 故选：D 11．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. 12．（22-23高一下·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【答案】D 【分析】根据频率和概率的关系分析每个选项. 【详解】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误； BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即， B选项中所估计的概率和频率差别过大， C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误； D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确. 故选：D 题型五：用频率估计概率 13．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率. 【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为. 故选：B. 14．（22-23高一下·海南·期末）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得. 【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人， 所以学习时间不少于6小时的概率为. 故选：B 15．（22-23高一下·重庆渝中·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解. 【详解】由题意可知：体重减轻的频率为， 用频率估计概率可知：体重减轻的概率为. 故选：A. 题型六：古典概型经典类型问题 16．（2024高一下·全国·专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有的样本点； (2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，，，，，. (2)不正确，理由见解析. 【分析】（1）利用列举法把样本点列出来. （2）利用古典概型求出获奖的概率，与不中奖概率比较. 【详解】（1）所有样本点包含，，，，，，，，，，，. （2）不正确，理由如下： 由（1）知，所有样本点共12个， 其中摸出的2个球都是红球的样本点有，，，共4个， 所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故不中奖的概率比较大． 17．（2024·四川成都·三模）成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得的值； （2）再由和的频率比，确定这5株分别在和的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为：； 高度在的频率为：； 且，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 因此记高度在植株为，记高度在植株为， 则所有选取的结果为（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共10种情况， 令抽取的2株高度均在内为事件，事件的所有情况为（，）、（，）、（，）共3种情况， 由古典概型的计算公式得：. 18．（2024高一下·全国·专题练习）北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合随机事件的概率的概念，即可求解； （2）记“解密世园会”为，“爱我家，爱园艺”为，“园艺小清新之旅”为，“快速车览之旅”为，则画树状图，得到基本事件的综上，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：在这4条线路中任选一条，每条线路被选中的可能性相同， 所以在这4条线路中，李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是． （2）解：记“解密世园会”为，“爱我家，爱园艺”为，“园艺小清新之旅”为，“快速车览之旅”为，则画树状图，如图所示， 共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， 所以李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为． 【双基达标】 一、单选题 19．（23-24高二上·上海·期末）某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（ ）. A．总体是1000 B．个体是每一名学生 C．样本是1000名学生 D．样本容量是1000 【答案】D 【分析】根据总体、个体、样本和样本容量的概念依次判断选项即可. 【详解】A：总体是1800学生每天睡眠时间和作业时间，故A错误； B：个体是每一名学生每天睡眠时间和作业时间，故B错误； C：样本是1000名学生每天睡眠时间和作业时间，故C错误； D：样本容量是1000，故D正确. 故选：D. 20．（22-23高一下·河南安阳·期末）一只口袋中装有很多黑色围棋子（不便倒出来数），为了估计口袋中黑色围棋子的个数，聪明的小红采用以下方法：在口袋中放入10枚（质地、大小相同，只有颜色不同）白色的围棋子，混合均匀后随机摸出1枚，记下颜色后放回口袋．不断重复上述过程，小红一共摸了260次，其中摸到白色棋子共8次，则估计口袋中黑色围棋子大约有（ ） A．500枚 B．585枚 C．325枚 D．285枚 【答案】C 【分析】由题意得到黑色棋子与白色棋子的比例，进而估算出黑色棋子的个数，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，小红共摸了260次，其中8次摸到白色棋子，则有252次摸到黑色棋子， 所以黑色棋子与白色棋子的比例为， 因为白色棋子有10枚，则黑色棋子有， 其中与答案中的325最接近. 故选：C． 21．（2024高一下·全国·专题练习）从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件用样本点表示为 . 【答案】 【分析】先根据题意写出所有的样本点，表示出事件A和事件B，再根据交事件的定义即可解答. 【详解】从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数， 所有的样本点为10，12，13，14，15，20，21，23，24，25， 30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25个， 其中事件； 事件. 故事件用样本点表示为. 故答案为：. 22．（23-24高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.47 (3)2000 【分析】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可； （2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和； （3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 （2），所以数据落在中的概率约为0.47. （3）设水库中鱼的总条数约为条，则， 即，所以水库中鱼的总条数约为2000条. 【高分突破】 一、单选题 23．（21-22高一·全国·课后作业）某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下面说法正确的是（ ） A．调查方式是普查 B．样本是200个球根 C．这批花只有196个球根发芽 D．这批花约有2%的球根不发芽 【答案】D 【分析】由调查方式可判断A；样本定义可判断B；根据种子总数、不发芽数、样本估计总体可判断C；不发芽种子数除以200，再由样本估计总体可判断D. 【详解】A中调查方式是抽样调查，故A错误； B中样本是200个球根的发芽情况，故B错误； C中是样本的分布，是200个球根中有196个球根发芽，故C错误； D 200个球根中有196个球根发芽，不发芽率为，即为2%，再由样本估计总体，故D正确． 故选：D. 24．（2024·全国·模拟预测）某医院呼吸科有3名医生和2名护士．现需要从这5名医护人员中随机抽取2名成立一个临时甲流诊治小组，则抽到的2人中至少有1名医生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列举成立甲流诊治小组抽取人员的基本事件，再列举至少一名医生的事件数，利用古典概型计算即可. 【详解】记这5名医护人员分别为，其中为医生，为护士， 则从这5人中随机抽取2名医护人员的所有基本事件为 ，，共10种， 其中至少抽到1名医生的基本事件为，，共9种， 故所求概率为． 故选：D． 25．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（ ） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件． 故选：C 26．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出从6类场景中选2类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，C，D，E，F， 从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有 ，，，，，，，，， ，，，，，，共15种， 设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”， 则事件M包含的基本事件有，，，，， ，，，，共9种， 故所求概率， 故选：C． 27．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型计算公式先列举出所有基本事件数，再求出是孪生素数的事件数即可求得结果. 【详解】不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个， 共有，10种情况， 其中孪生素数有，共2种情况， 由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为. 故选：C. 28．（2024高三·全国·专题练习）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示 所用时间天数 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车A只能在约定日期某月某日的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发将频率视为概率，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（ ） A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1 【答案】A 【分析】将频率视为概率，分别计算汽车，选择公路1和公路2按时到达的概率，以此判断最佳路径. 【详解】频率分布表如下： 所用时间天数 10 11 12 13 通过公路1的频率 通过公路2的频率 设，分别表示事件“汽车A选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车A选择公路2时在约定时间内将货物运至城市乙”， ，分别表示事件“汽车B选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车B选择公路2时在定时间内将货物运至城市乙”， 以频率估计概率得，，，， 所以汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为公路1和公路2. 故选：. 29．（2024·全国·模拟预测）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得. 【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为， 两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间 ，共25个样本点， 两位参赛博主抽到不同主题的事件 ，共20个样本点， 所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为. 故选：D 30．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法列出m，n的所有情况，根据古典概型的概率公式计算. 【详解】根据题意，m，n的情况如下： 共16种情况， 其中m，n满足的情况如下： 共10种情况， 所以两人“心领神会”的概率是. 故选：D. 二、多选题 31．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件是随机事件的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 【答案】BCD 【分析】根据随机事件的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，此事件为必然事件； B选项，忘记朋友的号码最后一位，随意拨打个号码就是朋友的号码， 这件事情在一次试验中可能发成也可能不发生，所以为随机事件； C选项，由于与的关系不确定，所以函数在R上不一定为增函数，所以此事件为随机事件； D选项，当时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即， 另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即，所以为随机事件. 故选：BCD. 32．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】根据古典概型求解概率即可比较求解. 【详解】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)； B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反. 则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误， C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ； D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) . 故选：ACD. 33．（2024高一下·全国·专题练习）下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是（ ） A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个样本容量为100的样本 C．某学校有男、女学生各500名，为了解学生的身高情况从全体学生中抽取100名学生进行调查 D．青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 【答案】BC 【分析】根据抽样的特点判断即可. 【详解】A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样； D中总体所含个体无差异，不适合用分层随机抽样； BC中总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，适合用分层随机抽样． 故选：BC. 34．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ） A．满意度调查中抽取的样本容量为5000 B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 【答案】BC 【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可判断C选项，列出方程即可判断D选项. 【详解】满意率调查中抽取的样本容量为错误； 由扇形统计图知， 则人，B正确； 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为人，C正确； 抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30， 则，则，D错误. 故选：BC. 35．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 【答案】AB 【分析】确定把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有多少个基本事件，然后分别计算每个选项中甲获胜的基本事件数，即可比较两人获胜的概率，即可得答案. 【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件， 两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有： ， ，共19种， 则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确； 对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6， 最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个， 此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确； 对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有， ，共18个基本事件， 则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个， 两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 故选：AB 三、填空题 36．（2024高一下·全国·专题练习）同时掷两枚相同的质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为 . 【答案】 【分析】根据列举法，求解基本事件个数，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的， 满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个， 故所求概率为. 故答案为： 37．（2024高一下·全国·专题练习）单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型. 设“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以. 所以考生随机选择一个答案，答对的概率. 故答案为： 38．（23-24高二下·浙江·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 四、解答题 39．（2024·全国·模拟预测）随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分（满分10分），结果如下： 消费者编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5 乙 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8 (1)求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差； (2)该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率． 【答案】(1)7；7；2.6；4； (2)． 【分析】（1）由平均数及方差公式，代入数据计算可得； （2）先求出所有可能的情况种数，再求出选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的事件种数，由古典概型公式即可求得. 【详解】（1）， ， ， ． （2）这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者的编号分别为01，03，04，05，06，10，共有6人， 从中随机选取2人，所有可能的情况有，，共15种， 设事件为“选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分”，则事件包含的情况有，共9种， 所以所求概率． 40．（23-24高二下·云南昭通·阶段练习）Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数） (2)用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用面积法列式计算即得. （2）求出两段抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）分数在的频率为0.3，依题意，有奖问答的获奖分数线， 则，解得， 所以这次有奖问答的获奖分数线约为. （2）分数在的频率分别为，因此抽取的4人中，分数在内的抽1人，记为， 分数在内的抽3人，依次记为， 抽取2人依次分享的试验样本空间，共12个结果， 第一个分享的得分在的事件，共9个结果， 所以第一个分享的网友得分在的概率. 41．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． (1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率． 【答案】(1)，平均数为 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）由题意得， 解得. 估计被抽取的名少年儿童问卷调查结果的平均数为 . （2）依题意可得在内抽取的人数为（人）， 设所抽取的人为， 在内抽取的人数为（人），设所抽取的人为， 则从中随机抽取2名少年儿童有 共15种情况， 其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的有共7种情况. 故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$